I capricci del caso: Introduzione alla statistica, al calcolo delle probabilità e alla teoria degli errori

261 Pages·2009·3.58 MB·Italian

by  Roberto Piazza (auth.)

A Nanù, Libero e Gaia
per tanti buoni motivi
Collana di Fisica e Astronomia
Acura di:
Michele Cini
Stefano Forte
Massimo Inguscio
Guida Montagna
Oreste Nicrosini
Franco Pacini
Luca Peliti
Alberto Rotondi
Roberto Piazza
I capricci del caso
Introduzione alla statistica,
al calcolo delle probabilità
e alla teoria degli errori
123
ROBERTOPIAZZA
Dipartimento di Chimica,Materiali e Ingegneria Chimica
Politecnico di Milano - Sede Ponzio
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© Springer-Verlag Italia,Milano 2009
ISBN 978-88-470-1115-1 ISBN 978-88-470-1116-8 (eBook)
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Prefazione
Questolibrotraeoriginedaunaprecisaconvinzione:ritengochechisiavvicina
allafisica(maancheamoltialtrisettoridellescienzenaturaliedell’ingegneria)
abbial’esigenzadifarpienamentepropri,edisfruttareadeguatamentequanto
prima possibile, molti concetti chiave di probabilita` e statistica. L’esperienza
maturata come docente, sia di corsi introduttivi di laboratorio che di fisica
statistica a livello intermedio, mi spinge ad affermare che ci`o puo` essere fatto
sfruttando quasi esclusivamente gli strumenti matematici che si acquisiscono
nel primo biennio di molti corsi di laurea in discipline scientifiche, senza per
questo dover rinunciare ad una comprensione di fondo, di converso tutt’altro
che immediata, di quelli che ho voluto chiamare i “capricci del caso”.
Per quanto possa certamente costituire un testo di base o di supporto per
i primi corsi di laboratorio o di fisica statistica, il volume vuole anche essere
utile come strumento per l’apprendimento personale diretto, ed `e rivolto so-
prattuttoaquellementivive,curioseeperfortunanonrareche,avvicinandosi
alla scienza, non cercano tanto un testo quanto un “compagno di viaggio”.
Sono infatti convinto che dovere primario e ineludibile di chi fa il mio lavoro
sia quello di promuovere, per quanto gli `e possibile, lo sviluppo del pensiero
originale proprio in coloro nei quali si puo` gi`a chiaramente intravvedere.
Con questo obiettivo, ho cercato di scrivere un testo introduttivo, ma
non elementare, in cui tutti gli strumenti tecnici necessari alla comprensione
vengano introdotti in modo semplice ma sufficientemente adeguato, e dove il
livello dei contenuti cresca progressivamente a partire da concetti elementari.
Scopo principale dei primi due capitoli `e soprattutto quello di suscitare
la curiosita` del lettore per mezzo di esempi semplici, ma non convenzionali,
che permettano nel contempo di introdurre concetti rilevanti come quelli di
invarianza di scala, di indistinguibilita` quantistica, o di moto browniano.
NelCap. 3, a cui attribuisco un’importanza particolare,ledistribuzioni di
probabilita` per una variabile casuale vengono introdotte in stretta e costante
relazione con il loro interesse per la fisica e l’ingegneria. I Cap. 5 e 6, dedicati
rispettivamenteallateoriadeglierrorieall’analisideidatisperimentali,hanno
VIII Prefazione
un carattere piu` “tradizionale”, ma reso piu` rigoroso, rispetto a quanto fatto
dinormaneicorsiintroduttivi,daiconcettisviluppatineicapitoliprecedenti.
Un discorso a parte merita il Cap. 4, dove ho cercato di raccogliere tutti
quei concetti piu` avanzati che richiedono conoscenze preliminari aggiuntive,
in ogni caso introdotte a livello elementare nel testo o nelle appendici mate-
matiche:inconsiderazionediqueglistudenti“speciali”acuimiriferivo,credo
che ne sia valsa la pena. Queste nozioni, come quelle contenute nelle sezioni
indicateconunasterisco,nonsonocomunqueessenzialiperunaprimalettura.
Ho invece volutamente evitato di discutere metodi numerici o programmi
dicalcolospecificiperl’analisistatistica,siainquantoadessisonogia`dedicati
testieccellenti,chesoprattuttoperch´el’esperienzael’et`amisuggerisconoche,
da questo punto di vista, qualunque studente un po’ sveglio saprebbe fare
decisamente meglio di me.
Non`emiocompitogiudicareseequantoabbiaraggiuntol’obiettivocheche
mieroproposto.Dipercerto,credodiessereperlomenoriuscitoinunintento
piu` modesto,chetuttaviamistavaacuore:realizzarequel“libriccino”cheio,
neipannidiungiovanestudenteinfisica,avreivolutoaveresottomanomolti
anniorsono,echeneppureoggimi`efacileindividuaresulmercatoeditoriale,
a dispetto di intere collezioni dedicate a testi di probabilita` e statistica.
Se vi sono riuscito, lo devo anche al prezioso aiuto di colleghi, studen-
ti, amici, organizzazioni che, con i loro suggerimenti e le loro correzioni, o
per avermi messo a conoscenza di dati statistici interessanti e curiosi, han-
no contribuito alla realizzazione di questo volume. Voglio quindi ringraziare
inparticolareVittorio Degiorgio, Stefano Buzzaccaro, DanieleVigolo, Franco
Peracchi, Victor Yakovenko, l’Istat e il Centro Interuniversitario per l’accesso
alleScuolediIngegneriaedArchitettura(CISIA).Unringraziamentospeciale
vaancheaSpringer,edinparticolareaMariaBellantoneeMarinaForlizzi,per
avermi spinto a contraddire (spero) la mia convinzione secondo cui “scrivere
libri `e ci`o che fa un fisico quando diventa troppo vecchio per fare ricerca”.
Questolibro`estatointeramenteredattoinLATEX2ε,utilizzandoperl’ana-
lisicomputazionaleelagraficasoprattuttopiattaformeapertequaliSCILAB:
desidero quindi infine esprimere il mio piu` vivo ringraziamento a tutti coloro
(tra cui non posso non menzionare Claudio Beccari) che si adoperano per fini
non commerciali al progetto e allo sviluppo di software di qualita`, o in altri
terminiaci`ochevienedefinito,conun’espressionedavveroefficace,careware.
Tanto basti per i colleghi che leggono queste righe con lo scopo di trovare
motivazionisufficientiperconsigliareailorostudentiquestotesto:dipiu`,una
prefazione non puo` e non deve dire. A te, lettore “per davvero”, `e invece
riservato il breve programma di lavoro che apre il volume: spero che possa
esserti almeno utile a capire che cosa vogliamo fare insieme.
Milano, gennaio 2009 Roberto Piazza
Indice
Un programma di lavoro....................................... 1
1 La descrizione statistica dei dati ........................... 5
1.1 Descrizione statistica e propriet`a “emergenti” ............... 5
1.2 Un (apparente) ossimoro, per cominciare ................... 6
1.3 Le password della statistica ............................... 12
1.4 Distribuzioni di frequenze ................................ 15
1.5 Indicatori di una distribuzione statistica.................... 24
1.5.1 Media............................................ 24
1.5.2 Momenti di una distribuzione ....................... 26
1.5.3 Deviazione standard e asimmetria ................... 28
1.6 Un “esperimento numerico”: Il moto browniano ............. 32
*1.7 Scale caratteristiche ed invarianza di scala .................. 35
1.8 Correlazioni ............................................ 44
2 Probabilit`a: concetti di base ............................... 49
2.1 Le regole di calcolo ...................................... 50
2.2 Eventi indipendenti...................................... 56
2.3 Probabilita` condizionata.................................. 59
2.3.1 Il teorema di Bayes ................................ 63
2.4 Eventi composti e conteggi degli eventi..................... 64
*2.4.1 Conteggi in fisica statistica ......................... 70
*2.5 Sulle diverse interpretazioni della probabilita`................ 73
*2.5.1 Probabilita` e frequenze relative...................... 74
*2.5.2 Probabilita` “oggettiva” a priori ..................... 76
*2.5.3 Probabilita` come inferenza (probabilita` bayesiana)..... 77
3 Distribuzioni di probabilit`a ................................ 83
3.1 Variabili casuali e distribuzioni di probabilita` ............... 83
3.2 Valore di aspettazione, varianza e momenti successivi ........ 88
3.3 La distribuzione binomiale................................ 92
X Indice
*3.3.1 Miseria del sistemista .............................. 96
3.4 La distribuzione di Poisson ............................... 98
3.4.1 La distribuzione di Poisson come limite della binomiale. 98
3.4.2 La distribuzione di Poisson: eventi istantanei in un
continuo .........................................101
3.5 Distribuzioni di probabilita` per variabili continue............109
3.6 La distribuzione gaussiana................................117
3.6.1 Dalla binomiale (o dalla Poisson) alla gaussiana .......117
3.6.2 Probabilita` gaussiana cumulativa....................120
*3.6.3 Moto browniano e processi di diffusione ..............124
*3.7 La legge dei grandi numeri................................127
*3.7.1 Legge dei grandi numeri: formulazione “debole” .......128
*3.7.2 Legge dei grandi numeri: formulazione “forte”.........129
4 Probabilit`a: accessori per l’uso.............................131
4.1 Funzioni di una variabile casuale ..........................132
*4.2 Distribuzioni di probabilita` per piu` variabili ................136
*4.2.1 Distribuzioni gaussiane per due variabili..............141
*4.3 Funzioni di due variabili casuali ...........................142
*4.4 Funzione caratteristica ...................................144
*4.4.1 Alcune proprieta` della funzione caratteristica .........146
*4.4.2 Funzioni caratteristiche di alcune distribuzioni notevoli.147
*4.4.3 Funzione caratteristica e momenti ...................150
*4.4.4 Cumulanti: perch´e la gaussiana `e cos`ı “speciale”.......151
*4.5 Il Teorema Centrale Limite ...............................153
*4.6 Probabilita` ed informazione...............................156
*4.6.1 Entropia statistica.................................157
*4.6.2 Il principio di massima entropia .....................162
*4.6.3 Entropia statistica per variabili continue .............164
5 Teoria degli errori .........................................167
5.1 Alle radici degli errori....................................168
5.1.1 La struttura di un apparato di misura ...............168
5.1.2 Un tour (breve ed incompleto) sulle cause di errore ....170
5.1.3 Errori sistematici ed errori casuali ...................174
5.1.4 Precisione ed accuratezza. Distribuzione gaussiana
degli errori casuali.................................176
*5.1.5 Lo scheletro nell’armadio: i dati “strani” .............178
5.2 Stime dei parametri della distribuzione limite ...............182
5.2.1 Perch´e fare piu` misure .............................182
5.2.2 La media come stima del valore di aspettazione .......183
5.2.3 Stima di σ e deviazione standard “corretta” .........184
x
5.2.4 L’errore standard: come si “scrive” un risultato .......185
5.2.5 Stima della correlazioni tra due grandezze ............187
5.3 Propagazione degli errori .................................187
Indice XI
5.3.1 Errori misurati ed errori stimati: le misure indirette....187
5.3.2 Stima del valore di aspettazione di y =f(x) ..........188
5.3.3 Propagazione degli errori per funzioni di una variabile..189
5.3.4 Propagazione degli errori per funzioni di piu` variabili ..192
5.4 Errore sulla deviazione standard e cifre significative..........196
5.5 Medie pesate............................................198
*5.6 Piccoli campioni.........................................198
6 Analisi dei dati sperimentali ...............................203
6.1 Il principio di massima verosimiglianza .....................203
6.2 Il test del χ2 ............................................206
6.2.1 Gradi di liberta` ...................................207
6.2.2 Distribuzione di probabilita` per il χ2 ................208
6.3 Il test del χ2 per una distribuzione ........................210
*6.3.1 Massima verosimiglianza o massima entropia?.........212
6.4 Fit dell’andamento di dati sperimentali.....................214
6.5 Il metodo dei minimi quadrati ............................216
6.5.1 Relazioni lineari (o riconducibili ad esse) .............217
6.5.2 Funzioni non lineari ...............................222
6.6 Il test del χ2 per un fit...................................224
6.6.1 Utilita` e limiti del χ2 per giudicare la bonta` di un fit...224
6.6.2 Far del vizio virtu`: il test del χ2 “rovesciato”..........225
Letture consigliate.............................................227
A Un potpourri matematico..................................231
A.1 Approssimazione di Stirling e funzione Gamma..............231
A.2 Indicatori caratteristici delle distribuzioni...................233
A.2.1 Binomiale ........................................233
A.2.2 Poisson ..........................................234
A.2.3 Gaussiana ........................................235
*A.3 Il teorema di DeMoivre–Laplace...........................237
*A.4 Lemma di Borel–Cantelli e legge dei grandi numeri ..........238
*A.4.1 Il lemma di Borel-Cantelli ..........................238
*A.4.2 La “forma forte” della legge dei grandi numeri ........241
A.5 La δ di Dirac ...........................................242
*A.6 Funzioni generatrici......................................244
A.7 La distribuzione del χ2 ...................................245
B Tavole numeriche ..........................................247
Indice analitico ................................................251
Un programma di lavoro
Ai miei 25±5 lettori
Statisticamente,finoapochianniorsono,sucentostudentichesiiscrivevano
alcorsodistudiinFisicamenoditrentaconseguivanounaLaurea,all’incirca
tre ottenevano un Dottorato, solo un paio sarebbero poi entrati nel mondo
dellaricerca,equasicertamentenessunoavrebbevintounpremioNobel(oggi
le cose vanno lievemente meglio, ma solo per il primo passo). La fisica `e una
scienza statistica, e non solo in questo senso.
Quando ero uno studente dei primi anni, non la pensavo in questo modo.
L’unico incontro, o meglio scontro con la statistica era quella sorta di fretto-
losa introduzione ai corsi di laboratorio che passava sotto il nome di “teoria
degli errori”. Il tutto si riduceva, in termini pratici, a cercare di dare un po’
di “tono” ai risultati di un certo numero di pomeriggi per lo piu` noiosi pas-
sati in laboratorio. Quanto piu` belli e puliti mi sembravano i risultati esatti
della teoria! Per una sorta di legge del contrappasso, una volta entrato nel
mondodellaricerca,misonotrovatoasbatterecontinuamentelatestacontro
problemi che coinvolgevano concetti di probabilita` e statistica. Ne ho tratto
perlomeno una convinzione chiara: statistica e probabilita` sono cose nel con-
tempofaciliedifficili.Facili,perch´eleideedifondopossonoessereintrodotte
a livello elementare e non richiedono prerequisiti sofisticati. Difficili, perch´e
sono idee “sottili”, che si digeriscono solo col tempo, tanto che anche i piu`
esperti possono talvolta prendere dolorose cantonate. La fisica contempora-
nea`e una scienza eminentemente statistica, dove il Caso (val proprio la pena
diusarelamaiuscola)giocaunruolomoltopiu`determinantediquantopotes-
sero immaginare Galileo, Newton o Laplace. Le ragioni cos`ı tante che`e quasi
vano cercare di elencarle tutte: ma siccome devo darvi qualche ragione per
leggere quello che segue, almeno mi ci prover`o.
Come ho gi`a accennato, il primo scontro con la statistica si ha non appe-
na si cerchi di misurare qualcosa, per la semplice ragione che misurando una
stessa quantit`a, come il periodo di oscillazione di un pendolo, con la stessa
strumentazione ed in condizioni il piu` possibile identiche, si ottengono in ge-
nerale risultati diversi. Provare per credere. Perch´e? Dovremo fare un po’ di
stradapercapirlo.Peroralasciamochel’inevitabileimprecisionedellemisure
R. Piazza, I capricci del caso
© Springer-Verlag Italia, Milano 2009