Hyperbolic problems and regularity questions

228 Pages·2007·1.683 MB·English

by  Padula M., Zanghirati L. (eds.)

(cid:52)(cid:50)(cid:37)(cid:46)(cid:36)(cid:51)(cid:0)(cid:41)(cid:46)(cid:0)(cid:45)(cid:33)(cid:52)(cid:40)(cid:37)(cid:45)(cid:33)(cid:52)(cid:41)(cid:35)(cid:51)
(cid:52)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:68)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:86)(cid:79)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:86)(cid:79)(cid:76)(cid:85)(cid:77)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:73)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:13)
(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:76)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:67)(cid:85)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:85)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:80)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:65)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:41)(cid:84)(cid:83)
(cid:65)(cid:73)(cid:77)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:75)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:85)(cid:82)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:86)(cid:69)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:77)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:77)(cid:85)(cid:78)(cid:73)(cid:84)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:73)(cid:68)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:80)(cid:79)(cid:83)(cid:83)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:69)
(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:84)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:73)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:81)(cid:85)(cid:65)(cid:76)(cid:73)(cid:84)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:67)(cid:72)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:14)
(cid:48)(cid:82)(cid:79)(cid:80)(cid:79)(cid:83)(cid:65)(cid:76)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:86)(cid:79)(cid:76)(cid:85)(cid:77)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:78)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:0)(cid:37)(cid:68)(cid:73)(cid:84)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:69)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)
(cid:48)(cid:14)(cid:47)(cid:14)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:88)(cid:0)(cid:17)(cid:19)(cid:19)
(cid:35)(cid:40)(cid:13)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:0)(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)
(cid:51)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:68)
(cid:79)(cid:82)
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:41)(cid:78)(cid:67)(cid:14)
(cid:22)(cid:23)(cid:21)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:83)(cid:83)(cid:65)(cid:67)(cid:72)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:84)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:33)(cid:86)(cid:69)(cid:78)(cid:85)(cid:69)
(cid:35)(cid:65)(cid:77)(cid:66)(cid:82)(cid:73)(cid:68)(cid:71)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:45)(cid:33)(cid:0)(cid:16)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:25)
(cid:53)(cid:51)(cid:33)
(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:0)(cid:83)(cid:85)(cid:66)(cid:77)(cid:73)(cid:84)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:77)(cid:85)(cid:83)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:67)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:78)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:69)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:76)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:83)(cid:26)
(cid:33)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:84)(cid:82)(cid:73)(cid:66)(cid:85)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:0)(cid:85)(cid:78)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:86)(cid:73)(cid:69)(cid:87)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:67)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:73)(cid:77)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:82)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:85)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:89)(cid:0)(cid:74)(cid:79)(cid:85)(cid:82)(cid:78)(cid:65)(cid:76)(cid:83)
(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:72)(cid:69)(cid:67)(cid:75)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:71)(cid:85)(cid:65)(cid:71)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:72)(cid:12)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:37)(cid:78)(cid:71)(cid:76)(cid:73)(cid:83)(cid:72)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:76)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:84)
(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:89)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:12)(cid:0)(cid:72)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:12)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:69)(cid:76)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:69)(cid:14)
(cid:55)(cid:69)(cid:0)(cid:69)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:78)(cid:73)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:85)(cid:83)(cid:67)(cid:82)(cid:73)(cid:80)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:77)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:65)(cid:68)(cid:89)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:68)(cid:73)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:84)
(cid:82)(cid:69)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:68)(cid:85)(cid:67)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)T(cid:52)eX
(cid:37)
(cid:79)(cid:78)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:85)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:68)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)T(cid:52)eX
(cid:37)
(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:14)
(cid:38)(cid:85)(cid:82)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:79)(cid:82)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:71)(cid:85)(cid:65)(cid:82)(cid:65)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:73)(cid:77)(cid:69)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:80)(cid:80)(cid:69)(cid:65)(cid:82)(cid:65)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:67)(cid:69)(cid:69)(cid:68)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:84)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:73)(cid:65)(cid:76)
(cid:69)(cid:65)(cid:67)(cid:72)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:69)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:0)(cid:18)(cid:21)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:70)(cid:80)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:52)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:73)(cid:80)(cid:65)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:66)(cid:79)(cid:79)(cid:75)
(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:83)(cid:80)(cid:69)(cid:67)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:65)(cid:84)(cid:69)(cid:14)
(cid:52)H(cid:79)y(cid:80)(cid:73)p(cid:67)(cid:83)e(cid:0)(cid:73)r(cid:78)b(cid:0)(cid:35)o(cid:79)l(cid:72)i(cid:79)c(cid:77) P(cid:79)(cid:76)r(cid:79)o(cid:71)b(cid:73)(cid:67)(cid:65)le(cid:76)(cid:0)(cid:51)m(cid:84)(cid:85)s(cid:68)(cid:73)(cid:69)(cid:83)
(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:33)(cid:76)(cid:71)(cid:69)(cid:66)(cid:82)(cid:65)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:54)(cid:65)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:84)(cid:73)(cid:69)(cid:83)
and
(cid:41)R(cid:77)e(cid:80)(cid:65)g(cid:78)u(cid:71)(cid:65)l(cid:0)a(cid:44)r(cid:69)(cid:67)it(cid:84)(cid:85)y(cid:82) (cid:69)Q(cid:0)(cid:46)u(cid:79)(cid:84)e(cid:69)(cid:83)stions
(cid:48)(cid:73)(cid:79)(cid:84)(cid:82)(cid:0)(cid:48)(cid:82)(cid:65)(cid:71)(cid:65)(cid:67)(cid:90)
(cid:37)(cid:68)(cid:73)(cid:84)(cid:79)(cid:82)
Mariarosaria Padula
Luisa Zanghirati
Editors
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)
(cid:34)(cid:34)(cid:65)(cid:73)(cid:82)(cid:83)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:76)(cid:203)(cid:0)(cid:115)(cid:85)(cid:34)(cid:83)(cid:79)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:54)(cid:79)(cid:69)(cid:78)(cid:82)(cid:76)(cid:115)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:73)(cid:78)
(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)(cid:0)(cid:115)(cid:34)(cid:79)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:115)(cid:34)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:73)(cid:78)
(cid:37)E(cid:68)d(cid:73)i(cid:84)t(cid:79)o(cid:82)r(cid:26)s:
(cid:48)M(cid:73)(cid:79)a(cid:84)r(cid:82)ia(cid:0)(cid:48)ro(cid:82)(cid:65)s(cid:71)ar(cid:65)ia(cid:67) (cid:90)Padula
(cid:41)L(cid:78)u(cid:83)i(cid:84)s(cid:73)(cid:84)a(cid:85) Z(cid:84)(cid:69)a(cid:0)n(cid:79)g(cid:70)(cid:0)h(cid:45)ir(cid:65)a(cid:84)t(cid:72)i(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)
(cid:48)D(cid:79)ip(cid:76)(cid:73)a(cid:83)r(cid:72)t(cid:0)im(cid:33)(cid:67)e(cid:65)n(cid:68)to(cid:69) (cid:77)di(cid:89) M(cid:0)(cid:79)a(cid:70)(cid:0)t(cid:51)e(cid:67)m(cid:73)(cid:69)a(cid:78)ti(cid:67)c(cid:69)a(cid:83)
(cid:85)U(cid:76)(cid:14)n(cid:0)(cid:51)iv(cid:78)e(cid:73)r(cid:65)s(cid:68)it(cid:69)à(cid:67) d(cid:75)i(cid:73) (cid:67)F(cid:72)e(cid:0)r(cid:24)rara
(cid:48)v(cid:14)i(cid:47)a (cid:14)M(cid:0)(cid:34)a(cid:79)c(cid:88)h(cid:0)i(cid:18)a(cid:17)velli, 35
(cid:16)I-(cid:16)4(cid:13)4(cid:25)1(cid:21)0(cid:22)0(cid:0)(cid:55) Fe(cid:65)r(cid:82)r(cid:83)a(cid:90)r(cid:65)a(cid:87) (cid:65)
(cid:48)It(cid:79)al(cid:76)y(cid:65)(cid:78)(cid:68)
e-mail: [email protected]
(cid:69) (cid:13) (cid:77) (cid:65) (cid:73)(cid:76) (cid:26) (cid:0) (cid:80)za(cid:14)(cid:80)n(cid:82)@(cid:65)(cid:71)u(cid:65)n(cid:67)ife(cid:90)(cid:32).it(cid:73)(cid:77)(cid:80)(cid:65)(cid:78)(cid:14)(cid:71)(cid:79)(cid:86)(cid:14)(cid:80)(cid:76)
(cid:17)(cid:20)(cid:45)(cid:17)(cid:16)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:20)(cid:46)(cid:17)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:20)(cid:46)(cid:19)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:21)(cid:33)(cid:21)(cid:18)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:33)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:36)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:37)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:19)(cid:18)(cid:49)(cid:19)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:19)(cid:18)(cid:51)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:17)(cid:48)(cid:16)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:24)(cid:43)(cid:19)(cid:16)(cid:12)(cid:0)(cid:23)(cid:16)(cid:40)(cid:16)(cid:22)
(cid:33)(cid:0)(cid:35)(cid:41)(cid:48)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:65)(cid:76)(cid:79)(cid:71)(cid:85)(cid:69)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:66)(cid:79)(cid:79)(cid:75)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)
(cid:44)(cid:73)(cid:66)(cid:82)(cid:65)(cid:82)(cid:89)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:35)(cid:79)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:12)(cid:0)(cid:55)(cid:65)(cid:83)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:36)(cid:14)(cid:35)(cid:14)(cid:12)(cid:0)(cid:53)(cid:51)(cid:33)
(cid:34)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:71)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:83)(cid:72)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:66)(cid:89)(cid:0)(cid:36)(cid:73)(cid:69)(cid:0)(cid:36)(cid:69)(cid:85)(cid:84)(cid:83)(cid:67)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:34)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:75)
(cid:0)(cid:69)(cid:27)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:84)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:69)(cid:68)
(cid:66)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:71)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:68)(cid:65)(cid:84)(cid:65)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:41)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:78)(cid:69)(cid:84)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:72)(cid:84)(cid:84)(cid:80)(cid:26)(cid:15)(cid:15)(cid:68)(cid:78)(cid:66)(cid:14)(cid:68)(cid:68)(cid:66)(cid:14)(cid:68)(cid:69)
2000 Mathematical Subject Classification 35; 75
Library of Congress Control Number: 2006935947
Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed
bibliographic data is available in the Internet at http://dnb.ddb.de
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:0)(cid:19)9(cid:13)7(cid:23)8(cid:22)-(cid:20)3(cid:19)-7(cid:13)(cid:23)6(cid:18)4(cid:17)3(cid:20)-7(cid:13)(cid:17)4(cid:0)5(cid:34)0(cid:73)(cid:82)-(cid:75)1(cid:72) B(cid:203)i(cid:85)rk(cid:83)(cid:69)h(cid:82)ä(cid:0)u(cid:54)s(cid:69)e(cid:82)(cid:76)r(cid:65) V(cid:71)e(cid:12)(cid:0)r(cid:34)la(cid:65)g(cid:83),(cid:69) B(cid:76)(cid:0)(cid:110)a(cid:0)s(cid:34)e(cid:79)l (cid:83)–(cid:84) (cid:79) B(cid:78)o(cid:0)(cid:110)s(cid:0)t(cid:34)o(cid:69)n(cid:82) (cid:76)–(cid:73)(cid:78) Berlin
(cid:52)(cid:72)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:87)(cid:79)(cid:82)(cid:75)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:85)(cid:66)(cid:74)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:68)(cid:12)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:69)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)
(cid:66)(cid:65)(cid:78)(cid:75)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:38)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:75)(cid:73)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:73)(cid:83)(cid:83)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:87)(cid:78)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:77)(cid:85)(cid:83)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:66)(cid:84)(cid:65)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:68)(cid:14)
(cid:165)(cid:0)(cid:18)2(cid:16)0(cid:16)0(cid:21)7(cid:0)(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)(cid:12)(cid:0)(cid:48)(cid:14)(cid:47)(cid:14)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:88)(cid:0)(cid:17)(cid:19)(cid:19)(cid:12)(cid:0)(cid:35)(cid:40)(cid:13)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:0)(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)(cid:12)(cid:0)(cid:51)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:68)
(cid:48)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:51)(cid:80)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:51)(cid:67)(cid:73)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:11)(cid:34)(cid:85)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:45)(cid:69)(cid:68)(cid:73)(cid:65)
(cid:48)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:67)(cid:73)(cid:68)(cid:13)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:68)(cid:85)(cid:67)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:67)(cid:72)(cid:76)(cid:79)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:13)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:14)(cid:0)(cid:52)(cid:35)(cid:38)(cid:100)(cid:102)
(cid:48)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:39)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:89)
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:13)(cid:17)(cid:16)(cid:26)(cid:0)(cid:19)(cid:13)(cid:23)(cid:22)(cid:20)(cid:19)(cid:13)(cid:23)7(cid:18)4(cid:17)5(cid:20)0(cid:13)-(cid:17)0 e-ISBN-10: 3-7643-7451-9
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:13)(cid:17)(cid:19)(cid:26)(cid:0)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:13)(cid:19)(cid:13)(cid:23)(cid:22)(cid:20)(cid:19)(cid:13)(cid:23)7(cid:18)7(cid:17)4(cid:20)5(cid:13)0(cid:25)-1 e-ISBN-13: 978-3-7643-7451-8
(cid:25)(cid:0)(cid:24)(cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:22)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:19)(cid:0)(cid:18)(cid:0)(cid:17) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:87)(cid:87)(cid:87)(cid:14)(cid:66)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:65)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:14)(cid:67)(cid:72)
Contents
Preface ................................................................... vii
R. Agliardi
Some Applications of a Closed-form Solution for
Compound Options of Order N ...................................... 1
A.A. Albanese
Surjective Linear Partial Differential Operators with Variable
Coefficients on Non-quasianalytic Classes of Roumieu Type .......... 7
A. Ascanelli and M. Cicognani
The Fundamental Solution for a Second Order Weakly
Hyperbolic Cauchy problem ......................................... 17
L. Baracco, A. Siano and G. Zampieri
Pseudoholomorphic Discs Attached to Pseudoconcave Domains ...... 27
H. Beira˜o da Veiga
Vorticity and Regularity for Solutions of Initial-boundary Value
Problems for the Navier–Stokes Equations ........................... 39
M. Cappiello, T. Gramchev and L. Rodino
Exponential Decay and Regularity for SG-elliptic Operators
with Polynomial Coefficients ......................................... 49
F.A.C.C. Chalub and J.F. Rodrigues
A Short Description of Kinetic Models for Chemotaxis ............... 59
M. Chipot, A. Elfanni and A. Rougirel
Eigenvalues, Eigenfunctions in Domains Becoming Unbounded ....... 69
F. Colombini
Loss of Derivatives for t→∞ in Strictly Hyperbolic
Cauchy Problems .................................................... 79
R.M. Colombo and A. Corli
On the Operator Splitting Method: Nonlinear Balance Laws
and a Generalization of Trotter-Kato Formulas ...................... 91
M. Derridj
Subelliptic Estimates for some Systems of Complex Vector Fields .... 101
vi Contents
M. Guidorzi and M. Padula
Approximate Solutions to the 2-D Unsteady Navier-Stokes System
with Free Surface .................................................... 109
K. Kajitani
Time Decay Estimates of Solutions for Wave Equations
with Variable Coefficients ............................................ 121
M. Nacinovich
On Weakly PseudoconcaveCR Manifolds ............................ 137
C. Parenti and A. Parmeggiani
A Note on Kohn’s and Christ’s Examples ............................ 151
K. Pileckas
On the Nonstationary Two-dimensional Navier-Stokes Problem
in Domains with Strip-like Outlets to Infinity ........................ 159
P.R. Popivanov
A Link between Local Solvability and PartialAnalyticity
of Several Classes of Degenerate Parabolic Operators ................ 173
R. Russo and C.G. Simader
The Solution of the Equation divw =p∈L2(Rm)
with w ∈H1,2(Rm)m ................................................ 185
0
V.A. Solonnikov
On Schauder Estimates for the Evolution Generalized
Stokes Problem ...................................................... 197
D.S. Tartakoff
Local Analyticity and Nonlinear Vector Fields ....................... 207
J. Vaillant
Strongly Hyperbolic Complex Systems Reduced Dimension,
Hermitian Systems .................................................. 217
Preface
Researchonhyperbolicproblemsandregularityquestionsdevelopedsorapidly
overthelastyearsthataconferencebecamenecessarywhererecentprogresscould
be discussed.
The conference covered a great variety of topics originating from nonlin-
ear PDE, functional and applied analysis, physics, differential geometry, complex
structures etc., that present a rich profile of studies in hyperbolic equations and
related problems.
One objective was to bring together leading specialists from Europe, Asia
and the United States and to discuss new challenges in this quickly developing
field. Another goal of the conference was to exhibit the remarkable vitality and
breadthofcurrentactivities in PDEsas wellas the highscientific levelofongoing
work in the area.
Thisvolumecollectspolishedversionsofthelecturesgivenattheconference.
Readers will find inspiring contributions to the calculus of variations, differen-
tial geometry,the development of singularities, regularity theory, hydrodynamics,
asymptotic behavior, among others, and will profit of new tools and ideas, new
results, interesting points of view, and important problems waiting for their solu-
tion.
The conference was co-organized by the Department of Mathematics of the
University of Ferraraand the Italian Ministry of University and Research.It took
placefromMarch31toApril3,2004.Wehopethatthisvolumereflectsthevariety
of topics discussed.
We are grateful to the members of the local Organizing Committee,
Marco Cappiello, University of Ferrara
Alessia Ascanelli, University of Ferrara
for their valuable help. We arehappy to thank all the participants ofthis meeting
for making it a success. Many thanks are due to Birkh¨auser for constant encour-
agement and assistance.
Ferrara,April 2006
L. Zanghirati
M. Padula
HyperbolicProblemsandRegularityQuestions
TrendsinMathematics,1–6
(cid:1)c 2006Birkh¨auserVerlagBasel/Switzerland
Some Applications of a Closed-form Solution
N
for Compound Options of Order
Rossella Agliardi
Keywords.Black-Scholespartialdifferentialequation,multivariatenormalin-
tegral correlation matrix.
1. Introduction
In this paper a closed formula for compound call options of order N is presented
inthecaseofvariableinterestrateandvolatility,thusgeneralizingthewell-known
Geske’sexpressionforcompoundoptions.TheresultisobtainedinaBlack-Scholes
framework, that is, solving N nested Cauchy problems for the Black-Scholes dif-
ferential equation and using some properties of multivariate normal integrals in
order to obtain a nice closed-form expression. Section 2 is devoted to sketch the
proof.We refer to [2] for more details.In Section3 our formula is applied to some
important problems in Finance and Real Option Analysis.
2. Notation and main formula
In this section notation and assumptions are the same as in Black-Scholes envi-
ronment. Here S will denote the current value of a stock and we will assume that
S follows, as usual, the stochastic differential equation:
dS =µ(t)Sdt+σ(t)SdW
t
whereW isastandardWienerprocess.Letc (S,t)denotethevalueofaEuropean
t 1
call option on the stock, with exercise price X and expiration date T , that is,
1 1
such that c (S,T ) = max(S −X ,0). As is well known, a closed-form solution
1 1 1
for c (S,t), 0 ≤ t ≤ T , was derived in [3] and [5]. Let us now define inductively
1 1
a sequence of call options (with value ck) on the call option whose value is ck−1
and with exercise price X and expiration date T , where we assume T ≥ T ≥
k k 1 2
2 R. Agliardi
···≥T .Theusualrisklesshedgingargument(see[3])yieldsthefollowingpartial
N
differential equations:
∂c ∂c 1 ∂2c
k =r(t)c −r(t)S k − σ2(t)S2 k t≤T ,
∂t k ∂S 2 ∂S2 k
for any k =1,...,N. The final condition is
ck(ck−1(S,Tk),Tk)=max(ck−1(S,Tk)−Xk,0)
Our aim is to derive a valuation formula for the N-fold multicompound
option, that is, for c (S,t), 0≤t≤T .
N N
LetSk∗ denotethevalueofS suchthatck−1(S,Tk)−Xk =0ifk >1,andS1∗ =X1.
Let us define:
h (t)=⎛⎝ln S +(cid:3)Tk(cid:4)r(τ)− σ2(τ)(cid:5)dτ⎞⎠(cid:8)⎛⎝(cid:3)Tkσ2(τ)dτ⎞⎠12 (2.1)
k S∗ 2
k
t t
and set
⎛ (cid:8) ⎞1
(cid:3)Tj (cid:3)Ti 2
ρ (t)=⎝ σ2(τ)dτ σ2(τ)dτ⎠ for 1≤i≤j ≤k,t≤T . (2.2)
ij k
t t
For any k, 1 ≤ k ≤ N, let Ξ(N)(t) denote a k-dimension correlation matrix with
k
typical element (cid:5)ij(t) = ρN−k+i,N−k+j(t). (Here we mean Ξ(1N)(t) = 1.) Let
N (h ,...,h ;Ξ ) denote the k-dimension multinormal cumulative distribution
k k 1 k
function, with upper limits of integration h ,...,h and correlation matrix Ξ .
1 k k
The final result is that the value c of the compound option of order N is the
N
following:
⎛ (cid:9) (cid:9) ⎞
(cid:3) (cid:3)
c (S,t)=SN ⎝h (t)+ TN σ2(τ)dτ,...,h (t)+ T1σ2(τ)dτ;Ξ(N)(t)⎠
N N N 1 N
t t
(cid:10)N (cid:11) (cid:12) (cid:13)
− Xje− tTjr(τ)dτNN+1−j hN(t),...,hj(t);Ξ(NN+)1−j(t)
j=1
for any 0≤t≤T and with the h (t)’s defined as above.
N j
In what follows we just give a short outline of the proof: some additional
detailscanbefoundin[2].Weargueinductively.Thefirststepistotransformthe
Black-Scholes differential equation with k =N into the heat equation
∂ Y =∂2Y
z N u N
by performing the following substitutions:
(cid:3) (cid:4) (cid:5)
TN 1
u=ln(S∗/S)− r(τ)− σ2(τ) dτ,
N 2
t
Some Applications of a Closed-form Solution 3
(cid:3)
1 TN
z = σ2(τ)dτ,
2
t
(cid:11)
YN(u,z)=e tTNr(τ)dτcN(S,t).
ThenweplugtheexpressionforY (u,0)wecanobtainbyinduction,intothe
N
solution of the Black-Scholes partial differential equation above, which is written
in the form:
(cid:3)
(cid:11) +∞ √
cN(S,t)=e− tTNr(τ)dτ ( 4πz)−1e−(u−ξ)2/4zYN(ξ,0)dξ.
−∞
√
Thus, changing to variables x=h (t)+ξ/ 2z, we have:
N
(cid:14)
(cid:3) (cid:11)
cN(S,t)=S hN(t)+ tTNσ2(τ)dτ(√2π)−1e−x2/2NN−1((hN−1(TN)
(cid:9)−∞
(cid:3) (cid:15)(cid:14)
TN−1
+ σ2(τ)dτ −xρN−1,N(t)) 1−ρ2N−1,N(t),...,(h1(t)
(cid:9) TN
(cid:3) (cid:15)(cid:14)
+ T1σ2(τ)dτ −xρ (t)) 1−ρ2 (t);Ξ(N−1)(T ))dx
1,N 1,N N−1 N
TN (cid:3)
−Xje−(cid:11)TTNj r(τ)dτ hN(t)(√2π)−1e−x2/2×
−∞ (cid:15)(cid:14)
×NN−j((hN−1(t)−xρN−1,N(t)) 1−ρ2N−1,N(t),...,(hj(t)
(cid:15)(cid:14)
−xρ (t)) 1−ρ2 (t);Ξ(N−1)(T ))dx
j,N j,N N−j N
(cid:3)
0
+X (2πz)−1e−x2/2dx
N
−∞
where N (h ,...,h ;Ξ ) denotes the k-dimension multinormal cumulative distri-
k k 1 k
butionfunction,withupperlimitsofintegrationh ,...,h andcorrelationmatrix
1 k
Ξk, and the entries (cid:5)ij(t) of Ξ(kN−1)(t) are ρN−1−k+i,N−1−k+j(t) for i≤j.
Since
(cid:15)(cid:14)
ρ (T )=(ρ (t)−ρ (t)ρ (t)) (1−ρ2 (t))(1−ρ2 (t))
ij N ij iN jN iN jN
for 1 ≤ i < j ≤ N, t ≤ T , we finally obtain the desired form from a general
N
relationship between a k-dimension correlation matrix and its (k−1)-dimension
partial correlationmatrix (see [8], for example).
3. Some applications
The first applicationof ourformula is to the valuationof default bonds.As Geske
pointed out, mathematical expressions for the price of compound options can be
applied to the valuation of risky coupon bonds. The equity of a firm that has