Hydrodynamik und Anwendungen 001

161 Pages·2016·1.4 MB·German

Andreas Schadschneider
Einfu¨hrung in die Hydrodynamik
und ihre modernen Anwendungen
Version:24.Februar2004
Wintersemester 2003/04
Vorbemerkungen
Die Vorlesung soll eine ausfu¨hrliche Darstellung der Hydrodynamik geben, die im allgemeinen
in der Vorlesung Theoretische Physik I zu kurz kommt. Besonderes Gewicht soll dabei auf mo-
derneAnwendungengelegtwerden.EinfachehydrodynamischeModellewerdenbeivielenFra-
gestellungenangewendet,umeinenU¨berblicku¨berdasVerhaltenzugewinnen.Wirwerdenz.B.
Beispiele aus den Bereichen Kosmologie und Astrophysik, Biologie und Medizin, Kernphysik,
Straßenverkehretc.kennenlernen.
Zusa¨tzlichzurVorlesungwerdeninunregelma¨ßigenAbsta¨ndenbegleitendeU¨bungenangeboten.
DiesesolleninersterLiniezum Nachdenkenanregen.
Die wesentliche Aspekte der Hydrodynamik werden in den meisten Lehrbu¨chern zur Theoreti-
schenMechanikbesprochen.Besondersempfehlenswertist
L.D. Landau und E.M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI: Hydrodynamik
(Akademie-Verlag)
DerZusammenhangmitaktuellenFragestellungenderstatistischenPhysikistin
D.H. Rothman und S. Zaleski: Lattice-gas cellular automata (Simple models of complex hydro-
dynamics)(CambridgeUniversityPress)
dargestellt.WeiterespezielleLiteraturhinweisewerdenanentsprechenderStelleinderVorlesung
gegeben.
Fu¨r Fehlermeldungen und Verbesserungsvorschla¨ge bin ich jederzeit dankbar. Sie ko¨nnen auch
peremailanmich([email protected])geschicktwerden.DiejeweilsaktuellsteVersi-
on desSkriptsist imInternetu¨bermeine Homepage
http://www.thp.uni-koeln.de/ as/as.html
(cid:0)
verfu¨gbar.
AndreasSchadschneider
Inhaltsverzeichnis
I Einfu¨hrung 5
I.1 WassindFlu¨ssigkeiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2 Beschreibungvon Flu¨ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2.1 Lagrange’scheDarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.2 Euler’scheDarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2.3 StromlinienundBahnlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.2.4 Zeitliche A¨nderungvonFeldgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3 Kontinuita¨tsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II IdealeFlu¨ssigkeiten 15
II.1 Euler’scheGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.1.1 Kontinuita¨tsgleichungder Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.1.2 Isentrope(homentrope)Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.2.1 Flu¨ssigkeitimSchwerefeldderErde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.2.2 Gleichfo¨rmigrotierendeFlu¨ssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.3 Bernoulli’scheGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.3.1 Energiestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.3.2 Impulsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.4.1 ModelldesKosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.4.2 StatischeSternmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.5 Wirbelund Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.5.1 ErhaltungderZirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.5.2 Helmholtz’scheWirbelsa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II.6 Potentialstro¨mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.6.1 EbeneStro¨mungeninkompressiblerFlu¨ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . 40
II.6.2 EbeneStro¨mungumein Hindernis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.6.3 Stro¨mungum einenKreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.6.4 EbeneStro¨mungumbeliebige Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.6.5 Widerstandskraftbei Potentialstro¨mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II.7 Wellenin idealenFlu¨ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
2 INHALTSVERZEICHNIS
II.7.1 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.7.2 Ringwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.7.3 LangeSchwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.7.4 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III Za¨he Flu¨ssigkeiten 63
III.1 Bewegungsgleichungfu¨rza¨he Flu¨ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.2 Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.2.1 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III.3 Rohrstro¨mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.3.1 Stro¨mungzwischenzweiPlatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.3.2 Stro¨mungdurchein Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.3.3 Stro¨mungzwischenrotierendenZylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.4 DasA¨hnlichkeitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.5 Stro¨mungenmitkleinen Reynolds-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.5.1 Geradliniggleichfo¨rmigeBewegungeinerKugel:DieStokes’schesFormel 76
III.5.2 VerbesserungderStokes’schenFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.5.3 AnwendungenderStokes’schenFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III.6 Energiedissipationin einerinkompressiblenFlu¨ssigkeit . . . . . . . . . . . . . . 81
III.7 Solita¨reWellen undSolitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III.7.1 Korteweg-deVries-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III.7.2 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.7.3 Sine-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.8 Anwendungen:Verkehrsmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III.8.1 EmpirischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III.8.2 Lighthill-Whitham-Theorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
III.8.3 Burgers-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
III.8.4 Payne-Modellund Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV Hydrodynamik undStatistischePhysik 109
IV.1 BeschreibungimPhasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.1.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
IV.1.2 SubstantielleAbleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV.1.3 Stoßterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV.2 Gleichgewichtsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
IV.3 Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IV.4 DiehydrodynamischenGrundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.4.1 ErhaltungderTeilchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.4.2 ErhaltungdesImpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
IV.4.3 ErhaltungderEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV.5 DasMomentenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
IV.6 DieMomentengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
IV.6.1 Lo¨sungderMomentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
INHALTSVERZEICHNIS 3
A Grundlagender Funktionentheorie 125
A.1 KomplexeDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Cauchy’scherIntegralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.3 Cauchy’scheIntegralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.4 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B U¨bungen 131
B.1 Lo¨sungenzu U¨bung1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.2 Lo¨sungenzu U¨bung2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.3 Lo¨sungenzu U¨bung3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.4 Lo¨sungenzu U¨bung4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.5 Lo¨sungenzu U¨bung5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.6 Lo¨sungenzu U¨bung6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
B.7 Lo¨sungenzu U¨bung7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
B.8 Lo¨sungenzu U¨bung8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4 INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel I
Einfu¨hrung
Die Hydrodynamik bescha¨ftigt sich mit der Untersuchung und Beschreibung von Flu¨ssigkeiten
undnichtzustarkverdu¨nntenGasen.BevorwirdetaillierterindieTheorieeinsteigen,wollenwir
etwasgenauerfestlegen,wodurchu¨berhauptFlu¨ssigkeitencharakterisiertsind.Außerdemsollen
einigesehrallgemeineAspekte derBeschreibung vonFlu¨ssigkeitendiskutiert werden.
I.1 Was sind Flu¨ssigkeiten?
Aus der Thermodynamik ist das Phasendiagramm einer typischen Substanz wohlbekannt (siehe
Abb. I.1.1). Bei niedrigen Temperaturen und hohen Drucken liegt ein Festko¨rper vor. Dieser
ist im i.a. kristallin, d.h. die Moleku¨le sind auf einem regelma¨ßigen Kristallgitter angeordnet.
Es liegt daher eine langreichweitige periodische Ordnung vor. Außerdem fu¨hrt dies dazu, daß
Festko¨rper ein festes Volumen einnehmen. Die periodische Ordnung erlaubt auch zahlreiche
Vereinfachungenbei dertheoretischenBeschreibung vonFestko¨rpern.
Bei hohem Temperaturen und niedrigen Drucken sind normale Stoffe gasfo¨rmig. Diese sind im
Gegensatz zu den Festko¨rper ungeordnet und lassen sich daher sehr gut mit Hilfe einer statisti-
schenBeschreibung charakterisieren. Gasetendierendazu,dengesamten zurVerfu¨gung stehen-
denRaumauszufu¨llen.
Flu¨ssigkeitennehmeninvielerHinsichteineZwischenstellungein.AusStreuexperimenten(z.B.
mitNeutronenoderRo¨ntgenstrahlung)weißman,daßsieeinkleinenBereichenra¨umlichgeord-
net sind. Hier liegt eine gewissen A¨hnlichkeit zu Kristallen vor. Allerdings sind die Moleku¨le
nichtanfestePla¨tzegebundenund soliegtkeineFernordnungvor.DieseEigenschaftenmachen
die Untersuchungvon Flu¨ssigkeitenbesondersschwierig.
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:9)(cid:3)(cid:11)(cid:10)
Jenseits des kritischen Punktes verschwindet der Unterschied zwischen Flu¨ssigkeit und
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:9)(cid:3)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:10)
Gas.DeshalbfaßtmanGaseundFlu¨ssigkeitenoftzudenFluidenzusammen.Unterhalb
kann man sie z.B. an Hand des Verhaltens der Kompressibilita¨tunterscheiden. Die Phasen sind
dabeidurcheinePhasenu¨bergangersterOrdnungvoneinandergetrennt.
Wir wollen nun die Nahordnung in Flu¨ssigkeiten etwas genauer studieren. Dazu betrachten wir
(cid:0)(cid:16)(cid:15)(cid:17)(cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10) (cid:18)
die Korrelationsfunktion (cid:14) . Diese ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit am Ort
(cid:15) (cid:18)(cid:22)(cid:21)(cid:24)(cid:23) (cid:15)(cid:25)(cid:21)(cid:26)(cid:23)
ein Moleku¨l zu finden, falls zur Zeit eines am Ort war. Handelt es sich dabei um
5
6 KAPITELI. EINFU¨HRUNG
P
fest fluessig
P kritischer
c
Punkt
Tripelpunkt
Gas
T T
c
AbbildungI.1.1: TypischesPhasendiagramm.
(cid:0)(cid:2)(cid:15)(cid:17)(cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10)
das gleiche Teilchen, so spricht man von der Autokorrelationsfunktion (cid:14) (cid:0) . Handelt es sich
(cid:0)(cid:16)(cid:15)(cid:17)(cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10)
umein anderesTeilchen,so nenntman siePaarkorrelationsfunktion(cid:14)(cid:2)(cid:1) .
Abb.I.1.2zeigt dastypischeVerhaltender(radialen)PaarkorrelationsfunktioneinerFlu¨ssigkeit.
Manerkennt deutlichStrukturenbei kurzenAbsta¨ndendievonderNahordnungherru¨hren.Dies
ist a¨hnlich zu einem Festko¨rper, bei im idealisierten Fall Deltapeaks bei Vielfachen der Gitter-
konstanteauftreten.Fu¨rgroßeAbsta¨ndewirddiePaarkorrelationstrukturlos,genauwieineinem
Gas.DerWertdortist imwesentlichendurchdie Dichte bestimmt.
DiePaarkorrelationsfunktionistexperimentellmitHilfevonStreuexperimentenzuga¨nglich.Da-
bei kommt die Streuung von Licht, Ro¨ntgenstrahlung, Neutronen und Elektronen in Frage. Die
Gro¨ße der Streuer bestimmt dabei die geeignete Wellenla¨nge. Außerdem muß man darauf ach-
ten,daßdieAbsorptiondereingestrahltenPartikelkleinist,aberdieStreuunggroß.DieIntensita¨t
(cid:3) (cid:0)(cid:5)(cid:4) (cid:10)
dergestreutenPartikelistdanngegebendurch
(cid:3) (cid:0)(cid:5)(cid:4)(cid:4)(cid:10) (cid:3)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:10)(cid:11)(cid:8)(cid:12)(cid:14)(cid:13)(cid:16)(cid:15) (cid:0)(cid:17)(cid:4) (cid:10) (cid:5)
(I.1.1)
(cid:0)
(cid:13) (cid:3)(cid:18)(cid:6) (cid:10)
wobei die Zahl der Streuer ist, die Intensita¨t der einfallenden Strahlung und die Streu-
amplitude,diedieWechselwirkungzwischenstreuendenundgestreutenTeilchenbeschreibt.Der
(cid:15) (cid:0)(cid:5)(cid:4) (cid:10)
Strukturfaktor ha¨ngtengmitderKorrelationsfunktionzusammen,denneristgeradedessen
Fouriertransformierte
(cid:15) (cid:0)(cid:5)(cid:4) (cid:10) (cid:21)(cid:20)(cid:19) (cid:0)(cid:2)(cid:15) (cid:10)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:28)(cid:30) (cid:31)"!$#&%
(cid:14)(cid:21)(cid:1) (I.1.2)
Somit kann im Prinzip u¨ber die Messung des Strukturfaktors die Paarkorrelation bestimmt wer-
den.
I.2 Beschreibung von Flu¨ssigkeiten
In erster Linie ist man an den makroskopischen Eigenschaften von Flu¨ssigkeiten interessiert.
Deshalb ist eine Kontinuumsbeschreibung angebracht. Wir werden uns in erster Linie fu¨r die
I.2. BESCHREIBUNGVONFLU¨SSIGKEITEN 7
Abbildung I.1.2: Typische Form der Paarkorrelationsfunktion einer Flu¨ssigkeit (oben). Der un-
tereTeil zeigtdie zugeho¨rigeNahordnungimOrtsraum.
mechanischenEigenschafteninteressieren.AllerdingswirdauchdieThermodynamikeineRolle
spielen.
Im Folgenden werden wir also Flu¨ssigkeiten als ein Kontinuum betrachten, d.h. als von Masse
stetig erfu¨llten Raum. Ein wichtiges Konzeptist das sogenannte Flu¨ssigkeitselement.Dabei soll
es sich um ein kleines Teilvolumen der Flu¨ssigkeit handeln, in dem die physikalischen Gro¨ßen
als konstant angenommen werden ko¨nnen. Es sollte daher klein gegenu¨ber der mittleren freien
Wegla¨nge der Flu¨ssigkeitsmoleku¨le sein. Auf der anderen Seite entha¨lt es aber viele Moleku¨le.
Allerdingsstelltman sichFlu¨ssigkeitselementedochi.a.als punktfo¨rmigeObjektevor!
BeiderBeschreibungderDynamikvonFlu¨ssigkeitenmußmanzweiverschiedeneDarstellungen
unterscheiden,die wirim folgendenvorstellenwollen.
I.2.1 Lagrange’sche Darstellung
Im Rahmen der Lagrange’schen Darstellung versucht man — in Analogie zur Mechanik von
Massenpunkten— dieBahnkurveneinzelnerFlu¨ssigkeitselementeanzugeben.
(cid:0) (cid:18) (cid:6)
Bzgl.einesfixierten Koordinatensystemsbefindensich die Flu¨ssigkeitselemente zurZeit an
(cid:15)(cid:2)(cid:1) (cid:0)(cid:16)(cid:18) (cid:6) (cid:10)
den Positionen . Die Bewegung der Flu¨ssigkeit wird dann vollsta¨ndig beschrieben durch
(cid:15)(cid:3)(cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:18)(cid:20)(cid:10)
die Zeitabha¨ngigkeit der Ortsvektoren aller dieser Elemente. Wir greifen uns eines dieser
(cid:15) (cid:0)(cid:2)(cid:18) (cid:6) (cid:10) (cid:21) (cid:15) (cid:6)
Elementeheraus,dassichbei befinde. SeineBewegungistdanngegebendurch
(cid:15) (cid:0)(cid:16)(cid:18)(cid:20)(cid:10) (cid:21)(cid:5)(cid:4) (cid:0)(cid:2)(cid:15) (cid:6) (cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10) %
(I.2.1)
8 KAPITELI. EINFU¨HRUNG
t , r
0 0
t,r
t+D t , r+D r
AbbildungI.2.1: ZurLagrange’schenDarstellung.
DieGeschwindigkeitdesElementesbestimmtsich aus(sieheAbb.I.2.1)
(cid:15) (cid:15)
(cid:11) (cid:12)
(cid:0) (cid:21) (cid:6)(cid:8)(cid:1)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:4)(cid:9) (cid:6) (cid:11) (cid:18) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:30) (cid:21)(cid:16)(cid:15) (cid:18) (cid:8)(cid:30) (cid:13) (I.2.2)
(cid:14)(cid:13) (cid:15)
d.h.also
(cid:21) (cid:15) (cid:4) (cid:0)(cid:16)(cid:15) (cid:6) (cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10)(cid:14)%
(cid:0) (cid:18) (I.2.3)
(cid:15) (cid:6) (cid:15) (cid:15)
Dabei ist fest und beim Bilden des Limes sind nur solche Ortsvektoren zugelassen, die
(cid:15) (cid:6)
zur Bahnkurve des durch charakterisierten Elementes geho¨ren. Analog findet man fu¨r die
Beschleunigung
(cid:12)
(cid:17) (cid:21) (cid:15) (cid:18) (cid:12) (cid:4) (cid:0)(cid:16)(cid:15) (cid:6) (cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10)(cid:14)% (I.2.4)
(cid:15)
InderPraxisistdiesescheinbarnatu¨rlicheDarstellungoftumsta¨ndlichundschwierig.I.a.istman
auch nicht am Schicksal eines einzelnen Elementes interessiert, sondern am Stro¨mungszustand
undseinerzeitlichen A¨nderunganjedemRaumpunkt.
I.2.2 Euler’sche Darstellung
In der Euler’schen Darstellung betrachtet man nicht mehr die Bahnen einzelner Flu¨ssigkeits-
elemente. Stattdessen werden die physikalischen Gro¨ßen als Felder behandelt, d.h. alle Gro¨ßen
werdenanjedemRaumpunktskalareodervektorielleWertezugeordnet,die sichzeitlicha¨ndern
ko¨nnen.EinBeispiel istdasGeschwindigkeitsfeld
(cid:21) (cid:0)(cid:16)(cid:15)(cid:17)(cid:5)(cid:19)(cid:18)(cid:20)(cid:10)(cid:14)%
(cid:20)(cid:19)
(cid:18) (I.2.5)
(cid:18) (cid:15)
Diese Gleichung hat dann folgende Interpretation: Zur Zeit fließt die Flu¨ssigkeit am Ort mit
der Geschwindigkeit (cid:18) . Dabei bleibt unberu¨cksichtigt, auf welcher Bahn sich das Flu¨ssigkeits-
(cid:18) (cid:15)
element bewegt, das zur Zeit am Ort ist! Die Euler’sche Darstellung entspricht also einer
Abfolgevon MomentaufnahmendesZustandesderFlu¨ssigkeit.