HEC MONTR´EAL Tarification d'options et ajustement dans un mod`ele avec sauts Par Rim Chérif ...

81 Pages·2010·0.5 MB·French

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HEC MONTREAL
Tarification d’options et ajustement
dans un mod`ele avec sauts
Par
Rim Ch´erif
Sous la direction de
Hatem Ben Ameur
Bruno R´emillard
M´emoire pr´esent´e en vue de l’obtention du
grade de maˆıtrise `es sciences (M.Sc.)
(Ing´enierie financi`ere)
Octobre 2009
' Rim Ch´erif, 2009

i
A la m´emoire de la plus ch`ere `a mon coeur,
ma grand-m`ere Kamoura,
A toi ommi qui as tant donn´e et si peu re¸cu
A toi qui as su m’inculquer les bonnes valeurs de la vie
A toi je d´edie ce travail qui m’a ´eloign´ee de toi au moment ou` je devais ˆetre
`a cˆot´e de toi
Que dieu t’accorde sa mis´ericorde, t’assure une noble demeure et t’offre son
Paradis.
R´esum´e
Dans ce m´emoire, nous proposons une formule quasi-explicite pour le prix
d’une option am´ericaine dans le mod`ele de Merton (1976). Notre proc´edure
est bas´ee sur la programmation dynamique coupl´ee avec une approximation
lin´eaire.
La m´ethodologie propos´ee est test´ee num´eriquement et compar´ee, dans le
mˆeme cadre, `a d’autres m´ethodes d’´evaluation.
Nous proposons, ensuite, d’´etudier le probl`eme d’ajustement dans le mod`ele
avec sauts qui a ´et´e retenu. Nous consid´erons trois m´ethodes d’estimation : la
m´ethode des cumulants, une m´ethode de seuil et la m´ethode du maximum de
vraisemblance. Nous testons ces derni`eres num´eriquement et nous en ´etudions
la pr´ecision et la robustesse.
ii
Remerciements
Je tiens tout d’aborda` remercier mes deux professeurs et encadreurs Pr. Bruno
R´emilliard et Pr. Hatem Ben Ameur pour leur soutien moral et financier. Je
vous remercie du fond du coeur de m’avoir donn´e la possibilit´e d’acqu´erir de
nouvelles connaissances et d’en apprendre chaque jour davantage. Je remercie
´egalement les membres du jury d’avoir accept´e d’´evaluer mon travail.
Je tiens aussi `a remercier le Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieur Tunisien
pour la qualit´e de l’´education et le soutien qu’offrent ses membres aux ´etu-
diants.
Deplus,jeremerciemontendremaripoursonamour,sapatienceetsonsoutien
inconditionnel. Je remercie mon cher papa d’avoir sem´e en moi l’amour pour
les ´etudes et de m’avoir toujours pouss´ee vers le meilleur grˆace a` son amour,
sa disponibilit´e et ses pr´ecieux conseils. Merci maman pour ce que tu es, la
meilleure des m`eres. Merci pour ton sacrifice, ta tendresse et ta douceur.
Jenesauraisoublierderemerciermonpetitfr`ereetmapetitesoeur,magrand-
m`ere, ma ch`ere Rafoulla, ainsi que mes oncles et tantes pour la fiert´e que je
vois dans leurs yeux, cette fiert´e qui m’a toujours aid´ee `a me surpasser.
iii
Table des mati`eres
R´esum´e ii
Remerciements iii
Table des mati`eres iv
Table des figures vii
Liste des tableaux viii
1 Introduction 1
2 Revue de la litt´erature 3
2.1 Tarification d’options am´ericaines dans le mod`ele de diffusion
avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Approche par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Approche par diff´erences finies . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Autres approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Estimation dans le mod`ele de diffusion avec sauts . . . . . . . . 7
2.2.1 Approches non param´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Approches param´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Le mod`ele de Merton 10
3.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Pr´esentation du mod`ele de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iv
TABLE DES MATIE`RES v
3.3 Le probl`eme d’incompl´etude des march´es . . . . . . . . . . . . . 13
4 Tarification d’une option am´ericaine dans le mod`ele de Merton
par programmation dynamique 15
4.1 Description du contrat d’option am´ericaine . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Proc´edure de la programmation dynamique . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Application au mod`ele de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Investigation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Ajustement dans le mod`ele `a sauts de Merton 28
5.1 La m´ethode des cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.1 Pr´esentation de la m´ethodologie d’estimation . . . . . . 28
5.1.2 Pr´ecision de la m´ethode des cumulants . . . . . . . . . . 31
5.2 La m´ethode de seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 La m´ethode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 35
5.3.1 Pr´esentation de la m´ethodologie d’estimation . . . . . . 35
5.3.2 Pr´ecision de la m´ethode du maximum de vraisemblance . 37
5.4 R´esultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4.1 Sur des donn´ees simul´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4.2 Sur des donn´ees r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Conclusion g´en´erale 46
Annexes 47
A Lemme d’ˆIto pour les processus `a sauts 48
B Formule ferm´ee pour l’´evaluation d’une option europ´eenne
dans le mod`ele de Merton 49
C Matrice de transition A[.][.] 51
D Matrice de transition B[.][.] 54
TABLE DES MATIE`RES vi
E Preuves 57
E.1 Processus de L´evy et changement de loi . . . . . . . . . . . . . . 57
E.2 La fonction g´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . 59
F Le th´eor`eme de Slutzky 60
G La m´ethode du gradient conjugu´e pr´econditionn´e 61
H Algorithme de Nelder & Mead (1965) 63
I La m´ethode du noyau 65
Bibliographie 67
Table des figures
5.1 Processus des log-rendements simul´es avec S = 100, µ = 0.08,
0
σ = 0.12, λ = 10, γ = 0.02 et δ = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Processus des log-rendements de l’indice S&P500 (1999−2009). 42
5.3 Graphique des densit´es estim´ees du rendement . . . . . . . . . . 43
vii
Liste des tableaux
4.1 Prix d’une option de vente am´ericaine avec sauts log-normaux. . 24
4.2 Prix d’une option de vente europ´eenne selon le programme dy-
namique de Merton (DPM) et convergence vers le prix Merton
(1976) avec S = 40$, r = 0.08, σ2 = 0.05, λ˜ = 5, γ = −0.025,
0
δ2 = 0.05 et T = 0.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Prix d’une option d’achat europ´eenne´evalu´e avec le programme
dynamiquedeMerton(DPM)avecS = 100,r = 0.05,σ = 0.2,
0
λ˜ = 0, γ = −0.025, δ2 = 0.05 et T = 1. . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Prix d’une option d’achat europ´eenne´evalu´e avec le programme
dynamiquedeMerton(DPM)avecS = 100,r = 0.05,σ = 0.2,
0
˜
λ = 5, γ = 0, δ = 0 et T = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Prix d’une option d’achat europ´eenne´evalu´e avec le programme
dynamique de Merton (DPM) et sa convergence vers le prix
Black & Scholes (1973) avec γ = −0.025 et δ2 = 0.05. . . . . . . 26
4.6 Prix d’une option d’achat europ´eenne´evalu´e avec le programme
dynamique de Merton (DPM) et sa convergence vers le prix
˜
Black & Scholes (1973) avec λ = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Les param`etres estim´es sur des donn´ees simul´ees selon les diff´e-
rentes m´ethodes d’estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Param`etres estim´es sur des donn´ees simul´ees avec une forte am-
plitude de sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Param`etres estim´es sur des donn´ees simul´ees avec une faible
amplitude de sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Statistiques des log-rendements de l’indice S&P500 (1999−2009) 43
viii