Henri Poincaré e a Teoria da Relatividade

268 Pages·2020·2.62 MB·Portuguese

by  Anatoly Alekseyevich Logunov [Autor.], Ayni R. Capiberibe [Editora e Tradutora]

A.A. Logunov
HENRI POINCARÉ
E A
TEORIA DA RELATIVIDADE
Traduzido por Ayni R. Capiberibe
editado por Ayni R. Capiberibe
Posfácio por Ayni R. Capiberibe
Página | 2

Logunov A.A.
Henri Poincaré e a teoria da relatividade. – C. G.: Alrisha, 2020.
–
O livro apresenta ideias de H. Poincaré e H. Minkowski segundo os
quais a essência e o conteúdo principal da teoria da relatividade são as
seguintes: o espaço e o tempo formam um continuum quadridimensional
unicamente fornecido pela geometria pseudo-euclidiana. Todos os
processos físicos ocorrem exatamente neste espaço quadridimensional.
Comentários sobre trabalhos e citações relacionados a este assunto por L.
de Broglie, P. A. M. Dirac, A. Einstein, V. L. Ginzburg, S. Goldberg, P.
Langevin, H. A. Lorentz, L. I. Mandel'stam, H. Minkowski, A. Pais, W.
Pauli, M. Planck, A. Sommerfeld e H. Weyl são apresentados no livro.
Também é mostrado que a teoria especial da relatividade foi criada não
apenas por A. Einstein, mas até em maior extensão por H. Poincaré.
O livro foi desenvolvido para trabalhadores científicos, pós-graduados
e estudantes do ensino superior, formados em física teórica.

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© A.A. Logunov
© Traduzido por Ayni R. Capiberibe
editado por Ayni R. Capiberibe
posfácio por Ayni R. Capiberibe
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© Distribuído por Alrisha, 2020.
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CONTEÚDO
PREFÁCIO ....................................................................................... 04
1. GEOMETRIA EUCLIDIANA ..................................................... 06
2. MECÂNICA NEWTONIANA CLÁSSICA .................................... 08
3. ELETRODINÂMICA. GEOMETRIA ESPAÇO-TEMPORAL. ........ 24
4. A RELATIVIDADE DO TEMPO E A CONTRAÇÃO DO
COMPRIMENTO ............................................................................... 69
5. ADICIONANDO VELOCIDADES ............................................... 80
6. ELEMENTOS DA ANÁLISE VETORIAL E TENSORIAL NO ESPAÇO
DE MINKOWSKI .............................................................................. 81
7. GRUPO DE LORENTZ ............................................................. 86
8. INVARIÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-LORENTZ. .... 89
9. MECÂNICA RELATIVÍSTICA DE POINCARÉ ......................... 113
10. O PRINCÍPIO DA AÇÃO ESTACIONÁRIA NA
ELETRODINÂMICA ........................................................................ 161
11. MOVIMENTO INERCIAL DE UM CORPO DE PROVA.
DIFERENCIAÇÃO COVARIANTE. ................................................... 171
12. MOVIMENTO RELATIVÍSTICO COM ACELERAÇÃO
CONSTANTE. O PARADOXO DO RELÓGIO. EFEITO SAGNAC ........ 180
13. SOBRE A VELOCIDADE LIMITE .......................................... 201
14. PRECESSÃO DE THOMAS. .................................................. 215
15. AS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E AS LEIS DE CONSERVAÇÃO
NA TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS ............................................... 221
16. ESPAÇO DE VELOCIDADE DE LOBACHEVSKY ................... 242
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS ......................................................... 262
BIBLIOGRAFIA ............................................................................. 265
POSFÁCIO ..................................................................................... 267
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Dedicado aos 150 anos de Henri Poincaré—
o maior matemático, mecanicista,
físico teórico
Prefácio
A teoria especial da relatividade “resultou dos esforços
conjuntos de um grupo de grandes pesquisadores: Lorentz,
Poincaré, Einstein, Minkowski” (Max Born).
“Einstein e Poincaré se basearam no trabalho preparatório de
H.A. Lorentz, que já havia chegado muito perto do resultado, sem
contudo alcançá-lo. Na concordância entre os resultados dos
métodos seguidos independentemente por Einstein e Poincaré,
discerniu um significado mais profundo de uma harmonia entre o
método matemático e a análise por meio de experimentos
conceituais (Gedankenexperimente), que se apoiam em
características gerais da física experiência” (W. Pauli, 1955).
H. Poincaré, baseado no princípio da relatividade formulado por
ele para todos os fenômenos físicos e na obra de Lorentz, descobriu
e formulou tudo o que compõe a essência da teoria especial da
relatividade. A. Einstein estava chegando à teoria da relatividade do
lado do princípio da relatividade formulado anteriormente por H.
Poincaré. Nisso, ele se baseou nas ideias de H. Poincaré na definição
da simultaneidade de eventos que ocorrem em diferentes pontos
espaciais por meio do sinal de luz. Por essa razão, ele introduziu um
postulado adicional - a constância da velocidade da luz. Este livro
apresenta uma comparação do artigo de A. Einstein de 1905 com os
artigos de H. Poincaré e esclarece qual é o novo conteúdo
apresentado por cada um deles. Um pouco mais tarde, H. Minkowski
desenvolveu ainda mais a abordagem de Poincaré. Como a
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abordagem de Poincaré foi mais geral e profunda, nossa
apresentação seguirá exatamente Poincaré.
Segundo Poincaré e Minkowski, a essência da teoria da
relatividade consiste no seguinte: a teoria especial da relatividade é
a geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Todos os processos
físicos ocorrem exatamente nesse espaço-tempo. As consequências
deste postulado são leis de conservação de momento-energiae de
momento angular, a existência de sistemas de referência inercial, o
princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos,
transformações de Lorentz, a constância da velocidade da luz nas
coordenadas galileus da estrutura inercial, o retardo com o tempo, a
contração de Lorentz, a possibilidade de explorar sistemas de
referência não inerciais, o paradoxo do relógio, a precessão de
Thomas, o efeito de Sagnac e assim por diante. Séries de
consequências fundamentais foram obtidas com base neste
postulado e nas noções quânticas, e a teoria quântica de campos foi
construída. A preservação (invariância da forma) de equações físicas
em todos os sistemas de referência inercial significa que todos os
processos físicos que ocorrem nesses sistemas sob as mesmas
condições são idênticos. Por esse motivo, todos os padrões naturais
são os mesmos em todos os sistemas de referência inercial.
O autor expressa profunda gratidão ao acadêmico da Academia
Russa de Ciências Prof. S. S. Gershtein, Prof. V. A. Petrov, Prof. N.
E. Tyurin, Prof. Y. M. Ado, pesquisador associado A. P. Samokhin,
que leu o manuscrito e fez uma série de comentários valiosos, e
também a G. M. Aleksandrov pelo trabalho significativo na
preparação do manuscrito para publicação e preenchimento de
índices de autores e assuntos.
A.A. Logunov
Janeiro 2004
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1. Geometria euclidiana

No terceiro século a.C, Euclides publicou um tratado sobre
matemática, os "Elementos", no qual resumiu o desenvolvimento
anterior da matemática na Grécia antiga. Foi precisamente neste
trabalho que a geometria do nosso espaço tridimensional - geometria
euclidiana - foi formulada.
Este foi o passo mais importante no desenvolvimento da
matemática e da física. O ponto é que a geometria se originou de
dados observacionais e experiência prática, i. e surgiu através do
estudo da natureza. Mas, como todos os fenômenos naturais ocorrem
no espaço e no tempo, a importância da geometria para a física não
pode ser superestimada e, além disso, a geometria é realmente uma
parte da física.
Na linguagem moderna da matemática, a essência da
geometria euclidiana é determinada pelo teorema de Pitágoras.
De acordo com o teorema de Pitágoras, a distância de um ponto com
coordenadas cartesianas x, y, z a partir da origem do sistema de
referência é determinada pela fórmula
2 x2y2z2 (1.1)
ou na forma diferencial, a distância entre dois pontos
infinitesimalmente próximos é
d 2 dx2 dy2 dz2 (1.2)
Aqui dx, dy, dz são diferenciais das coordenadas cartesianas.
Geralmente, a prova do teorema de Pitágoras é baseada nos axiomas
de Euclides, mas acontece que ele pode realmente ser considerado
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uma definição da geometria euclidiana. O espaço tridimensional,
determinado pela geometria euclidiana, possui as propriedades de
homogeneidade e isotropia. Isso significa que não existem pontos
singulares ou direções singulares na geometria euclidiana.
Realizando transformações de coordenadas de um sistema de
referência cartesiano, x, y, z, para outro, x', y', z', obtemos:
2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 (1.3)
Isso significa que a distância quadrada ℓ2 é invariável, enquanto
suas projeções nos eixos de coordenadas não são. Observamos
especialmente essa circunstância óbvia, uma vez que será visto
também que essa situação também ocorre no espaço-tempo
quadridimensional, portanto, dependendo da escolha do sistema de
referência no espaço-tempo, as projeções nos eixos espaciais e
temporais serão relativo. Daí surge a relatividade de tempo e
duração. Mas esse problema será tratado mais tarde.
A geometria euclidiana tornou-se uma parte composta da
mecânica newtoniana. Por cerca de dois mil anos, a geometria
euclidiana foi considerada a geometria única e imutável, apesar do
rápido desenvolvimento da matemática, mecânica e física.
Foi apenas no início do século XIX que o matemático russo
Nikolai Ivanovich Lobachevsky deu o passo revolucionário -
uma nova geometria foi construída - a geometria Lobachevsky.
Um pouco mais tarde, foi descoberta pelo matemático húngaro
Bolyai.
Cerca de 25 anos depois, as geometrias riemannianas foram
desenvolvidas pelo matemático alemão Riemann. Surgiram
numerosas construções geométricas. À medida que novas
geometrias surgiram, a questão da geometria do nosso espaço foi
levantada. De que tipo? Euclidiano ou não euclidiano?
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2. Mecânica newtoniana clássica

Todos os fenômenos naturais procedem no espaço e no tempo.
Precisamente por esse motivo, ao formular as leis da mecânica no
século XVII, Isaac Newton definiu antes de tudo esses conceitos:
"O Espaço Absoluto, por natureza, sem considerar nada
externo, permanece sempre semelhante e imóvel".
"O Tempo Absoluto, Verdadeiro e Matemático, por si só,
e de sua própria natureza, flui de maneira equitativa, sem
considerar nada externo, e por outro nome é chamado
Duração".
Como a geometria do espaço tridimensional, Newton realmente
aplicou a geometria euclidiana, e ele escolheu um sistema de
referência cartesiano com sua origem no centro do Sol, enquanto
seus três eixos eram direcionados para estrelas distantes. Newton
considerou precisamente esse sistema de referência como "imóvel".
A introdução do espaço imóvel absoluto e do tempo absoluto acabou
sendo extremamente proveitosa na época.
A primeira lei da mecânica, ou a lei da inércia, foi formulada por
Newton da seguinte maneira:
“Todo corpo persevera em seu estado de repouso ou de
movimento uniforme na linha reta, a menos que seja
compelido a mudar esse estado por forças impressas nele”.
A lei da inércia foi descoberta pela primeira vez por Galileu. Se,
no espaço imóvel, se define um sistema de referência cartesiano,
então, de acordo com a lei da inércia, um corpo solitário se moverá
ao longo de uma trajetória determinada pelas seguintes equações:
xv t, y v t, z v t. (2.1)
x y z
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Aqui, v , v , v são as projeções de velocidade constante, seus
x y z
valores também podem ser iguais a zero.
No livro "A Ciência e a Hipótese", H. Poincaré formulou o
seguinte princípio geral:
“A aceleração de um corpo depende apenas de sua
posição e de corpos vizinhos e de suas velocidades. Os
matemáticos diriam que os movimentos de todas as
moléculas materiais do universo dependem de equações
diferenciais de segunda ordem. Para deixar claro que isso
é realmente generalização da lei da inércia, podemos
recorrer novamente à nossa imaginação. A lei da inércia,
como já disse acima, não se impõe a priori; outras leis
seriam igualmente compatíveis com o princípio da razão
suficiente. Se o corpo não é acionado por uma força, em
vez de supor que sua velocidade é inalterada, podemos
supor que sua posição ou sua aceleração seja inalterada.
Vamos por um momento supor que uma dessas duas leis é
uma lei da natureza e substituí-la pela lei da inércia: qual
será a generalização natural? Um momento de reflexão nos
mostrará. No primeiro caso, podemos supor que a
velocidade do corpo dependa apenas de sua posição e da
dos corpos vizinhos; no segundo caso, que a variação da
aceleração do corpo depende apenas da posição do corpo
e dos corpos vizinhos, de suas velocidades e acelerações;
ou, em termos matemáticos, as equações diferenciais do
movimento seriam de primeira ordem no primeiro caso e
de terceira ordem no segundo”.
Newton formulou a segunda lei da mecânica da seguinte forma:
“A alteração do movimento é sempre proporcional à
força motriz impressa; e é feito na direção da linha reta em
que essa força é impressa”
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E, finalmente, a terceira lei da mecânica de Newton:
“Para toda ação sempre se opõe uma reação igual: ou
as ações mútuas de dois corpos uma sobre a outra são
sempre iguais e direcionadas a partes contrárias”.
Com base nessas leis da mecânica, no caso de forças centrais, as
equações para um sistema de duas partículas em um sistema de
referência “em repouso” são:
d2r r r
M 1  Fr r  2 1 ,
1 dt2 2 1 r r
2 1 (2.2)
d2r r r
M 2 Fr r  2 1 .
2 dt2 2 1 r r
2 1
Aqui M e M são as respectivas massas da primeira e da segunda
1 2
partículas, r é o raio do vetor da primeira partícula, r é o raio do
1 2
vetor da segunda partícula. A função F reflete o caráter das forças
que atuam entre os corpos.
Na mecânica newtoniana, consideram-se principalmente forças
de dois tipos: de gravidade e de elasticidade.
Para as forças da gravidade newtoniana
M M
Fr r G 1 2 , (2.3)
2 1 2
r r
2 1
G é a constante gravitacional.
Para forças de elasticidade, a lei de Hooke é
 
F r r k r r (2.4)
2 1 2 1
k é o coeficiente de elasticidade.