МАТЕМАТИКА.Часть III. Учебно-методическое пособие Тула

89 Pages·02.832 MB·Russian

by  Рождественский Константин Николаевич

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВПА

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
И ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНОЙ ПОДГОТОВКИ

Рождественский К.Н.

МАТЕМАТИКА
Часть III

Учебно-методическое пособие

Тула 2017
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................................................ 3
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................................... 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ЗАДАЧА КОШИ .............................. 4
2. ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ........................................................... 5
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ........................... 8
4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ...................................................................... 10
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ .................. 13
6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. МЕТОД ЛАГРАНЖА ................................................. 14
7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И
СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ ....................................................................................................................................... 16
8. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................................................................................................ 20
9. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЭКОНОМИКЕ И МЕНЕДЖМЕНТУ .................... 23
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ...................................................................................................................................................... 26
ГЛАВА 2. РЯДЫ ................................................................................................................................................................. 31
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................................................................................................................ 31
2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ .......................................................................................................... 33
3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА ......................................................................................................... 35
4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ............................................................................................................................................. 37
5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ .......................................................................................................................................................... 38
6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ............................................................................................................... 41
7. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ .............................................................................................. 42
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ...................................................................................................................................................... 43
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .............................................. 46
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ..................................................................................................................................................... 46
2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ (ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ) ............................................................................... 46
3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ И КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ............................................................................ 47
4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ: РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ, СОЧЕТАНИЯ ............................................................... 47
5. ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ
СОБЫТИЙ ............................................................................................................................................................................ 49
7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ ...................................................................................................... 50
8. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ................................................................................................................................ 51
9. ФОРМУЛА БЕЙЕСА ......................................................................................................................................................... 53
10. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ ................................................................................................................................................... 54
11. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .............................................................................................................................................. 56
12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ......................................................................... 59
13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА .......................................................................................................... 61
14. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД ........................................................................ 62
15. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ....................................................................................... 65
16. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ......................................................................................... 66
ПРАКТИКУМ ....................................................................................................................................................................... 70
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ ..................................................................................................................................................... 78
КОНТРОЛЬНО-КУРСОВАЯ РАБОТА .......................................................................................................................... 81
ЧАСТЬ I. «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ................................................................................................................ 81
ЧАСТЬ II. ТЕМА «РЯДЫ» .................................................................................................................................................... 83
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................................................................................... 84
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ........................................................................................................ 85
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Введение

В настоящем пособии представлены материалы курса «Математика», составляющих
программу третьего семестра направления «Управление персоналом» и «Менеджмент».
В первых трёх главах рассматриваются вопросы, представляющие краткий обзор теории
обыкновенных дифференциальных уравнений и рядов, а также основные разделы теории веро-
ятностей с элементами математической статистики. Для лучшего понимания содержания, посо-
бие изобилует большим количеством примеров. Читателю предоставляется возможность ряд
задач выполнить самостоятельно. В конце каждой главы для проверки изученного материала
предлагается тест.
Учебным планом третьего семестра предусмотрено выполнение контрольно-курсовой
работы ККР. Изучение дисциплины завершается сдачей экзамена.
Пособие содержит задания по выполнению ККР, а также решения некоторых задач,
тщательный разбор которых поможет студенту выполнить данную контрольную работу.
ККР должна быть выполнена в отдельной тетради, на обложке тетради должны
быть указаны название дисциплины, номер варианта ККР, фамилия студента, его инициалы,
№ учебной группы, фамилия преподавателя, проверяющего данную работу.
Задачи ККР следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя
номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие. Решения
задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу ре-
шения. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не зачи-
тываются. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля ши-
риной 2–3 см. После получения отрицательной рецензии на работу студент должен исправить
все отмеченные ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Поэтому не-
обходимо оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправ-
лений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в текст работы по-
сле ее рецензирования запрещается. В работе обязательно должен присутствовать список ос-
новной литературы

3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Глава 1. Дифференциальные и разностные уравнения

1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение ви-
да:
dy d2y dny
F(x,y,y ,y ,,y(n) 0 или F(x,y, , ,, ) 0,
dx dx2 dxn
то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию y y(x) и её производные до n-го по-
рядка.
Так, например:
dy
1) y f(x,y), или f(x,y) - это дифференциальное уравнение первого порядка;
dx
2) y 2y 0 - дифференциальное уравнение второго порядка.
Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку
старшей производной, содержащейся в нём.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция y (x), которая
при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Пример 1. Проверить (самостоятельно), будут ли функции
y cosx; y sinx; y Csinx; y C sinx C cosx
1 2
решениями дифференциального уравнения y y 0.
Решение:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
____________

Рассмотрим уравнения первого порядка.
y f(x,y). (1)
Имеет место следующая
теорема Коши
Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области D вместе со своей частной
f
производной , то для всякой точки M(x ,y ), принадлежащей области D, в некоторой её
y 0 0
окрестности, существует единственное решение y (x), удовлетворяющее начальному усло-
вию при
x x
0 . (2)
y y
0
Условия (2) называются начальными условиями.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю
точку M области D проходит единственная интегральная кривая.
0

y D y (x)

y
0
M0

0 x x
0
Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения
(1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности
решения задачи Коши.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию
y (x,C) такую, что
1) при любом C она является решением дифференциального уравнения (1);
2) каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое С С , что
0
y (x,C ) удовлетворяет начальным условиям (2).
0
Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении
С.

2. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка

1) Уравнение с разделёнными переменными
y f(x) или f (y)dy f (x)dx 0.
1 2
Решая первое уравнение, получим dy f(x)dx.
Интегрируя, найдём общее решение y f(x)dx C.
Решая второе, получим f (y)dy f (x)dx.
1 2
Интегрируя, найдём общее решение.
2) Уравнение с разделяющимися переменными,
y f (x)f (y) или N(x)R(y)dx M(x)K(y)dy 0.
1 2
dy
Разделив обе части первого уравнения f (x)f (y) на f (y) и умножив на dx, полу-
dx 1 2 2
dy
чим уравнение с разделёнными переменными f (x)dx.
f (y) 1
2
Для второго уравнения: разделим обе части на произведение M(x)R(y), получим также
уравнение с разделёнными переменными
N(x) K(y)
dx dy 0.
M(x) R(y)
Операция деления уравнения на произведение M(x) K(x) называется разделением пере-
менных.
При делении на произведение M(x)R(y) можно потерять некоторые решения, которые
получаются из уравнения M(x)R(y) 0.
Определяя из этого уравнения решения y (x), следует проверить, является ли оно ре-
шением исходного уравнения. Если не является, его следует отбросить, а если является, то про-
верить, входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если не
входит, то это решение называется особым.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пример 2. Решить уравнение y(x 3)dx (y 3)xdy 0.
Решение:
Разделим уравнение на произведение xy, получим:
x 3 y 3
dx dy 0.
x y
Интегрируя, получим общий интеграл:
3 3
(1 )dx (1 )dy 0
x y
x 3ln x y 3ln y c
3ln xy x y c.
В этом уравнении M(x)R(y) имеет вид xy 0. Его решение x 0, y 0 является реше-
нием исходного уравнения, но не входит в общий интеграл. Следовательно, решение x 0,
y 0 является особым.
ey
Пример 3. Найти общее решение y .
cos2 x
Решение:
dy ey
;
dx cos2 x
dy dx
;
ey cos2 x
1
интегрируя, найдем общее решение e y tgx C или C tgx;
ey
1
ey ;
C tgx
1
y ln ;
C tgx

3) Однородные уравнения.
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x,y и t выполняет-
ся равенство
f(tx,ty) tm f(x,y)
Если функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и той же степени m, то дифференци-
альное уравнение M(x,y)dx N(x y)dy 0 называется однородным.
Однородное уравнение всегда можно привести к виду
y
y f(x, ),
x
y dy du
решается подстановкой: u или y ux; x u.
x dx dx
Пример 4. Решить (x2 y2)dx xydy 0.
Решение:
Данное уравнение является однородным, т.е. функции M(x,y) x2 y2, N(x,y) xy од-
нородные степени m 2. Сделаем замену Тогда уравнение перепишется так:
(x2 u2x2)dx x2u(udx xdu) 0;
(1 2u2)dx uxdu 0;
разделяя переменные, получим:
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

dx udu x 1 c
0; ln ln(1 2u2); x .
x 1 2u2 c 4 4 1 2u2
y c4x2 c4 c4 x2
Так как у нас u , то x4 , 2y2 x2 , y .
x x2 2y2 x2 2x2 2

4) Линейные дифференциальные уравнения
dy
Уравнение p(x)y f(x),
dx
где p(x), f(x) - непрерывная функция от x на интервале (a,b), называется линейным диффе-
ренциальным уравнением первого порядка.
Неизвестная функция y(x) и её производная входят в это уравнение в первой степени –
линейно.
Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.
Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и
v(x).
dy du dv
Пусть y uv, тогда y uv uv или v u,
dx dx dx
dy dv du dv
и уравнение примет вид v u p(x)uv f(x) или v u p(x)uv f(x).
dx dx dx dx
Полученное уравнение разобьём на два таким образом:
1) Выберем функцию v(x) так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась
dv
в нуль: u( p(x)v) 0;
dx
du
2) v f(x).
dx
dv
Решаем первое: так как u 0, относительно v(x) имеем уравнение p(x)v 0 с разде-
dx
dv
ляющимися переменными: p(x)dx или lnv p(x)dx
v
p(x)dx
v e
du f(x)
Функцию v подставим во второе уравнение: v f(x), откуда du dx.
dx v(x)
f(x)
p(x)dx
u dx c (f(x)e )dx c.
v(x)
Найдём общее решение по формуле y uv, подставив найденные функции вместо u, v.
2x
Пример 5. Решить уравнение y y x x2 1.
x2 1
Решение:
Положим y uv, y uv uv .
Подставляя выражения для y и y в данное уравнение получим:
2x
uv u(v v) x x2 1
x2 1
2x
1) v v 0
x2 1
2) vu x x2 1.
Решаем первое уравнение:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

dv 2xdx
После разделения переменных получим . Отсюда lnv ln(x2 1) или v x2 1.
v x2 1
Решаем второе уравнение:
du
Подставим найденное значение v, получим: (x2 1) x x2 1.
dx
Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию u:
xdx
du
x2 1
xdx
u x2 1 c.
x2 1
Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:
y uv или y ( x2 1 c)(x2 1).

5) Уравнением Бернулли
называется уравнение вида y p(x)y yn f(x), где n – любое вещественное число.
Если n равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение.
Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая y u(x)v(x). Следует от-
метить, что при n 0 функция y(x) 0 является решением Бернулли.
y
Пример 6. Решить уравнение y xy4.
x
Решение:
Приведём решение методом Бернулли. Полагая y uv
uv
uv uv xu4v4;
x
v
u(v ) uv xu4v4;
x
получим
dv v dv dx 1
1) 0; ; lnv lnx; v .
dx x dx x x
2) Подставим найденную функцию v:
1 1 du u4 du dx 1 1 1 3(1 cx) x
u x4u4; ; ; c; ; u
3
x dx x2 u4 x2 3u3 x u3 x 3(1 cx)
1 x
и окончательно y .
3
x 3(1 cx)

3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

 Уравнение вида
y f (x)

решается последовательным двукратным интегрированием правой части.

Пример 7. Решить уравнения:
6
а) y ; б) y 4cos2x.
x3
Решение:
а) Последовательно интегрируя получим:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6 3 3 3
y dx; y c ; y ( c )dx; y c x c
x3 x2 1 x2 1 x 1 2.
б) y 4cos2xdx 2sin2x c ; y cos2x c x c .
1 1 2

 Уравнение вида
F(x,y ,y ) 0
не содержит явным образом искомой функции y.
dy
Решается заменой P, тогда: y P .
dx
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение перво-
dP
го порядка f(x,P) относительно неизвестной функции P от x. Проинтегрировав это
dx
dy
уравнение, найдём его общее решение: P P(x,c ), а затем из соотношения P получим
1 dx
общий интеграл исходного уравнения: y P(x,c )dx c .
1 2
Пример 8. Решить уравнение x3y x2y 1.
Решение:
dy dP
Положим y P, тогда y и мы получаем дифференциальное уравнение перво-
dx dx
dP
го порядка относительно вспомогательной функции P от x: x3 x2P 1.
dx
dP P 1
Разделим уравнение на x3, получим - линейное дифференциальное уравне-
dx x x3
ние первого порядка. Подставим функцию P в виде P uv, тогда
dP du dv
v u .
dx dx dx
du dv ux 1
Подставляя их в уравнение получим: v u .
dx dx x x3
du dv v 1
Далее v u( ) .
dx dx x x3
dv v dv dx 1
1) 0; ; lnv lnx; v .
dx x v x x
1 du 1 dx 1
2) или du , u c
x dx x3 x2 x
1 c dy 1 c
P 1 или 1 ;
x2 x dx x2 x
1
y c lnx c .
x 1 2

 Уравнение вида
F(y,y ,y ) 0,
не содержит явным образом переменную x,
dy dP dy
решается заменой P, тогда y .
dx dy dx
Пример 9. Решить уравнение yy (y )2 0.
Решение:
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

dP
В уравнение не входит x. Полагая y P(y), тогда y P;y P .
dy
dP
Подставляя в уравнение, получим: yPP P2 0 или yP P2 0,
dy
dP dy
откуда yPdP P2dy; ;
P y
c
интегрируя, получим lnP ln y lnc ; P 1 ;
1 y
dy dy c
так как P, то 1 ; ydy cdx.
dx dx y 1
y2
Итак, общее решение: c x c .
2 1 2

4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой сте-
пени относительно искомой функции y и её производных y,y ,y ,,y(n 1),y(n), т.е. имеет вид
a y(n) a y(n 1)  a y f (x)
,
0 1 n
где a ,a ,a ,,a и f(x) – заданные функции x или постоянные, причём a 0 для всех зна-
0 1 2 n 0
чений x из той области, в которой мы рассматриваем уравнение. В дальнейшем мы будем
предполагать, что функции a ,a ,a ,,a - постоянные, а f(x) непрерывна на всех значениях
0 1 2 n
x, причём коэффициент a 1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на
0
него). Функция f(x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравне-
ния.
Если f(x) 0, то уравнение a y(n) a y(n 1)  a y f(x) называется неоднородным
0 1 n
или уравнением с правой частью.
Если же f(x) 0, то уравнение имеет вид:
y(n) a (x)y(n 1)  a (x)y 0
1 n
и называется однородным дифференциальным уравнением.
Выражение
L[y] y(n) a (x)y(n 1)  a (x)y
1 n
называется линейным дифференциальным оператором от функции y.
С помощью линейного дифференциального оператора дифференциальное уравнение за-
пишется так:
L[y] 0.
Рассмотрим свойства, которыми обладает линейный дифференциальный оператор:
L[cy] cL[y], это справедливо для любой постоянной c.
L[y y ] L[y ] L[y ].
1 2 1 2
Свойства решений однородного дифференциального уравнения:
1. Если y (x) есть решение дифференциального уравнения L[y] 0, то c y (x) тоже
1 1 1
решение уравнения L[y] 0, где c - произвольная постоянная.
1
Доказать самостоятельно.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
10