Höhere Analysis durch Anwendungen lernen: Für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften PDF
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Matthias Kunik Piotr Skrzypacz Höhere Analysis durch Anwendungen lernen Für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften Höhere Analysis durch Anwendungen lernen ⋅ Matthias Kunik Piotr Skrzypacz Höhere Analysis durch Anwendungen lernen Für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften apl. Prof. Dr. Matthias Kunik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Deutschland [email protected] Dr. Piotr Skrzypacz Magdeburg, Deutschland [email protected] [email protected] ISBN978-3-658-02265-5 ISBN978-3-658-02266-2(eBook) DOI10.1007/978-3-658-02266-2 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de- tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden2014 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei- cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer Science+BusinessMedia www.springer-spektrum.de Vorwort DiesesLehrbuchbehandeltthematischgeordneteAnwendungenundAufgabenmit komplettenLo¨sungenzurmehrdimensionalenIntegrationstheorie,Fourier-Analysis und Funktionentheorie sowie zu ebenen Potentialproblemen aus der Elektrostatik und Stro¨mungsmechanik. Einleitungen zu Beginn jeder Lektion fassen dabei die theoretischenGrundlagenzumeigensta¨ndigenBearbeitenderAufgabenzusammen, undzahlreicheSkizzendienendemanschaulichenVersta¨ndnisdesStoffes. Die hierbehandeltenAnwendungsthemenwarennichtnurfu¨rdie historischeEnt- wicklungderklassischenAnalysisvonBedeutung,sondernsindzeitlosundsomit auchheutefu¨rdastiefereVersta¨ndnisderTheoriehilfreich.Daru¨berhinauswaren vielevondiesenAnwendungeneinewichtigeTriebkraftzurWeiterentwicklungder mathematischenGrundlagen,insbesondereinderho¨herenAnalysis. DiesesBuchistsomitfu¨rLesergeschrieben,diesichvonreizvollenAnwendungs- themen inspirieren lassen mo¨chten, besonders fu¨r Studierende und Lehrende der mathematischenundnaturwissenschaftlichenDisziplinen. WirbetrachtenbeispielsweisedasUnscha¨rfeprinzipvonHeisenbergfu¨rdenharmo- nischen Oszillator in der Quantenmechanik als Anwendung fundamentaler Sa¨tze der Fourier-Analysis. Die Funktionentheorie hat ebenfalls wichtige Beziehungen zur Fourier-Analysis und bescha¨ftigt sich mit den Eigenschaften komplex diffe- renzierbarerFunktionen.DadurchwerdenimKomplexenanalytischeBeziehungen zwischen Funktionensichtbar, die im Reellen scheinbarohne Zusammenhangne- beneinander stehen. Deutlich sehen wir dies beim Studium spezieller Funktionen wiederGammafunktionundderRiemannschenZetafunktionfu¨rProblemederana- lytischenZahlentheorie.Daru¨berhinausverwendenwirdasfunktionentheoretische VerpflanzungsprinzipzurLo¨sungebenerPotential-undStro¨mungsproblemesowie fu¨rdasStudiumzweierModellederhyperbolischenGeometrieinderEbene. Indiesem BuchwirddemLeser auchdieBedeutungderan Problemlo¨sungenori- entiertenhistorischenEntwicklungderMathematikverdeutlicht,etwabeiderEnt- wicklungderDifferential-undIntegralrechnung.DiekonkretenProblemstellungen ausMathematik,PhysikundTechnikhabendieabstraktenmathematischenGrund- lagenentscheidendvorangetrieben.AusdemselbenGrundistesauchheutefu¨rStu- v vi dierendevonVorteil,demGeistderurspru¨nglichenPionierarbeitenwiedernachzu- spu¨ren,umgebietsu¨bergreifendeZusammenha¨ngebesserzuverstehen. Bei der Auswahl der Aufgabenhaben wir gelegentlichin gro¨ßerenAbsta¨ndenein unddasselbeThemainverschiedenenVariationenmehrfachaufgegriffenunddabei miteinementsprechendausgebautenmathematischenApparatweitervertieft.Wir pra¨sentierenhierkeinweiteresStandardlehrbuchzudenGrundvorlesungenAnaly- sis, da es hiervon bereits genug hervorragendeWerke gibt. Wir nennen vor allem die Lehrbu¨cher zur Analysis von Meyberg und Vachenauer [31, 32], von Walter [40, 41], Heuser [18, 19], Ko¨nigsberger [26, 27], Otto Forster [13, 14, 15], und zurFunktionentheoriedieWerkevonJa¨nich[24],Fischer,Lieb[11]undRemmert [34, 35]. Sehr empfehlenswertsind auch die mathematisch etwas anspruchsvolle- renBu¨chervonTriebel[39]undRudin[37].Wirko¨nnendaherindenEinleitungen zu den Lektionen1-5 undbei der Einfu¨hrungin die Funktionentheoriein Lektion 8 die bekanntenLehrsa¨tzeohne Beweise zusammenstellen.Stattdessen behandeln wir die Fourier-Analysisin den Lektionen6 und7 sowie die Anwendungsthemen zurFunktionentheorieinLektion9ausfu¨hrlicher. Mit diesem Buch mo¨chten wir die Rolle der klassischen Analysis nicht als Hilfs- wissenschaft fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler beleuchten, sondern als ei- gensta¨ndigeKunst undGeisteswissenschaft, deren Inspirationsquelleallerdingsin ihrenAnwendungenliegt. Wir dankenunserenKollegen,die unswichtige Ratschla¨ge undUnterstu¨tzungfu¨r dieEntstehungdiesesBuchesgegebenhaben,insbesondereHerrnProfessorHans- ChristophGrunaufu¨rzahlreicheAnregungenundwertvolleMaterialienzurFunk- tionentheorie. Vor allem mo¨chten wir den Professoren Lutz Tobiska und Gerald Warneckeganzherzlichdanken. NichtzuletztdankenwirdemLektoratdesSpringerSpektrumVerlags,namentlich FrauUlrikeSchmickler-HirzebruchsowieFrauBarbaraGerlach. Magdeburg,4.Oktober2013 MatthiasKunikundPiotrSkrzypacz Inhaltsverzeichnis 1 Riemann-Integrale ............................................. 1 1.1 EigentlicheunduneigentlicheRiemann-Integrale................ 1 1.2 Aufgaben ................................................. 7 DieIntegrationwichtigerSprungfunktionen ................ 7 EigentlicheunduneigentlicheRiemann-Integrale............ 8 NullmengenundRiemann-Integral........................ 14 DerWallisscheProduktsatzfu¨rπ/2 ....................... 15 DieEulerscheSummenformel,TeilI ...................... 17 Bernoulli-Zahlen....................................... 18 DieEulerscheSummenformel,TeilII...................... 21 DieStirlingscheFormel ................................. 23 2 Doppelintegrale................................................ 25 2.1 Doppelintegraleu¨bereinemNormalbereich..................... 25 2.2 Aufgaben ................................................. 30 GebieteimR2 ......................................... 30 KonstanteFunktionenaufGebieten ....................... 32 Doppelintegrale........................................ 33 GewichtsmittelpunkteinesebenenGebietes ................ 34 3 Wegintegrale .................................................. 37 3.1 Wegintegrale,derGaußscheIntegralsatzderEbene .............. 37 3.2 Aufgaben ................................................. 43 DasWegintegralineinemGradientenfeld .................. 43 DerGaußscheIntegralsatzderEbene ...................... 44 DieintegraleFormeinerErhaltungsgleichung............... 46 Hyperbelfunktionen .................................... 48 DasMagnetfeldeinesstromdurchflossenenLeiters........... 49 vii viii Inhaltsverzeichnis 4 Lebesgue-Integrale............................................. 53 4.1 GrundlagenderLebesgueschenIntegrationstheorie .............. 53 4.2 Aufgaben ................................................. 65 Lebesgue-Integrale ..................................... 65 AbsoluteIntegrierbarkeitundDreiecksungleichung.......... 65 Sa¨tzevonB.LeviundH.L.Lebesguefu¨rReihen............ 66 KonvergenzgegeneinDiracschesPunktmaß................ 67 IntegrationmittelsKugelkoordinaten ...................... 68 DieGaußscheNormalverteilung .......................... 69 DieGamma-unddieZeta-Funktion ....................... 73 Euler-MascheronischeKonstanteγ........................ 76 AllgemeinesGaußschesFehlerintegral..................... 79 BestimmungderEllipsenfla¨che........................... 81 Kovarianzmatrixzurn-dimensionalenGaußschenVerteilung .. 82 WichtigeIntegraleinderFourier-AnalysisundOptik......... 83 EinfalscherGebrauchdesSatzesvonFubini................ 87 5 Oberfla¨chenintegrale ........................................... 89 5.1 Oberfla¨chenintegrale,Integralsa¨tzevonGaußundStokes ......... 89 5.2 DasPoincare´scheKreismodellderhyperbolischenGeometrie .....101 5.3 TransformationdesMetriktensorsohneFla¨cheneinbettung........105 5.4 Aufgaben .................................................107 DasVolumendern-dimensionalenEinheitskugel ............107 IntegrationrotationssymmetrischerFunktionen..............110 Oberfla¨cheundVolumeneinesRotationsko¨rpers.............113 EulerschesBetaintegralnachJacobi .......................116 DerGaußscheIntegralsatzfu¨rQuader .....................118 AnwendungendesGaußschenSatzesimR3 ................119 AnwendungdesStokesschenIntegralsatzes.................122 EineMetrikfu¨rdasPoincare´scheKreismodell ..............123 6 Fourier-Reihen ................................................127 6.1 DieTheoriederFourier-Reihen...............................127 6.2 Aufgaben .................................................144 Fourier-EntwicklungderFunktionenβ ....................144 n Wellengleichrichter.....................................147 Wa¨rmeleitung .........................................149 Eindeutigkeitssatzfu¨rFourier-Reihen......................156 Abklingverhaltenfu¨rFourier-ReihenglatterFunktionen ......157 PartialbruchzerlegungderCotangens-Funktion..............158 DasEulerscheSinusprodukt..............................159 Gibbs-Pha¨nomen.......................................160 Inhaltsverzeichnis ix 7 Fourier-Transformation ........................................163 7.1 L -Ra¨umeunddieTheoriederFourier-Transformation...........163 p 7.2 Aufgaben .................................................179 L -Funktionenaufbeschra¨nktemGebiet ...................179 p L -FunktionenaufdemRn...............................179 p Rechenregelnfu¨rFourier-Transformierte...................180 Fourier-TransformiertevomRechteck-undDreiecksfenster ...183 DasDreiecksfensterundseineFourier-Transformierte........185 Hermite-PolynomeundharmonischerOszillator.............188 DieUnscha¨rfedesharmonischenOszillators................197 DerharmonischeOszillatormitphysikalischenMaßeinheiten .201 8 GrundlagenderFunktionentheorie ..............................203 8.1 AufgabenstellungundGrundlagenderFunktionentheorie.........203 8.2 HolomorpheFunktionen.....................................204 8.3 Kurvenintegrale............................................214 8.4 Mo¨bius-Transformationen(gebrochenrationaleAbbildungen).....230 8.5 DerRiemannscheAbbildungssatz.............................237 8.6 Aufgaben .................................................242 Cauchy-RiemannscheDifferentialgleichungen ..............242 VerkettungharmonischermitholomorphenFunktionen.......246 DieholomorpheErga¨nzungeinerharmonischenFunktion.....247 KomplexeLogarithmusfunktionen ........................249 KomplexeArcus-Tangens-Funktionen .....................253 IntegraldarstellungderHermite-Polynome..................255 FresnelscheIntegrale,CauchyscherIntegralsatz .............256 Dirichlet-IntegralundCauchyscherIntegralsatz .............258 VonderPoisson-FormelzumFundamentalsatzderAlgebra ...261 DerKonvergenzradiusderBernoullischenPotenzreihe .......265 IntegraldarstellungderLogarithmusfunktion................266 DasMaximumprinzip...................................269 SchwarzschesLemma...................................272 Nullstellenanzahl,SatzvonRouche´ .......................273 AnwendungendesResiduensatzes ........................276 HomotopieundeinfacherZusammenhang..................279 DieMo¨bius-Transformation..............................281 BiholomorpheAbbildungen..............................283 EinebiholomorpheEinschra¨nkungderSinus-Funktion .......285 9 AnwendungenderFunktionentheorie ............................287 9.1 HyperbolischeGeometrie....................................287 Mo¨bius-TransformationenimPoincare´schenKreismodell.....294 DasHalbebenenmodellderhyperbolischenGeometrie........298 DieH-Kongruenzabbildungen............................304 DiebiholomorphenAutomorphismenvonE ................305 x Inhaltsverzeichnis DiebiholomorphenAutomorphismenvonH ................307 DieanalytischeBeschreibungeinesH-Kreises ..............307 9.2 DirichletschesRandwertproblemfu¨rdieebeneLaplace-Gleichung .310 IntegralformelnvonPoisson-Schwarzfu¨rdenEinheitskreis ...315 StetigaufdenRandfortsetzbareLo¨sungenimEinheitskreis ...316 DasMaximumprinzipfu¨rdasDirichletscheRandwertproblem.318 DieEindeutigkeitderstetigfortsetzbarenLo¨sungen..........319 RenormierungderSprungunstetigkeiteneinerRandvorgabe ...321 NeumannscheInterpretationderstationa¨renWa¨rmeleitung....323 PoissonscheIntegralformelfu¨rdieHalbebene...............324 Verpflanzungsmethodefu¨rPotentialprobleme ...............327 9.3 PotentialproblemeinderElektrostatikundStro¨mungsmechanik....331 ElektrostatikundMo¨bius-Transformationen ................331 EbenePotentialstro¨mungeineridealenFlu¨ssigkeit ...........336 JoukowskiAbbildungfu¨rdieUmstro¨mungeinesTragflu¨gels ..341 VerpflanzungmitderJoukowski-Abbildung ................342 9.4 DieGamma-Funktion.......................................346 ResiduenderGamma-Funktion...........................352 WeitereEigenschaftenderGamma-FunktionimKomplexen...353 Euler-StieltjesFormelfu¨rγ ..............................356 StirlingscheFormelfu¨rdieGamma-Funktion ...............359 9.5 DerSatzvonWiener-Ikehara.................................364 VerschiedeneDarstellungenderRiemannschenZeta-Funktion.378 LogarithmierungderRiemannschenZeta-Funktion ..........379 AnwendungdesWiener-IkeharaSatzes ....................381 DerPrimzahlsatz.......................................383 BochnerHilfssatz ......................................385 Dirichlet-ReihenmitmultiplikativenKoeffizienten...........387 WeitereAnwendungendesWiener-IkeharaSatzes ...........388 Literaturverzeichnis ................................................391 Indexverzeichnis ...................................................393
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