Immunizzazione Finanziaria e Reti di Imprese

16 Pages·2015·0.17 MB·Italian

Immunizzazione Finanziaria e Reti di Imprese
Financial Immunization and Network Firms
LuigiRomanoandDonatoScolozzi
AbstractTheFinancialImmunizationTheoryexaminestheinterestrateriskproblemandstudiesthecon-
ditionsinwhichitispossibletomanageliabilitycashflowthroughassetcashflow.Thispapercoversthe
semi-deterministicfinancial immunizationwhen thenetwork firms’cash flowsaregiven bya sequenceof
real numbers. The authors consider the problem of the constitution of network firms’ patrimonial found
managed with semi-deterministic financial immunization techniques, if the variables are known with cer-
tainty, or with stochastic financial immunization techniques, if few variables are known with probability.
The authors examine the contribution forms which guarantee network firms’s minimun funding, and also
theyareimmunizedwithrespecttointerestraterisk.Thepaperconsiderstwodifferentstructuresofinterest
rate,thefirstfortheassetcashflowandthesecondfortheliabilitycashflow.OldRedington’s([23])and
Fisher-Weil’s([13])resultsaregeneralizedinthissetting.Inafurtherwork,theauthorsaimtoconsider
thestochasticapproachtopresentstudy.
AbstractLateoriadell’ImmunizzazioneFinanziariaesaminailproblemadelrischioditassodiinteressee
studialecondizioniincuie´possibilegestireilflussodicassapassivoconilflussodicassaattivo.Inquesto
lavorosistudial’immunizzazionefinanziarianelcasoincuiiflussidicassa,perunaretediimprese,sono
rappresentatidasuccessionidinumerireali.Siconsiderailproblemadellacostituzionedelfondopatrimo-
nialedellaretediimpresegestitocontecnichediimmunizzazionefinanziariasemi-deterministica,nelcaso
in cui le variabili sono note con certezza, oppure con tecniche di immunizzazione finanziaria stocastica,
se alcune variabili sono note con probabilita´. Gli autori esaminano la possibilita´ di avere forme di con-
tribuzionedapartedeglioperatoriche,oltreagarantireilminimoesborsoperlarete,sianoimmunizzate
rispettoalrischioditassodiinteresse.Siconsideranoduestruttureditassidiinteresse,unaperleposte
attive ed una per le poste passive e, in queste condizioni, vengono estesi e applicati i risultati di Reding-
ton [23] e di Fisher-Weil [13]. In un lavoro successivo gli autori si propongono di estendere lo studio
all’aspettostocasticodelproblemaquiesaminato.
Keywords: immunization,cashflows,duration,networkfirms.
LuigiRomano
Department of Management, Economics, Mathematics and Statistics, University of Salento (Italy) e-mail:
[email protected]
DonatoScolozzi
Department of Management, Economics, Mathematics and Statistics, University of Salento (Italy) e-mail: do-
[email protected]
1
2 LuigiRomanoandDonatoScolozzi
1 Introduzione
In passato i distretti industriali, concepiti come delle reti informali tra imprese geograficamente concen-
trate,inalcunicasihannocontribuitoadattenuareilimiticonnessiconlapiccoladimensione.Intempipiu´
recenti,l’attenuarsideivantaggiderivantidallavicinanzageografica,hafavoritolacollaborazionetraimp-
resegeograficamentenonconcentrate.Nel2000la”CartadiBologna”consideravalereticomeunelemento
importanteperfavorirelacompetitivita´ dellepiccoleimprese [21].
Il Decreto Legge 10 febbraio 2009, n. 5 ha introdotto nel nostro ordinamento il contratto di rete, me-
dianteilquale”piu´ imprenditoriperseguonoloscopodiaccrescere,individualmenteecollettivamente,la
propriacapacita´ innovativaelapropriacompetitivita´ sulmercatoeatalfinesiobbligano,sullabasediun
programma comune di rete, a collaborare in forme e in ambiti predeterminati attinenti all’esercizio delle
proprieimprese,ovveroascambiarsiinformazionioprestazionidinaturaindustriale,commerciale,tecnica
otecnologica,ovveroancoraadesercitareincomuneunaopiu´attivita´rientrantinell’oggettodellapropria
impresa.Ilcontrattopuo´ ancheprevederel’istituzionediunfondopatrimonialecomuneelanominadiun
organocomuneincaricatodigestire,innomeepercontodeipartecipanti,l’esecuzionedelcontrattoodi
singolepartiofasidellostesso”.
Siconsentequindiunacollaborazionetraimpreseche,purconservandolapropriaindipendenza,autono-
miaespecialita´,permettedirealizzareprogettieobiettivicondivisi,utiliadaccrescerelacapacita´ innova-
tivaelacompetitivita´.Inalcunicasi,puo´ considerarsicomeunostrumentopropedeutico,oalternativo,alla
crescitadimensionale.
Alcunidegliaspettidefinitidalcontrattosono:
- ilprogrammacomune;
- leregoledigestionedell’eventualefondopatrimonialecomune,misuraecriteridivalutazionedeicon-
ferimentiiniziali,edeglieventualicontributisuccessivicheciascunretistae´ obbligatoaversare;
- l’eventualeistituzionediunorganocomuneperl’esecuzionedelprogramma;
- laduratadelcontratto,leeventualimodalita´ diadesionesuccessivaodirecessoanticipatodeiretisti.
Sotto il profilo giuridico sono presenti elementi obbligatori e facoltativi. Tra questi ultimi compare
l’istituzione di un fondo patrimoniale comune, finalizzato alla realizzazione del programma di rete [6].
Il contratto puo´ prevedere, oltre ai conferimenti iniziali, il versamento di contributi successivi e straor-
dinari, ma funzionali alla realizzazione del programma. Il fondo e´ costituito dai contributi delle imprese
partecipantiedaibeniacquistaticonquesticontributi.Siapplicano,inquantocompatibili,ledispo-
sizioniprevistepericonsorziconattivita´ esterna,dicuiagliarticoli2614e2615delcodicecivile.Perle
obbligazioni contratte dall’organo comune, in relazione al programma di rete, si risponde soltanto con il
fondocomune.Lepartipossonoprevedere,oescludere,lapossibilita´diingressodinuoviretistisuccessiva-
mentealladatadistipula,oanchelapossibilita´ direcessoanticipato.Ilcontrattopertantopuo´ anchedisci-
plinarel’eventualeripetizionedeicontributigia´ versati.
LaLeggen.134/2012prevedecheleparticontraentipossanodarvitaadunautonomoentegiuridico.Si
notichementreperla”retecontratto”l’istituzionediunfondopatrimonialee´facoltativo,perlacostituzione
di una ”rete soggetto”, e´ obbligatorio. Nel secondo caso, occorre inoltre istituire l’ organo comune che
avra´ larappresentanzadellarete [18].Nelcasoincuilaretesiadotatadifondopatrimonialeediorgano
comune,e´previstalafacolta´diattribuiresoggettivita´giuridica [22]allaretedefinitaquindi”retesoggetto”,
per distinguerla dalla rete meramente contrattuale definita ”rete contratto”. Affinche´ la rete sia dotata di
soggettivita´ giuridicaoccorrel’iscrizionenellasezioneordinariadelRegistrodelleImprese.
Perstabilirel’entita´ delfondo,letreprincipalisoluzioniconsigliate [16]prevedonounimportoparial:
1) costostimatodifunzionamentodellareteperunanno;
2) costostimatocomplessivodelprogrammadirete,pertuttaladurataprevistadelcontratto;
ImmunizzazioneFinanziariaeRetidiImprese 3
3) costo stimato complessivo del programma di rete, per tutta la durata prevista del contratto, al netto di
tutti(oparte)iricaviattesidall’attivita´ direte.
La teoria economica cerca di individuare le motivazioni che portano alla nascita delle reti di imp-
rese e di studiarne gli effetti, sia sui retisti che sul mercato di riferimento. Secondo la teoria contrattuale
dell’impresa, i principali fattori che stimolano la creazione delle reti sarebbero i costi di transazione e
l’intrinsecaincomple-
tezza dei contratti [4]. Se i costi di transazione aumentano, l’impresa e´ maggiormente stimolata verso la
ricercadiformedicollaborazione,equindiversolacostituzionediretidiimprese.
Partendo dallo studio dell’impatto della cooperazione sui profitti degli altri retisti e/o dei concorrenti,
l’approcciodeinetworksstudialasceltadiformarelegamiconaltreimpreseeglieffettiottenuti.L’impresa
optera´ perlacooperazioneritenutapiu´ profittevole.
Lapossibilita´ disvilupparecongiuntamenteun’attivita´ innovativa,hagrandeimportanzaperlepiccole
imprese,acausadeicostielevatiedell’incertezzadeiprofitticollegaticonl’innovazione.Leretidiricercae
sviluppopossonoinfatticontribuirenelsuperamentodieventualisoglieminimeall’investimento,edelimi-
nareduplicazionidispesa.
I modelli di peer selection [14] analizzano i rapporti di credito. I prenditori di fondi, a differenza dei
prestatori, conoscono le caratteristiche degli altri affidati. L’accesso limitato al gruppo, e la presenza di
informazione locale sulle altre imprese, agevolano l’omogeneita´ tra i retisti. La responsabilita´ solidale in
caso di default di un’impresa partecipante, riduce l’asimmetria informativa del finanziatore, ed agevola il
gruppostessonell’ottenereunfinanziamentocheicomponenti,singolarmente,nonotterrebbero.
Secondo lo schema di Grossman-Hart-Moore [4], si puo´ considerare la rete come il risultato di un
progettodicrescitadelleimpreseaderenti,nelcasoincuicisianofattoricheostacolanolacrescitainterna,
o le fusioni e acquisizioni, oppure nel caso di incentivi normativi per le imprese di piccole dimensioni.
La rete sarebbe quindi un’alternativa alla crescita dimensionale, capace di coniugare alcuni benefici della
piccola dimensione con alcuni vantaggi propri della grande dimensione, conservando inoltre autonomia
giuridicaedoperativa.
Ai fini del presente lavoro si suppone che la rete di imprese assume un’obbligazione (liability), per
l’attuazionedelprogrammacomune,costituitadaunflussodipostemonetariepassive,chepotrebbeanche
essere illimitato nel tempo. Si affronta quindi la questione dell’entita´ dei conferimenti richiesti a ciascun
retista,esaminandoilproblemadelrischioditassodiinteresseeminimizzandoilcostocomplessivodella
rete. Dopo aver descritto il problema (par. 2), si analizza dapprima il caso di un solo impegno (par. 3)
e successivamente il caso di piu´ poste monetarie di debito (par. 4). In un lavoro successivo gli autori si
propongonodianalizzarel’aspettostocasticodelproblemaquiaffrontato,unitamenteadaltritemicomeil
recessoanticipato,ilnuovoingressoeildefaultdelretista.
2 Ilproblema
Si consideri una rete di imprese, ”rete contratto” o ”rete soggetto”, costituita da n retisti, con n∈N, e si
suppongacheessa,inunacertadatat,vogliacostituireunfondodistribuitosuunoscadenzario(tk)k∈N,e
tale che si abbiat <t ≤t <t , ∀ k∈N in modo che sia onorato il pagamento di un flusso di poste
1 k k+1
monetarie passive y=(yk)k∈N con yk ≥0, ciascuna di esse esigibile alla data tk e ovviamente non tutte
nulle.Perquestomotivoilretista j−esimo,con j=1,2,...,n,siimpegnaalladatatacontribuireattraverso
versamentidistribuitilungolostessoscadenzario(tk)k∈Neindividuatidallepostemonetarieqj=(ajk)k∈N,
cona ≥0.
jk
Non e´ escluso che, per qualche j, con j fissato, le poste monetarie relative al flusso qj =(ajk)k∈N,
possano essere definitivamente nulle. Si suppone che ci sia coincidenza tra lo scadenzario degli impegni
4 LuigiRomanoandDonatoScolozzi
della rete e quello del versamento della quota da parte di ciascun retista. Si vede facilmente che questa
ipotesinone´ restrittiva.Ilmodelloesaminatoe´ inquadrabilenellateoriasemideterministicadellafinanza
matematica:tuttelegrandezzetemporaliemonetarieconsiderate,tranneuna,sonoassegnateconcertezza.
+∞
Per ciascun retista j resta individuata in t una posta monetaria c , con 0<c ≤ ∑a <+∞, che
j j jk
k=1
rappresenta l’impegno equivalente in t, determinato attraverso la regola del tasso interno di rendimento
(tir),cheilretistasiconsideraassegnatolungoloscadenzario.Sei∗e´iltirrelativo,lapostamonetariac ,e´
j j
individuatadallanotaformula:
+∞
cj= ∑ajk(1+i∗j)t−tk.
k=1
Restanoquindiindividuati:unadatainizialet,unoscadenzario(tk)k∈Npercuisihat<t1≤tk<tk+1, ∀ k∈
N,unvettoredipostemonetariepassivoy=(yk)k∈N edunamatriceA=(ajk)dipostemonetarieformata
danrighesecondoilseguenteschema:

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ⋯ ⋯ (cid:1) ⋯ ⋯
(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:7)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:13) (cid:14) (cid:15) (cid:16)

(cid:8) (cid:9) (cid:9) (cid:9) ⋯⋯ (cid:9) ⋯ ⋯
(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:4) (cid:2)(cid:7)
(cid:8) (cid:9) (cid:9) (cid:9) ⋯⋯ (cid:9) ⋯ ⋯
(cid:3) (cid:3)(cid:2) (cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:7)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(cid:8) (cid:9) (cid:9) (cid:9) ⋯⋯ (cid:9) ⋯ ⋯
(cid:11) (cid:11)(cid:2) (cid:11)(cid:3) (cid:11)(cid:4) (cid:11)(cid:7)
Alladatat sonoassegnateduefunzionivalorev(t,s)ew(t,s),rispettivamenteunaperl’attivo(entrate)
e l’altra per il passivo (uscite). Le due funzioni individuano i tassi di mercato e si suppone verifichino
le consuete ipotesi della finanza che permettono il rispetto degli assiomi ”non esistono opportunita´ di
arbitraggio” e ”denaro matura denaro” (vedi [12], [24]). Mediante la funzione w(t,s) si determina il
valoredeldebitoint dellarete:
+∞
W(t,y)= ∑y w(t,t ).
k k
k=1
Siconsiderapoiunvettoreααα =(α ,α ,....,α )dinumerirealinonnegativiα ≥0(quote),esiseleziona
1 2 n j
ilvettorex=(xk)k∈Ndipostemonetariedefinitemediantelerelazioni:
n
x = ∑α a .
k j jk
j=1
Talevettoredeterminaint lapostamonetariadefinitada:
(cid:32) (cid:33)
+∞ +∞ n
W(t,x)= ∑x v(t,t )= ∑ ∑α a v(t,t )
k k j jk k
k=1 k=1 j=1
ImmunizzazioneFinanziariaeRetidiImprese 5
cherappresental’attivoint dellarete.
Affinche´ sipossaonorareildebitodevevalerelaseguenterelazione:
+∞ +∞
W(t,x)= ∑x v(t,t )≥ ∑y w(t,t )=W(t,y)
k k k k
k=1 k=1
cioe´ int ”ilflussodell’attivoximmunizzailflussodelpassivoy”.
Ilverificarsidellarelazionedipendeevidentementeanchedallefunzionivaloreutilizzate.Attraversoil
vettoreααα =(α ,α ,....,α )restaindividuatoint lapostamonetaria
1 2 n
n
∑α c
j j
j=1
cherappresental’impegnoequivalenteint attoaindividuareilfondo.
Iproblemichesivuoleesaminaresono:
1. determinare quali condizioni garantiscono che in t, l’attivo (attualizzato) non sia minore del passivo
(attualizzato);
2. determinareunvettorediquotecheminimizzil’impegnocomplessivoint dellarete.
Atalepropositosarannoesaminateduesituazioni:
a) laprimaprevedechecisiaunasolapostamonetariapassivaL>0,chesisupponeesigibileadunacerta
dataH,cont <H;
1
b) lasecondaconsiderailcasodialmenoduepostemonetariepassive.
In entrambe le situazioni si fara´ riferimento ad una ipotesi di cambio della funzione valore, nota nella
letteraturafinanziariacome”ipotesidishiftadditivicostanti”.
Assegnato lo ”shift costante” z∈R, la nuova funzione valore v∗(t,s), determinata int dall’organo de-
cisore,e´ deltipo:
v∗(t,s)=v(t,s)e−z(s−t), ∀ s≥t.
Lo shift z∈R deve essere tale che anche la funzione v∗(t,s) verifica gli assiomi della finanza, i quali
implicanochesiamonotonadecrescenterispettoads.Ataleproposito,sipuo´ notarechelafunzionevalore
v(t,s), essendo monotona decrescente rispetto ad s (per un teorema di H. Lebesgue) e´ derivabile quasi
ovunque(rispettoads)suunopportunosottoinsiemeAdell’intervallo[t,+∞[,con[t,+∞[\Anumerabile.
Diconseguenzae´derivabilesullostessoinsiemeA,rispettoallastessavariabiles,anchelafunzionev∗(t,s).
Passandoailogaritminesegueche, ∀ s∈A,valelarelazione:
1 ∂v∗ 1 ∂v
− (t,s)=− (t,s)+z.
v∗(t,s) ∂s v(t,s)∂s
Indicandopoicon:
1 ∂v
δ(t,s)=− (t,s)
v(t,s)∂s
ed
1 ∂v∗
η(t,s)=− (t,s)
v∗(t,s) ∂s
6 LuigiRomanoandDonatoScolozzi
le funzioni ”intensita´ istantanea di interesse” cos´ı ottenute relative a ciascuna funzione valore, si puo´
verificareche, ∀ s∈A,risulta
η(t,s)=δ(t,s)+z
.Naturalmenteδ(t,s),definitaquasiovunquesull’intervallo[t,∞[,e´nonnegativa.Ovviamenteloshiftz∈R
deveesseretalechelafunzioneη(t,s)sianonnegativa.
Va notato che la condizione di additivita´ appena riportata sulle intensita´ istantanee di interesse, non
implicalavalidita´ dell’ipotesifattaprimatrav(t,s)ev∗(t,s).L’implicazionee´ invecevera,sesisuppone
cheδ(t,s)e´continua,rispettoads,sull’intervallo[t,+∞[.Taleipotesi,chericorrenellaletteraturastandard,
comporta pero´ che la funzione valore v(t,s) corrispondente sia essa stessa continua, e ammetta derivata
primacontinua.Sie´ pero´ interessatiaconsiderarelafunzionevalorev(t,s)”solo”monotona.
3 Ilcasodiunsoloimpegno
Si consideri il caso in cui la rete deve assolvere ad una sola posta monetaria passiva ad una data H. Una
condizione che fornisce immunizzazione e´ fornita dal seguente risultato di Fisher-Weil del 1971 che ci
limitiamoariportarenellaversioneesaminatain [24].
Theorem1.(diFisher-Weil).
Serisulta:
+∞
1.W(t,x)= ∑x v(t,t )=W(t,L);
k k
k=1
+∞
2. ∑t x v(t,t )=HLw(t,H);
k k k
k=1
+∞
allora ∑x v(t,t )e−z(tk−t)≥Lw(t,H)e−z(H−t) ∀ z∈R.♦
k k
k=1
Sinotichelecondizioni1e2,sufficientiperavereimmunizzazione,contengonovariepossibilicombi-
nazionidellequotedeicontributideisingoliretisti.
Sevalelacondizione1,esec’e´ immunizzazione,alloravaleanchelacondizione2.
Inanalogiaa [24],selacondizione2delrisultatoappenaespostononsiverifica,sipuo´ considerareil
seguenteteoremalacuiverificae´ simileaquellavistaperFisher-Weil.
+∞
Theorem2.SeW(t,x)=W(t,L), e ∑t x v(t,t )(cid:54)=HLw(t,H),serisulta:
k k k
k=1
+∞
1. ∑t x v(t,t )<HLw(t,H)alloraesistez∗<0taleche
k k k
k=1
+∞
∑x v(t,t )e−z(tk−t)≥Lw(t,H)e−z(H−t) ∀ z≤z∗, ∀ z≥0;
k k
k=1
+∞
∑x v(t,t )e−z(tk−t)<Lw(t,H)e−z(H−t) ∀ z∈]z∗,0[.
k k
k=1
+∞
2. ∑t x v(t,t )>HLw(t,H)alloraesistez∗∗>0taleche
k k k
k=1
ImmunizzazioneFinanziariaeRetidiImprese 7
+∞
∑x v(t,t )e−z(tk−t)≥Lw(t,H)e−z(H−t) ∀ z≤0, ∀ z≥z∗∗;
k k
k=1
+∞
∑x v(t,t )e−z(tk−t)<Lw(t,H)e−z(H−t) ∀ z∈]0,z∗∗[. ♦
k k
k=1
Uncasoparticolarmenteinteressanteincuilecondizioni1e2delTeoremadiFisherWeilpossononon
essereverificatecontemporaneamente,sipuo´ avereseciascunapostamonetariax nondipendedak,cioe´
k
sesiha:
x =R, ∀ k∈N.
k
IntalcasoRedH verificanolerelazioni:
+∞ +∞ +∞
R∑v(t,t )=Lw(t,H); ∑t v(t,t )=H ∑v(t,t ).
k k k k
k=1 k=1 k=1
SeladataHipotizzatadairetisti,nonverificalarelazionetrovata,none´possibileavereimmunizzazione
∀ z∈R.
Considerandooralapresenzadeicontributideiretisti,lapostamonetaria
n
∑α c
j j
j=1
rappresentailcontributocomplessivochelaretemetteadisposizioneperonorareildebitoL.
Sivuoleminimizzaretalecontributoconservandol’immunizzazione.
Atalepropositooccorreindividuareunvettoreααα∗=(α∗,α∗,....,α∗)percuisiha:
1 2 n
 n n
cαj∑=o1n≥αle∗j0cc,joj≤n=dj∑i=z1i1,o2αn,ij.c..j,,n∀(α1,α2,....,αn)∈Rn
j
+∞
k+∑∑=∞1txkkxvk(vt(,ttk,t)k=)=LwH(Lt,wH(t),H)
k=1
Utilizzandoicontributideisingoliretisti,ilproblemapuo´ essereriscrittonellaformaseguente:
 n n
cαj∑=oj1n≥αle∗j0cc,joj≤n=dj∑i=z1i1,o2αn,ij.c..j,,n∀(α1,α2,....,αn)∈Rn
(cid:32) (cid:33)
n +∞
j∑∑=n1(cid:32)k+∑∑=∞1takjakvjk(vt(,ttk,t)k)(cid:33)ααj=j=LwH(Lt,wH(t),H).
j=1 k=1
8 LuigiRomanoandDonatoScolozzi
Indicandopoiconτ =t+D(t,q )il”tempoottimodismobilizzo”deltitoloq relativoalretista j−esimo,
j j j
dove
+∞
∑(t −t)a v(t,t )
k jk k
D(t,q )= k=1
j +∞
∑a v(t,t )
jk k
k=1
rappresentala”duratamediafinanziaria”diordine1diMcAulay(vedi [24]),ilproblemasipuo´ facilmente
riscriverenellaformaseguente:
 n n
cαj∑=oj1n≥αle∗j0cc,joj≤n=dj∑i=z1i1,o2αn,ij.c..j,,n∀(α1,α2,....,αn)∈Rn
(cid:32) (cid:33)
n +∞
j∑∑=n1(cid:32)kτ∑=j1+∑a∞jkavj(ktv,(ttk,)tk)α(cid:33)jα=j=LwH(tL,wH()t,H)
j=1 k=1
oppure
 n n
cαj∑=o1n≥αle∗j0cc,joj≤n=dj∑i=z1i1,o2αn,ij.c..j,,n∀(α1,α2,....,αn)∈Rn
j
n
j∑∑=n1WτjW(t,(qt,jq)αj)jα=j=LwH(tL,wH()t,H) (1) (2)
j=1
Si tratta quindi di risolvere un problema di programmazione lineare. Con riferimento all’esistenza di
vettoriααα ”ammissibili”sipuo´ considerareilseguenteenunciato:
Theorem3. I)Se esistono j,l =1,....,n con j(cid:54)=l e τ (cid:54)=τ, allora considerato H con minτ ≤H ≤
j l j
j
maxτ ,l’insiemedegliα ammissibilie´ nonvuoto,convessochiusoelimitato.
j
j
SeinveceH<minτ oppureH>maxτ alloral’insiemedegliα ammissibilie´ vuoto.
j j
j j
II)Seperogni j,l=1,...,n conτ =τ =H,alloral’insiemedegliα ammissibilie´ nonvuoto,chiusoe
j l
limitato.
III)Seperogni j,l=1,...,n conτ =τ (cid:54)=H,alloral’insiemedegliα ammissibilie´ vuoto.
j l
Dimostrazione:
I) Senzalederelageneralita´ delproblema,sipuo´ supporreτ =minτ eτ =maxτ .Assumendopoiα
1 j n j 1
j j
edα comeincognite,ilsistemasiscrivenellamanieraseguente:
n
ImmunizzazioneFinanziariaeRetidiImprese 9
 n−1
W(t,q1)α1+W(t,qn)αn=Lw(t,H)−∑W(t,qj)αj
j=2
n−1
τ1W(t,q1)α1+τnW(t,qn)αn=HLw(t,H)−∑τjW(t,qj)αj
j=2
lecuisoluzionisono:
n−1
Lw(t,H)(τ −H)−∑(τ −τ )W(t,q )α
n n j j j
j=2
α =
1
W(t,q )(τ −τ )
1 n 1
e
n−1
Lw(t,H)(H−τ )−∑(τ −τ )W(t,q )α
1 j 1 j j
j=2
α =
n
W(t,q )(τ −τ )
n n 1
dacuisideducechecisonoquoteammissibili.
Perdimostrarechel’insiemee´ limitato,sipuo´ notareche:
LW(t,H)
α ≤ ∀j=1,...,n.
j
W(t,q )
j
SeH<minτ =τ risultaα <0,seinvecesihaH>maxτ =τ alloraα <0.
j 1 n j n 1
j j
II) ledueequazioni(1)e(2)coincidono.
III) ledueequazioni(1)e(2)sonoincompatibili.♦
Uncasoparticolarmenteinteressanteincuilamatricedeicoefficientiharango1,e´ datodall’eventualita´
cheilretista j−esimoversilastessapostamonetariaR adognidatat ,cioe´ a =R .
j k jk j
Intalcasosiha:
+∞ +∞
∑(t −t)R v(t,t ) ∑(t −t)v(t,t )
k j k k k
τ =t+D(t,q )=t+k=1 =t+k=1 =τ
j j +∞ +∞
∑R v(t,t ) ∑v(t,t )
j k k
k=1 k=1
dacuisideducechetuttii”tempiottimidismobilizzo”coincidono.
Sepoivaleanchelarelazione:
+∞
∑(t −t)v(t,t )
k k
τ =t+k=1 =H
+∞
∑v(t,t )
k
k=1
l’insiemedeiparametriammissibilie´ nonvuoto,esihaimmunizzazioneperognishiftz∈R.
Seinvecesiha:
10 LuigiRomanoandDonatoScolozzi
+∞
∑(t −t)v(t,t )
k k
τ =t+k=1 (cid:54)=H
+∞
∑v(t,t )
k
k=1
l’insiemedegliα ammissibilie´ vuoto.
In tal caso si puo´ impostare il problema, della minimizzazione del contributo della rete, nella maniera
seguente:sideterminaunvettoreααα∗=(α∗,α∗,....,α∗)percuisiha
1 2 n
 n n
cj∑=o1nαle∗jccjo≤ndj∑i=zi1oαnijcj, ∀(α1,α2,....,αn)∈Rn
α∑nj≥W0(t,,qj=j)α1j,2=,.L..w,n(t,H).
j=1
Risoltoquestoproblemadiminimo,poiche´ perlasoluzioneottimarisulta:
n
∑τ W(t,q )α∗(cid:54)=HLw(t,H)
j j j
j=1
l’immunizzazionee´ parziale.
In tal caso per determinare gli shift che forniscono immunizzazione, si puo´ applicare il teorema 3.1
oppure3.2(asecondadelladisuguaglianzaottenuta).
Sinotiinfinecheilproblemaconsideratoindividuailcontributominimocomplessivodellarete,questo
pero´ noncomportacheogniretistavedadiminuireilsuocontributoinizialmentepreventivato.Infattinone´
esclusoche,perqualche j=1,2,...,n, sipossaavereα∗>1.
j
4 Ilcasodipiu´ postemonetariedidebito
Siconsideril’eventualita´ incuilaretesitroviadoverpagareunasequenzadipostemonetariey=(yk)k∈N
ciascunadellequaliesigibilealladatat .Inquestocasoilproblemadelrischioditassoe´ esaminatoutiliz-
k
zandoilteoremadiRedington(1952)nellaversioneesaminatain [24].
Theorem4.(diRedington)Nell’ipotesichelenuovefunzionivaloresianodellaformav∗(t,s)=v(t,s)e−z(s−t)
ew∗(t,s)=w(t,s)e−z(s−t)conz∈R,serisulta:
+∞ +∞
1. ∑x v(t,t )= ∑y w(t,t )
k k k k
k=1 k=1
+∞ +∞
2. ∑t x v(t,t )= ∑t y w(t,t )
k k k k k k
k=1 k=1
+∞ +∞
3. ∑(t )2x v(t,t )> ∑(t )2y w(t,t )
k k k k k k
k=1 k=1
+∞ +∞
allora∃a>0 : ∀z∈[−a,a], con z(cid:54)=0, ∑x v(t,t )e−z(tk−t)> ∑y w(t,t )e−z(tk−t).♦
k k k k
k=1 k=1