Homotopie des Espaces de Sections

138 Pages·1982·1.33 MB·French

by  André Legrand (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna .B Eckmann
149
6rdnA dnargeL
eipotomoH
sed secapsE ed snoitceS
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York 1982
Auteur
Andr~ Legrand
U.E.R. de Math6matiques, Universit~ Paul Sabatier
118, route de Narbonne, 31062 Toulouse C6dex, France
AMS Subject Classifications (1980): 55 P XX
ISBN 3-540-11575-? Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-38?-11575-? Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982
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2141/3140-543210
INTRODUCTION
Au dfipart nous avons ~tudi~ l'homotopie des fibres en groupes
pour r~soudre le probl~me pos~ depuis 1958, 7, par le calcul de
l'invariant dfifini par la diff~rentielle d 2 de la suite spectrale de
Serre d'un fibr~ F § E + B.de base non simplement connexe.
Rappelons que, si B est simplement conmexe, la diff~rentielle
dP,q : HP(B,Hq(F)) > HP+2(B,Hq-I(F))
2
de la suite spectrale de Serre de E est le cup-produit par une classe
2 ~ H 2 (B,Hom(Hq(F),Hq'I(F))) d~termin~e par la premiere obstruction
q
n ~ H2 (B,~I(G)) du fibr~ principal associ~ ~ E, G d~signant son groupe
structural (Fadell-Hurewicz, 4 ")
Par contre lorsque ~I(B) n'est pas nul, d 2 est un invariant
"plus riche" que l'obstruction classique (ici la premiere obstruction
est dans HI(B,~ (G))). Ceci est particuli~rement explicite lorsque
o
~I(B) est fibre. On associe alors ~ E des invariants d'Eilenberg pri-
mair~ et secondair~ (d~finitions V-2 et V-3)
1 1 , Hq-I
n ~ H (B, Ext(Hq(F) (F)))
q
2 ~ H2(B, Hom(Hq(F) , Hq-1 (F)))
q
(la cohomologie de B est ~ coefficients locaux). On d~finit une nouvel-
le operation (d~finition V-4)
* : HI(B, Ext(Hq(F), Hq-I(F))) O~NP(B,Hq(F)) + HP+2(B,Hq-(F))
et pour tout c E HP(B,Hq(F)), on a (th~or~me V-5)
d~'q(c) = n 2 U c + n~ * .c
q
D'apr~s E.H. Brown, toute cohomologie g~n~ralis~ est repre-
sentable par les classes d'applications ~ valeurs dans un espace Y
convenable. Plus g~n~ralement les classes d'homotopie de X dans un
H-espace G d~finissent un groupe, non "stable" ~ priori, et cependant
d~termin~, au moyen de la suite spectrale "limit~e" de Shih, ~19~par
la cohomologle de X ~ coefficients dans l'homotopie de G. Toutes
les "cohomologies" utilis~es ne sont pas obtenues ainsi : par exemple
la cohomologie ~ coefficients locaux qui est representable par les
classes de sections d'un fibr~ en groupes de fibre un espace
d'Eilenberg-Mac Lane (Siegel, ~2, ou th~or~me 111-2 plus loln).
Plus g~n~ralement consid~rons un fibr~ en groupes G + ~+ B.
O
VI
L'espace des sections F ~ est un groupe. Les groupes d'homotopie
~n(r ~) sont filtr~s naturellement de deux mani~res :
- en utilisant la d~composition de Postnikov de 9
suivant une d~composition en squelett~ de B.
-
On associe respectivement ~ ces fibrations une ~1-suite spectrale et
une E2-suite spectrale. La suite spectrale de Shih, 19~est un cas
particulier de la premiere et la suite spectrale de Serre, |7 2 , un
cas particulier de la seconde. Ces suites spectrales sont adapt~es
l'homotopie. Elles sont non ab~liennes et limit~es. Une th~orie en a
~t~ faite la premiere fois par Shih en 1962, 19.
Un falt remarquable est que bien que les fil~rations sur
n,(Fg) soient diff~rentes les bigradu~s associ~s sont isomorphes.
C'est un cas particulier de l'isomorphisme de ees suites spectrales
~I y a d~calage des degr~s, (Er,dr) = (Er+|,dr+1), th~or~me IV-2).
L'isomorphisme E| = E2 donne un nouveau calcul du terme E 2 de la
suite speetrale de Serre.
Pour "enrichir" l'obstruction classique, on ~largit la
structure trop rigide de fiSr~ principal par celle de B-fibr~ princi-
pal (d~finition II-2). On se place dans la cat~gorle K B des flbr~s de
Kan de base B pour laquelle les fibres en groupes sont les groupes.
On consid~re une action principale d'un fibr~ en groupes G § ~ + B
sur un fibr~ E § Bo On appelle 9 le fibr~ structural. Si on se res-
treint aux fibres structuraux triviaux, on trouve les fibres princi-
paux classiques. On classifie les B-fibres prlncipaux en prolongeant
aux fibres en groupes la construction W des groupes simpliciaux
(Cartan, 3~). La th~orie d'obstruetion cherch~e est alors un corollai-
re de cette classification (proposition 11-9).
On sait (May, 13) le role jou~ par le groupe fondamental
de la base sur la structure des flbr~s de fibre K(z,n). Mais ces fi-
bres sont toujours B-princlpaux d'o~ leur classification habituelle
(proposition 11-6). II est d'ailleurs remarquable que cette classifi-
cation induise celle des fibres en groupes de fibre K(~,n). C'est-~-
dire que pour ees flbr~s la structure de B-groupe est un invariant
homotopique (th~or~me 111-8).
Les classes de B-morphismes entre deux tels flbr~s repr~-
sentent les B-operations eohomologiques (operations eohomologiqnes
pour la cohomologie ~ coefficients locaux, d~finition 111-2, cf.
Siegel, ~13). Les invariants d'Eilenberg g~n~ralis~s qu'on associe
aux fibres en groupes (d~finition III-8) et qui d~termlnent d I sont
des B-operations cohomologiques. L'op~ration mixte (d~finition V-4) et
le cup-produit par une classe de B sont ~galement des B-op~ratlons
cohomologiques.
Le chapitre I rappelle los propri~t~s g~n~rales des espaces
de sections relativement aux flbr~s. Les B-fibres principaux et leur
classification forment le chapitre II. L'homotopie des fibres en grou-
pes est ~tudi~ dans le chapitre III. L'homotopie de l'espace des
sections d'un fibr~ en groupes et les exemples constituent le chapltre
IV. Le chapitre Vest le calcul des invariants fournis par la premiere
diff~rentielle des suites spectrales introduites dans le chapitre pre-
cedent.
Je remercie vivement Messieurs les Professeurs Cartan et
Shih Weishu pour l'aide constante qu'ils m'ont apport~e ainsi que
Madame Panabiere qui s'est charg~e de la frappe du manuscrit.
TABLE DES MATIERES
I. Ensembles simpliciaux au-dessus de B
1. Foncteurs S Bet F 1
2. B-homotopie et B-fibr~ 5
3. Le foncteur 9
4. Appendice. Base non fix~e 15
II. B-fibres principaux
. B-groupes et fibres en groupes 7
2. B-fibres principaux 19
3. B-produits tordus 25
4. B-fibr~ universel 28
5. Obstruction au rel~vement des B-morphismes 4
lll. Fibr~s en groupes de fibre de type K(~,n).
.I Structure du groupe simplicial D(K(~,n)) 43
2. B-operations cohomologiques 48
.3 Fibres dont les fibres sont de type K(~,n) 6!
4. Fibres en groupes dont les fibres sont de type
K(~,n) 73
5. Invariants d'un fibr~ en groupes 79
IV. Homotopie de l'espace des sections d'un fibr~ en groupes
.I Suites spectrales non ab~liennes limlt~es 84
2. Suite spectrale de Shih d'un fibr~ en groupes 90
.3 Deuxi~me suite spectrale. Th~or~me de eomparaison 95
4. Exemples 105
V. Diff~rentielle de la suite spectrale de Shih
.I Calcul de la diff~rentielle en fonction des invariants
d'Eilenberg 09
2. Calcul de la diff~rentielle lorsque la base est
simplement connexe 114
.3 Calcul de la diff~rentielle lorsque q est ab~lien 16
I. ENSEMBLES SIMPLICIAUX AU-DESSUS DE B.
.| Foncteurs S B e~ F
Consid~rons la cat~gorie A* dont les oh jets sont les suites
d'entiers A = (0, ,... ,n) et les morphismes sont les applications
n
croissantes au sens large A + A . On note 6. : A § A le morphisme
n p i p-| p
injectif ne prenant pas la valeur i et ~i : Bp+! + Ap le morphisme
surjectif prenant deux lois la valeur i,
Un ensemble simplicial X est un foncteur contravariant de la
cat~gorie A* dans la cat~gorie des ensembles. Un morphisme simplicial
est une transformation naturelle entre deux tels foncteurs. Un ensem-
ble simplicial est donc un ensemble gradu~, X = X(A ), par les
P P
entiers positifs ou nuls, avec pour 0$i$p des operations,
d I (cid:12)9 = X(6 i ) : Xp § X p_| et s. i = X(oi) : X p + X p+1
appel~es operations faces et d~g~n~rescences, qui v~rifient
d.d. = d, d, si i<j
i j J- l
sis j = sj+s i si i<j
dis j = Sj_ld i si i<j
djsj = dj+lS j = identit~
d.s. = s.d. si i>j+
1 j j 1-
Les ~l~ments de X sont appel~s les p-simplexes de X. Un morphisme
P
simplicial de X dans Y est une application f : X § Y, de degr~ 0,
qui v~rifie, pour tout i,
f o d. = d, o f et s. o f = f o s..
1 i 1 1
Pour tout entier n positif, on note (A n ) l'ensemble simpli-
cial obtenu en posant
(An) p = Hom(Ap,A n )
On identifie ;A ~ (An) n avec A n . Les applications ~i et ~i induisent
n
des applications simpliciales (An_ ) § (A n) et (An+ ) § (A n) not~es
~galement 6. et o.. Tout n-simplexe x ~ X engendre une application
1 1
simpliciale (An) § X notre encore x. On a alors
d.x = x o 6. et s.x = x o o..
i 1 1 1
Pour X et Y ensembl~ simpliciaux, on note Hom(X,Y) l'ensemble
des morphismes simpliciaux de X dans Y. Hom(X,Y) est l'ensemble des
0-simplexes d'un ensemble simplicial
s(x,Y)
construit de la mani~re suivante : l'ensemble des n-simplexes est
Sn(X,Y) = Hom(X (cid:141) (An),Y)
et pour f E Sn(X,Y) on d~finit d.f par le compos~
I
1 x ~.
X x (An_l) X z> X x (An) f > y
et s I .f par le compos~
x (cid:141) (An+l) |X (cid:141) .7( 1 X x (An) f , y
On appelle S(X,Y) l'ensemble simplicial des applications
simpliciales de X dans Y. La correspondance (X,Y) + S(X,Y) est fonc-
torielle.
Une application simpliciale N : X + B est un fibr~ de Kan
si pour toute suite Xo,X,... ,Xk_,Xk+l,...,Xn+ I de n+ n-simplexes
de X et tout (n+)-simplexe b de B tels que :
i) dix j = dj_xi, i<j, i # k, j # k
ii) q(xi) = d.b l ' i # k
il existe un (n+l)-simplexe x E X v~rifiant
d.x = x., i ~ k et q(x) = b
1 i
Dans la suite on dira plus simplement que l'application Nest
un fri_b. .~.
Un ensemble simplieial. X est un ensemble simplicial de Kan
si l'unique application simpliciale X + point est un fibrE.
La fibre d'une application simpliciale f : X ~ Y au-dessus
du 0-simplexe y ~ Y est le sous ensemble simplicial f-1(y) C X. Les
fibres d'un fibre sont donc des ensembles simpliciaux de Kan. Pour
une thEorie compl~te sur les propriEtEs homotopiques des fibres de
Kan voir par exemple 13.
Rappelons les propriEtEs du foncteur S par rapport aux
fibres et aux injections. Pour ceci on utilise le notion de carrE
fibr~ 13. Un diagramme commutatif dans la catEgorie des ensembles
simpliciaux
f
E ) X
y ~
~ B
est un carrE fibrE, si pour tout n et tout k, 0~k~n+l, et pour toute
suite de n-simplexes de E
Xo,Xl,''',Xk_l,Xk+l,... ,Xn+ 1
et tout couple (x,y) E X x y vErifiant
i) dix j = dj_ixi, i<j, i # k, j ~ k
ii) f(xi) = d.xx ' g(xi) = diY, i ~ k
iii) N(x) = ~(y)
il existe un (n+|)-simplexe z ~ E tel que
lz.d = xi, i # k, f(z) = x, g(z) = y.
Remarquons que carrE fibre signifie que l'application de E
dans le produit fibr~ de N et de ~ induite par (f,g) est un fibr~
Si E est la fibre de g au-dessus du 0-simplexe Y0 ~ Yet
Y0
Xb0 celle de n au-dessus de b 0 = @(y0 ) alors f induit un fibr~
Ey 0 § Xb0. L'application g v~rifie ~videmment la m~me proprietY. Un
exemple de carr~ fibr~ est obtenu en consid~rant une paire (X,A),
A C X d'ensembles simpliciaux, un fibr~ E § B et en consid~rant le
diagramme commutatif
S(X,E) 1 > S(A,E) 1
S(X,B) > S(A,B)
Les fl~ches horizontales ~tant d~finies par restriction et les fl~ches
verticales par la projection E § B. En particulier, si on prend pour
A l'ensemble vide, on d~duit que S(X,E) ~ S(X,B) est un fibre. En
prenant B r~duit ~ un point,(E est alors un ensemble simplicial de
Kan), on obtient que S(X,E) + S(A,E) es~ un fibre.
Notons K B ' la categoric dont les objets sont les applications
simpliciales D : X § B, les morphismes de source n : X § B et de but
: Y + B ~tant les applications simpliciales f : X § Y telles que le
diagramme
\ / f
X )Y
B
soit commutatif. (K~oln t est donc la categoric des ensembles simpli-
ciaux). On appelle B-morphisme les morphismes de K B et on note
HOmB(N,~) l'ensemble des B-morphismes entre les objets N et ~ de K B. t
On note B l'objet final B de K B. !
Pour N ~ K~, les ~l~ments de HOmB(B,n) sont appel~s sections
de N. On d~signe par Sec(N) l'ensemble HomB(B,N).