Численные методы. Ч. II

108 Pages·01.151 MB·Russian

by  Корнеев П. К., Тарасенко Е. О., Гладков А. В., Дерябин М. А.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИCTEPCTBO НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть II
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Направление подготовки
02.03.01 – Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
«Вычислительные, программные, информационные системы
и компьютерные технологии»
Бакалавриат
Ставрополь
2018
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.6 (075.8) Печатается по решению
ББК 11.193 я73 редакционно-издательского совета
Ч 67 Северо-Кавказского
федерального университета
Ч 67 Численные методы: учебное пособие. Ч. 2 / Корнеев П. К., Та-
расенко Е. О., Гладков А. В., Дерябин М. А. – Ставрополь: Изд-во
СКФУ, 2018. – 107 с.
Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государ-
ственным образовательным стандартом высшего образования, раскры-
вает методы численного решения основных задач, алгебры математи-
ческого анализа и дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Предназначено для организации и проведения лекционных заня-
тий по дисциплине «Численные методы» для направления подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки (бакалавр).
Пособие подготовлено при поддержке гранта Президента Россий-
ской Федерации для молодых кандидатов наук № МК-6294.2018.9
УДК 519.6 (075.8)
ББК 11.193 я73
Авторы:
канд. физ.-мат. наук, доц. П. К. Корнеев,
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. О. Тарасенко,
канд. физ.-мат. наук, доц. М. А. Дерябин,
ст. преп. А. В. Гладков
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. И. А. Калмыков,
канд. экон. наук, доцент Т. В. Таточенко
(Ставропольский филиал ООО «Газпром проектирование»)
© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2018
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .......................................................................................................5
Лекция 12. Методы решения нелинейных скалярных уравнений ...7
12.1. Постановка задачи .............................................................7
12.2. Отделение корней ..............................................................8
12.3. Уточнение корней ..............................................................9
Лекция 13. Решения систем линейных алгебраических уравнений
(прямые методы решения) .....................................................24
13.1. Введение .............................................................................24
13.2. Метод Гаусса ......................................................................25
13.3. Схема Халецкого ..............................................................28
13.4. Метод квадратных корней .............................................31
13.5. Метод прогонки ................................................................32
13.6. Методы вычисления определителей ...........................34
13.7. Методы вычисления обратной матрицы ...................36
Лекция 14. Решение систем линейных уравнений
(итерационные методы решения) .........................................41
14.1. Понятие нормированного пространства ...................41
14.2. Метод простой итерации ...............................................43
14.3. Некоторые способы приведения системы Ax=b
к системе x=Cx+d .........................................................45
14.4. Оценка погрешности метода простой итерации .....46
14.5. Метод Зейделя ...................................................................48
14.6. Метод простой итерации для симметричных
положительно определенных матриц .........................50
14.7. Метод релаксации ............................................................51
14.8. Метод скорейшего спуска ..............................................51
14.9. Понятие корректности и обусловленности
математической задачи ...................................................52
Лекция 15. Методы решения систем нелинейных уравнений .........56
Введение .............................................................................56
15.1. Метод простой итерации ...............................................57
15.2. Метод Ньютона .................................................................60
Лекция 16. Решение ОДУ. Задача Коши. Метод Эйлера и его
модификации ..............................................................................66
16.1. Постановка задачи Коши ...............................................66
16.2. Метод Эйлера ....................................................................68
16.3. Погрешность метода Эйлера .........................................69
16.4. Модификация метода Эйлера .......................................70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Лекция 17. Методы Рунге-Кутты ...............................................................75
17.1. Постановка задачи ...........................................................75
17.2. Построение методов Рунге-Кутты ...............................76
17.3. Оценка погрешности .......................................................78
17.4. Методы Рунге-Кутты для решения систем
дифференциальных уравнений 1-го порядка ...........79
17.5. Решения дифференциальных уравнений
высших порядков методом Рунге-Кутты ...................80
17.6. Многошаговые методы ...................................................80
Лекция 18. Решение краевых задач для ОДУ .........................................83
18.1. Постановка задачи ...........................................................83
18.2. Метод конечных разностей для линейных
дифференциальных уравнений 2-го порядка ...........90
18.3. Примеры решения краевых задач ................................94
Лекция 19. Приближенное аналитическое решение краевой
задачи для дифференциального уравнения
2-го порядка .................................................................................98
Заключение ......................................................................................................104
Рекомендованная литература ....................................................................105
- 4 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие (курс лекций) по дисциплине «Численные
методы» подготовлено в соответствии с Федеральным государ-
ственным образовательным стандартом высшего образования.
Дисциплина «Численные методы» имеет целью формирова-
ние профессиональных компетенций (ОПК-1, ОПК-4) будущего
бакалавра по направлению подготовки 02.03.01 – Математика и
компьютерные науки.
При изучении дисциплины рассматриваются наиболее часто
используемые в практике прикладных и научно-технических
расчётов методы: численное решение уравнений и систем; чис-
ленное дифференцирование.
Изучение дисциплины способствует пониманию студента-
ми основ численного решения уравнений различной природы и
оценки точности данных решений.
Курс относится к вариативной части обязательных дисци-
плин Б1.В.06 и логически связан с профилем «Вычислительные,
программные, информационные системы и компьютерные тех-
нологии» учебного плана направления 02.03.01 – Математика и
компьютерные науки.
В ходе изучения дисциплины формируются навыки исполь-
зования ЭВМ, работы со многими программными продуктами,
создания программ для численного решения различных при-
кладных задач. Важную роль при этом играют смежные дис-
циплины предметной подготовки, в первую очередь «Алгебра»
«Математический анализ», «Дифференциальные уравнения»,
«Вычислительный практикум» и др.
Знания и практические навыки, полученные в ходе изучения
курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как
«Дифференциальная геометрия и топология», «Использова-
ние алгебраических методов в области защиты информации»,
«Функциональный анализ», «Комплексный анализ», а также
при прохождении производственной практики, выполнения кур-
совых и выпускных квалификационных работ.
- 5 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Освоение дисциплины позволит будущему бакалавру пол-
ноценно осуществлять свою профессиональную деятельность,
в частности, обладать общепрофессианальными компетенциями.
Общепрофессиональные компетенции (ОПК):
– готовность использовать фундаментальные знания в об-
ласти математического анализа, комплексного и функци-
онального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифферен-
циальных уравнений, дискретной математики и матема-
тической логики, теории вероятностей, математической
статистики и случайных процессов, численных методов,
теоретической механики в будущей профессиональной
деятельности (ОПК-1).
– способность находить, анализировать, реализовывать
программно и использовать на практике математические
алгоритмы, в том числе с применением современных вы-
числительных систем (ОПК-4).
- 6 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лекция 12
Лекция 12.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
План лекции
12.1. Постановка задачи.
12.2. Отделение корней.
12.3. Уточнение корней.
12.3.1. Метод деления отрезка пополам.
12.3.2. Метод простых итераций (метод последова-
тельных приближений).
12.3.3. Метод Ньютона.
12.3.4 Метод парабол.
12.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Многие прикладные задачи приводят к необходимости реше-
ния уравнений вида
f(x)=0, (12.1)
где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция, опре-
деленная и непрерывная на конечном или бесконечном интерва-
ле a<x<b.
Найти корни уравнения (12.1) точно удается лишь в некото-
рых частных случаях. Поэтому разработаны методы численно-
го решения уравнений вида (12.1), которые позволяют отыскать
приближенные значения корней этого уравнения.
Приближенное нахождение действительных корней уравне-
ния (12.1) складывается, как правило, из двух этапов:
1) отделение корней, т.е. установление таких промежутков,
в каждом из которых содержится только один корень
данного уравнения;
2) уточнение приближенных значений корней, т. е. вычис-
ление каждого корня тем или иным численным методом
с заданной точностью.
Как же следует понимать утверждение «Корень вычислен с за-
данной степенью точности»? Пусть ξ – корень уравнения, x –
его приближенное значение с точностью до ε; это означает, что
- 7 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ξ−x ≤ε.
Если установлено, что искомый корень ξ заключен между
числами a и b, т.е. a<ξ<b, причем b−a≤ε, то числа a и b –
это приближенные значения корня ξ соответственно с недо-
статком, избытком с точностью до ε, т. к.
ξ−a < b−a ≤ε и ξ−b <b−a≤ε.
За приближенное значение корня ξ с точностью до ε можно
принять любое число, содержащееся между a и b. Например, если
корень ξ заключен между 3.228 и 3.229, т. е. 3.228<ξ< 3.229, то за
приближенное значение корня с точностью до 0.001 можно при-
нять числа 3.228, 3.229 и любое число, заключенное между ними.
12.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
Графический метод
Для отделения корней можно использовать график функции
y= f(x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ox
являются корнями уравнения f(x)=0.
Построение графика даже с малой точностью дает представ-
ление о расположении интересующих нас корней и тем самым
позволяет отделить их.
Если построение указанного графика вызывает затруднения,
то следует преобразовать исходное уравнение к виду f (x)= f (x)
1 2
так, чтобы графики функций y= f (x) и y= f (x) было легче
1 2
построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут
корнями уравнения (12.1).
Аналитический метод
Аналитически корни уравнения f(x)=0 можно отделить,
используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе ма-
тематического анализа.
Теорема 12.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных зна-
ков (f(a)⋅ f(b)<0) то внутри отрезка [a,b] существует по край-
ней мере один корень уравнения f(x)=0.
- 8 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лекция 12
Теорема 12.2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных зна-
ков, а производная f'(x) сохраняет постоянный знак внутри ин-
тервала (a,b), то внутри отрезка существует единственный ко-
рень уравнения f(x)=0.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков
функции f(x) в граничных точках x=a и x=b области ее су-
ществования.
Затем определяются знаки функции f(x) в ряде промежу-
точных точек x=α,α,..., выбор которых учитывает особенно-
1 2
сти функции f(x). Если окажется, что f(α )⋅ f(α )<0, то в
k k+1
силу теоремы 12.1 в интервале (α,α ) имеется корень уравне-
k k+1
ния f(x)=0. Нужно еще убедиться, является ли этот корень
единственным.
Пример 12.1. Отделить корни уравнения
x3−6x+2=0.
Решение. Здесь f(x)=x3−6x+2.
Составим приблизительную схему:
х -10 -3 -1 0 1 3 10
signf(x) - - + + - + +
Следовательно, данное уравнение имеет три действительных
корня, лежащих в интервалах (−3;−1),(0;1),(1;3).
12.3. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ
Для вычисления корня с требуемой точностью обычно при-
меняется какая-либо итерационная процедура, состоящая в по-
строении числовой последовательности x , (n=0,1,2,...), сходя-
n
щейся к искомому корню уравнения (12.1). Выбор алгоритма
построения последовательности x – важный момент при прак-
n
тическом решении задачи. Здесь важную роль играют такие
свойства алгоритмов, как простота, надежность, экономичность
и т. д. Одной из характеристик вычислительного алгоритма яв-
ляется его скорость сходимости.
- 9 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Определение. Последовательность x ∈R, сходящаяся к
n
пределу ξ. ξ≠x'', ξ∈R, имеет порядок сходимости α≥1, если
1
при n→∞
x −ξ =Ο( x −ξα),
n+1 n
т. е. существуют константы c≥0, n >0, α≥0 такие, что для
0
всех n≥n
0
x −ξ ≤c x −ξα.
n+1 n
Сходимость при α=1 называется линейной или первого поряд-
ка, при 1<α<2 – сверхлинейной, при α=2 – квадратичной и т. д.
Если для нахождения значения x используется одно пре-
n+1
дыдущее значение x , то такой метод называется одношаговым,
n
если используются значения x ,x ,...,x , то такой метод на-
n n−1 n−k+1
зывается k -шаговым.
12.3.1. Метод деления отрезка пополам
Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a,b] единствен-
ный корень, причем функция f(x) непрерывна на этом отрезке.
Итерационный метод половинного деления состоит в по-
строении последовательности стягивающихся отрезков [a,b]⊃
1 1
[a ,b ]⊃ ...⊃[a ,b ]⊃, причем для любого номера n
2 2 n n
f(a )⋅ f(b )<0.
n n
Каждый последующий отрезок получают делением пополам
предыдущего. Процесс построения последовательности отрез-
ков позволяет найти корень уравнения f(x)=0 с любой задан-
ной точностью ε.
Опишем один шаг итераций. Разделим отрезок [a,b] пополам
точкой
a+b
c= .
2
Если f(c)=0, то c – корень уравнения и процесс заканчива-
ется. Если f(c)≠0, то либо f(a)⋅ f(c)<0, либо f(c)⋅ f(b)<0.
Выбирая тот из отрезков, на концах которого f(x) меняет
знак, и продолжая процесс половинного деления, можно полу-
чить сколь угодно малый отрезок [a ,b ], содержащий корень
n n
уравнения.
- 10 -