Heft 228 Andreas Lauser Theory and Numerical Applications of Compositional Multi-Phase Flow in ...

159 Pages·2012·9.16 MB·English

Heft 228 Andreas Lauser

Theory and Numerical Applications of
Compositional Multi-Phase Flow in

Porous Media

Theory and Numerical Applications of
Compositional Multi-Phase Flow in Porous Media
VonderFakultätBau-undUmweltingenieurwissenschaftenderUniversitätStuttgart
zurErlangungderWürdeeinesDoktorsder
Ingenieurwissenschaften(Dr.-Ing.) genehmigteAbhandlung
Vorgelegtvon
Andreas Lauser
ausKirchheimunterTeck
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. RainerHelmig
Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. BarbaraWohlmuth,
apl. Prof. Dr.-Ing. HolgerClass
TagdermündlichenPrüfung: 28. Juni2013
InstitutfürWasser-undUmweltsystemmodellierungderUniversitätStuttgart
2014

Heft 228 Theory and Numerical
Applications of Compositional
Multi-Phase Flow in Porous
Media
von
Dr.-Ing.
Andreas Lauser
Eigenverlag des Instituts für Wasser- und Umweltsystemmodellierung
der Universität Stuttgart
D93 TheoryandNumericalApplicationsofCompositional
Multi-PhaseFlowinPorousMedia
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNational-
bibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://www.d-nb.de
abrufbar
Lauser,Andreas:
TheoryandNumericalApplicationsofCompositionalMulti-PhaseFlowinPorousMedia/
InstitutfürWasser-undUmweltsystemmodellierung,UniversitätStuttgart,Stuttgart,2014
(Mitteilungen/InstitutfürWasser-undUmweltsystemmodellierung,
UniversitätStuttgart;Heft228)
Zugl.: Stuttgart,Univ.,Diss.,2014
ISBN978-3-942036-32-0
NE:InstitutfürWasser-undUmweltsystemmodellierung,Stuttgart: Mitteilungen
GegenVervielfältigungundÜbersetzungbestehenkeineEinwände,eswirdlediglichum
Quellenangabegebeten.
Herausgegeben2014vomEigenverlagdesInstitutsfürWasser-undUmweltsystem-
modellierungderUniversitätStuttgart
Druck: DCCKästlGmbH&Co. KG,Ostfildern
Thanks
That’sagiantleapforaman,onesmallstepformankind.
—looselybasedonaquotebyNEILARMSTRONG
Thethesisyouareabouttoreadwouldnothavebeenpossiblewithoutthesupportofmany
people who I whish to thank for: First of all, I obviously am in debt with my supervisors
Rainer Helmig, Barbara Wohlmuth, and Holger Class who inspired many of the ideas
presented in this work—all stupidities which you will undoubtedly encounter are purely
my own work. I also want to thank Rainer and Holger for allowing me the luxury to
work full-time on this thesis at their department whilst still getting a full salary most of
thetime. Inaddition,Iprofitedtremendouslyfromthenicelywrittenoverviewarticlesof
WikipediaandthediscussionsIhad,amongstothers,withCorinnaHager,IvarAavatsmark,
AtgeirrRasmussen,OveSævareid,AlexandruTatomir,andOnurDogan. Further,thisthesis
wouldbemuchworseifIwouldnothavegottenthefeedbackfromitsrigorousbutalways
benevolentproofreadersAlexanderLauser,HeinzIsengard,andRainerHelmig.
Also,IwouldliketothankKristinFlornes,IvarAavatsmark,OveSævareid,HolgerClass,
and Bartek Vik for making my visit at the Center of Integrated Petroleum Engineering in
Bergenpossibleandaspleasantasitwas. IwouldalsoliketoexpressmygratitudetoAlf
BirgerRustadforthewarmreceptioninthecoolcityofTrondheimandforhisphilosophical
inspirations. WhenIwasnothangingaroundinNorway,mytimeinStuttgartwasmuch
moreenjoyableinthecompanyofmyapartmentmatesMarkusÜffinger,SteffenFrey,my
fellowsuffererOliverKopp,andthefaithfulfriendsof“UncleK.”AlexandruTatomir,Jeffrey
Thutan,OnurDogan,DavidWerner,YufeiCao,andVishalJambhekar.
Finally,andmostimportantly,Iamdeeplygratefulforthewarmandunconditionalsupport
ofmygirlfriendMeikeandmyfamilyduringallthoseinterestingtimes.
Youguysrock!
Stuttgart,March2013

Contents
List of Figures IV
List of Tables VI
Notation VII
Abstract IX
Deutschsprachige Kurzfassung XI
1 Introduction 1
2 Continuum-Scale Fluid Flows 5
2.1 RepresentativeElementaryVolumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Continuum-ScaleConservationEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 ConservedQuantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 ConservationofMass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 ConservationofMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 NEWTONIANFluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.4 CreepingFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.5 ConservationofEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 PorousMedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 VolumeAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Applicability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Multi-PhaseFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.4 Multi-Phase,Multi-ComponentFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5 ExperimentalDerivationoftheMomentumConservationEquation . . 25
2.4.6 FilterVelocityandSeepageVelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 ChapterSynopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Supplementary and Closure Relations 29
3.1 SaturationClosureCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 GivenParametersandEmpiricRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 ThermodynamicRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 EquationsofState. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 LocalThermodynamicEquilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 CapillaryPressureandRelativePermeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 GenericTwo-PhaseRelationsforRelativePermeability . . . . . . . . . 37
II Contents
3.4.2 Relationof BROOKS and COREY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 CurveofVAN GENUCHTEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.4 Three-PhaseSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.5 AdvancedConcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 ModelConstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.1 Immiscibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.2 PrimaryVariableSwitching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.3 Non-LinearComplementarityFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.4 Black-Oil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 ChapterSynopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Numerics 49
4.1 SpatialDiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 TimeDiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Methodof NEWTONand RAPHSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Calculationofthe JACOBIANMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 DiscretizedPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 LinearSolvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 DirectSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.2 IterativeSolvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2.1 SteepestDescent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2.2 ConjugateGradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.2.3 Bi-ConjugateGradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.2.4 GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.3 Preconditioners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.1 DomainDecompositionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 DistributedLinearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.3 ParallelIterativeLinearSolvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 ChapterSynopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Implementation Aspects 69
5.1 DUNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 eWoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 GeneralStructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 FlowModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.3 ImplementationalComplexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Numerical Applications 77
6.1 TheHeat-PipeProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1 UniformDomainExtrusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.2 Semi-AnalyticalSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2 ARadiallySymmetricCO InjectionProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2
6.2.1 RadialDomainExtrusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83