Holomorphic Morse inequalities and Bergman kernels

432 Pages·2007·3.74 MB·English

by  Ma X., Marinescu G.

Progress in Mathematics
Volume 254
Series Editors
H. Bass
J. Oesterlé
A. Weinstein
Xiaonan Ma
George Marinescu
Holomorphic
Morse Inequalities
and Bergman Kernels
Birkhäuser
Basel (cid:120)(cid:3)Boston (cid:120)(cid:3)Berlin(cid:3)
Authors:
Xiaonan Ma George Marinescu
Centre de Mathématiques Mathematisches Institut
Laurent Schwartz (C.M.L.S.) Universität zu Köln
École Polytechnique (cid:58)(cid:72)(cid:92)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:27)(cid:25)(cid:177)(cid:28)(cid:19)(cid:3)
91128 Palaiseau Cedex (cid:24)(cid:19)(cid:28)(cid:22)(cid:20)(cid:3)(cid:46)(cid:124)(cid:79)(cid:81)
France Germany
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:21)(cid:22)(cid:45)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:27)(cid:45)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:22)(cid:38)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:22)(cid:39)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:41)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:47)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:52)
Library of Congress Control Number : 2007922259
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)
detailed bibliographic data is available in the Internet at <http://dnb.ddb.de>.
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:19)(cid:28)(cid:25)(cid:16)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)
(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:68)(cid:87)(cid:86)(cid:82)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)
be obtained.
© 2007 Birkhäuser Verlag AG
Basel · Boston · Berlin
(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
Part of Springer Science+Business Media
Printed on acid-free paper produced of chlorine-free pulp. TCF (cid:146)
Printed in Germany
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:19)(cid:28)(cid:25)(cid:16)(cid:19)(cid:3) (cid:3) (cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:20)(cid:24)(cid:16)(cid:27)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Ferran Sunyer i Balaguer (1912–1967) was a self-
taught Catalan mathematician who, in spite of a
seriousphysicaldisability,wasveryactiveinresearch
in classical mathematical analysis, an area in which
he acquired international recognition. His heirs cre-
ated the Fundacio´ Ferran Sunyer i Balaguer inside
theInstitutd’EstudisCatalanstohonorthememory
of Ferran Sunyer i Balaguer and to promote mathe-
matical research.
Each year, the Fundacio´ Ferran Sunyer i Balaguer
and the Institut d’Estudis Catalans award an in-
ternational researchprize for a mathematical mono-
graphofexpositorynature.Theprize-winningmono-
graphsarepublishedinthisseries.Detailsaboutthe
prizeandtheFundacio´FerranSunyeriBalaguercan
be found at
http://ffsb.iec.cat
This book has been awarded the
Ferran Sunyer i Balaguer 2006 prize.
The members of the scientific commitee
of the 2006 prize were:
Antonio C´ordoba
Universidad Auto´noma de Madrid
Paul Malliavin
Universit´e de Paris VI
Joseph Oesterl´e
Universit´e de Paris VI
Oriol Serra
Universitat Polit`ecnica de Catalunya, Barcelona
Alan Weinstein
University of California at Berkeley
Ferran Sunyer i Balaguer Prize winners since 1997:
1997 Albrecht B¨ottcher and Yuri I. Karlovich
Carleson Curves, Muckenhoupt Weights,
and Toeplitz Operators, PM 154
1998 Juan J. Morales-Ruiz
Differential Galois Theory and
Non-integrability of Hamiltonian Systems,
PM 179
1999 Patrick Dehornoy
Braids and Self-Distributivity, PM 192
2000 Juan-Pablo Ortega and Tudor Ratiu
Hamiltonian Singular Reduction, PM 222
2001 Martin Golubitsky and Ian Stewart
The Symmetry Perspective, PM 200
2002 Andr´e Unterberger
Automorphic Pseudodifferential Analysis
and Higher Level Weyl Calculi, PM 209
Alexander Lubotzky and Dan Segal
Subgroup Growth, PM 212
2003 Fuensanta Andreu-Vaillo, Vincent Caselles
and Jos´e M. Maz´on
Parabolic Quasilinear Equations Minimizing
Linear Growth Functionals, PM 223
2004 Guy David
Singular Sets of Minimizers for the
Mumford-Shah Functional, PM 233
2005 Antonio Ambrosetti and Andrea Malchiodi
Perturbation Methods and Semilinear
Elliptic Problems on Rn, PM 240
Jos´e Seade
On the Topology of Isolated Singularities in
Analytic Spaces, PM 241
2006 Xiaonan Ma and George Marinescu
Holomorphic Morse Inequalities and
Bergman Kernels, PM 254
To Ling and Cristina
Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Demailly’s Holomorphic Morse Inequalities
1.1 Connections on vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Hermitian connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Chern connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Connections on the tangent bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Levi–Civita connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Chern connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Bismut connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Spinc Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Clifford connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Dirac operator and Lichnerowicz formula . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Modified Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Atiyah–Singer index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Lichnerowicz formula for (cid:1)E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
E E,∗
1.4.1 The operator ∂ + ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Bismut’s Lichnerowicz formula for (cid:1)E . . . . . . . . . . . . 34
1.4.3 Bochner–Kodaira–Nakanoformula . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.4 Bochner–Kodaira–Nakanoformula with boundary term . . 40
1.5 Spectral gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Vanishing theorem and spectral gap . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2 Spectral gap of modified Dirac operators. . . . . . . . . . . 47
1.6 Asymptotic of the heat kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.1 Statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.2 Localization of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.6.3 Rescaling of the operator D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
p
1.6.4 Uniform estimate on the heat kernel . . . . . . . . . . . . . 55
1.6.5 Proof of Theorem 1.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
x Contents
1.7 Demailly’s holomorphic Morse inequalities . . . . . . . . . . . . . . 61
1.8 Bibliographic notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Characterization of Moishezon Manifolds
2.1 Line bundles, divisors and blowing-up . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 The Siu–Demailly criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.1 Big line bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.2 Moishezon manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 The Shiffman–Ji–Bonavero–Takayamacriterion . . . . . . . . . . . 97
2.3.1 Singular Hermitian metrics on line bundles . . . . . . . . . 97
2.3.2 Bonavero’ssingular holomorphic Morse inequalities . . . . . 101
2.3.3 Volume of big line bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3.4 Some examples of Moishezon manifolds . . . . . . . . . . . 117
2.4 Algebraic Morse inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5 Bibliographic notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 Holomorphic Morse Inequalities on Non-compact Manifolds
3.1 L2-cohomology and Hodge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Abstract Morse inequalities for the L2-cohomology . . . . . . . . . 134
3.2.1 The fundamental estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2.2 Asymptotic distribution of eigenvalues . . . . . . . . . . . . 137
3.2.3 Morse inequalities for the L2 cohomology . . . . . . . . . . 144
3.3 Uniformly positive line bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4 Siu–Demailly criterion for isolated singularities . . . . . . . . . . . 152
3.5 Morse inequalities for q-convex manifolds . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6 Morse inequalities for coverings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.6.1 Covering manifolds, von Neumann dimension . . . . . . . . 167
3.6.2 Holomorphic Morse inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.7 Bibliographic notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Asymptotic Expansion of the Bergman Kernel
4.1 Near diagonal expansion of the Bergman kernel . . . . . . . . . . . 175
4.1.1 Diagonal asymptotic expansion of the Bergman kernel . . . 176
4.1.2 Localization of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.1.3 Rescaling and Taylor expansion of the operator D2 . . . . . 179
p
4.1.4 Sobolev estimate on the resolvent(λ−Lt)−1 . . . . . . . . 183
2
4.1.5 Uniform estimate on the Bergman kernel . . . . . . . . . . 187
4.1.6 Bergman kernel of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.1.7 Proof of Theorem 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.1.8 The coefficient b : a proof of Theorem 4.1.2 . . . . . . . . . 194
1
4.1.9 Proof of Theorem 4.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196