In höheren Räumen: Der Weg der Geometrie in die vierte Dimension PDF
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Mathematik im Kontext Reiheherausgegebenvon DavidRowe MathematicsFB08 MainzUniversity Mainz Deutschland KlausVolkert BergischeUniversitätWuppertal Wuppertal Deutschland DieBuchreiheMathematikimKontextpubliziertWerke,indenenmathematischwichtige undwegweisendeEreignisseoderPeriodengeschildertwerden.NebeneinerBeschreibung der mathematischen Hintergründe wird dabei besonderer Wert auf die Darstellung der mitdenEreignissenverknüpftenPersonengelegtsowieversucht,derenHandlungsmotive darzustellen.DieBüchersollenStudierendenundMathematikernsowieanMathematikIn- teressierteneinentiefenEinblickinbedeutendeEreignissederGeschichtederMathematik geben WeitereBändeinderReihe http://www.springer.com/series/8810 Klaus Volkert In höheren Räumen Der Weg der Geometrie in die vierte Dimension KlausVolkert DidaktikundGeschichtederMathematik UniversitätWuppertal Wuppertal Deutschland ISSN2191-074X ISSN2191-0758(electronic) MathematikimKontext ISBN978-3-662-54794-6 ISBN978-3-662-54795-3(eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagGmbHDeutschland2018 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbeson- dere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und VerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlag,nochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Planung:Dr.AnnikaDenkertZeichnungen:NicolaOswald GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringer-VerlagGmbHDeutschland DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany Dank Mein besonderer Dank gilt Frau Anna Katharina Spitz (Wuppertal) für die sorgfältige Bearbeitung meines Manuskripts, die daraus eine brauchbare Druckvorlage machte. Bei der Schlußredaktion haben mich Nadine Benstein und Ulrich Schwebinghaus (beide Wuppertal)unterstützt.WeiterhinmöchteichNicolaOswald(Wuppertal)dankenfürdie Zeichnungen, welche sie zum Buch beigesteuert hat – und für viele interessante Dis- kussionen. Sebastian Kitz (Wuppertal) hat mich bei der oft schwierigen Beschaffung des Materials für dieses Buch tatkräftig unterstützt. Schließlich danke ich Erhard Scholz (Wuppertal)fürseineHinweisezumManuskriptundseinevielenspannendenIdeen,von denen ich nun schon jahrzehntelang profitiere. Weitere Personen, die mir an bestimmten Stellen geholfen haben, sind im Text genannt. Mein Mitherausgeber D. Rowe (Mainz) und Frau A. Denkert (Springer-Verlag Heidelberg) haben die Veröffentlichung diese Buchs dankenswerter Weise ermöglicht. Weiterhin bedanke ich mich für die großzügige ÜberlassungvonBildrechtenbeiderStaats-undUniversitätsbibliothekGöttingen. Daneben–abernichtwenigerwichtig–dankeichalleninmeinemberuflichenundin meinemprivatenUmfeld,derenUnterstützungesmirüberhaupterstmöglichgemachthat, diesesBuchzuschreiben. V Inhaltsverzeichnis 1 InkongruenteGegenstücke,ReliefsundersteSchritte.................. 1 2 DerAufbruch ................................................. 39 3 InderneuenWelt .............................................. 51 3.1 Schläflis „Theorie der vielfachen Kontinuität“ – ein bahnbrechendesWerkohneFolgen.............................. 52 3.2 Höherdimensionale und nichteuklidische Geometrie, VerbindungenzuPhysikundAstronomie ......................... 61 3.3 RegulärePolytope .......................................... 67 3.4 EdmundHessunddieRückkehrdersphärischenGeometrie ........... 91 3.5 DergruppentheoretischeZugang ............................... 97 3.6 VictorSchlegel,derersteChronistderneuenWelt .................. 103 3.7 AufderSuchenachderverlorenenAnschauung–BilderundModelle ... 107 3.8 EineWeltohneKnoten....................................... 121 3.9 Lehrbücher................................................ 125 4 DerZöllner-Skandal ............................................ 133 4.1 KarlFriedrichZöllner........................................ 134 4.2 EinigeReaktionenaufZöllner ................................. 146 4.3 DerZöllner-SkandalinderPresse............................... 153 4.4 WeitereReaktionenaufZöllner................................. 160 4.5 DieMathematikschlägtzurück................................. 166 5 Wanderungen des Wissens – die vierte Dimension in Kunst, LiteraturundPhilosophie........................................ 183 5.1 PoincarésEssaysundJouffretsLehrbuch ......................... 183 5.2 Flächenwesen,Analogien,Metaphern............................ 202 5.3 DervierdimensionaleRaumunddiebildendeKunst ................. 211 5.4 DieverkehrteWelt–dievierteDimensioninderLiteratur ............ 215 5.5 CharlesHowardHinton,derPhilosophderviertenDimension.......... 218 5.6 AliciaBooleStott,dieersteFrauinderviertenDimension ............ 231 VII VIII Inhaltsverzeichnis 6 DievierteDimensionverliertihreSchrecken......................... 243 Literatur ........................................................ 251 Sachverzeichnis................................................... 263 Personenverzeichnis ............................................... 269 Einleitung DenkedirdieGeometriedesvierdimensionalen RaumeszudemZweckebetrieben, dieLebensbedingungenderGeisterkennenzulernen. IstsiedarumnichtMathematik? Undkannichnunsagen,siebestimmeBegriffe? (L.Wittgenstein)1 Dieses Buch behandelt die Geschichte der vierten Dimension aus der Sicht des Mathe- matikhistorikers. Es versucht, gestützt auf Quellen, den Weg zu erläutern, der die vierte Dimension und den vierdimensionalen Raum in die Mathematik hineinführte. Dabei werdenwirunsimWesentlichenaufdiezweiteHälftedes19.Jhs.konzentrierenmitgele- gentlichenAusblickenins20.Jh.DievierteDimensionwirdalsreinräumlichebetrachtet, dievielfachauchanzutreffendeIdee,dieZeitalsvierteDimensionzubehandeln,wirdnur gestreift;demVerfasserscheintdieseinewesentlichandereGeschichtezuseinalsdiehier betrachtete,welchemangeometrischnennenkönnte.Insbesonderegehteshiernichtum eineVorgeschichtederRelativitätstheorie,wennauchgewisseBerührungspunktenichtzu leugnensind.RäumlichhabeichmichaufdendeutschsprachigenRaumkonzentriert,der inderGeschichtederviertenDimensioneinezentraleRollespielt.Insbesondereereignete sichhiereinesehrbemerkenswerte,heutenurnochwenigbekannteGeschichte,dieichden Zöllner-Skandalnennenmöchte.NurseltenhateinmathematischBegriff,hierdievierte Dimension,fürsovielAufsehengesorgtwienachFriedrichKarlZöllnersab1878einset- zendemVersuch,mitihrerHilfespiristischeSéancen„wissenschaftlich“zuerklären,das Übernatürliche gewissermaßen zu naturalisieren. Das Knotenexperiment, das mathema- tisch mit der Nichtexistenz von Knoten im vierdimensionalen Raum zusammenhängt, erlangtegroßeBekanntheit;eswurdezueinemParadigmafürErklärungenimStileZöll- ners.FürdieMathematikergabsicheinegefährlicheSituation,gelangtesiedochsoinden Verdacht, dem Okkultismus Vorschub zu leisten. Sie setzte sich gegen diese Enteignung 1Wittgenstein1974,260. IX X Einleitung letztlicherfolgreichzurWehr,vorallem,indemsiebetonte,dassdievierteDimensionder MathematiknichtsmitderRealitätzutunhabe.HierfindetmaneineWurzelfürsowich- tige Ideen wie „Modelle“ im modernen Sinne des Wortes und Mathematik als abstrakte axiomatisch-deduktive Theorie abgekoppelt von jeglicher Metaphysik, Aspekte also, die indenletztenJahreninderHistoriographiederMathematikgernemitder„Moderne“in Zusammenhanggebrachtwurden.VorallemimsechstenKapitel,woesumAuswirkungen derviertenDimensiongeht,werdenwirdenBlickweitenundauchdenangelsächsischen RaumundFrankreichindenBlicknehmen.HierverlassenwirdieMathematikgeschichte imengerenSinneunddieKompetenzendesAutorserfordernEinschränkungen.Dasgilt auchfürdieEinbettungindieallgemeineGeschichte–Stichwortetwa:Gründerboomund Gründerkrise–,zuderimmerwiederBezügehergestelltwerden.Diesalleserschienmir unerlässlich,wennichmirauchdurchausmeinerGrenzenbewusstbin. Das Buch geht im Wesentlichen chronologisch vor: Nach einigen Bemerkungen zum DimensionsbegriffdessenWurzelnwienichtanderszuerwartenbisEuklidzurückverfolgt werden können, folgen im zweiten Kapitel vor allem Ausführungen zu einigen Fragen, die Denkanstöße in Richtung vierte Dimension lieferten. Allen voran sind hier Kants „inkongruenteGegenstücke“zunennen,dasheißtsymmetrischeKörper,diesichimDrei- dimensionalen nicht zur Deckung bringen lassen wie die berühmten linken und rechten Hände. Das dritte Kapitel schildert erste Ansätze, eine vierte Dimension oder auch noch höhere Dimensionen in die Geometrie einzuführen. Dies geschah um 1850 herum; die Vorkämpfer waren noch vorsichtig und sprachen lieber von analytischen Punkten, Gera- denetc.anstattvonwirklichen.DabeiwirdGelegenheitsein,aufdiephilosophischeSicht aufdieGeometrieeinzugehen,welcheim19.Jh.vorwiegendeineempiristischewar.Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit dem eigentlichen Durchbruch der vierdimensionalen Geometrie, der etwa 1880 geschah. Dabei spielte die Bestimmung der Anzahl und des AufbausderregelmäßigenPolytope,alsoderAnalogaderPlatonischenKörper,eineganz wichtige Rolle. Sie legitimierte es, dieses neue Gebiet eine Geometrie zu nennen. Die neue Welt wurde besiedelt mit Objekten, was natürlich auch dem im 19. Jh. noch stark ausgeprägtenInteresseankonkretenGebildenentgegenkam.ObwohlichmichimWesent- lichenaufTextebeschränkthabe,dienachweislicheineWirkungentfalteten,schienesmir hierdochunerlässlich,aufLudwigsSchläflisunpublizierte„TheoriedervielfachenKon- tinuität“ einzugehen. Der Stand der Dinge, der hier erreicht wurde und der vollkommen unbekannt blieb, ist wirklich bemerkenswert. Ausführlich werden „Modelle“ behandelt, wiemansieinderzweitenHälftedes19.Jhs.liebte,dasheißtmaterialeGebilde,dieab- straktemathematischeObjektehandgreiflichvorAugenführten.InunseremFallegehtes vorallemumVictorSchlegelsModellederregulärenPolytope,dieimweiterenVerlaufder GeschichtevonderFirmaBrillundihremNachfolger,derFirmaSchilling,vertriebenwur- den.SiefindensichnochheuteinmancherVitrine.SchließlichgehenwiraufKnotenein, die–wiebereits–erwähntdasObjektvonvielenDiskussionenundGegenstanddesspi- ritistischenExperimentumcrucisgewissermaßengegendenWillenihrerUrheberwerden sollten. Das fünfte Kapitel ist dem Zöllner-Skandal gewidmet, von dem schon die Rede war.ImsechstenKapitelgeheichzuerstaufdiebeidenQuellenein,diefürdieBekanntheit
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