Table Of Content

Ideal synchronizer for marked pairs in fork-join network S. V. Vyshenski†1, P.V. Grigoriev‡, and Yu.Yu. Dubenskaya§ † Institute of Nuclear Physics, Moscow State University, Moscow 119899, Russia ‡ General Physics Institute, Russian Academy of Sciences, Vavilov str., 38, Moscow 119991, Russia § Institute of Precise Mechanics and Computer Engineering, Russian 8 0 Academy of Sciences, Leninskiy av., 51, Moscow 119991, Russia 0 2 n a Abstract J 4 We introduce a new functional element (synchronizer for marked 1 pairs) meant to join results of parallel processing in two-branch fork- ] M join queueing network. Approximations for distribution of sojourn time at the synchronizer are derived along with a validity domain. D Calculations are performed assuming that: arrivals to the network . s formaPoissonprocess,eachbranchoperateslikeanM/M/Nqueueing c [ system. It is shown that mean sojourn time at a real synchronizer node is bounded below by the value, deﬁned by parameters of the 2 v network (which contains the synchronizer) and does not depend upon 4 performance and particular properties of the synchronizer. 8 7 1 . 1 [email protected] 0 8 0 : v i X r a 1 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå †1 ‡ Ñ.Â. Âûøåíñêèé , Ï.Â. ðèãîðüåâ , Þ.Þ. ÄóáåíñêàÿŸ † ÍÈÈ ÿäåðíîé èçèêè ÌÓ, Ìîñêâà 119899 ‡ Èíñòèòóò îáùåé èçèêè ÀÍ, Âàâèëîâà 38, Ìîñêâà 119991 Ÿ Èíñòèòóò òî÷íîé ìåõàíèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè ÀÍ, Ëåíèíñêèé ïðîñï. 51, Ìîñêâà 119991 10 ÿíâàðÿ 2008 ã. Ñòàòüÿ ïóáëèêóåòñÿ â æóðíàëå Îáîçðåíèå ïðèêëàäíîé è ïðîìûøëåííîé ìàòåìàòèêè, 2008 Àííîòàöèÿ Ïðåäëîæåí óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò (ñèíõðîíèçàòîð ìàðêè- ðîâàííûõ ïàð) äëÿ îáúåäèíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïàðàëëåëüíîé îáðà- áîòêèäâóõïîòîêîââñåòÿõìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿòèïàðàçâåòâëåíèå- îáúåäèíåíèå (fork-join). Ïîëó÷åíû ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëå- íèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Íàéäåíà îá- ëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèé. àñ÷åòû ïðîâåäåíû äëÿ ñòà- öèîíàðíîãî ðåæèìà â ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: íà âõîä ñåòè ïîñòóïàåò ïîòîê çàÿâîê ïóàññîíîâñêîãî òèïà, ñèñòåìû â îáåèõ âåò- M/M/N âÿõ ñåòè îòíîñÿòñÿ ê òèïó . Ïîêàçàíî, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè â ðåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà÷åíèåì, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè ñåòè, ñîäåðæàùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ïðîèçâîäèòåëüíîñòè è îñîáåííî- ñòåé ñèíõðîíèçàòîðà. Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå 3 2 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð 6 3 Âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå 6 4 Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ 10 A èïåðýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 11 B åøåíèå óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà 13 C ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû 16 2 1 Ââåäåíèå àññìîòðèìñåòüìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿòèïàðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå (Î) èëè fork-join, ïîêàçàííóþ íà ðèñóíêå 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âõîä ñåòè ïîñòóïàåò ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ïðîìàðêèðîâàííûõ (íàïðèìåð, ïðî- λ > 0 f íóìåðîâàííûõ) çàÿâîê ñ èíòåíñèâíîñòüþ . Â òî÷êå ðàçâåòâëåíèÿ êàæäàÿ çàÿâêà ðàçäåëÿåòñÿ íà äâå çàÿâêè ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè, ñîâ- ïàäàþùèìè ñ íîìåðîì èñõîäíîé çàÿâêè. Ýòè äâå çàÿâêè îäíîâðåìåííî a b ïîñòóïàþò íà âõîä âåòâåé è , êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìû M/M/N M/M/N N , N ≥ 1 a b a b ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è , ãäå çàäàþò êî- a b ëè÷åñòâà ïàðàëëåëüíûõ êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ è . Î÷åðåäè a b â âåòâÿõ è ïîä÷èíÿþòñÿ äèñöèïëèíå FIFO. Ñåòü óíêöèîíèðóåò â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå. Äëÿ îáúåäèíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïàðàëëåëüíîé îá- a b S ðàáîòêè äâóõ ïîòîêîâ â âåòâÿõ è ñåòè ñëóæèò óçåë ,íàçâàííûé íàìè ñèíõðîíèçàòîðîì ìàðêèðîâàííûõ ïàð. a 8 f S 8 out b èñ. 1: Ñåòü ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå ñ äâóìÿ âåòâÿìè. Ñåòü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Î ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäîáíóþ ìî- äåëü äëÿ ðàñ÷åòà íàãðóçî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê ðàãìåíòîâ ðàçëè÷íûõ èíîðìàöèîííûõ,êîììóíèêàöèîííûõèïðîèçâîäñòâåííûõñèñòåì.Â÷àñò- íîñòè, òàêîé ðàãìåíò õàðàêòåðåí äëÿ ñèñòåì, óíêöèîíàëüíîñòü êîòî- ðûõ ïðèíÿòî çàäàâàòü íà ÿçûêå ïîòîêîâ ðàáîò (work(cid:29)ow). Ïåðâîíà÷àëüíî ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ïðîöåññà îáúåäèíåíèÿ äâóõ ïîòî- êîâ çàÿâîê áûëà èçó÷åíà íà ïðèìåðå äðóãîé ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâà- íèÿ - ñåòè òèïà ñáîðêè (assembly-like), ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 2. Â òàêîé a ñåòè îáúåäèíÿþòñÿ ïàðû èç ïðîèçâîëüíîé çàÿâêè òèïà è ïðîèçâîëüíîé b çàÿâêè òèïà . Áóäåì íàçûâàòü òàêèå ïàðû íåìàðêèðîâàííûìè. Â ðàáî- òàõ[1,2℄ïîêàçàíî,÷òîñåòü òèïàñáîðêèíåóñòîé÷èâà, åñëèîáúåäèíÿåìûå ïîòîêè ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà. Â ðàáîòå [3℄ (ïî-âèäèìîìó, S âïåðâûå) óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò , ðåàëèçóþùèé îáúåäèíåíèå ïîòî- êîâ çàÿâîêâ ñåòè òèïà ñáîðêè, íàçâàí ñèíõðîíèçàòîðîì. Áóäåì íàçûâàòü 3 òàêîé ýëåìåíò ñèíõðîíèçàòîðîì íåìàðêèðîâàííûõ ïàð, ÷òîáû ïîä÷åðê- íóòü îòëè÷èå îò ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð, ðàññìîòðåííîãî â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Q (S) 8 a a S 8 out Q (S) 8 b b èñ. 2: Ñèíõðîíèçàòîð íåìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè òèïà ñáîðêè. Ñåòü òèïà Î ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ñåòè òèïà ñáîðêè. Îò ñåòè òèïà ñáîðêè åå îòëè÷àåò íàëè÷èå ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ïîòîêîâ çàÿâîê â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ (òî åñòü ïîòîêîâ, ïîðîæäåííûõ â ïðîøëîì îá- ùèì ñîáûòèåì - ðàçâåòâëåíèåì, è ïîäëåæàùèõ îáúåäèíåíèþ â áóäóùåì), à òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ îáúåäèíåíèå ìàð- êèðîâàííûõ çàÿâîê. Â áîëüøèíñòâå ðàáîò î ñåòÿõ Î ðåøàåòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ âðåìå- íè îòêëèêà ñåòè, òî åñòü ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ðàçäåëÿþùåãî ìîìåíòû ðàçâåòâëåíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ïîòîêîâ çàÿâîê â âåòâÿõ ñåòè. Â îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò, Ôëàòòî è Õàíà [4℄, íàéäåíà ïðîèçâîäÿùàÿ óíêöèÿ äëÿ M/M/1 ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ñåòè ñ äâóìÿ âåòâÿìè , à òàêæå ïðèâåäåíû îöåíêè ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñåòè. ÂðàáîòàõÁà÷åëëè [5,6℄,àòàêæåàãàâàíàèÂèñâàíàäàìà[7℄íàéäåíû îãðàíè÷åíèÿ äëÿ âðåìåíè îòêëèêà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñåòåé Î ñ ïðîèçâîëü- íûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Íåëüñîí è Òàíòàâè [8℄ ïðåäëîæèëè ìåòîä M/M/1 àïïðîêñèìàöèè âðåìåíè îòêëèêà ñåòè ñ âåòâÿìè è îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòüþ îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ. Îíè òàêæå èñïîëüçîâàëè ïðî- èçâîäÿùèå óíêöèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè îòêëèêà M/M/1 â ñåòè ñ äâóìÿ âåòâÿìè . Âàðíà è Ìàêîâñêè [9℄ ïðåäëîæèëè ðÿä ýâðèñòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðàñ÷åòà âðåìåíè îòêëèêà â ñåòÿõ ñ ïðî- èçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âõîäíîãî ïîòîêà è ïðîèçâîëüíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Äëÿ ñåòåé Î ñ ïðîèçâîëüíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ Àéàí è Ñåî [10℄ íàøëè ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ âðåìåíè îòêëèêà, à òàêæå ïðè- âåëè àïïðîêñèìàöèþ âðåìåíè îòêëèêà â ñëó÷àå íåâûñîêîé âõîäíîé íà- ãðóçêè. Â ðàáîòàõ Êíåññëà [11℄, Êóøíåðà [12℄, Âàðíà è Ìàêîâñêè [9℄ è 4 Íãóåíà [13℄ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñåòè Î â ñëó÷àå âûñîêîé âõîäíîé íàãðóçêè ïðèìåíÿåòñÿ äèóçèîííîå ïðèáëèæåíèå. Â ðàáîòå Êî è Ñåðîçî [14℄ ïðåäëîæåíî ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå m äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îòêëèêà â ñåòè Î ñ âåòâÿìè M/M/N . Òàì æå íàéäåíî ïðèáëèæåíèå äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ m M/M/1 îáùåãî êîëè÷åñòâà çàÿâîê â ñåòè ñ âåòâÿìè . Â ïðîöèòèðîâàííûõ âûøå ðàáîòàõ íå êîíêðåòèçèðîâàëñÿ ìåõàíèçì îáúåäèíåíèÿïîòîêîâ çàÿâîêèíåèññëåäîâàëèñü ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîãî ïðîöåññà. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ ÿâíî âûäåëèòü è èññëåäîâàòü ñèí- õðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð êàê îòäåëüíûé óíêöèîíàëüíûé ýëå- ìåíò ñåòè Î, à òàêæå ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëå- íèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â èäåàëüíîì (áåñêîíå÷íî áûñòðîì) ñèí- õðîíèçàòîðå. Òàêîé óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò ïî îòíîøåíèþ ê ñåòè Î áóäåò èãðàòü ðîëü àíàëîãè÷íóþ òîé ðîëè, êîòîðóþ èãðàë ñèíõðîíèçàòîð íåìàðêèðîâàííûõ ïàð ïî îòíîøåíèþ ê ñåòè òèïà ñáîðêè. Äàëüíåéøåå èçëîæåíèå ïîñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ðàçäåëå 2 ïðèâåäåí îáùèé àëãîðèòì ðàáîòû èäåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà. Â ðàçäå- N = N = 1 a b ëå 3 äëÿ ñåòè Î ïðè ïóòåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâ- íåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà èññëåäîâàíà êîððåëÿöèÿ ìåæäó âðåìåíàìè a b N = N = ∞ a b ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â âåòâÿõ è . Äëÿ ñåòè Î ïðè àíà- ëèòè÷åñêè ïîëó÷åíî òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðå- N , N ≥ 1 a b áûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Êà÷åñòâî ïðåäëîæåííûõ ïðèáëèæå- íèé èññëåäîâàíî ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî äàæå â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çà- ÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà÷åíèåì, êîòîðîå îïðåäåëÿ- åòñÿ ëèøü ñâîéñòâàìè ñåòè Î, ñîäåðæàùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ñàìîãî ñèíõðîíèçàòîðà. Â ðàçäåëå 4 ïîëó÷åííûå â íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåçóëüòàòû ñðàâíèâàþòñÿ ñ èçâåñòíûìè èç ëèòåðàòóðû, à òàêæå îáñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå ïðèìåíåíèÿ. Â Ïðèëîæåíèè A íàéäåíû ïðè- áëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâà- N N a b íèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ïðè êîíêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ è . Â Ïðèëîæåíèè B èçëîæåí èñïîëüçîâàííûé ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå äëÿ ñåòè Î N = N = 1 a b ïðè . Â Ïðèëîæåíèè C èçëîæåíû èñïîëüçîâàííûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. 5 2 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð Ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ äâóõ ïîòîêîâ ìàðêèðîâàííûõ çàÿâîê â ðàçíûõ ñå- òÿõ ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïî-ðàçíîìó. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ïðåäëàãàåì ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ýòîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ íîâîãî óíêöèîíàëü- S íîãî ýëåìåíòà (cid:21) ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð (ðèñ. 1). Áóäåì S ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ñèíõðîíèçàòîð ñîñòîèò èç ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ìîíèòîðà, êîòîðûé îòñëåæèâàåò è èçìåíÿåò ñîñòîÿíèå ïàìÿòè ñèíõðîíè- çàòîðà. Ïîëàãàåì, ÷òî ìîíèòîð ñðàáàòûâàåò ìãíîâåííî, à ðàçìåð ïàìÿòè íåîãðàíè÷åí. Èìåííî ïîýòîìó ìû íàçûâàåì ñèíõðîíèçàòîð èäåàëüíûì. Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. a b S Çàÿâêè èç âåòâåé è ïîñòóïàþò íà âõîä ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðî- âàííûõ ïàð è ñîõðàíÿþòñÿ â åãî ïàìÿòè. Ïàðó çàÿâîê ðàçëè÷íûõ òèïîâ a b ( è ) ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè áóäåì íàçûâàòü ïàðòíåðàìè. Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà ïåðâûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áóäåì íàçûâàòü ïåðâûì ïàðòíåðîì. Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà âòîðûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áóäåì íàçûâàòü âòîðûì ïàðòíåðîì. Ïîñëå ñîõðàíåíèÿ âíîâü ïîñòóïèâøåé çàÿâêè â ïàìÿòè, ìîíèòîð ïðî- èçâîäèò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ: • a b îïðåäåëÿåòñÿ íîìåð è òèï ( èëè ) íîâîé çàÿâêè, • åñëè â ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà óæå èìååòñÿ (ïåðâûé) ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè, òî îáà ïàðòíåðà íàéäåííîé ïàðû óäàëÿþòñÿ èç ïà- ìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ïåðåäàþòñÿ íà âûõîä ñèíõðîíèçàòîðà. • åñëè ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè â ïàìÿòè îòñóòñòâóåò, òî íîâàÿ çà- ÿâêà (òî åñòü ïåðâûé ïàðòíåð èç ïàðû) îñòàåòñÿ â ïàìÿòè ñèíõðî- íèçàòîðà æäàòü ñâîåãî âòîðîãî ïàðòíåðà. Èñõîäÿ èç ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà ðàáîòû ñèíõðîíèçàòîðà, îïðåäå- t ëèì âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ ïàðû â ñèíõðîíèçàòîðå êàê ðàçíèöó âî âðåìåíè ìåæäó ïðèõîäîì âòîðîãî è ïåðâîãî ïàðòíåðîâ èç ïàðû. 3 Âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå t àññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (cid:16)âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòî- t a b f 0 ðå(cid:17). Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè â âåòâè è èç òî÷êè ïî- a ñòóïèëè äâà ïàðòíåðà îäíîé è òîé æå ïàðû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â âåòâè t t +t b a 0 a ïàðòíåð çàäåðæàëñÿ íà âðåìÿ è ïîêèíóë åå â ìîìåíò . Â âåòâè 6 t t +t b 0 b ïàðòíåð çàäåðæàëñÿ íà âðåìÿ è ïîêèíóë åå â ìîìåíò . Òîãäà ðàç- t˜ íèöà ìåæäóâðåìåíàìèïðèõîäà âñèíõðîíèçàòîð ïàðòíåðîâîäíîéèòîé a b t˜= (t +t )−(t +t ) = t −t . 0 a 0 b a b æåïàðû,ïîñòóïèâøèõ èçâåòâåé è ,ðàâíà f (t ) i i Îáîçíà÷èì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âå- t i i = a i = i ëè÷èíû(cid:16)âðåìåíè ïðåáûâàíèÿòðåáîâàíèÿâñèñòåìå (cid:17),ãäå èëè b t t a b . Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è , âîîáùå ãîâîðÿ, ñòàòèñòè÷åñêè çàâèñèìû,àòàêæåïðîâåäåìêîëè÷åñòâåííîåèññëåäîâàíèå ýòîé çàâèñèìîñòè. Íàì áóäåò óäîáíî ñðàâíèâàòü ðåàëüíûå õàðàêòåðèñòè- êè ïðîöåññîâ â ñåòè Î ñ òåìè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè t t a b îá îòñóòñòâèè çàâèñèìîñòè ìåæäó âtåëè÷tèíàìè è . f˜(t˜) a b Òàê, äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí è , ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ t˜ t˜∈ (−∞,+∞) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû , îïðåäåëåííàÿ ïðè , ðàâíà ñâåðòêå: +∞ f˜(t˜) = f (τ)f (τ +t˜)dτ. b a (1) Z −∞ t Âðåìÿ îæèäàíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â ñèíõðîíèçàòîðå ðàâíî t = |t˜| = |t −t |. a b f(t) t Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòèñëó÷àéíîéâåëè÷èíû îïðå- t ∈ [0,+∞) äåëåíà ïðè è ðàâíà: f(t) = f˜(t˜)+f˜(−t˜). (2) T Ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â ñèíõðîíèçàòîðå âû- ðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì: +∞ T = tf(t)dt. (3) Z 0 Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ (2) è (3) ñïðàâåäëèâû êàê ïðè îòñóòñòâèè, t t a b òàê è ïðè íàëè÷èè ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ìåæäó è . Â Ïðèëîæåíèè A èíòåãðàëû èç âûðàæåíèé (1) è (3) âû÷èñëåíû ïðè N N T a b ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ è . Îöåíêà äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåáûâà- íèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëàìè (3, 6, 8), âñåãäà λ, N , N , µ , µ λ a b a b áîëüøå íóëÿ è çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ñåòè Î ( ), ãäå µ i (cid:21) èíòåíñèâíîñòü âõîäíîãî ïîòîêà çàÿâîê, à (cid:21) èíòåíñèâíîñòü îáñëóæè- N i i = a i = b i âàíèÿ â îäíîì èç êàíàëîâ âåòâè ( èëè ). Êàê ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â Ïðèëîæåíèè C, â ÷èñëåííûõ ýêñïåðè- ìåíòàõ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè íàáëþäàëîñü ñîîòíîøåíèå 7 T > T T emp ìåæäó ýìïèðè÷åñêèì çíà÷åíèåì emp ñðåäíåãî âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå, è ïðåäëîæåííûì â (3) ïðèáëè- T æåííûì âûðàæåíèåì äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå. Êàê âèäíî èç òàáëèöû 3, îòêëîíåíèå íå ïðåâûøàëî 20% N = N = 1 ψ ψ a b a b äàæå â ñàìîì íåáëàãîïðèÿòíîì ñëó÷àå, êîãäà , à è ψ = λ/(N µ ) i i i áëèçêè ê åäèíèöå. Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ: . Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îòêëîíåíèå íà ïðåâûøàåò 10%. Â ïðèìåíåíèè ê ðåàëüíîìó ñèíõðîíèçàòîðó (â îòëè÷èå îò ìãíîâåííî T ñðàáàòûâàþùåãî èäåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà) âûðàæåíèå emp ÿâëÿåò- ñÿ îöåíêîé ñíèçó äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïðè÷åì ýòà îöåíêà çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ñåòè Î è íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà çà ñ÷åò ïîâûøåíèÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ðåàëüíîãî ñèíõðîíè- çàòîðà. a b Êîððåëÿöèÿ âðåìåí ïðîõîæäåíèÿ âåòâåé è . Â ðåàëüíîé {M/M/N M/M/N } a b ñåòè Î ; ïîòîêè çàÿâîê, ïîñòóïàþùèå íà âõîä a b ñèíõðîíèçàòîðà èç âåòâåé è , êîððåëèðóþò ïî ïðè÷èíå îáùåãî ïðîèñ- f õîæäåíèÿ ïðè ðàçâåòâëåíèè â òî÷êå (ðèñ. 1). Ñîîòâåòñòâåííî, (âîîáùå a b ãîâîðÿ) êîððåëèðóþò è âðåìåíà ïðîõîæäåíèÿ âåòâåé è ïàðòíåðàìè èç îäíîé ìàðêèðîâàííîé ïàðû. À çíà÷èò, âûðàæåíèå (1) äëÿ ðåàëüíîé ñåòè Î íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì. N = N = ∞ a b Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè êîððåëÿöèÿ ìåæäó ñëó÷àéíûìè t t a b âåëè÷èíàìè è îòñóòñòâóåò. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå äëèíû î÷åðåäåé â îáåèõ âåòâÿõ â òî÷íîñòè ðàâíû íóëþ, è âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ êàæäîé âåòâè ðàâíÿåòñÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ â îòäåëüíîì êàíàëå îá- ñëóæèâàíèÿ äàííîé âåòâè. Òîåñòü âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ âåòâè ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ïðîöåññîâ â ñîñåäíåé âåòâè ñåòè Î. Ïðè ýòîì âûðàæåíèå (1) ñòàíîâèòñÿ òî÷íûì. N N a b Ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ êîëè÷åñòâà è êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ îò áåñêîíå÷íîñòè ê åäèíèöå, â âåòâÿõ ïîÿâëÿþòñÿ íåíóëåâûå î÷åðåäè, è âðå- ìåíàïðåáûâàíèÿââåòâÿõïðîÿâëÿþòâñåíàðàñòàþùóþ òåíäåíöèþ êâçà- N = N = 1 a b èìíîé êîððåëÿöèè. Êîððåëÿöèÿ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè . fÏ˜(ðt˜è) ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îòêëîíåíèå ðåàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îò âûðàæåíèÿ (1) ñòàíîâèòñÿ ìàêñèìàëüíûì. Ýòè êà÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ ïîäòâåðæäàþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíå- íèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà (ñì. Ïðèëîæåíèå B) â ñàìîì íåáëàãîïðèÿò- N = N = 1 a b íîì ñëó÷àå . Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü êîýèöèåíòà R t t N = N = 1 a b a b êîððåëÿöèè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè è ïðè îò ψ ψ a b ïðè íåñêîëüêèõ çíà÷åíèÿõ . Âèäíî, ÷òî êîýèöèåíò êîððåëÿöèè çàìåòíî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ òîëüêî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èíòåíñèâíî- 8 ñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ïðèìåðíî îäèíàêîâû è ïðè ýòîì ëèøü íåíàìíîãî ïðåâûøàþò èíòåíñèâíîñòü âõîäíîãî ïîòîêà. 0,4 0,35 D 0,3 0,25 R 0,2 C 0,15 0,1 B 0,05 A 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ψ α èñ. 3: Êîýèöèåíò êîððåëÿöèè (ñì. Ïðèëîæåíèå B) ìåæäó âðåìåíàìè a b N = N = 1 ψ ψ = 0,05 a b a b ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìàõ è äëÿ ñåòè îò ïðè ψ = 0,35 ψ = 0,65 ψ = 0,90 b b b (A), (B), (C) è (D) Äðóãèìïîäòâåðæäåíèåìïðèâåäåííûõðàññóæäåíèéÿâëÿþòñÿðåçóëü- òàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ñì. Ïðèëîæåíèå C) ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè Î. Â òàáëèöå 1ñâåäåíû îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â êîòîðûõ (ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ïèðñîíà ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α = 0.01 ) áûëà ïðèíÿòà ñëåäóþùàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà. èïîòåçà 1. Íàáëþäàåìîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèÿìè (2, 5, 7, 11) äëÿ f(t) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îðìóëà (1) ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé. Êàæäàÿ èç ñòðîê òàáëèöû 1 îïðåäåëÿåò îáëàñòü ïàðàìåòðîâ, â êîòî- ðûõèïîòåçà1ïðèíÿòà ñóðîâíåìçíà÷èìîñòè0.01.Âèäíî,÷òîèâïðîèç- âîëüíîì ñëó÷àå îòêëîíåíèÿ îò ïðèáëèæåííîãî âûðàæåíèÿ (1) çàìåòíû, òîëüêî åñëè èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ïðèìåðíî îäè- íàêîâû è ïðè ýòîì ëèøü íåíàìíîãî ïðåâûøàþò èíòåíñèâíîñòü âõîäíîãî ïîòîêà. 9 Òàáëèöà 1: Ïàðàìåòðû, ïðè êîòîðûõ èïîòåçà 1 ïðèíÿòà ñ óðîâíåì çíà- ÷èìîñòè 0.01. N N ψ ψ a b a b [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄ (0, 0.2℄ [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.5℄ (0, 0.8℄ [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.8℄ (0, 0.5℄ ∞ ∞ [6, ) [6, ) (0, 0.75℄ (0, 0.75℄ 4 Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ Â ïðîöèòèðîâàííûõ âî ââåäåíèè ðàáîòàõ ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ ïàðíûõ çàÿâîê â ñåòÿõ Î íå ðàññìàòðèâàëñÿ. Â îñíîâíîì àâòîðû âû÷èñëÿëè ìàêñèìóì èç âðåìåí ïðîõîæäåíèÿ âñåõ âåòâåé ñåòè Î, íå èíòåðåñóÿñü S ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â òî÷êå è ïîñëå íåå. Ââåäåííîå íàìè ïðåäñòàâëåíèå î íîâîì óíêöèîíàëüíîì ýëåìåíòå, ñèíõðîíèçàòîðå ìàðêèðîâàííûõïàð,ïîçâîëèëîïîëó÷èòüâûðàæåíèÿäëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â èäåàëüíîì ñèí- õðîíèçàòîðå. Õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòè âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå íåîáõîäèìû ïðè àíàëèçå ðàáîòû âñåé ñåòè Î. Ýòè ðåçóëüòàòû íåîáõîäèìû è äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êîëè- ÷åñòâà òðåáîâàíèé â ñèíõðîíèçàòîðå. Òàê, ïî çàêîíó Ëèòòëà, êîòîðûé G/G/N ñïðàâåäëèâ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåì (òî åñòü è äëÿ íåïóàññî- ρ íîâñêèõ ïîòîêîâ) [15℄, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíè- çàòîðå ðàâíî ρ = λ T, in T ãäå (cid:21) ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå (3), à èíòåíñèâíîñòü λ = λ ïîòîêà íà âõîäå ñèíõðîíèçàòîðà in äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà â ñåòè Î. ρ Âåëè÷èíà ,âñâîþî÷åðåäü,íåîáõîäèìàäëÿðàñ÷åòàðåñóðñîâ, îáåñïå- ÷èâàþùèõ áåñïåðåáîéíóþ ðàáîòó ñåòè Î, à òàêæå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îá îïòèìèçàöèè ýòèõ ðåñóðñîâ. Íàìïðèÿòíî ïîáëàãîäàðèòü À.Â.Êîëîäçåÿ,À.Â.Êíÿçåâà, Ê.Þ.Ïëà- òîâà, È.À. Êðàâ÷åíêî è À.Ô. îíæèíà çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. 10