Higher gauge fields and fermions in lattice models

185 Pages·2022·3.358 MB·English

by  Błażej Ruba

Jagiellonian University in Krak(cid:243)w
Faculty of Physics, Astronomy and Applied Computer Science,
Institute of Theoretical Physics, Department of Field Theory
Higher gauge (cid:28)elds and fermions
in lattice models
B“a»ej Ruba
PhD thesis
written under the supervision of dr hab. Leszek Hadasz
Krak(cid:243)w 2022
1:1092335386
2:7156277337
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński

Oświadczenie
Ja niżej podpisany Błażej Ruba (nr indeksu: 1101308), doktorant Wydziału Fizyki, Astronomii
i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego oświadczam, że przedłożona przeze mnie
rozprawa doktorska pt. „Higher gauge fields and fermions in lattice models” jest oryginalna
i przedstawia wyniki badań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dr hab. Leszka
Hadasza. Pracę napisałem samodzielnie.
Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawą o prawie autorskim
i prawach pokrewnych z dnia 4 lutego 1994 r. (Dziennik Ustaw 1994 nr 24 poz. 83 wraz z późniejszymi
zmianami).
Jestem świadom, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą ujawniona w dowolnym czasie,
niezależnie od skutków prawnych wynikających z ww. ustawy, może spowodować unieważnienie
stopnia nabytego na podstawie tej rozprawy.

Kraków, dnia . . . . . . . . . . . . . . . ……………………………………………………
(podpis doktoranta)

3:1129381603
4:4585817018
Podziękowania

Przede wszystkim chciałbym podziękować mojej żonie Kindze, a także
najbliższej rodzinie i przyjaciołom, za to że uczynili moje życie szczęśliwym i za to,
że ukształtowali to jaką osobą jestem teraz.
Dziękuję też wszystkim osobom od których miałem okazję się uczyć i z którymi
miałem przyjemność współpracować naukowo w czasie moich studiów na
Uniwersytecie Jagiellońskim. Wiele z tych osób bardzo przyczyniło się do tego,
że te lata były najlepszymi w moim dotychczasowym życiu.
Jestem też wdzięczny mojemu opiekunowi naukowemu Leszkowi Hadaszowi
za rady i pomoc w wielu sprawach, naukowych i nie tylko.

5:7010765819
6:3538308442
Abstract

The purpose of this thesis is to present results concerning higher lattice gauge theory and
bosonization, and to summarize the context of this research. Hamiltonian lattice models
generalizing both Wilson’s lattice gauge theory with finite gauge group and Yetter’s
Topological Quantum Field Theory are introduced. They are gauge theories in which the gauge
group is replaced by an algebraic structure called a crossed module of finite groups.
Symmetries and integrable limits of these models are discussed, allowing to formulate
general expectations about the dynamics. Much stronger results in this direction are obtained
in Euclidean state sum models, both analytically and using Monte Carlo techniques. It is
shown that certain factorization takes place, allowing to reduce computation of correlation
functions of local observables to more conventional models. More complicated behavior of
extended operators sensitive to topology is also studied.
The part about bosonization develops a model which allows to replace any fermionic lattice
Hamiltonian, regardless of the spatial dimension, with an equivalent generalized spin system.
The latter is subject to constraints, whose understanding takes up a large part of the study.
Connections to gauge theory and higher gauge theory are also described.
The thesis consists of four publications, one unpublished manuscript and an introduction.

7:8729759951
Streszczenie

Celem tej rozprawy jest prezentacja wyników dotyczących sieciowych wyższych teorii
cechowania i bozonizacji, a także podsumowanie kontekstu tych badań. Wprowadzone
zostają Hamiltonowskie układy sieciowe będące wspólnym uogólnieniem Wilsonowskich
sieciowych teorii cechowania i Topologicznej Kwantowej Teorii Pola Yettera. Są to teorie
cechowania w których grupa cechowania jest zastąpiona strukturą algebraiczną zwaną
modułem skrzyżowanym grup skończonych. Symetrie i rozwiązywalne układy tych modeli są
dyskutowane, co pozwala sformułować ogólne oczekiwania dotyczące dynamiki. Znacznie
silniejsze wyniki w tym kierunku są uzyskane w sformułowaniu Euklidesowym, zarówno
analitycznie jak i za pomocą metod Monte Carlo. Pokazane jest, że zachodzi pewnego rodzaju
faktoryzacja, pozwalająca zredukować obliczanie funkcji korelacji lokalnych obserwabli do
bardziej konwencjonalnych modeli. Zbadane jest też bardziej skomplikowane zachowanie
rozciągłych operatorów czułych na topologię.
W części dotyczącej bozonizacji rozwijany jest model pozwalający zastąpić dowolny sieciowy
Hamiltonian fermionowy, niezależnie od wymiaru przestrzennego, równoważnym
uogólnionym układem spinowym. Znaczna część rozważań poświęcona jest badaniu więzów
w tych modelach. Zbadane zostały też związki z teoriami cechowania i wyższymi teoriami
cechowania.
Rozprawa składa się z czterech publikacji, jednego nieopublikowanego manuskryptu oraz
dodatkowego wprowadzenia.

8:7266444593
List of publications comprising the thesis

I. A. Bochniak, L. Hadasz and B. Ruba, Dynamical generalization of Yetter's model based
on a crossed module of discrete groups, Journ. High Energ. Phys. 2021 (2021) 282.
II. A. Bochniak, L. Hadasz, P. Korcyl and B. Ruba, Dynamics of a lattice 2-group gauge
theory model, Journ. High Energ. Phys. 2021 (2021), 68.
III. A. Bochniak and B. Ruba, Bosonization based on Clifford algebras and its gauge
theoretic interpretation, Journ. High Energ. Phys. 2020 (2020) 118.
IV. A. Bochniak, B. Ruba, J. Wosiek and A. Wyrzykowski, Constraints of kinematic
bosonization in two and higher dimensions, Phys. Rev. D 102 (2020) 114502.
The following manuscript is unpublished:
V. A. Bochniak, B. Ruba and J. Wosiek, Bosonization of Majorana modes and edge states,
arXiv:2107.06335.

In addition, an introduction containing a summary of results and a review of selected
background material is included.

9:9001486070
Justification of the form of the dissertation

The main part of this thesis is a collection of publications. I would like to explain why
this form was chosen. Firstly, my contribution to each of these publications was significant or
even decisive, as indicated by the list below. Therefore the included material contains many
results that are my own, even though each publication was written jointly with my
collaborators. Nevertheless, it does not seem possible to extract only my own part without
devoiding it of context. My personal touch to discussed topics may be seen in the way of
presentation and the choice of aspects emphasised in the attached introduction.

I. Most new results presented in Publication I were obtained by me.
II. Publication II may be divided into two parts: analytic calculations and numerical
studies. I am the principal author of the first part. Moreover, I proposed the general
conceptual scheme for simulations, namely a Markov chain with constraint-preserving
moves in the set of field configurations. Implementation of this idea and all numerical
calculations were performed by another author, dr Piotr Korcyl.
III. My colleague Arkadiusz Bochniak and I have contributed equally to Publication III. My
main conceptual contributions include the idea for interpretation of constraint
operators as holonomies, and a large portion of algebraic proofs and calculations.
IV. Four authors of Publication IV have contributed equally. My main role in this work was
in the algebraic derivation of regularities observed in numerical results, which was
done based on the ideas from Publication III.
V. Preprint V is about a generalization of the model studied in Publications III and IV. This
idea was proposed by myself. Analytic study of the new bosonization method was
carried out jointly with Arkadiusz Bochniak, to which we have contributed equally. The
part of preprint V concerning Euclidean representations is due to the other co-author,
prof. dr hab. Jacek Wosiek.
10:2201879589