Hilberttransformation, gebrochene Integration und Differentiation

81 Pages·1968·1.978 MB·German

by  Paul L. Butzer, Walter Trebels (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1889
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 517.948.5
Paul L. Butzer - Walter Trebels
Lehrstuhl A für Mathematik
an der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Hilberttransformation,
gebrochene Integration und Differentiation
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06344-5 ISBN 978-3-663-07257-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07257-7
Verlags-Nr. 011889
© 1968 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Wesdeutscher Verlag, Köln und Opladen 1968
Vorwort
Diese Monographie behandelt die eindimensionale Hilberttransformation und die ge
brochene Integration auf der reellen Zahlengeraden. Da sich viele der Beweise auf die
Fouriertransformation für Lp-Funktionen (1 ~ P ~ 2) stützen, haben wir in Kapitel 1
alles Nötige aus der Theorie der Fouriertransformation für Funktionen einer Veränder
lichen systematisch zusammengestellt. Weiterhin haben wir uns erlaubt, die wohl
bekannten Eigenschaften der Hilberttransformation ohne Beweis vorauszusetzen und
weniger bekannte ausführlich zu beweisen. Der Schwerpunkt der Monographie liegt
bei den Kapiteln 3-6, deren Ergebnisse zum großen Teil neu sind. Da in der Einleitung
über die Problemstellung und über die Resultate näher berichtet wird, sei an dieser
Stelle nur erwähnt, daß Ausgangspunkte unserer Überlegungen Arbeiten folgender
Mathematiker sind: S. BOCHNER, J. L. B. COOPER, W. FELLER, G. H. HARDY, J. E.
LITTLEWOOD, G. O. OKIKIOLU, M. RIESZ, E. C. TITCHMARSH und H. WEYL. Dadurch
wird eine Einordnung unserer Ergebnisse gewährleistet.
Unser besonderer Dank gilt Herrn Professor J. L. B. COOPER für viele fruchtbare Dis
kussionen und wertvolle Ratschläge. Seine Vorträge im Aachener Kolloquium und
seine Teilnahme an einer Tagung, die der erstgenannte Verfasser im MATHEMATISCHEN
FORSCHUNGSINSTITUT OBERWOLFACH im August 1963 abgehalten hat, waren stets an
regend. Die Verfasser danken den Herrn Dr. E. GÖRLICH und H. JOHNEN für manche
kritischen Bemerkungen und für ihre Mithilfe bei der Durchsicht von Teilen des
Manuskripts und der Korrekturen, ferner Frl. K. REIMER-KELLNER, die das Manuskript
mit großer Sorgfalt geschrieben hat, und dem Westdeutschen Verlag für sein Ent
gegenkommen und die gute Ausstattung dieser Monographie.
Nicht zuletzt möchten wir dem Landesamt für Forschung des Landes Nordrhein
Westfalen für seine Förderung des Forschungsvorhabens sehr danken.
Aachen, im Mai 1967
Paul L. Eutzer - Walter Trebels
3
Inhalt
Einleitung ............................................................ 7
Kapitel 1 : Grundlegende Sätze über die Fouriertransformation ............ 11
1.1 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
1.2 Der Darstellungssatz von H. Cramer und Lipschitzklassen.......... . .......... 14
Kapitel 2: Ergebnisse aus der Theorie der Hilberttransformation .......... 19
2.1 Eigenschaften der Hilberttransformation und der Satz von Privalov .............. 19
2.2 Die Signumregel und Sätze über Faltung und Hilberttransformation . . . . . . . . . . . . .. 21
Kapitel 3: Gebrochene Integration.... .............. .......... ........... 26
3.1 Das Weylsche gebrochene Integral und ein Integraloperator von W. Feiler .......... 26
3.2 Eine Verallgemeinerung auf Stieltjes-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
Kapitel 4: Ableitungen einer Funktion und ihrer Hilberttransformierten ... 36
4.1 Charakterisierung von Beziehungen zwischen Fouriertransformierten . . . . . . . . . . . . . .. 36
4.2 Verallgemeinerungen.................................................... 42
Kapitel 5: Ableitungen konjugiert gebrochener Integrale.................. 47
5.1 Eine Charakterisierung der Klassen V~, V-~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
5.2 Eine Erweiterung der Ergebnisse aus Abschnitt 4.1 .......................... 50
5.3 Über die Vertauschbarkeit von Hilberttransformation, Differentiation und gebrochener
Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
Kapitel 6: Eine Charakterisierung durch Scharen von Integralen. ...... .... 61
6.1 Gleichmäßige Beschränktheit gewisser Integralscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
6.2 Normkonvergenz von Integralscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
6.3 Bestimmung gebrochener Ableitungen durch Grenzprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
6.4 Verallgemeinerung eines Satzes von H. Weyl ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
6.5 Partielle Differentialgleichungen .......................................... 75
Literaturverzeichnis .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5
Einleitung
Wie der Titel der Monographie angibt, liegt einer der Schwerpunkte dieser Arbeit auf
dem Begriff der gebrochenen Integration auf der reellen Zahlengeraden E. Dieser
Begriff ist von verschiedenen Autoren verschieden definiert worden und ist somit
nicht apriori eindeutig festgelegt. Als klassische Definition bietet sich diejenige von
H. WEYL [1] an:
x
J
(0.1) It/(x) = (ljF(IX» (x-t)'x-l/(t)dt;
hierbei ist 0 < IX < 1 und / hinreichend glatt und im Unendlichen hinreichend schnell
verschwindend vorausgesetzt. Eine andere, für die LP-Klassen zweckmäßigere Defini
tion gibt M. RIESZ [2; p. 16, 19] durch
r
(2
(0.2) la/(x) = F(IX) COS :!.-1X)-1 Ix - tla- 1J et) dt.
2
-00
Diese verallgemeinert W. FELLER [1] weiter zu
ö)
(0.3) l~/(x) = (F(IX) sin nlX)-l fix - tla- 1J et) sin IX (:!.- + x - t dt,
2 lx-tl
-00
wo Ö eine feste, reelle Zahl ist. Es wird sich herausstellen, daß mittels der Hilbert
transformation, definiert durch
-.r 1
(0.4) Ho/(x) (x) = PV - J00 (x - t)-l/(t) dt,
n
-00
la/bzw. l~/ sich durch lt / für geeignete/ausdrücken läßt und selbstverständlich um
gekehrt. Als wesentlich neuer Begriff ist demnach (für geeignete f) nur die klassische
Definition anzusehen. Die beiden anderen Definitionen erhalten Berechtigung erstens
dadurch, daß sie einen einfacheren Kalkül liefern, und zweitens, daß sie auf größeren
Funktionenklassen sinnvoll erscheinen.
Eng verknüpft mit der gebrochenen Integration ist der Begriff der Ableitung gebroche
ner Ordnung; er läßt sich auf verschiedene Arten definieren. H. WEYL [1] faßt bei
gegebenem lt/ = g die Lösung der Integralgleichung (0.1), nämlich j, als die Ableitung
der Ordnung IX von g auf. M. RIESZ [2; p. 14] hingegen integriert / (1 -IX)-fach und
differenziert anschließend das gebrochene Integral im gewöhnlichen Sinne; die Ab
leitung des gebrochenen Integrals, soweit sie existiert, bezeichnet er als Ableitung der
Ordnung IX von /: Da/(x) = /(a) (x) = : r{"_a/(x). Die Konsistenz dieser beiden
w~den ~
Definitionen wird gezeigt. Insbesondere die Beziehungen zwischen lt/(x),
dx
~ la/(x) und implizit ~ l~/(x) (auch für höhere Ableitungen) untersucht. Hierbei
dx dx
ergeben sich Sätze über die Vertauschbarkeit von Hilberttransformation und gebroche
ner Differentiation, die eine Erweiterung der klassischen Sätze über die Vertauschbar
keit von Hilberttransformation und gewöhnlicher Differentiation darstellen. So gilt
z. B. für geeignete /
Da(Hof)(x) = Ho (Daf) (x) jü.
7
In diesen Betrachtungen spielen, unter geeigneten Voraussetzungen an f, gewisse
Klassen von Funktionen eine besondere Rolle; dies ersieht man z. B. aus der formalen
*
Relation
r(V)
(0.5) [~ I1- etf = (isgnv) Ivletf~(v) (0< cx < 1),
wo f~ die Fouriertransformierte von f bedeutet. Es werden für cx > 0 insbesondere
die Mengen
(0.6)
V~ _ {f E LP(E); (i sgn v) (ivYetj Ivlet-[etj f~ (v) = / t.t =( v), t.t E NBV(E), P = 1 }
\ g (v), gE LP(E), 1 <p ~ 2
bzw.
(0.7)
=
V-~ = {f E LP(E); (iv)[a:j Ivlet-[etj f~ (v) = / t.t (v), t.t E NBV(E), P = 1 }
\ g (v), gE LP(E), 1 <p ~ 2
untersucht werden. Ist cx ganzzahlig, so hat P. L. BUTZER [2,3] mit Hilfe der Funktionen
klasse (0.7) folgenden Satz bewiesen:
Sei feine auf der ganzen Achse definierte meßbare Funktion und f E LP(E), 1 ~ P ~ 2. Die
Bedingung 1IL1~f IIp = 0 W) (h -+ 0) ist äquivalent dazu, daß f, ... ,j(n-2) absolut stetig sind,
und im Falle p = 1, daß !'n-1) E L1 n BV(E) ist, im Falle 1 <p ~ 2 äquivalent dazu,
daß weiter !'n-1) absolut stetig,!,n) E LP(E) und lim IIh-n LI~f - f(n)lIp = 0 ist.
h->O
Im Falle n = 1 würde dieser Satz zuerst von HARDy-LITTLEWOOD [1; p. 599], [2; p. 619]
für 2 n-periodische Funktionen bewiesen. Ein weiterer Beweis in diesem Falle ist auch
bei A. ZYGMUND [1; I, p. 180] zu finden. Wir beweisen einen entsprechenden Satz für
die Hilberttransformierte im Falle p = 1, indem wir die Menge (0.6) benutzen; der
Fall 1 < P ~ 2 ist mit obigem Satz von BUTZER schon behandelt, da die Hilberttrans
formation den Raum LP(E) eineindeutig auf sich abbildet. Ist cx nicht ganzzahlig, so
ist es weiter unser Ziel, entsprechende Aussagen über die Existenz von Ableitungen
gewisser gebrochener Integrale zu gewinnen.
Als Beweismethode wird häufig die von BUTZER [1,2,3] benutzte Fouriertransforma
tionsmethode verwandt. Es ist deshalb selbstverständlich, daß einige der hier bewiese
nen Sätze dem Bereich der Fourieranalysis angehören; andererseits läßt diese Methode
nur die Räume Lp(E), 1 ~p ~ 2, zu; Aussagen für p > 2 werden entweder über
nommen oder mit einem Dichtigkeitsargument erhalten.
So liefert diese Methode z. B. die Übertragung klassischer Sätze vom Typ:
Ist f, gE L1 (E) mit (iv)nf~ (v) = g ~ (v), so ist f, ... ,jCn-l) absolut stetig und die n-te Ab
leitung von f ist fast überall gleich g.
Sätze von dieser Art findet man z. B. bei BOCHNER-CHANDRASEKHARAN [1; p. 28].
Es handelt sich hier wie oben um tiefliegende Übertragungen im zweifachen Sinne.
Ad 1 gelangt man bei der Menge (0.6) für ganzzahlige cx zu Aussagen über die Hilbert
transformierte vonf; hierbei ist, wie vorher ausgeführt, nur der Fall p = 1 von Interesse.
Ad 2 sind die Mengen V~ und V-~ für nicht ganzzahlige Exponenten cx von Bedeutung.
Wie aus Relation (0.5) zu ersehen ist, gelangt man bei Charakterisierung der Mengen
(0.6) und (0.7) zu wichtigen Aussagen über die Existenz gebrochener Ableitungen und
über ihre Klassenzugehörigkeit. Wie jedoch den späteren Ausführungen zu entnehmen
ist, tritt eine Beschränkung des Exponentenbereiches durch p derart auf, daß nur cx mit
*
Hier verwendete Symbole werden etwas später genauer erklärt werden.
8
1 -l/p < ex - [ex] < 1 zugelassen werden. Diese Einschränkung kann bei andersge
arteten Charakterisierungen der Mengen V~ und V-~ fallengelassen werden; diese
besagen, daß die Integralscharen
f0 0 + +
t-(1+,,) {fex t) fex - t) - 2f(x)} dt (0< ex < 2)
bzw.
tn
f +
t-(1 +,,) {fex t) - fex - dt (0< ex < 1)
(und entsprechende Integralausdrücke mit Ableitungen von fbzw. f- für höhere ex > 0)
gleichmäßig bezüglich e> 0 in der LP-Norm beschränkt sind.
Hiermit und mit anderen Ergebnissen gelangt man zu einer Übertragung eines bekannten
Satzes von H. WEYL [1] auf LP-Funktionen. Er formulierte:
Ist fex) ex-mal stetig differentiierbar, so genügt feiner Lipschitz'schen Bedingung der Ordnung ex
Umgekehrt: ist f eine (für x = 0 verschwindende) Funktion, die einer solchen Lipschitz' schen
Bedingung genügt, so ist f (wenn nicht ex-mal, so doch) ß-mal stetig differentiierbar, wenn ß
irgendeinen Exponenten< ex bedeutet.
Zu bemerken ist hierzu noch, daß H. WEYL diesen Satz für stetige 2 n-periodische
Funktionen bewiesen hat, und daß eine Verallgemeinerung auf die ganze Zahlengerade
größere Schwierigkeiten in sich birgt.
Wir beschließen diese Arbeit mit einem Ausblick auf Anwendungen in der Theorie der
partiellen Differentialgleichungen; hierbei ergibt sich eine Interpretation des Operators
d2 ),,/
( 2
- - von S. BOCHNER [1] durch
dx2
d2)"/2 (d )"
(- - = -Ho I1- tJ (0 < ex = n + ß -1; 0 < ß ~ 1).
dx2 dx
Dieser Operator spielt u. a. eine besondere Rolle als infinitesimaler Erzeuger des ver
allgemeinerten Weierstraß Operators im Sinne der Halbgruppentheorie.
Als nächstes müssen einige allgemeine Voraussetzungen und Bezeichnungsweisen fest
gelegt werden, die wir im folgenden, wenn nicht anders gesagt, benutzen werden.
Alle hier betrachteten Funktionen f (reell- oder komplexwertig) seien auf der reellen
Zahlengeraden E definiert und meßbar im Sinne von Lebesgue. Das Lebesguesche Maß
bezeichnen wir mit m bzw. meas. Die vorkommenden Integrale sind bis auf einige
wenige Riemann-Integrale immer als Lebesgue- oder Lebesgue-Stieltjes-Integrale zu
verstehen; welcher Integrationsbegriff jeweils gemeint ist, ist aus dem Zusammenhang
zu erkennen. Unter PV (= principal value) verstehen wir den Cauchyschen Hauptwert
an der Singularitätsstelle des Integranden. Einige Sätze der Integrationstheorie und der
Funktionalanalysis werden als bekannt vorausgesetzt. Konstanten werden i. a. mit C
bezeichnet.
Für die späteren Ausführungen erweist es sich als zweckmäßig, Schreibweisen für ge
wisse Differenzen von f einzuführen. So definieren wir die erste Rechtsdifferenz durch
Jhf(x) = fex + h) - fex)
und iterativ die n-te Rechtsdifferenz durch
±
+
J;:f(x) = Jh(J;:-1 f)(x) = (-1)k (n) fex (n - k) h),
k
k~O
9
die 2 n-te zentrale Differenz durch
r
(2
Li~n f(x) = (_1)k n) f(x + (n - k) h)
k=O k
und hiervon abweichend die erste zentrale Differenz durch
+
Lid(x) = f(x h) - f(x - h).
Ist oc > 0, so bezeichnen wir mit [lX] die größte ganze Zahl kleiner gleich oc. Nun führen
wir gewisse Klassen von Funktionen ein. Unter C(l) verstehen wir die Menge der
stetigen Funktionen J, die auf der Menge I ~ E definiert sind. Ist I = E und ver
schwinden diese Funktionen im Unendlichen, so gehören sie dem Raum Co(E) an;
werden sie außerhalb eines Kompaktums Null, so sind sie Elemente von Coo(E).
Die Menge der Funktionen, die auf E absolut stetig sind, bezeichnen wir mit AC (E).
Diese Bezeichnungsweise behalten wir auch im Falle p = 1 bei, obwohl es sich dann
nur um eine lokale absolute Stetigkeit handelt. Gewisse Teilmengen von C(l) sind die
sogenannten Lipschitzklassen. Wir sagen f E Lip lX, 0 < lX ~ 1, auf I genau dann, wenn
sup If(x') - f(x") I = 0(15"') (x', x" EI; 15 -+ 0).
Ix'-x"I<"
Unter Lp (E), 1 ~ P < 00, verstehen wir die Klasse der auf E zur p-ten Potenz absolut
integrierbaren Funktionenf LP(E) wird durch die Norm
00
Ilfllp = Ilf(·)llp = { f lf(x)IPdx}1/p
zum Banachraum. Es ist bekannt, daß der Raum Coo(E) dicht im Raume LP(E) liegt,
d. h. zu jedemfE LP(E) existiert eine Folge {!Pk} E Coo(E) mit lim Ilf-!pkllp = O.
k-+oo
Außerdem läßt sich die Folge so wählen, daß lim !Pk(X) = f(x) fü. gilt.
k-+ 00
Nun definiert man verallgemeinerte Lipschitzklassen durch:
Es ist fE Lip (lX, p), 0 < lX ~ 1, genau dann, wenn sup IIL1hfllp = 0(15"') für 15 -+ 0,
Ihl~"
bzw. fE Lip*(lX,p), 0 < lX ~ 2, genau dann, wenn sup IIL1Ullp = 0(15"') für 15 -+ 0 gilt,
Ihl~"
p~1.
LOO(E) sei die Menge der auf E wesentlich beschränkten Funktionen. Die Loo-Norm
wird definiert durch
Ilflloo = Ilf(·) 1100 = ess sup If(x)l·
xeE
NB V (E) kennzeichnet die Klasse der Funktionen p, von beschränkter Variation auf E,
die normalisiert sind:
+ +
lim p,(x) = p,(-00) = 0 und p,(x) = Hp, (x 0) p,(x-O)}, XEE.
x-+--oo
NBV(E) wird mit der totalen Variation als Norm
11p,IINBV = [Var p,]:oo = f Idp,(x)1
-00
zum Banachraum.
Hier nicht definierte Begriffe werden später im Zusammenhang erklärt.
10
KAPITEL 1
Grundlegende Sätze über die Fouriertransformation
Im folgenden werden die Definitionen, Eigenschaften und Sätze über die Fourier
transformation zusammengestellt, die später bei der Fouriertransformationsmethode
benutzt werden; nur diejenigen werden bewiesen, die schwer zugänglich sind oder für
die keine explizite Literatur angegeben werden kann. Die im ersten Teil ohne Literatur
angabe aufgeführten Ergebnisse lassen sich leicht Lehrbüchern der Fourieranalysis ent
nehmen, wie z. B. S. BOCHNER - K. CHANDRASEKHARAN [1], P. L. BUTZER - R. J. NES
SEL [1], R. R. GOLDBERG [1], E. c. TITCHMARSH [1] und A. ZYGMUND [1].
1.1 Eigenschaften der Fouriertransformation
Ist ein fl E N BV (E) gegeben, so definiert man als Fourier-Stieltjestransformierte
von fl
1
(1.01 ) !Je; [fl](v) - [flf (v) - fl ~ (v) = (1/0) e-ivx dfl(X).
Ist fl absolut stetig, so existiert fl' (x) = fex) E L1 (E), und es gilt für diesen Sonderfall
(1.02) !J [f] (v) - [f] ~ (v) - f~ (v)
1
= (1/0) fex) e-ivx dx = (1/0) J e-ivx dfl(x) = !Je; [fl](V).
fl ~ (v), f~ (v) existieren für alle v, sind gleichmäßig stetig und beschränkt. Einige
weitere Eigenschaften der Transformation (1.02) sind
(1.03) [f] ~ (v) = f~ (-v)
(1.04) [n f(n x)( (v) = f~ (v/n) ,
wobei f die zu f konjugiert komplexe Funktion bedeutet. Insbesondere läßt sich für
LLFunktionen das Lemma von Riemann-Lebesgue beweisen.
Lemma 1.1 1st fE L1(E), so gilt
J o.
lim f~ (v) = lim (1/0) fex) e-ivx dx =
V~± 00 v---+ ± 00
Zur Veranschaulichung dieser Eigenschaften seien die Transformierten einiger, aus der
Approximationstheorie bekannter Funktionen angegeben, und zwar nacheinander die
Transformierten der Kerne von Abel-Poisson, Fej er und] ackson - de La Vallee Poussin:
X2)-lr
[~ +
(1.05) (1 (v) = (1/0) e-1v1;
(1.06) [~ (x-1 sin X/2)2] ~ (v) = (1/0) {~ -lvi (lvi ~ 1)
(lvi> 1);
1
12 ~ 1 - (3/2) Ivl2 + (3/4) Ivl3 (lvi ~ 1)
(1.07) [-;(X-1s in X/2)41 (v) = (1/0) (1/4) (2-lvI)3 (1 ~ lvi ~ 2)
o
(lvi ~ 2).
Im folgenden wird unter X ~ (v) irgend eine dieser drei Transformierten verstanden.
11
Ist nun jE Lp (E), 1 < p ;;;; 2, so weiß man nichts über die Existenz des Integrals (1.02).
Es ist aber sinnvoll
B
j~,B(V) = (1/VZ;;-) J j(x)e-ivxdx (A <B),
A
zu betrachten, da nach der Hölder-Ungleichung j auf jedem endlichen Intervall
[A, B] CE absolut integrierbar ist. Für jE LP(E), 1 < p ;;;; 2, definiert man daher
als Fouriertransformierte den Grenzwert, soweit er existiert,
(p')
tJp[f](v) = Li.m. j~,B(V) (l/p + l/p' = 1),
AB- _-__+ +-oooo
d. h. die Funktion tJp [f], für die gilt
o.
lim Ilj~,B-tJp[f]llp' =
A--+-oo
B-'J-+oo
Da die Fouriertransformation konsistent ist, d. h. falls jE Lp n LI (E), so j~ (v)
= tJp [f](v) j ü., bezeichnet man einheitlich auch die Fouriertransformierte von
jE Lp (E), 1 < p ;;;; 2, mit j~ und definiert
[fr (p') B
(1.08) tJp [f](v) = (v) = j~ (v) = Li.m. (1/VZ;;-) J j( x) e-ivx dx .
AB- _-__+ +-oooo A
Das folgende Lemma sichert die Existenz einer solchen Funktion j~ E Lp' (E) und gibt
einige Eigenschaften dieser Transformation an.
Lemma 1.2 Sei j E LP(E), 1 < p ;;;; 2. Dann existiert eine Funktion j~ E LP' (E), die
Fouriertransformierte von j, mit
(1.09) j~ (v) = L(ip.m') . (1/VZ;;-) JB j( x) e-ivx dx ,
A ___ -oo A
B--++oo
(p') B
(1.10) j(x) = l.i.m. (1/VZ;;-) J j~ (v)eixvdv.
A--+-oo A
B---+oo
Sie erjüllt die Titchmarsh-Ungleichung
(1.11 )
und genügt den Gleichungen
{1 1 }
~ d Joo e-ivx -
(1.12) j (v) = - ,1"0":: . j(x) dx jü.
dv v2n -00 -IX
{1 1 }
d JOO ei xv - ~
(1.13) j(x) = - ,1"0":: . j (v) dv j ü.
dx v2n -00 IV
Für 1 <p ;;;; 2 ist die Frage nach dem Umkehroperator durch das letzte Lemma gelöst.
Der Operator tJ;l hat nach Lemma 1.2 die gleiche Struktur wie der Operator tJp. Das
Umkehrproblem für die Ll-Funktionen kann mit den in (1.05), (1.06) und (1.07) ein
geführten, transformierten Kernen gelöst werden. Dies geschieht in folgendem Lemma,
in dem Formel (1.04) benutzt wird.
12