(Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni

481 Pages·2019·5.519 MB·German

by  Tobias Glosauer

Tobias Glosauer
(Hoch)Schul-
mathematik
Ein Sprungbrett vom Gymnasium
an die Uni
3. Auflage
(Hoch)Schulmathematik
Tobias Glosauer
(Hoch)Schulmathematik
Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni
3. Auflage
Tobias Glosauer
Johannes-Kepler-Gymnasium
Reutlingen, Deutschland
ISBN 978-3-658-24573-3 ISBN 978-3-658-24574-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-24574-0
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Vorwort
Was soll und kann dieses Buch?
Dieses Buch richtet sich an Schu¨lerinnen und Schu¨ler der gymnasialen Oberstufe,
die in die Hochschulmathematik reinschnuppern m¨ochten, aber auch an Studie-
rende im ersten Semester, die noch etwas mathematische Starthilfe gebrauchen
k¨onnen.
Urspru¨nglich entstand dieser Text als Begleitmaterial zum Vertiefungskurs Ma-
”
thematik“,deramKepler-GymnasiumReutlingenvon2012–2014gehaltenwurde.
DiesesWahlfach MathePlus“ wirdgeradeanvielenSchulenBaden-Wu¨rttembergs
”
eingefu¨hrt, um den mathematischen U¨bergang an die Hochschule zu erleichtern.
Aber auch wenn es keinen solchen Kurs an deiner Schule gibt, kannst du dieses
Buch mit viel Gewinn im Selbststudium durcharbeiten.
In Teil I lernst du grundlegendes mathematisches Handwerkszeug: Es geht los mit
einer Einfu¨hrung in die (Aussagen-)Logik, gefolgt von mathematischer Beweis-
methodik sowie etwas Mengenlehre.
Teil II stellt eine Einfu¨hrung in die Analysis dar: Nach intensivem Studium des
Grenzwertbegriffs wird zur Abrundung noch Grundwissen in Differenzial- und In-
tegralrechnung vermittelt (hiervon ist dir vieles bereits aus der Schule bekannt).
Nachdem in Teil IV eine gru¨ndliche Einfu¨hrung in die komplexen Zahlen erfolgt
ist, werden die Anfangsgru¨nde der Linearen Algebra erforscht, wobei wir uns mit
Vektorr¨aumen, linearen Abbildungen und Matrizen bescha¨ftigen. In beiden Teilen
bekommst du ein Gefu¨hl dafu¨r, was dir am Anfang einer Mathe-Vorlesung des er-
sten Semesters alles um die Ohren fliegen wird.
Zwischendrin, sozusagen zum Verschnaufen von den vielen abstrakten Konzep-
ten, wird in Teil III ganz handfest gerechnet: Du lernst Gleichungen und Unglei-
chungen zu lo¨sen (bzw. dein Schulwissen zu reaktivieren und zu festigen), sowie
komplizierte Integrale zu knacken. Auf diese Rechenfertigkeiten wird vor allem
innaturwissenschaftlich-technischenStudieng¨angenwiez.B.Maschinenbaugroßen
Wert gelegt.
Danksagungen
Ich m¨ochte all denjenigen danken, die mich beim Entstehen dieses Buches un-
terstu¨tzt haben. An erster Stelle danke ich ganz herzlich meiner Kollegin Marion
Rauscher, da ich mich ohne sie vermutlich niemals an dieses a¨ußerst zeitintensive
Projekt herangewagt ha¨tte. Wir haben das erste Jahr des Vertiefungskurses Ma-
”
thematik“ im Wechsel unterrichtet und dabei entstanden die Kapitel 3 und 7 in
gemeinsamer Arbeit. Bei vielen anderen Kapiteln war sie mir beim Editieren und
Korrekturlesen extrem hilfreich.
EinriesigesDankesch¨ongebu¨hrtmeinerliebenFrau(undunerbittlichenKorrekto-
rin) Vera, die mir vor allem in der Endphase dieses Buchprojekts eine unsch¨atzbar
großeHilfewar–sowohlmathematischalsauchbeimAbwendenvonPanikattacken
durch viel gutes Zureden.
vi
Vielen Dank natu¨rlich auch an meine Schu¨lerinnen und Schu¨ler, also an
Adi,Anja,Annabel,Benno,Carlotta,Dani,Fabi,Felix,Franz,Franzi,Henrik,
Jakob, Jan-Hendrik, Jooon, Joni, Julia, Juliane, Kai, Kenji, Kosta, Leonie,
Lukas, Marco, Marie, Marius, Marvin, Matze, Michi, Mirjam, Moritz, Nico,
Pasi,Patrick,Peer,Sabrina,Sam,Simon,Timon,Tobi(2x),VerenaundVero.
Das Spektrum ihrer Blicke und Gesichtsausdru¨cke (von Ah ja, klar!“ u¨ber Jetzt
” ”
hab ich’s kapiert!“ bis hin zu H¨ah, was will der?“ und Wann ist endlich 15.20
” ”
Uhr?“)warstetseinguterIndikatordafu¨r,obderStoffverst¨andlichodervielleicht
doch zu abstrakt bzw. zu hastig erkl¨art war. Durch ihre Fragen und Kommenta-
re haben einige von ihnen erheblich zur Verbesserung des Textes beigetragen und
zudem haben sie noch zahlreiche Tippfehler und Lu¨cken aufgespu¨rt. Alle verblei-
bendenFehlergehenselbstversta¨ndlichaufihrKonto;h¨attetihrhaltaufmerksamer
gelesen, ihr Schnarchnasen! Aber Spaß beiseite: Alle mir noch bekannt werdenden
Fehler und deren Korrektur werden auf der Homepage
http://gl.jkg-reutlingen.de/MathePlus/
erscheinen. Hinweise auf Fehler sowie jede andere Art von Ru¨ckmeldung werden
dankbar entgegengenommen; einfach eine Mail an [email protected] senden.
Zuru¨ck zum eigentlichen Dank: Ich danke meinem Kollegen Oliver Redner ganz
herzlich fu¨r den LATEX-Support und Dr. F. Haug fu¨r das Beantworten einer Frage
zur Logik.
Schließlichmo¨chteichFrauSchmickler-HirzebruchvomSpringerVerlagwa¨rmstens
dafu¨r danken, dass sie sich u¨berhaupt auf dieses Projekt eingelassen hat sowie fu¨r
ihre vielen konstruktiven Tipps und Ratschl¨age. Ebenfalls besten Dank an Frau
Gerlach vom Springer Verlag fu¨r die a¨ußerst angenehme Zusammenarbeit.
Reutlingen, im Mai 2014 Tobias Glosauer
Vorwort zur zweiten Auflage
U¨ber das zeitnahe Erscheinen dieser zweiten Auflage freue ich mich sehr. Das Ka-
pitel u¨ber Mengen und Abbildungen wurde u¨berarbeitet und erweitert, bei den
komplexen Zahlen kam ein neues Beispiel hinzu, und am Ende des Buches gibt es
nunnochmehrU¨bungsmaterialinFormeinigerKlausurenausmeinenMathePlus-
Kursen. Es wurde etwas am Layout gefeilt und ein paar (Tipp-)Fehler konnten
ausgemerzt werden; ich bedanke mich recht herzlich bei allen, die mich darauf
hingewiesen haben: V.Bilkic, S.Friedmann, L.Hatzky, Dr.R.Hatzky, H.Kru¨ger,
W.Messner, P.Necker, C.Nieder, A.Sieck, T.Stein, J.Waidner und A.Wenger.
Ein großes Dankesch¨on geht wieder an meine Frau fu¨rs Korrekturlesen der Erwei-
terungen.
Reutlingen, im September 2016 Tobias Glosauer
vii
Vorwort zur dritten Auflage
In der zweiten Auflage scheinen die meisten Tippfehler bereits beseitigt worden
zu sein, zumindest haben mich seither nur noch eine Handvoll Fehlermeldungen
erreicht – vielen Dank dafu¨r an L.Hatzky, N.Herrmann, T.Junginger, D.Meyer
und C.Zeyffert.
DurchdieunkomplizierteZusammenarbeitmitFrauGerlachundFrauSchmickler-
HirzebruchvonSpringerSpektrumwurdedasrascheErscheinendieserdrittenAuf-
lage erm¨oglicht, in der einige Erga¨nzungen vorgenommen wurden. Die Kapitel 3
und 10 wurden um ein paar Beispiele und Aufgaben erweitert und dem Kapitel 7
wurde ein Abschnitt u¨ber Polynomdivision hinzugefu¨gt. Im zweiten Kapitel kam
eine Aufgabe zum Goldbach’schen Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen hinzu
undinKapitel4la¨dteineAufgabezumNachvollziehendesFourier’schenBeweises
der Irrationalita¨t von e ein.
Ein herzliches Dankesch¨on an D. Meyer fu¨r Anregungen und Ru¨ckmeldungen und
– wie immer – an meine Frau fu¨rs Korrekturlesen der Erweiterungen.
Reutlingen, im Oktober 2018 Tobias Glosauer
Inhalt
I Formales Fundament 1
1 Ein wenig Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Aussagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 nicht“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
”
1.1.4 und“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.5 (entweder) oder“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.6 wenn ..., dann ...“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
”
1.1.7 ... genau dann, wenn ...“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
”
1.1.8 Aussagenlogische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9 Aussagenlogische A¨quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Ausblick auf die Pr¨adikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Pr¨adikate und Individuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Der Allquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Der Existenzquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Exkurs: Grundwissen u¨ber Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Kontraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Beweis durch vollsta¨ndige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Der Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Teilmengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Der Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Bild- und Urbildmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 In-, Sur- und Bijektivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4 Verkettung und Umkehrabbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.5 Ma¨chtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen . . . . . . . . . . . 56
3.2.6 Ausblick: M¨achtig und u¨berm¨achtig . . . . . . . . . . . . . . . . 65
x Inhalt
II Anf¨ange der Analysis 69
4 Grenzwerte von Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2 Die Grenzwertsa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Exkurs: Die Vollst¨andigkeit von R. . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.4 Ausblick: Cauchyfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.5 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.6 Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Reihen als spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 Die eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.4 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.5 Ausblick: Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.6 Ausblick: e-Funktion und natu¨rlicher Logarithmus. . . . . . . . 112
5 Grundwissen Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
5.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.1 Die Steigung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.2 Der Grenzwert der Sekantensteigungen . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.3 Die Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.4 Lineare Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.5 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.1 Faktor- und Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Die Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3 Die Ableitung von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.4 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.5 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.7 Die Quotientenregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.8 Vermischte U¨bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3 Ausblick: Ableiten von Potenzreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Ausblick: Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6 Grundwissen Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
6.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2.1 Die Streifenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2.2 Das Darboux-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.3 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.4 Integral und Fl¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . 175
6.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Inhalt xi
III Rechenfertigkeiten 183
7 L¨osen von (Un)Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
7.1 Polynom(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.1 Lineare und quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.2 Gleichungen h¨oheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1.3 Polynomungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2 Bruch(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.1 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.2 Bruchungleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3 Wurzel(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.1 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.2 Wurzelungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.4 Betrags(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.4.1 Betragsgleichungen und Betragsfunktionen . . . . . . . . . . . . 200
7.4.2 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.5 Exponential(un)gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.5.1 Exponentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.5.2 Exponentialungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.6 Anhang: Polynomdivison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8 Die Kunst des Integrierens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
8.1 Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2.1 Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2.2 Trigonometrische Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.2.3 Hyperbolische Substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.3 Integration durch Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.4 Vermischte U¨bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
IV Abstrakte Algebra 237
9 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
9.1 U¨berblick u¨ber die bekannten Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Einfu¨hrung der komplexen Zahlen C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.2.1 Konstruktion von C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.2.3 Komplexe Konjugation und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.3 Der K¨orper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.3.1 Was ist ein K¨orper?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.3.2 Unm¨oglichkeit der Anordnung von C . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.3.3 Ausblick: Der Quaternionenschiefko¨rper . . . . . . . . . . . . . 258
9.4 Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.4.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.4.2 Eulers Identit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262