Hodge Theory

597 Pages·2014·2.566 MB·English

by  Cattani, Eduardo, El Zein, Fouad, Griffiths, Phillip, Lê, Dũng Tráng (eds.)

hodge˙book˙20oct October20,2013 6x9
Hodge Theory
Edited by:
Eduardo Cattani
Fouad El Zein
Phillip A. Griffiths
Leˆ Du˜ng Tra´ng
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD
hodge˙book˙20oct October20,2013 6x9
hodge˙book˙20oct October20,2013 6x9
iii
Contributors
PatrickBrosnan PhillipA.Griffiths
DepartmentofMathematics InstituteforAdvancedStudy
UniversityofMaryland EinsteinDrive
CollegePark,MD20742-4015,USA Princeton,NJ08540-4907,USA
[email protected] [email protected]
JamesCarlson MattKerr
25MurrayStreet,Apartment7G DepartmentofMathematics,Box1146
NewYorkCity,NY10007-2361,USA WashingtonUniversityinSt. Louis
[email protected] St. Louis,MO63130-4899,USA
[email protected]
EduardoCattani Leˆ Du˜ngTra´ng
DepartmentofMathematicsandStatistics Universite´ deAixMarseille
UniversityofMassachusettsAmherst CentredeMathe´matiquesetInformatique
Amherst,MA01003-9305,USA 39,rueJoliotCurie
[email protected] 13453MarseilleCedex13,France
[email protected]
Franc¸oisCharles LucaMigliorini
Universite´ Paris-Sud DipartimentodiMatematica
De´partementdeMathe´matiques Universita` diBologna
Baˆtiment425 PiazzadiPortaS.Donato,5
91405OrsayCedex,France Bologna,Italy
[email protected] [email protected]
MarkAndreadeCataldo JacobP.Murre
DepartmentofMathematics DepartmentofMathematics
StonyBrookUniversity UniversityofLeiden
StonyBrook,NY11794-3651,USA P.O.Box9512
2300RALeiden,TheNetherlands
[email protected]
FouadElzein ChristianSchnell
InstitutdeMathe´matiquesdeJussieu DepartmentofMathematics
Paris,France StonyBrookUniversity
[email protected] StonyBrook,NY11794-3651,USA
[email protected]
MarkL.Green LoringW.Tu
DepartmentofMathematics DepartmentofMathematics
UCLA TuftsUniversity
LosAngeles,CA90095-1555,USA Medford,MA02155,USA
[email protected] [email protected]
hodge˙book˙20oct October20,2013 6x9
hodge˙book˙20oct October20,2013 6x9
Contents
Preface xiii
1 Ka¨hlerManifoldsbyE.Cattani 1
1.1 ComplexManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 DefinitionandExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 HolomorphicVectorBundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 DifferentialFormsonComplexManifolds . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 AlmostComplexManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 TangentandCotangentSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 DeRhamandDolbeaultCohomologies . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Symplectic,Hermitian,andKa¨hlerStructures . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Ka¨hlerManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 TheChernClassofaHolomorphicLineBundle. . . . . . . . 28
1.4 HarmonicForms-HodgeTheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 CompactRealManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 The∂¯-Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 CohomologyofCompactKa¨hlerManifolds . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1 TheKa¨hlerIdentities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 TheHodgeDecompositonTheorem . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.3 LefschetzTheoremsandHodge-RiemannBilinearRelations . 38
A LinearAlgebra 44
A.1 RealandComplexVectorSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 TheWeightfiltrationofanilpotenttransformation. . . . . . . . . . . 49
A.3 Representationsofsl(2,C)andLefschetzTheorems . . . . . . . . . 50
A.4 Hodgestructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B TheKa¨hlerIdentitiesbyP.A.Griffiths 57
B.1 SymplecticLinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B.2 CompatibleInnerProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.3 SymplecticManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.4 TheKa¨hlerIdentities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliography 66
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vi CONTENTS
2 TheAlgebraicdeRhamTheorembyF.ElZeinandL.Tu 69
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
PartI.SheafCohomology,Hypercohomology,andtheProjectiveCase . 71
2.1 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.1 TheE´tale´ SpaceofaPresheaf . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.2 ExactSequencesofSheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.3 Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 SheafCohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1 Godement’sCanonicalResolution . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.2 CohomologywithCoefficientsinaSheaf . . . . . . . . . . . 77
2.2.3 FlasqueSheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.4 CohomologySheavesandExactFunctors . . . . . . . . . . . 82
2.2.5 FineSheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.6 CohomologywithCoefficientsinaFineSheaf . . . . . . . . 86
2.3 CoherentSheavesandSerre’sGAGAPrinciple . . . . . . . . . . . . 88
2.4 TheHypercohomologyofaComplexofSheaves . . . . . . . . . . . 91
2.4.1 TheSpectralSequencesofHypercohomology . . . . . . . . . 93
2.4.2 AcyclicResolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 TheAnalyticdeRhamTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.1 TheHolomorphicPoincare´ Lemma . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.2 TheAnalyticdeRhamTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.6 TheAlgebraicdeRhamTheoremforaProjectiveVariety . . . . . . . 99
PartII.CˇechCohomologyandtheAlgebraicdeRhamTheoreminGen-
eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 CˇechCohomologyofaSheaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7.1 CˇechCohomologyofanOpenCover . . . . . . . . . . . . . 101
2.7.2 RelationBetweenCˇechCohomologyandSheafCohomology 102
2.8 CˇechCohomologyofaComplexofSheaves . . . . . . . . . . . . . . 104
2.8.1 TheRelationBetweenCˇechCohomologyandHypercohomol-
ogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.9 ReductiontotheAffineCase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.9.1 ProofthattheGeneralCaseImpliestheAffineCase. . . . . . 108
2.9.2 ProofthattheAffineCaseImpliestheGeneralCase. . . . . . 108
2.10 TheAlgebraicdeRhamTheoremforanAffineVariety . . . . . . . . 110
2.10.1 TheHypercohomologyoftheDirectImageofaSheafofSmooth
Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.10.2 TheHypercohomologyofRationalandMeromorphicForms . 111
2.10.3 ComparisonofMeromorphicandSmoothForms . . . . . . . 115
Bibliography 120
3 MixedHodgeStructuresbyF.ElZeinandLeˆ D.T. 122
3.1 HodgeStructureonasmoothcompactcomplexvariety . . . . . . . . 127
3.1.1 Hodgestructure(HS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1.2 Spectralsequenceofafilteredcomplex . . . . . . . . . . . . 131
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CONTENTS vii
3.1.3 Hodge structure on the cohomology of non-singular compact
complexalgebraicvarieties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.4 LefschetzdecompositionandPolarizedHodgestructure . . . 140
3.1.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.6 CohomologyclassofasubvarietyandHodgeconjecture . . . 145
3.2 MixedHodgeStructures(MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.1 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.2.2 MixedHodgeStructure(MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.2.3 Inducedfiltrationsonspectralsequences. . . . . . . . . . . . 162
3.2.4 MHSofanormalcrossingdivisor(NCD) . . . . . . . . . . . 165
3.3 MixedHodgeComplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.3.1 Derivedcategory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.3.2 Derivedfunctoronafilteredcomplex . . . . . . . . . . . . . 176
3.3.3 MixedHodgecomplex(MHC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.3.4 Relativecohomologyandthemixedcone . . . . . . . . . . . 185
3.4 MHSonthecohomologyofacomplexalgebraicvariety . . . . . . . 188
3.4.1 MHSonthecohomologyofsmoothalgebraicvarieties . . . . 189
3.4.2 MHSoncohomologyofsimplicialvarieties . . . . . . . . . . 197
3.4.3 MHS on the cohomology of a complete embedded algebraic
variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Bibliography 210
4 PerioddomainsbyJ.Carlson 213
4.1 Perioddomainsandmonodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2 Ellipticcurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.3 Periodmappings: anexample. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.4 Hodgestructuresofweightone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.5 Hodgestructuresofweighttwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.6 Poincare´ residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.7 Propertiesoftheperiodmapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.8 TheJacobianidealandthelocalTorellitheorem . . . . . . . . . . . . 240
4.9 TheHorizontalDistribution-DistanceDecreasingProperties . . . . . 242
4.10 TheHorizontalDistribution-IntegralManifolds. . . . . . . . . . . . 245
Bibliography 251
5 Hodgetheoryofmaps,PartIbyL.Migliorini 252
5.1 Lecture1: Thesmoothcase: E -degeneration . . . . . . . . . . . . . 253
2
5.2 Lecture2: MixedHodgestructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2.1 MixedHodgestructuresonthecohomologyofalgebraicvari-
eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2.2 Theglobalinvariantcycletheorem . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2.3 Semisimplicityofmonodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
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viii CONTENTS
5.3 Lecture 3: Two classical theorems on surfaces and the local invariant
cycletheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3.1 HomologicalinterpretationofthecontractioncriterionandZariski’s
lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3.2 Thelocalinvariantcycletheorem,thelimitmixedHodgestruc-
tureandtheClemens-Schmidexactsequence.([3,6]) . . . . . 265
Bibliography 268
6 Hodgetheoryofmaps,PartIIbyM.A.deCataldo 269
6.1 Lecture4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.1.1 Sheafcohomologyandallthat(aminimalistapproach) . . . . 269
6.1.2 Theintersectioncohomologycomplex . . . . . . . . . . . . . 281
6.1.3 Verdierduality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.2 Lecture5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.2.1 Thedecompositiontheorem(DT) . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.2.2 TherelativehardLefschetzandthehardLefschetzforintersec-
tioncohomologygroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Bibliography 292
7 VariationsofHodgeStructurebyE.Cattani 294
7.1 LocalSystemsandFlatConnections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1.1 LocalSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1.2 FlatBundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2 Analyticfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2.1 TheKodaira-SpencerMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.3 VariationsofHodgeStructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.3.1 GeometricVariationsofHodgeStructure . . . . . . . . . . . 303
7.3.2 AbstractVariationsofHodgeStructure . . . . . . . . . . . . 307
7.4 ClassifyingSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.5 MixedHodgeStructuresandtheOrbitTheorems . . . . . . . . . . . 312
7.5.1 NilpotentOrbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.5.2 MixedHodgeStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7.5.3 SL -orbits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
2
7.6 AsymptoticBehaviorofaPeriodMapping . . . . . . . . . . . . . . . 320
Bibliography 327
8 VariationsofMixedHodgeStructurebyP.BrosnanandF.ElZein 331
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.1 VariationofmixedHodgestructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.1.1 Localsystemsandrepresentationsofthefundamentalgroup . 333
8.1.2 ConnectionsandLocalSystems . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.1.3 VariationofmixedHodgestructureofgeometricorigin . . . . 338
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CONTENTS ix
8.1.4 Singularitiesoflocalsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.2 DegenerationofvariationsofmixedHodgestructures . . . . . . . . . 348
8.2.1 DiagonaldegenerationofgeometricVMHS . . . . . . . . . 349
8.2.2 FilteredmixedHodgecomplex(FMHC) . . . . . . . . . . . . 351
8.2.3 DiagonaldirectimageofasimplicialcohomologicalFMHC . 353
8.2.4 ConstructionofalimitMHSontheunipotentnearbycycles . 355
8.2.5 Caseofasmoothmorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.2.6 PolarizedHodge-Lefschetzstructure . . . . . . . . . . . . . 360
8.2.7 Quasi-projectivecase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
8.2.8 Alternativeconstruction,existenceanduniqueness . . . . . . 363
8.3 AdmissiblevariationofmixedHodgestructure . . . . . . . . . . . . 365
8.3.1 Definitionandresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.3.2 LocalstudyofInfinitesimalMixedHodgestructuresafterKashi-
wara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.3.3 Deligne-Hodgetheoryonthecohomologyofasmoothvariety 371
8.4 Admissiblenormalfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.4.1 ReducingTheorem8.4.6toaspecialcase . . . . . . . . . . . 388
8.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.4.3 Classifyingspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.4.4 Pureclassifyingspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.4.5 Mixedclassifyingspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.4.6 Localnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.4.7 Splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.4.8 Aformulaforthezerolocusofanormalfunction . . . . . . . 394
8.4.9 ProofofTheorem8.4.6forcurves . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.4.10 AnExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Bibliography 401
9 AlgebraicCyclesandChowgroupsbyJ.Murre 404
9.1 LectureI:AlgebraicCycles. Chowgroups . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.1.1 Assumptionsandconventions . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.1.2 Algebraiccycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
9.1.3 Adequateequivalencerelations . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9.1.4 Rationalequivalence. Chowgroups . . . . . . . . . . . . . . 408
9.2 LectureII:Equivalencerelations. Shortsurveyontheresultsfordivisors 412
9.2.1 Algebraicequivalence(Weil,1952) . . . . . . . . . . . . . . 413
9.2.2 Smash-nilpotentequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.2.3 Homologicalequivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
9.2.4 Numericalequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
9.2.5 Finalremarksandresume´ ofrelationsandnotations. . . . . . 416
9.2.6 CartierdivisorsandthePicardgroup. . . . . . . . . . . . . . 416
9.2.7 Resume´ ofthemainfactsfordivisors . . . . . . . . . . . . . 417
9.2.8 ReferencesforlecturesIandII . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9.3 LectureIII.Cyclemap. IntermediateJacobian. Delignecohomology . 419
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x CONTENTS
9.3.1 Thecyclemap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9.3.2 Hodgeclasses. Hodgeconjecture . . . . . . . . . . . . . . . 421
9.3.3 IntermediateJacobianandAbel-Jacobimap . . . . . . . . . . 423
9.3.4 Delignecohomology. Delignecyclemap . . . . . . . . . . . 426
9.3.5 ReferencesforlectureIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
9.4 LectureIV:Algebraicversushomologicalequivalence. Griffithsgroup 428
9.4.1 Lefschetztheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.4.2 ReturntoGriffithstheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
9.4.3 ReferencesforlectureIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.5 LectureV:TheAlbanesekernel.ResultsofMumford,BlochandBloch-
Srinivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.5.1 TheresultofMumford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.5.2 ReformulationandgeneralizationbyBloch . . . . . . . . . . 437
9.5.3 Aresultonthediagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.5.4 ReferencesforlectureV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Bibliography 441
10 SpreadsandAlgebraicCyclesbyM.L.Green 443
10.1 IntroductiontoSpreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
10.2 CycleClassandSpreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
10.3 TheConjecturalFiltrationonChowGroupsfromaSpreadPerspective 450
10.4 TheCaseofX definedoverQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
10.5 TheTangentSpacetoAlgebraicCycles . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Bibliography 461
11 AbsoluteHodgeClassesbyF.CharlesandC.Schnell 463
11.1 AlgebraicdeRhamcohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.1.1 AlgebraicdeRhamcohomology . . . . . . . . . . . . . . . . 465
11.1.2 Cycleclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
11.2 AbsoluteHodgeclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
11.2.1 AlgebraiccyclesandtheHodgeconjecture . . . . . . . . . . 471
11.2.2 Galois action, algebraic de Rham cohomology and absolute
Hodgeclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
11.2.3 Variationsonthedefinitionandsomefunctorialityproperties . 475
11.2.4 Classescomingfromthestandardconjecturesandpolarizations 478
11.2.5 AbsoluteHodgeclassesandtheHodgeconjecture . . . . . . 482
11.3 AbsoluteHodgeclassesinfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
11.3.1 ThevariationalHodgeconjectureandtheglobalinvariantcycle
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
11.3.2 Deligne’sPrincipleB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
11.3.3 ThelocusofHodgeclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
11.3.4 GaloisactiononrelativedeRhamcohomology . . . . . . . . 492
11.3.5 ThefieldofdefinitionofthelocusofHodgeclasses . . . . . . 494