Hohere Mathematik fur Ingenieure Band II: Lineare Algebra

429 Pages·2012·3.863 MB·German

by  Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister (auth.)

Höhere Mathematik für Ingenieure
Klemens Burg • Herbert Haf
Friedrich Wille • Andreas Meister
Höhere Mathematik
für Ingenieure
Band II: Lineare Algebra
7., überarbeitete und erweiterte Aufl age
Bearbeitet von
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel
STUDIUM
Klemens Burg,
Herbert Haf,
Friedrich Wille,
Andreas Meister,
Kassel, Deutschland
ISBN 978-3-8348-1853-9 ISBN 978-3-8348-2267-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-2267-3
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Vorwort
DervorliegendeBandIIderHöherenMathematikfürIngenieureenthälteineinsichgeschlos-
seneDarstellungder»LinearenAlgebra«mitvielfältigenBezügenzurTechnikundNaturwissen-
schaft.
Adressaten sind in erster Linie Ingenieurstudenten, aber auch Studenten der Angewandten
Mathematik und Physik, etwa der Richtungen Technomathematik, mathematische Informatik,
theoretischePhysik.Sicherlichwirdauchder»reine«MathematikerfürihnInteressantesindem
Buchfinden.
Der Band ist — bis auf wenige Querverbindungen — unabhängig vom Band I »Analysis«
gestaltet,sodassmaneinenKursusüberIngenieurmathematikauchmitdemvorliegendenBuch
beginnenkann.(BeimStudiumderElektrotechnikwirdz.B.gernemitLinearerAlgebrabegon-
nen.)VorausgesetztwerdenlediglichKenntnisseausderSchulmathematik.
AuchdieeinzelnenAbschnittedesBuchessindmiteinergewissenUnabhängigkeitvoneinan-
der konzipiert, so dass Quereinstiege möglich sind. Dem Leser, der schon einen ersten Kursus
überLineareAlgebraabsolvierthat,stehtmitdiesemBandeinNachschlagewerkzurVerfügung,
welchesihminderPraxisoderbeimExameneineHilfeist.
Die Bedeutung der Linearen Algebra für Technik und Naturwissenschaft ist in diesem Jahr-
hundertstark gestiegen.Insbesondere istdieMatrizen-Rechnung, diesicherst indendreißiger
Jahren in Physik und Technik durchzusetzen begann, heute ein starkes Hilfsmittel in der Hand
desIngenieurs.DarüberhinausführtdieSynthesevonLinearerAlgebraundAnalysiszurFunk-
tionalanalysis, die gerade in den letzten Jahrzehnten zu einem leistungsfähigen theoretischen
InstrumentariumfürNaturwissenschaftundTechnikgewordenist.
Im Ganzen erweist sich die Lineare Algebra — abgesehen von der elementaren Vektorrech-
nung — als ein Stoff mit höherem Abstraktionsgrad als er bei der Analysis auftritt. Obwohl
diesdemIngenieurstudentenzuAnfanggewisseSchwierigkeitenbereitenkann,soentsprichtes
doch der Entwicklung unserer heutigen Technik, die nach immer effektiveren mathematischen
Methodenverlangt.
ZumInhalt:ImAbschnitt1wirddieVektorrechnunginderEbeneundimdreidimensionalen
Raum ausführlich entwickelt. Ihre Verwendbarkeit wird an vielen Anwendungsbeispielen aus
demIngenieurbereichgezeigt.
ImAbschnitt2werdenendlichdimensionaleVektorräumebehandelt,wobeimitdemSpezial-
falldesRn begonnenwird,sowiedemGaußschenAlgorithmuszurLösunglinearerGleichungs-
systeme. Der Gaußsche Algorithmus zieht sich dann als Schlüsselmethode sowohl bei prakti-
schenwiebeitheoretischenFolgerungendurchdasganzeBuch.
ImzweitenTeildesAbschnittes2werdenalgebraischeGrundstrukturen(Gruppen,Körperso-
wieVektorräumeinmodernerabstrakterFormeingeführt.DiesenTeilmagderIngenieurstudent
beimerstenDurchgangüberspringen,wenngleichdiealgebraischenStrukturenfüreinspäteres
tieferesVerständnisnotwendigsind.
DerAbschnitt3enthältdanninausführlicherFormdieTheoriederMatrizen,verbundenmit
VI
linearen Gleichungssystemen, Eigenwertproblemen und geometrischen Anwendungen im drei-
dimensionalen Raum. Zu diesem mächtigen Instrument für Theorie und Anwendung werden
überdiesnumerischeVerfahrenfürdenComputereinsatzangegeben,undzwarbeilinearenGlei-
chungssystemenmitkleinenundgroßen(schwachbesetzten)Matrizen,sowiebeiEigenwertpro-
blemen.
DervierteAbschnittbehandeltinexemplarischerWeiseaktuelleAnwendungenderLinearen
Algebra auf die Theorie der Stabwerke, der elektrischen Netzwerke, sowie der Robotik. Hier
wirdinsbesondereeinEinblickindieKinematiktechnischerRobotergegeben.
DaderBandweitmehrStoffenthält,alsmanineinerVorlesungunterbringenkann,ließesich
einKursusfürAnfängeranHanddesfolgenden»Fahrplans«zusammenstellen:
• VektorrechnungimR2undR3(AuswahlausAbschnitt1)
• VektorräumeRn undCn,lineareGleichungssysteme,GaußscherAlgorithmus(Abschnitte
2.1und2.2bis2.2.4)
• Matrizenrechnung(Auswahlaus3.1-3.3,dazu3.5.1)
• Determinanten(Auswahlaus3.4,Schwerpunkt3.4.9)
• LineareGleichungssysteme(Abschnitte3.6.1und3.6.3)1
• EigenwerteundEigenvektoren(3.7.1,3.7.2,3.7.5;Auswahlaus3.7.3und3.7.4)1
• Matrix-Polynome(Auswahlaus3.9.1-3.9.3)
• Drehungen, Koordinatentransformationen (Abschnitte 3.10.1, 3.10.3, 3.10.6 und 3.10.8:
SatzüberHauptachsentransformationohneBeweis)
• KegelschnitteundFlächen2.Ordnung(Abschnitte3.10.9,3.10.10,zurErholung,fallsnoch
Zeitbleibt)
Durch eingestreute Anwendungen, insbesondere aus dem Abschnitt 4, lässt sich der Stoff
anreichern.
Das Buch ist in Zusammenarbeit aller drei Verfasser entstanden. Die Kapitel 1 und 2, die
Abschnitte 3.1 bis 3.8 sowie Abschnitt 3.10 wurden von Friedrich Wille verfasst. Das Anwen-
dungskapitel4,Abschnitt3.9undeinigeweitereTeilestammenvonHerbertHaf.Dabeiwurden
beideAutorendurcheinSkriptumvonKlemensBurgunterstützt.
Die Autoren danken Herrn Doz.Dr. W. Strampp, Herrn Dr. B. Billhardt und Herrn F. Ren-
ner für geleistete Korrekturarbeiten und Aufgabenlösungen. Herrn K. Strube gilt unser Dank
fürdassorgfältigeAnfertigenderBilderundFrauE.MünstedtfürbegleitendeSchreibarbeiten.
Unser besonderer Dank gilt Frau F. Ritter, die mit äußerster Sorgfalt den allergrößten Teil der
Reinschrifterstellthat.SchließlichdankenwirdemTeubner-Verlagfürgeduldigeundhilfreiche
ZusammenarbeitinallenPhasen.
DiegünstigeAufnahmediesesBandeserfordertschonnachkurzerZeiteineNeuauflage.Der
Text ist gegenüber der Erstauflage unverändert geblieben. Es wurden lediglich einige Figuren
1 Manbeachte,dassinderNeuauflageausAbschnitt3.6Abschnitt3.8wurde(alsoaus3.6.1 3.8.1usw.)undaus
Abschnitt3.7derAbschnitt3.6(alsoaus3.7.1 3.6.1usw.).
VII
verbessertundDruckfehlerausgemerzt.DieVerfassererhoffeneinweiterhinpositivesEchoauch
dieserAuflagedurchdenLeser.
Kassel,September1989 DieVerfasser
VorwortzurfünftenAuflage
Die vorliegende fünfte Auflage des Bandes »Lineare Algebra« stellt eine Überarbeitung und
ErweiterungderfrüherenAuflagedar.DabeiwurdendieNumerik-AnteilemitRücksichtaufdie
AnwenderdeutlicherweitertunddurchdieAngabevonMATLAB-Programmenergänzt.Ferner
haben wir den Abschnitt über lineare Ausgleichsprobleme ausgebaut und, wie wir meinen, im
Gesamtkontextgünstigerplatziert(s.Abschn.3.11).
DieVerfasserhoffennun,dassdieserzweiteBandunseressechsteiligenGesamtwerkes»Ma-
thematikfürIngenieure«auchweiterhineinefreundlicheAufnahmedurchdieLeserfindet.Für
Anregungensindwirdankbar.
UnserDankgiltinsbesondereHerrnDr.-Ing.JörgBarnerfürdieErstellungderhervorragen-
den LATEX-Vorlage und seine sorgfältige und mitdenkende Unterstützung bei den Korrekturen,
ferner Frau Jennylee Müller für ihr gewissenhaftes Korrekturlesen. Erneut besteht dem Verlag
B.G.TeubnergegenüberAnlasszumDankfüreinebewährteundangenehmeZusammenarbeit.
Kassel,Februar2007 HerbertHaf,AndreasMeister
VorwortzursiebtenAuflage
Nach der sehr positiven Resonanz der umfangreichen Erweiterungen der fünften Auflage des
Bandes»LineareAlgebra«,insbesondereimBereichdernumerischenMethoden,enthältdievor-
liegendesiebteAuflagenebenderBeseitigungeinigerDruckfehlermitdenRelaxationsverfahren
eineErgänzungbeideriterativenLösungvonGleichungssystemen.WirdankenallenLesernfür
diekonstruktivenHinweise,diezueinerbesserenLesbarkeitbeigetragenhaben.
Wir freuen uns darüber, dass eine anhaltende Nachfrage diese Nachauflage erforderlich ge-
machthatundhoffenaufeineweiterhinfreundlicheAufnahmediesesBandesdurchdenLeser.
Kassel,November2011 HerbertHaf,AndreasMeister
Inhaltsverzeichnis
1 VektorrechnunginzweiunddreiDimensionen 1
1.1 VektoreninderEbene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 KartesischeKoordinatenundZahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 WinkelfunktionenundPolarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 VektorenimR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 PhysikalischeundtechnischeAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5 InneresProdukt(Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.6 ParameterformundHessescheNormalformeinerGeraden . . . . . . . . . . . 26
1.1.7 GeometrischeAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 VektorenimdreidimensionalenRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.1 DerRaumR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.2 InneresProdukt(Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.3 DreireihigeDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.4 ÄußeresProdukt(Vektorprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.5 Physikalische,technischeundgeometrischeAnwendungen . . . . . . . . . . . 55
1.2.6 Spatprodukt,mehrfacheProdukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.2.7 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.8 GeradenundEbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2 VektorräumebeliebigerDimensionen 75
2.1 DieVektorräumeRn undCn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 DerRaumRn undseineArithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.2 InneresProdukt,BeträgevonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.3 Unterräume,lineareMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.4 GeometrieimRn,Winkel,Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.5 DerRaumCn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 LineareGleichungssysteme,GaußscherAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2.1 LösungquadratischerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.2 Matlab-ProgrammezurLösungquadratischerGleichungssysteme . . . . . . . 90
2.2.3 SingulärelineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.4 AllgemeinerSatzüberdieLösbarkeitlinearerquadratischerGleichungssysteme101
2.2.5 RechteckigeSysteme,Rangkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 AlgebraischeStrukturen:GruppenundKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3.1 Einführung:BeispieleinerGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.3.3 EndlichePermutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.3.4 Homomorphismen,Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.3.5 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
X Inhaltsverzeichnis
2.4 VektorräumeüberbeliebigenKörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.4.1 DefinitionundGrundeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.4.2 BeispielefürVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.4.3 Unterräume,Basis,Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.4 DirekteSummen,freieSummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.4.5 LineareAbbildungen:DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.4.6 Isomorphismen,KonstruktionlinearerAbbildungen. . . . . . . . . . . . . . . 136
2.4.7 Kern,Bild,Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.4.8 EuklidischeVektorräume,Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.4.9 AusblickaufdieFunktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3 Matrizen 147
3.1 Definition,Addition,s-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.2 GrundlegendeBegriffsbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.3 Addition,Subtraktionunds-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.4 Transposition,Spalten-undZeilenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.1 Matrix-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.2 ProduktemitVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.3 MatrizenundlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2.4 Blockzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.3 ReguläreundinverseMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.3.1 ReguläreMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.3.2 InverseMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.1 Definition,Transpositionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.4.2 RegelnfürDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.4.3 BerechnungvonDeterminantenmitdemGaußschenAlgorithmus . . . . . . . 174
3.4.4 Matrix-RangundDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4.5 DerDeterminanten-Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.4.6 LineareGleichungssysteme:dieCramerscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.4.7 Inversenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.4.8 Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.4.9 ZusammenstellungderwichtigstenRegelnüberDeterminanten . . . . . . . . 189
3.5 SpezielleMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.5.1 DefinitionderwichtigstenspeziellenMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.5.2 AlgebraischeStrukturenvonMengenspeziellerMatrizen. . . . . . . . . . . . 195
3.5.3 OrthogonaleundunitäreMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.5.4 SymmetrischeMatrizenundquadratischeFormen. . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.5.5 ZerlegungenundTransformationensymmetrischerMatrizen . . . . . . . . . . 201
3.5.6 PositivdefiniteMatrizenundBilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.5.7 KriterienfürpositivdefiniteMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.8 DirekteSummeunddirektesProduktvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.6 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Inhaltsverzeichnis XI
3.6.1 DefinitionvonEigenwertenundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.6.2 Anwendung:Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.6.3 EigenschaftendescharakteristischenPolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.6.4 EigenvektorenundEigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.6.5 SymmetrischeMatrizenundihreEigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.7 DieJordanscheNormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.7.1 PraktischeDurchführungderTransformationaufJordanscheNormalform . . . 240
3.7.2 BerechnungdescharakteristischenPolynomsundderEigenwerteeinerMatrix
mitdemKrylov-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.7.3 Das Jacobi-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
symmetrischerMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.7.4 Von-Mises-Iteration, Deflation und inverse Iteration zur numerischen Eigen-
wert-undEigenvektorberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3.8 LineareGleichungssystemeundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.8.1 Rangkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.8.2 QuadratischeSysteme,FredholmscheAlternative . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3.8.3 DreieckszerlegungvonMatrizendurchdenGaußschenAlgorithmus,Cholesky-
Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.8.4 LösunggroßerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.8.5 Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.9 Matrix-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3.9.1 Matrix-Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3.9.2 Matrixpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3.9.3 AnnullierendePolynome,SatzvonCayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 289
3.9.4 DasMinimalpolynomeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3.9.5 FolgenundReihenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
3.9.6 PotenzreihenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.9.7 Matrix-Exponentialfunktion,Matrix-Sinus-undMatrix-Cosinus-Funktion . . . 303
3.10 Drehungen,Spiegelungen,Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . 307
3.10.1 DrehungenundSpiegelungeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3.10.2 SpiegelungimRn, QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
3.10.3 DrehungenimdreidimensionalenRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.10.4 SpiegelungenundDrehspiegelungenimdreidimensionalenRaum . . . . . . . 320
3.10.5 BasiswechselundKoordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3.10.6 TransformationbeikartesischenKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.10.7 AffineAbbildungenundaffineKoordinatentransformationen . . . . . . . . . . 326
3.10.8 HauptachsentransformationvonQuadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
3.10.9 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
3.10.10FlächenzweitenGrades:Ellipsoide,Hyperboloide,Paraboloide . . . . . . . . 336
3.11 LineareAusgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
3.11.1 DieMethodederkleinstenFehlerquadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
3.11.2 LösungderNormalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
3.11.3 LösungdesMinimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
XII Inhaltsverzeichnis
4 Anwendungen 363
4.1 TechnischeStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.1.1 EbeneStabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.1.2 ElektrischeNetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
4.2 Roboter-Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
4.2.1 EinführendeBetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
4.2.2 Kinematikeines(n+1)-gliedrigenRoboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Anhang 391
A LösungenzudenÜbungen 393
Symbole 401
Literaturverzeichnis 403
Stichwortverzeichnis 409