Höhere Mathematik für Ingenieure Band I: Analysis

634 Pages·2017·11.122 MB·German

by  Klemens Burg et al.

Klemens Burg
Herbert Haf
Friedrich Wille
Andreas Meister
Höhere Mathematik
für Ingenieure Band I
Analysis
11. Auflage
Höhere Mathematik für Ingenieure Band I
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille
Andreas Meister
Höhere Mathematik
für Ingenieure Band I
Analysis
11., aktualisierte und erweiterte Auflage
Bearbeitet von
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister,Universität Kassel
KlemensBurg FriedrichWille
Kassel,Deutschland Kassel,Deutschland
HerbertHaf AndreasMeister
Gudensberg,Deutschland Kassel,Deutschland
ISBN978-3-658-19427-7 ISBN978-3-658-19428-4(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-19428-4
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Vorwort
TheorieohnePraxisistleer,
PraxisohneTheorieistblind.
Dievorliegende»HöhereMathematikfürIngenieure«umfasstdenInhalteinerVorlesungsrei-
he,diesichüberdieerstenvierbisfünfSemestererstreckt.DasWerkwendetsichhauptsächlich
an Studenten der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an alle Studierenden
technischer und physikalischer Richtungen, sowie an Studenten der Angewandten Mathematik
(Technomathematik,Mathematikingenieur,mathematischePhysik).
Lernende und Lehrende finden mehr in diesen Bänden, als in einem Vorlesungszyklus be-
handeltwerdenkann.DieBüchersindsogedacht,dassderDozent—demAufbauderKapitel
folgend — einen »roten Faden« auswählt, der dem Studierenden den Weg in die Mathematik
bahntundihmdieStofffüllestrukturiert.DerLehrendewirddabeiseineneigenenVorstellungen
folgen, etwa in der Auswahl der Beispiele, dem Weglassen gewisser »Seitenwege« , oder dem
BetonenvonSachverhalten,diefürdieFachrichtungderHörerseinerLehrveranstaltungwichtig
sind.
DemStudierendensollendieBändezurNacharbeitundVertiefungdesVorlesungsstoffesdie-
nen,wieauchzumSelbststudiumundzurFortbildung.DievielenAnwendungsbeispielesollen
ihmdenInhaltdabeilebendigmachen,undzusätzlicheAusführungenseinKernwissenabrunden.
SpäterlassensichdieBücherimmerwiederalsNachschlagewerkverwenden.Insbesonderesind
siezurExamensvorbereitungnützlich,wieauchimBerufslebenalsgreifbares»Hintergrundwis-
sen«.
Die Bände sind inhaltlich folgendermaßen gegliedert: Band I enthält die Differential- und
IntegralrechnungeinerundmehrererVeränderlicher,unddamitdenStoffderVorlesungenAna-
lysisIundII.EswurdedabeiWertaufeinesorgfältigeGrundlegung,verbundenmitpraktischen
Anwendungen, gelegt. Band II hat die Lineare Algebra zum Thema, während Band III die Ge-
wöhnlichenDifferentialgleichungenenthält,sowieDistributionenundIntegraltransformationen.
Dabei wurde eine eher einfache, wenn auch genaue Darstellung gewählt, damit der Ingenieur
schnellzuAnwendungenvorstoßenkann.ImBandIVfolgendanndieVektoranalysisundFunk-
tionentheorie(komplexeAnalysis)undinBandVFunktionalanalysisundpartielleDifferential-
gleichungen.
MancheMathematikkursefürIngenieurebeginnenmitAnalysis(z.B.beiMaschinenbauern),
anderemitLinearerAlgebra(etwabeiElektrotechnikern).AusdiesemGrundewurdendieBän-
de I und II unabhängig voneinander gestaltet, so dass man den Kurs mit jedem dieser Bände
beginnenkann.
AnVorkenntnissenwirdwenigvorausgesetzt.SchulkenntnisseinelementarerAlgebra(Bruch-
rechnung, Klammerausdrücke) und Geometrie (einfache ebene und räumliche Figuren, Koordi-
natensystem)genügen.GrundsätzlichbeginntdervorliegendeLehrgangganz»vonvorne«,d.h.
mit der Erläuterung der Zahlen, und baut darauf systematisch auf. Auf diese Weise wird auch
dasmeisteausderSchulmathematikingeraffterFormwiederholt.DerLeserkanndaher,jenach
Vorkenntnis,dieInhalteerstmaliglernenoderseinWissenindasvorliegendeGerüsteinordnen.
VI
DurchvieleBeispieleausTechnikundNaturwissenschaftwirdderAnwendungsbezugbeson-
dersherausgearbeitet.DabeiliegtweitgehenddasfolgendeDreischrittschemazuGrunde:
Einführungsbeispiel!Theorie!weitereAnwendungen
Hat man ein Einführungsbeispiel zur Motivation erläutert und dann eine Lösungstheorie dazu
entwickelt,sostelltsichmeistensheraus(sonstwärederName»Theorie«fehlamPlatze),dass
die theoretischen Hilfsmittel auch zur Lösung weiterer Probleme, ja, auch manchmal ganzer
Problemklassen, taugen. Diese brauchen mit dem Ausgangsproblem scheinbar überhaupt nicht
verwandtzusein(z.B.dieFlächeninhaltsberechnungzurMotivationderIntegralrechnunggegen-
überderBerechnungderLeistungeinerDampfmaschine,dermaximalenHöheeinesWeltraum-
satelliten, dem Trägheitsmoment eines Rades oder der Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer
einesBauteiles.AllegenanntenProblemelassensichmitMittelnderIntegralrechnunglösen).
Natürlich wird das obige Dreischrittschema nicht über das Knie gebrochen. Denn oft wird
auchmathematischesInstrumentariumfürspätereAnwendungenoderfürdenweiterenAusbau
derMathematikbereitgestellt,wobeieinzufrühesAnheftenanAnwendungennichtmöglichist
oderdenBlickfürdieGliederungderSystematikverschleiert.Dennobwohldiesystematische
Einführung der Mathematik nicht immer der historischen Entwicklung entspricht und ihre Ab-
straktion sich von der Praxis zu entfernen scheint, so hat sie doch unbestreitbare Vorteile: Sie
verkürztdieDarstellung,damanVerwandtesuntereinheitlichenGesichtspunktenzusammenfas-
sen kann, und bietet eine gute Übersicht, in der man sich beim Nachschlagen besser zurecht
findet.AusdiesemGrundewurdehiereinMittelwegzwischenAbstraktionundAnwendungein-
geschlagen:SystematischesVorgehen,gekoppeltmitpraktischenBeispielenzurMotivationund
Vertiefung.DabeiwirddurchvieleFigurenderabstrakteInhaltanschaulichgemacht.
NocheinWortzur»mathematischenSprache«!SiebestehtzumgrößtenTeilausderUmgangs-
sprache,ergänztdurchmathematischklardefinierteFachausdrückeundBegriffe.Mankannsa-
gen, die eigentliche mathematische Fachsprache »schwimmt« auf der Umgangssprache. Denn
ohnedieUmgangssprachewärejedeFachwissenschaftverlorenundkönntesichnichtmitteilen.
Eshatsichnämlichherausgestellt,dasseinkonsequentesBenutzenderexaktenfachlichenAus-
drucksformenzusprachlichenUngetümenführenkann,sodassaufdieseWeisedieSachverhalte
vielschwierigerzubegreifensind,ja,mituntergarunverständlichzuwerdendrohen.Hierhelfen
»unscharfe« umgangssprachliche Formulierungen oft weiter und steigern die Verständlichkeit.
FürdasLehrengiltnämlichderscheinbarwidersprüchlicheSatz:»Esistnichtwichtig,obsich
der Lehrende stets richtig ausdrückt, sondern nur, dass im Kopf des Zuhörers das Richtige an-
kommt!«
Ein Beispiel soll dies stellvertretend erläutern, und zwar die Sprechweise bei Funktionen.
Fachlichkorrekt(undpedantisch)heißtes: p
»Wir untersuchen die Funktion f : T(cid:0)1;1U ! R definiert durch f.x/ D 1(cid:0)x2 für alle
x 2T(cid:0)1;1U,aufDifferenzierbarkeit.«
EineeinfachereSprechweise(wennapuchetwasunschärfer)wäre:
»WiruntersuchendieFunktion f.x/D 1(cid:0)x2aufDifferenzierbarkeit.«
Wirkönnenwohldavonausgehen,dassderzweitgenannteTextvomHörergenausoverstan-
denwirdwiedererste,vielleichtsogarbesser(insbesondereineinemKapitelüberreellwertige
FunktioneneinerreellenVariablen).AusdiesemGrundewerdenwirunsindiesenBändeneiner
einfachen Sprechweise bedienen, die der Umgangssprache nahe steht. Bei Funktionen nehmen
VII
wirunsdieFreiheitheraus,GleichungenalsAusdrückefürFunktionenzuverwenden,oderden
Funktionswert f.x/ einfach als Funktion zu bezeichnen. Hierbei wird vorausgesetzt, dass der
Leser (etwa nach Studium des Abschnittes 1.3 in Band I) mit dem abstrakten Funktionsbegriff
vertrautist.DiegeschilderteSprechweise(»parsprototo«)hilft,sprachlicheÜberladungzuver-
meiden.InsbesonderebeiderBehandlungvonGewöhnlichenDifferentialgleichungen(BandIII)
würde man ohne vereinfachte Ausdrucksweise zu sprachlichen Komplikationen kommen, die
das Verständnis stark erschweren. Aus diesem Grunde bedienen wir uns, soweit wie möglich,
umgangssprachlicherWendungen,ohnediePräzisionausdenAugenzuverlieren.
ZumSchlussbedankenwirunsbeiallen,dieunsbeidiesemBuchvorhabenunterstützthaben.
Frau Karin Lange, Herr Wolfgang Homburg und Herr Uwe Brunst haben bei Band I wertvolle
Korrekturarbeiten geleistet, wofür ihnen vielmals gedankt sei. Frau Marlies Gottschalk, Frau
Erika Münstedt und Frau Karin Wettig danken wir für ihre sorgfältigen Schreibarbeiten wie
auchHerrnKlausStrubefürdieHerstellungvielerZeichnungeninBandIIundIII.DemVerlag
B.G.TeubnerdankenwirfürseinegeduldigeundkooperativeZusammenarbeitinallenPhasen.
Kassel,Juli1985 DieVerfasser
VorwortzursiebtenAuflage
Der Verfasser dieses Bandes, Herr Prof. Dr. Friedrich Wille, ist am 9. August 1992 verstorben.
DievorliegendeNeuauflagewurdevonHerbertHafundAndreasMeisterbearbeitet.
AufgrundihrerBedeutungfürdieAnwendungenhabenwirdiesenBanddurchzweiAbschnit-
teerweitert:
ZumeinendurcheinenkonstruktivenZugangzumSatzvonWeierstraß(s.Abschn.5.3)und
zum anderen durch verschiedene praxisrelevante Algorithmen zur Berechnung von Interpolati-
onspolynomenbzw.Splines(s.Abschn.5.4).
WirsindderÜberzeugung,dassdieserBanddadurchanAktualitätgewonnenhat.
Fernerweisenwirdaraufhin,dassunserGesamtwerkaufgrundderTeilungvonBandIVin
»Vektoranalysis«und»Funktionentheorie«nunmehraussechsBändenbesteht.
Unser Dank gilt Herrn Dr.-Ing. Jörg Barner für die Erstellung der hervorragenden LATEX-
Vorlage und für seine sorgfältige Mitarbeit bei den Korrekturen. Nicht zuletzt danken wir dem
VerlagB.G.TeubnerfürseineständigeGesprächsbereitschaftundRücksichtnahmeaufTermin-
problemeundGestaltungswünsche.
Kassel,Januar2006 HerbertHaf,AndreasMeister
VorwortzurelftenAuflage
Die vorliegende Neuauflage dieses Bandes beinhaltet eine deutliche Erweiterung im Bereich
der numerischen Integration, da diese bei den Anwendungen der modernen Mathematik eine
zunehmendgrößereBedeutunggewonnenhat.
Wirfreuenunsdarüber,dassdienachwievorstarkeNachfragedieseBandeseineNeuauflage
erforderlich gemacht hat und hoffen auf eine weiterhin freundliche Aufnahme dieses Bandes
durchdenLeser.
Kassel,März2017 HerbertHaf,AndreasMeister
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 ReelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 DieZahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 RechnenmitreellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 OrdnungderreellenZahlenundihreVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 VollständigeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.6 Potenzen,Wurzeln,Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.7 Summenformeln:geometrische,binomische,polynomische . . . . . . . . . . 25
1.2 ElementareKombinatorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.1 FragestellungenderKombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3 PermutationenmitIdentifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 VariationenohneWiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.5 VariationenmitWiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.6 KombinationenohneWiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.7 KombinationenmitWiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.2 ReelleFunktioneneinerreellenVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.3 Tabellen,graphischeDarstellungen,Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.4 Umkehrfunktion,Verkettungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.5 AllgemeinerAbbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4 UnendlicheFolgenreellerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.2 Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.4.3 KonvergenteFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.4 ErmittlungvonGrenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.4.5 Häufungspunkte,beschränkteFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.6 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.4.7 LösenvonGleichungendurchIteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5 UnendlicheReihenreellerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.1 KonvergenzunendlicherReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.2 AllgemeineKonvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5.3 AbsolutkonvergenteReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.5.4 KonvergenzkriterienfürabsolutkonvergenteReihen . . . . . . . . . . . . . . 86
1.6 StetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
X Inhaltsverzeichnis
1.6.1 Problemstellung:LösenvonGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.6.3 Zwischenwertsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.6.4 RegelnfürstetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.6.5 MaximumundMinimumstetigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.6.6 GleichmäßigeStetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.6.7 GrenzwertevonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.6.8 PoleundGrenzwerteimUnendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.6.9 EinseitigeGrenzwerte,Unstetigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2 ElementareFunktionen 117
2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.1.3 QuadratischePolynome,Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.4 QuadratischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.1.5 BerechnungvonPolynomwerten,Horner-Schema. . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.1.6 DivisionvonPolynomen,AnzahlderNullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2 RationaleundalgebraischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.2.1 GebrochenerationaleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.2.2 AlgebraischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.2.3 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 TrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.3.1 BogenlängeamEinheitskreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.3.2 SinusundCosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3.3 TangensundCotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.3.4 Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3.5 Anwendungen:Entfernungsbestimmung,Schwingungen . . . . . . . . . . . . 166
2.4 Exponentialfunktionen,Logarithmus,Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . 171
2.4.1 AllgemeineExponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.4.2 Wachstumsvorgänge.DieZahle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.4.3 DieExponentialfunktionexp.x/Dex unddernatürlicheLogarithmus . . . . . 177
2.4.4 Hyperbel-undAreafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.5 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.5.2 DerKörperderkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.5.3 Exponentialfunktion,SinusundCosinusimKomplexen . . . . . . . . . . . . 193
2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zei-
gerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.5.5 FundamentalsatzderAlgebra,FolgenundReihen,stetigeFunktionenimKom-
plexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3 DifferentialrechnungeinerreellenVariablen 201
3.1 GrundlagenderDifferentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.1.1 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Inhaltsverzeichnis XI
3.1.2 Differenzierbarkeit,Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.1.3 DifferentiationsregelnfürSummen,ProdukteundQuotientenreellerFunktionen213
3.1.4 Kettenregel,RegelfürUmkehrfunktionen,implizitesDifferenzieren . . . . . . 216
3.1.5 MittelwertsatzderDifferentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.1.6 AbleitungendertrigonometrischenFunktionenundderArcusfunktionen . . . 225
3.1.7 AbleitungenderExponential-undLogarithmus-Funktionen . . . . . . . . . . 228
3.1.8 AbleitungenderHyperbel-undArea-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.1.9 ZusammenstellungderwichtigstenDifferentiationsregeln . . . . . . . . . . . 232
3.2 AusbauderDifferentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.2.1 DieRegelnvondel’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.2.2 DieTaylorscheFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.2.3 BeispielezurTaylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.2.4 ZusammenstellungderTaylorreihenelementarerFunktionen . . . . . . . . . . 248
3.2.5 Berechnungvon(cid:25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.2.6 Konvexität,geometrischeBedeutungderzweitenAbleitung . . . . . . . . . . 252
3.2.7 DasNewtonscheVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.2.8 BestimmungvonExtremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
3.2.9 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.3.1 BewegungvonMassenpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.3.2 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.3.3 ZurbinomischenReihe:physikalischeNäherungsformeln . . . . . . . . . . . 280
3.3.4 ZurExponentialfunktion:WachsenundAbklingen . . . . . . . . . . . . . . . 281
3.3.5 ZumNewtonschenVerfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.3.6 Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4 IntegralrechnungeinerreellenVariablen 291
4.1 GrundlagenderIntegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.1.1 FlächeninhaltundIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.1.2 IntegrierbarkeitstetigerundmonotonerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit
derTangentenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.1.4 RegelnfürIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.1.5 HauptsatzderDifferential-undIntegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.2 BerechnungvonIntegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.2.1 UnbestimmteIntegrale,Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.2.2 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.2.3 Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.2.4 IntegrationrationalerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.2.5 IntegrationweitererFunktionenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4.2.6 NumerischeIntegration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.3 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.3.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.3.2 RechenregelnundKonvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4.3.3 IntegralkriteriumfürReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362