Hoehere Mathematik fuer Naturwissenschaftler und Ingenieure

980 Pages·2008·9.97 MB·German

by  Günter Bärwolff

Günter Bärwolff
Höhere Mathematik
für Naturwissenschaftler und Ingenieure
unter Mitarbeit von
Gottfried Seifert
28.September 2007
Vorwort
IndemvorliegendenBuchsindzumeinenlangjährigeErfahrungenbeiderpro-
jektorientierten Zusammenarbeit zwischen Mathematikern, Physikern und In-
genieuren in interdisziplinären Arbeitsgruppen zur Lösung angewandter ma-
thematischer Aufgaben, zum anderen die Erfahrungen bei der mathematischen
Grundausbildung von Ingenieurstudenten an der Technischen Universität Ber-
lin zusammengeflossen.Dabeikonntenwesentliche Vorstellungender Kollegen
D. Ferus, R.D. Grigorieff, D. Krüger, K. Kutzler und H. Bausch, die ich in den
vergangenen 10 Jahren auch in meinen Vorlesungen verwendet habe, dankens-
werterweisegenutztwerden.
DiesesLehrbuchhatzumZiel,ineinemBanddiemathematischenInhaltezube-
handeln,dieüblicherweiseimGrundstudiumderIngenieureundPhysikerver-
mittelt werden. Da somit in einem Band ein sehr breites Spektrum zu bearbei-
tenwar,habenwirunsspeziellbeidenThemen”Funktionentheorie”,”Partielle
Differentialgleichungen”, ”Integraltransformationen” und ”Variationsrechnung
undOptimierung”nuraufGrundlagenkonzentriert,dieinderMathematikaus-
bildung von Ingenieuren an der Technischen Universität Berlin seitens der In-
genieurfakultätenfürwichtigerachtetwurden.DerInhaltdesBuchesbildetdie
Mathematikkurseweitestgehendab,dieanderTechnischenUniversitätBerlinim
Ingenieurgrundstudiumvermitteltwerden.
AufVorschlageinigerinderMathematikausbildungvonIngenieurentätigenFach-
kollegen anderer Universitäten wurde der ursprünglich vorgesehene Rahmen
umKapitelzurWahrscheinlichkeitsrechnungundStatistikbeträchtlicherweitert.
Diese beiden Kapitel wurden im Wesentlichen von meinem langjährigen Kolle-
genG.Seifertgeschrieben,derdurchkritischeHinweiseundVerbesserungsvor-
schlägeauchanTeilendesübrigenTextesmitgewirkthat.
Um das Buch lesbar zu gestalten, war es nicht immer möglich, nur Begriffe zu
verwenden,dieschonausführlichbesprochenunddefiniertsind.Gemeintistda-
mit, dass man z.B. reelle Zahlen verwendet, ehe man in einem Abschnitt den
BegriffderreellenZahlmathematischdefiniert,umz.B.binomischeFormelnzur
Berechnungvon(a+b)nimAbschnittübernatürlicheZahlenüberhauptbehan-
delnzukönnen.EinanderesBeispielseihiermitdemVektorbegriffgenannt,der
in dem Sinne verwendet wird, wie er im Physikunterricht in der Schule einge-
führtwurde,umwichtigeUngleichungenoderOperationenmitkomplexenZah-
lengraphischdarzustellen.SpäterwerdendanndieVektorenalsgerichtetePfeile
einer bestimmten Länge als Elemente spezieller abstrakter Vektorräume behan-
delt. Wir waren bestrebt, die aus Darstellungs- und Lesbarkeitsgründen vorab
verwendetenBegriffe in den betreffendenthematischenAbschnittenzudefinie-
ren.
Das Buch soll einerseits Studierenden der Ingenieur- und Naturwissenschaften
beiderMathematikausbildunganderUniversitätoderFachhochschuleeinnütz-
VI Vorwort
licherBegleitersein, andererseitsaberauch demin der Praxistätigen Ingenieur
oder Physiker als Nachschlagewerk dienen. Neben Ingenieuren und Naturwis-
senschaftlernrichtetsichdasBuchdurchdasbreiteThemenspektrumbishinzur
nichtlinearen Optimierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik auch an
Techno-und Wirtschaftsmathematiker oder Betriebs- und Volkswirte, die an ei-
nerfundiertenmathematischenAusbildungalsGrundlagefüreineseriöseUnter-
nehmensführung interessiert sind. Bei der Vermittlung der mathematischen In-
haltespieltderAspektderpraktischenNutzungderdargelegtenMethodenund
Instrumente eine wesentliche Rolle. Allerdings kann es mit diesem Buch nicht
nurdarumgehen,Studierende,dieschnellund”irgendwie”ihrenMathematik-
kursüberstehenwollen,anzusprechen.DasBuchrichtetsichvorallemanLeute,
die an Mathematik und am Verständnis von Inhalten interessiert sind. Deshalb
wird im Rahmen der Möglichkeiten von 870 Seiten eine weitestgehend stimmi-
geDarstellungderangesprochenenThemenangestrebt.Willmandaserreichen,
müssen auch recht theoretisch anmutende Themen wie z.B. die Eigenschaften
vonFunktionenreihenoderdieEigenschaftenvonDeterminantenundMatrizen
inderlinearenAlgebradiskutiertwerden.BeweisevonSätzenundFormelnfüh-
renwirinderRegeldort,woesumdasErlernenvonBeweistechnikengeht,oder
womitdenBeweisendurchkonstruktiveMethodendasVerständnisvonInhal-
tengefördertoderdiemathematischeAllgemeinbildungerweitertwird.DieVor-
aussetzungenvonSätzenundmathematischenAussagenwerdennichtimmerin
derschärfstmöglichenFormangegeben.AlsBeispielseietwadieForderungder
stetigen Differenzierbarkeit einer Funktion genannt, deren Ableitung eigentlich
nurintegrierbarsein muss, weilsie in einemIntegralausdruckverwendetwird.
Hier wurde die Stetigkeit der Ableitung gefordert, obwohl die schwächere For-
derungder Integrierbarkeitausgereichthätte. Allerdings habenfür die Anwen-
dungrelevanteFunktioneninderRegelstetigeAbleitungen,sodassdiestärkere
Voraussetzungdannmeisterfülltist.
ImAnhangwerdenineinerkompaktenSammlungwichtigeFormelnzudenein-
zelnenKapitelnzusammengefasst.DadieLösungenderinjedemKapitelgestell-
tenAufgabenrechtausführlichdargestelltwerden,werdensieausPlatzgründen
zumDownloadimInternetaufwww.elsevier.dealspdf-undalsps-Dateiange-
boten.
Für an vertiefender Literatur und an lückenlosen Nachweisen interessierte Le-
serwerdenimAnhangzudeneinzelnenKapitelnmathematischeMonographien
angegeben.
Herrn Dr. Andreas Rüdinger als verantwortlichen Lektor von Elsevier – Spek-
trum Akademischer Verlag möchte ich zum einen für die Anregung zu diesem
Lehrbuch und zum anderen für die problemlose Zusammenarbeit von der Ver-
tragsentstehungbiszumfertigenBuchmeinenDankaussprechen.Insbesondere
inderEndphasederFertigstellungdesManuskriptswardieunkomplizierteZu-
sammenarbeitmitFrauBarbaraLühkervonElsevier–SpektrumAkademischer
Verlaghilfreich.
ZuguterletztmöchteichFrauGabrieleGraichen,diedievielenGrafikenaufdem
Computererstellthat,für die effiziente Zusammenarbeitherzlichdanken,ohne
diedasBuchnichtmöglichgewesenwäre.
Berlin,August2004 GünterBärwolff
Vorwort VII
Vorwortzur2.Auflage
DenVorschlägenvonFachkolleginnenund-kollegenfolgend,wirddie2.Auflage
um zweiThemengebieteergänzt.Einmalwird das Kapitel”GewöhnlicheDiffe-
rentialgleichungen”umeinenAbschnittzuZweipunkt-Randwertproblemenund
Rand-Eigenwertproblemen erweitert. Des Weiteren wurde ein Kapitel zur The-
matik”Tensorrechnung”hinzugefügt.DasKapitel”PartielleDifferentialgleichun-
gen” wurde auch mit Bezug auf den neuen Abschnitt zu Randwertproblemen
durchmeinenKollegenGottfriedSeifertumfassendüberarbeitet.DieFormelsamm-
lungwurdeentsprechendergänzt.DiesorgfältigeDurchsichtder1.Auflage,die
sichdarausergebendeÜberarbeitungdurchG.SeifertunddieAufbereitungvor-
handenersowiedieErzeugungneuerGrafikendurchFrauGabrieleGraichenha-
bendemBuchzweifellossehrgutgetan.Ebensoausgesprochendankbarbinich
Frau B. Lühker und Herrn Dr. A. Rüdinger von Elsevier – Spektrum Akademi-
scher Verlag für das akribische Lesen des Manuskripts, speziell der neu hinzu-
gekommenenThemen,unddieklugenHinweise.Besondersbeiderindexträch-
tigenTensorrechnunghatdaszurrechtzeitigenKorrektureinerReihevonFlüch-
tigkeitsschreibfehlernbeigetragen.
Außerdem wurden selbstverständlich berechtigte Hinweise von Lesern berück-
sichtigt,insbesondereeinwesentlichumfangreichererIndexerstellt,unddasEr-
ratumder1.Auflageeingearbeitet.
Berlin,November2005 GünterBärwolff

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 LogischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 GrundlagenderMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 DienatürlichenZahlenunddievollständigeInduktion . . . . . . . 16
1.5 Ganze,rationaleundreelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 UngleichungenundBeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 AnalysisvonFunktioneneinerVeränderlichen 55
2.1 BegriffderFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 EigenschaftenvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 ElementareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 GrenzwertundStetigkeitvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 EigenschaftenstetigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 DifferenzierbarkeitvonFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7 LineareApproximationundDifferential . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 EigenschaftendifferenzierbarerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . 105
2.9 TAYLOR-FormelundderSatzvonTAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.10 Extremalprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.11 BANACHscherFixpunktsatzundNEWTON-Verfahren . . . . . . . . 119
2.12 KurvenimR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.13 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.14 VolumenundOberflächevonRotationskörpern . . . . . . . . . . . 162
2.15 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.16 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.17 NumerischeIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2.18 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.19 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3 Reihen 189
3.1 Zahlenreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.2 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.3 GleichmäßigkonvergenteReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.5 OperationenmitPotenzreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.6 KomplexePotenzreihen,Reihenvonexpx,sinxundcosx . . . . . 211
X INHALTSVERZEICHNIS
3.7 NumerischeIntegralberechnungmitPotenzreihen . . . . . . . . . . 224
3.8 KonstruktionvonReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.9 FOURIER-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4 LineareAlgebra 261
4.1 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.2 CRAMERscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.4 LineareGleichungssystemeundderenLösung . . . . . . . . . . . . 302
4.5 AllgemeineVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.6 OrthogonalisierungsverfahrennachERHARDSCHMIDT . . . . . . . 324
4.7 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
4.8 VektorrechnungimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5 AnalysisimRn 369
5.1 EigenschaftenvonPunktmengenausdemRn . . . . . . . . . . . . . 370
5.2 AbbildungenundFunktionenmehrererVeränderlicher . . . . . . . 375
5.3 KurvenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
5.4 StetigkeitvonAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
5.5 PartielleAbleitungeinerFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.6 AbleitungsmatrixundHESSE-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
5.7 DifferenzierbarkeitvonAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
5.8 DifferentiationsregelnunddieRichtungsableitung . . . . . . . . . . 395
5.9 LineareApproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.10 TotalesDifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.11 TAYLOR-FormelundMittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.12 SatzüberimpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
5.13 ExtremalaufgabenohneNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . 409
5.14 ExtremalaufgabenmitNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 414
5.15 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
5.16 NEWTON-VerfahrenfürGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . 423
5.17 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen 427
6.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.2 AllgemeineBegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
6.3 AllgemeineszuDifferentialgleichungenersterOrdnung . . . . . . 430
6.4 DifferentialgleichungenersterOrdnungmittrennbarenVariablen . 433
6.5 LineareDifferentialgleichungenersterOrdnung . . . . . . . . . . . 436
6.6 DurchTransformationenlösbareDifferentialgleichungen . . . . . . 439
6.7 LineareDifferentialgleichungssystemeersterOrdnung . . . . . . . 446
6.8 LineareDifferentialgleichungenn-terOrdnung . . . . . . . . . . . . 462
6.9 Anmerkungenzum”Rechnen”mitDifferentialgleichungen . . . . 483
6.10 NumerischeLösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
INHALTSVERZEICHNIS XI
6.11 PotenzreihenzurLösungvonDifferentialgleichungen . . . . . . . . 496
6.12 BESSELscheundLEGENDREscheDifferentialgleichungen. . . . . . . 499
6.13 Rand-undEigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
6.14 NichtlineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
6.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
7 VektoranalysisundKurvenintegrale 541
7.1 DiegrundlegendenOperatorenderVektoranalysis . . . . . . . . . . 542
7.2 RechenregelnundEigenschaftenderOperatoren
derVektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
7.3 PotentialundPotentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
7.4 SkalareKurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
7.5 VektoriellesKurvenintegral–Arbeitsintegral . . . . . . . . . . . . . 553
7.6 StammfunktioneinesGradientenfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7.7 BerechnungsmethodenfürStammfunktionen . . . . . . . . . . . . . 562
7.8 Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
7.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
8 Flächenintegrale,VolumenintegraleundIntegralsätze 567
8.1 FlächeninhaltebenerBereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
8.2 RIEMANNschesFlächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
8.3 FlächenintegralberechnungdurchUmwandlunginDoppelintegrale573
8.4 SatzvonGREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
8.5 TransformationsformelfürFlächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 584
8.6 IntegrationüberOberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
8.7 SatzvonSTOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
8.8 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
8.9 TransformationsformelfürVolumenintegrale . . . . . . . . . . . . . 617
8.10 SatzvonGAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
8.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
9 PartielleDifferentialgleichungen 633
9.1 WasisteinepartielleDifferentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . 634
9.2 PartielleDifferentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . 635
9.3 BeispielevonpartiellenDifferentialgleichungenausderPhysik . . 638
9.4 Wellengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
9.5 Wärmeleitungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
9.6 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
10 Funktionentheorie 691
10.1 KomplexeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
10.2 DifferentiationkomplexerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
10.3 ElementarekomplexeFunktionenundPotenzreihen . . . . . . . . . 699
10.4 KonformeAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
10.5 IntegrationkomplexerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
10.6 ReihenentwicklungenkomplexerFunktionen . . . . . . . . . . . . . 714
XII INHALTSVERZEICHNIS
10.7 BehandlungvonSingularitätenundderResiduensatz . . . . . . . . 715
10.8 BerechnungvonIntegralenmitHilfedesResiduensatzes . . . . . . 722
10.9 HarmonischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
10.10Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
11 Integraltransformationen 735
11.1 DefinitionvonIntegraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 736
11.2 FOURIER-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
11.3 UmkehrungderFOURIER-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 743
11.4 EigenschaftenderFOURIER-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 744
11.5 AnwendungderFOURIER-TransformationaufpartielleDifferenti-
algleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
11.6 LAPLACE-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
11.7 InverseLAPLACE-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
11.8 RechenregelnderLAPLACE-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 755
11.9 PraktischeArbeitmitderLAPLACE-TransformationundderRück-
transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
11.10Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
12 VariationsrechnungundOptimierung 771
12.1 EinigemathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
12.2 FunktionaleaufBANACH-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
12.3 VariationsproblemeauflinearenMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . 787
12.4 KlassischeVariationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
12.5 EinigeVariationsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
12.6 NatürlicheRandbedingungenundTransversalität . . . . . . . . . . 802
12.7 IsoperimetrischeVariationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
12.8 FunktionalemitmehrerenVeränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . 807
12.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
13 ElementederTensorrechnung 809
13.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
13.2 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
13.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 839
14.1 ZufälligeEreignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
14.2 WahrscheinlichkeitzufälligerEreignisse . . . . . . . . . . . . . . . . 846
14.3 Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855
14.4 ZufälligeVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
14.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
15 Statistik 899
15.1 Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
15.2 Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
15.3 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
15.4 StatistischeTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
INHALTSVERZEICHNIS XIII
15.5 Korrelations-undRegressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
15.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
A Formelkompendium 945
B Literaturhinweise 959