Independence in Algebraic Complexity Theory

181 Pages·2013·1.319 MB·English

by  Johannes Mittmann

Independence in
Algebraic Complexity Theory
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.)
der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit¨at Bonn
vorgelegt von
Johannes Mittmann
aus
Nu¨rnberg
Bonn, Dezember 2012
Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakult¨at der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit¨at Bonn
1. Gutachter: Prof. Dr. Nitin Saxena
2. Gutachter: Prof. Dr. Markus Bl¨aser
Tag der Promotion:
Erscheinungsjahr:
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit untersucht die Konzepte der linearen und algebrai-
schen Unabh¨angigkeit innerhalb der algebraischen Komplexit¨atstheorie.
ArithmetischeSchaltkreise,diemultivariatePolynomeu¨bereinemK¨orper
berechnen, bilden die Grundlage unserer Komplexit¨atsbetrachtungen. Wir
befassen uns mit dem polynomial identity testing (PIT) Problem, bei dem
entschieden werden soll ob ein gegebener Schaltkreis das Nullpolynom be-
rechnet. Fu¨r dieses Problem sind effiziente randomisierte Algorithmen be-
kannt, aber deterministische Polynomialzeitalgorithmen konnten bisher nur
fu¨r eingeschr¨ankte Klassen von Schaltkreisen angegeben werden. Besonders
von Interesse sind Blackbox-Algorithmen, welche den gegebenen Schaltkreis
nicht inspizieren, sondern lediglich an Punkten auswerten.
Bekannte Ans¨atze fu¨r das PIT Problem basieren auf den Begriffen der
linearen Unabh¨angigkeit und des Rangs von Untervektorr¨aumen des Poly-
nomrings. Wir u¨bertragen diese Methoden auf algebraische Unabh¨angigkeit
unddenTranszendenzgradvonUnteralgebrendesPolynomrings.Dadurcher-
halten wir effiziente Blackbox-PIT-Algorithmen fu¨r neue Klassen von Schalt-
kreisen.
Eine effiziente Charakterisierung der algebraischen Unabh¨angigkeit von
Polynomen ist durch das Jacobi-Kriterium gegeben. Dieses Kriterium ist je-
doch nur in Charakteristik Null gu¨ltig. Wir leiten ein neues Jacobi-artiges
Kriterium fu¨r die algebraische Unabh¨angigkeit von Polynomen u¨ber endli-
chen K¨orpern her. Dieses liefert einen weiteren Blackbox-PIT-Algorithmus
undverbessertdieKomplexit¨atdesProblemsarithmetischeSchaltkreiseu¨ber
endlichen K¨orpern auf algebraische Unabh¨angigkeit zu testen.
iii
iv
Synopsis
This thesis examines the concepts of linear and algebraic independence in
algebraic complexity theory.
Arithmeticcircuits, computingmultivariatepolynomialsoverafield, form
theframeworkofourcomplexityconsiderations. Weareconcernedwithpoly-
nomial identity testing (PIT), the problem of deciding whether a given arith-
metic circuit computes the zero polynomial. There are efficient randomized
algorithms known for this problem, but as yet deterministic polynomial-time
algorithm could be found only for restricted circuit classes. We are especially
interested in blackbox algorithms, which do not inspect the given circuit, but
solely evaluate it at some points.
Known approaches to the PIT problem are based on the notions of linear
independence and rank of vector subspaces of the polynomial ring. We gen-
eralize those methods to algebraic independence and transcendence degree
of subalgebras of the polynomial ring. Thereby, we obtain efficient blackbox
PIT algorithms for new circuit classes.
The Jacobian criterion constitutes an efficient characterization for alge-
braic independence of polynomials. However, this criterion is valid only in
characteristic zero. We deduce a novel Jacobian-like criterion for algebraic
independence of polynomials over finite fields. We apply it to obtain an-
other blackbox PIT algorithm and to improve the complexity of testing the
algebraic independence of arithmetic circuits over finite fields.
v
vi
Acknowledgements
I am deeply indebted to my advisor Nitin Saxena. I would like to thank him
for sharing his expertise with me and for pointing me in the right direction.
Our countless research sessions have been highly pleasant and beneficial for
me. Without his guidance and support this thesis would not have been
possible.
Working with my co-authors Malte Mink (n´e Malte Beecken) and Peter
Scheiblechner has also been a great pleasure for me. I would like to thank
them for many interesting scientific and non-scientific discussions.
I am very grateful to the Hausdorff Center for Mathematics, Bonn, for
its financial support and for providing an excellent working environment.
Finally, I would like to thank my parents for their everlasting encourage-
ment and support.
vii
viii
Contents
Contents ix
1 Introduction 1
1.1 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Thesis Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Polynomial Identity Testing 9
2.1 Some Polynomial Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Arithmetic Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Problem Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Randomized Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Derandomization Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Hitting Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Linear Independence Techniques 41
3.1 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 The Alternant Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Rank-Preserving Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Sparse Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Polynomials with Sparse Newton Polytope Decompo-
sition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Products of Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Linear Independence Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Computation of Linear Relations . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.1 Kronecker Products of Vectors . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Algebraic Independence Techniques 71
4.1 Algebraic Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ix
x Contents
4.1.1 Degree Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 The Jacobian Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.3 The Witt-Jacobian Criterion . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Faithful Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1 Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.3 Sparse Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Log-Sparse Polynomials in Positive Characteristic . . . 103
4.2.5 Products of Constant-Degree Polynomials . . . . . . . 106
4.2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Algebraic Independence Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Computation of Algebraic Relations . . . . . . . . . . . . . . . 122
5 Conclusion 127
A Preliminaries 129
A.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2 Complexity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.3 Rings, Modules, and Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3.1 Matrices and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3.2 Polynomial Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.3.3 Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.4 Algebraic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.5 Differentials and the de Rham Complex . . . . . . . . . . . . . 139
A.6 The Ring of Witt Vectors and the de Rham-Witt Complex . . 142
A.6.1 The Ring of Witt Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.6.2 The de Rham-Witt Complex . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.6.3 The de Rham-Witt Complex of K[x] . . . . . . . . . . 147
Bibliography 151
Index 165