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Handbuch der Laplace-Transformation: Band I: Theorie der Laplace-Transformation PDF

573 Pages·1950·15.09 MB·English
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LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN MATHEMATISCHE REIHE BAND 14 HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION BAND I THEORIE DER LAPLACE-TRANSFORMATION VON GUSTAV DOETSCH ORD. UNIVERSITÄTSPROFESSOR, FREIBURG I. BR. SPRINGER BASEL AG 1950 ISBN 978-3-0348-6985-0 ISBN 978-3-0348-6984-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-6984-3 Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten Copyright 1950 by Springer Basel AG Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Base!l950 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1950 VORWORT Seit dem Erscheinen meiner Monographie "Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation» im Jahre 1937, die zum erstenmal weiteren Kreisen den Zugang zu dieser mit so vielen Gebieten in Beziehung stehenden Materie eröffnete, hat sich die Laplace-Transformation dem Kanon derjenigen mathematischen Disziplinen eingegliedert, die etwa wie die Funktionentheorie nicht bloß von den Mathematikern, sondern auch von den Ingenieuren und Physikern laufend be- nutzt werden. In allen Teilen der Welt werden heute bereits eigene Vorlesungen über die Laplace-Transformation gehalten, und in fast allen Kultursprachen sind Bücher über sie erschienen, die sich allerdings vorwiegend auf das heute wichtigste Anwendungsgebiet, die Theorie der Randwertprobleme, beschränken. Angesichts dieser gesteigerten Bedeutung der Laplace-Transformation und des inzwischen angewachsenen Stoffes schien es geboten, eine Darstellung zu unternehmen, die die neueren Erkenntnisse berücksichtigt und die früheren weiter ausgestaltet. Das brachte eine starke Vergrößerung des Umfangs mit sich, die zu einer Teilung des Werkes in zwei Bände zwang, von denen der eine der Theorie, der andere den Anwendungen gewidmet sein soll. Den ersten lege ich hiermit vor. Gegenüber der früheren Monographie ist vor allem die Beschränkung auf den Riemannschen Integralbegriff (der jetzt übrigens allgemeiner gefaßt ist als ehe- dem) fallen gelassen worden, so daß auch die Teile der Theorie, die notwendig das Lebesguesche Integral erfordern, zur Darstellung gelangen konnten. Abgesehen von diesen Teilen sind aber die Beweise fast durchweg so geführt, daß der Leser je nach Vorbildung an den einen oder den anderen Integralbegriff denken kann. An den wenigen Stellen, wo der mit dem Lebesgueschen Integral erbrachte Beweis für das Riemannsche nicht gültig ist, wurde er für dieses gesondert geführt, mit Rücksicht auf die Ingenieure, denen der Lebesguesche Begriff nicht geläufig ist. Was den inhaltlichen Unterschied gegenüber dem Buch von 1937 angeht, so ist zunächst einmal im Hinblick auf die im Lauf der Zeit aufgetauchten Anwen- dungen das frühere Material durchgehend erweitert und vertieft worden. Bei- spielshalber sei verwiesen auf die stärkere Berücksichtigung der zweiseitigen Laplace-Transformation, oder auf die Abschnitte über die Faltung, oder auf das komplexe Umkehrintegral, bei dem jetzt die Auswertung durch Deformation des Integrationsweges und Residuenrechnung so ausführlich behandelt ~ird, daß die Praktiker, die diese Operationen mit besonderer Vorliebe verwenden, hier eine solide Grundlage für die Methode vorfinden; ferner auf die Parsevalsehe Glei- chung mit ihren vielfältigen Auswirkungen, die früher sehr stiefmütterlich be- handelt worden war. Weiterhin wurden selbstverständlich aus den seit 1937 erschienenen Arbeiten die theoretischen Resultate übernommen. Schließlich ent- hält das Buch eine Anzahl von in sich abgeschlossenen Partien mit neuen Ergeb- nissen, die ich infolge der Ungunst der Kriegs- und Nachkriegszeit bisher nicht I veröffentlicht habe, so die Darstellung des Partialintegrals Je-sr F(T) dT durch 0 ein komplexes Integral über die Laplace-Transformierte, womit die Grundlage für das bisher kaum behandelte "Konvergenzproblem » geschaffen ist und woraus sich zum Beispiel neue Formeln für die Partialsummen von Dirichletschen Reihen ergeben (5. Kapitel), ferner eine ziemlich erschöpfende Theorie der analytischen 6 Vorwort Fortsetzung der Laplace-Transformierten durch arithmetische Mittel (9. Kapitel) sowie die Mehrzahl der Sätze Abelscher Art für das komplexe Umkehrintegral (15. Kapitel), die die Grundlage für neue asymptotische Methoden im zweiten Band abgeben werden. Auf Lücken in dem heutigen Wissen über die Laplace-Transformation ist mit dem Stichwort «Problem>~ hingewiesen, um die Aufmerksamkeit auf diese un- gelösten Fragen zu lenken. Diejenigen als Hilfsmittel gebrauchten Sätze, die nicht zu dem dem Durch- schnittsleser geläufigen Fundus gehören, sind in einem «Anhang" zusammen- gestellt. Durch die Verweise auf diesen erhalten die Beweise eine sichere Grund- lage, während der Text selbst von allem Beiwerk entlastet wird. Das Buch hat die Laplace-Transformation im eigentlichen Sinne, nicht die Laplace-Stieltjes-Transformation, zum Gegenstand. Immerhin gebe ich, um die Benutzer in den Stand zu setzen, auch die mit letzterer arbeitenden Abhand- lungen zu verstehen, eine vollständige Darstellung der hierzu notwendigen Sätze über das Stieltjes-Integral, und führe den Leser bis zu dem fundamentalen Satz, 00 daß sich das Laplace-Stieltjes-lntegral Je -•t d4>(t) vermittels des eigentlichen 00 0 Laplace-lntegrals in der Form s Je -•t 4>(t) dt- 4>(0) darstellen läßt. Wer sich 0 für die Hauptdomäne der Laplace-Stieltjes-Transformation, nämlich die Be- ziehung zum Momentenproblem und den vollmonotonen Funktionen interessiert, möge zu dem Buch von Widder greifen. Das Manuskript ist in den Jahren 1946-48, also in der Zeit tiefster Hoffnungs- losigkeit in Deutschland und unter den schwierigsten Lebensbedingungen ent- standen. Wenn selbst nordamerikanische Forscher in ihren Veröffentlichungen darüber klagen, daß ihnen infolge der Kriegs- und Nachkriegsumstände die Literatur nicht vollständig zur Verfügung gestanden habe, so trifft dies für den Europäer erst recht zu. Es ergeht daher die Bitte an die Fachgenossen, durch Zusendung von Arbeiten dem Verfasser die Möglichkeit zu etwaigen Ergänzungen im zweiten Band zu geben. Mein Dank gilt Herrn Albert Birkhäuser, der in einer Zeit, da in den am Krieg beteiligt gewesenen Ländern die Drucklegung wissenschaftlicher Werke auf die größten Schwierigkeiten stößt, durch Erweiterung seines Verlages der mathe- matischen Wissenschaft die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Schweiz er- schlossen und so auch das Erscheinen des vorliegenden umfangreichen Werkes ermöglicht hat. Freiburg i. Br. (Deutschland) Gustav Doetsch Riedbergstr. 8 Dezember 1949 Inhaltsverzeichnis I. TElL Grundlegende analytische und funktionentheoretische Eigenschaften der Laplace -Transformation 1. Kapitel: Allgemeines über lineare Funktionaltransformationen und Grundbegriffe der Funktionalanalysis 19 § 1. Lineare Funktionaltransformationen . . . . . . . . . 19 § 2. Allgemeine Funktionaltransformationen . . . . . . . 22 § 3. Der Grenzbegriff im unendlichvieldimensionalen Raum 23 2. Kapitel: Allgemeine analytische Eigenschaften der Laplace- Transformation . . . .. . . . . . . . . . . . . . 29 § 1. Der zugrunde gelegte Integralbegriff . . . . . . . . . . . . 29 § 2. Definition und Konvergenzeigenschaften des Laplace-lntegrals 32 § 3. Laplace-T,l-ansformation und Laplace-Transformierte. . . . 43 § 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 § 5. Die numerische Berechnung einer Laplace-Transformierten . 52 § 6. Die Birichletsche Reihe als Laplace-Integral . . . . . . . 53 § 7. Die zweiseitige Laplace-Transformation und die Mellin-Transfor- mation. Die Fourier- und die 91-Transformation. . . . . . . . 59 § 8. Die Laplace-Transformation in Gestalt eines Stieltjes-Integrals . 61 § 9. Die im wesentlichen eindeutige Bestimmung der L-Funktion durch die I-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 § 10. Anwendungen des Eindeutigkeitssatzes . . . . . . . . . . . SO § 11. Die Abbildung einer linearen Substitution der Variablen in der L- oder I-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 85 § 12. Die Abbildung der Integration der L-Funktion . . 87 § 13. Die Abbildung der Differentiation der L-Funktion. 98 § 14. Die Faltung und ihre allgemeinen Eigenschaften . 104 § 15. Die Abbildung der Faltung zweier Originalfunktionen 121 § 16. Die Abbildung weiterer Operationen an der L-Funktion 131 3. Kapitel: Allgemeine funktionentheoretische Eigenschaften der durch die Laplace-Transformation erzeugten Funk- tionen . . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 1. Gleichmäßige Konvergenz des Laplace-Integrals 141 § 2. Holamorphie der I-Funktion . . . . . . . . . 144 8 Inhaltsverzeichnis § 3. Die Holomorphiehalbebene von f(s) • • • • • • • • • • • • • 151 § 4. Existenz einer Singularität auf der Konvergenzgeraden in spe- ziellen Fällen . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 153 § 5. Verhalten von f(s) bei Annäherung an einen Konvergenzpunkt 156 § 6. Verhalten von f(s) bei Annäherung an s = oo 162 § 7. Die Ordnung von f(s) auf Vertikalen . 177 § 8. Die Beschränktheitshalbebene von f(s) . . . 180 li. TEIL Die Umkehrung der Fourier- und Laplace-Transformation, die Parsevalsehe Gleichung und verwandte Probleme .J.. Kapitel: Die komplexe Umkehrformel. . . . . . . . . . . 191 § 1. Fouriersches Integraltheorem und Fourier-Transformation . . 191 § 2. Erster Satz über die Umkehrung der {absolut konvergenten) Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 § 3. Zweiter Satz über die Umkehrung der (absolut konvergenten) Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 § 4. Die komplexe Umkehrformel für die absolut konvergente Laplace- Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 § 5. Die komplexe Umkehrformel für die einfach konvergente Laplace- Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 6. Die Differentiation der komplexen Umkehrformel . . . . . . . 221 § 7. Deformation des Integrationsweges im komplexen Umkehrintegral 223 5. Kapitel: Formeln für das Partialintegral der Laplace-Trans- formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 § 1. Darstellung des Partialintegrals derLaplace-Transformation durch ein komplexes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 § 2. Über das Konvergenzproblem der Laplace-Transformation . . . 237 § 3. Anwendung: Formeln für die Partialsummen von Dirichletschen Reihen mit einem Beitrag zum Konvergenzproblem dieser Reihen 239 6. Kapitel: Die Parsevalsehe Gleichung. . . . . . . . . . . . . 245 § 1. Die Parsevalsehe Gleichung für die Fourier-Transformation . . . 245 § 2. Die Parsevalsehe Formel für die Laplace-Transformation und der quadratische Mittelwert von f(s) auf Vertikalen 251 § 3. Die Umkehrformel zum Faltungssatz 255 § 4. Die Laplace-Transformation eines Produkts 257 7. Kapitel: Bedingungen für die Darstellbarkelt einer Funktion als Laplace-Transformierte. 259 § 1. Das Darstellungsproblem . • . • . 259 § 2. Bedingungen für die Darstellbarkeit . 260 Inhaltsverzeichnis 9 § 3. Die Berechnung des komplexen Integrals für meromorphe I-Funk- tionen durch Residuenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 267 8. Kapitel: Weitere Umkehrformeln für die Laplace-Transfor- mation . ..... . 285 § 1. Berechnung der L-Funktion aus den Werten der I-Funktion für große reelle s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5 § 2. Berechnung ·der L-Funktion aus den \Verten der Ableitungen hoher Ordnung von f(s) für große reelle s 290 § 3. Umkehrung durch Reihenentwicklung . . . . 296 III. TEIL Eine Verallgemeinerung der Laplace-Transformation 9. Kapitel: Die Cesaroschen arithmetischen Mittel des Laplace- lnte~rals und die _2(kl-Transformation. . . . . . . . 311 § 1. Die (C, k)-Mittel für Funktionen . . . . . . . . . 311 § 2. Die (C, k)-Mittel des Laplace-Integrals. Die _2(kl-Transformation und ihre Konvergenzhalbebene . . . . . . . . . . . . . 314 § 3. Funktionentheoretische Eigenschaften der _2(k)_ Transformierten . 330 § 4. Darstellung des (C, k)-Mittels von E{F} durch ein komplexes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 § 5. Anwendung auf das Konvergenzproblem von _2(k){F} . 343 § 6. Der Faltungssatz für die _2(k)_ Transformation . . . . 350 IV. TEIL Die Laplace-Transformation spezieller Klassen von Funktionen 10. Kapitel: Die Laplace-Transformation der ~anzen Funktionen vom Exponentlaitypus . . . . . . . . . 355 § 1. Die den L-Funktionen vom Exponentialtypus entsprechende Klasse von I-Funktionen . . . . . . . . . . . . . 355 § 2. Analytische Fortsetzung der I-Funktion durch Drehung des Integrationsweges in der t-Ebene . . . . . 362 § 3. Bestimmung des Konvergenzgebietes von _2('1'l{F} durch die Singularitäten von f(s) . . . . • . . . . . . • . . . . . 371 § 4. Der Zusammenhang zwischen dem Anwachsen von F(t) für t + oo und den Singularitäten von f(s) • . . . . • . • . 378 § 5. Das Borelsche Summabilitätspolygon, das Antipolygon und die verallgemeinerten Borel-Polygone . . . . . . . . . . . . . . 380 § 6. Die Abbildung des Produkts und die Faltungssätze in den Klassen 21, und a, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 10 Inhaltsverzeichnis 11. Kapitel: Die zweiseitige Laplace-Transformation bzw. Mellin- Transformation von analytischen Funktionen 403 § 1. Die 1!11-Transformation von Funktionen, die in einem Streifen analytisch sind und Exponentialabschätzungen genügen 403 § 2. Die Mellin-Transformation von Funktionen, die in einem Winkel- raum analytisch sind und Potenzabschätzungen genügen . . . . 408 § 3. Die Abbildung des Produkts und die Faltungssätze in den Klassen mu und 0 11 bzw. ~ und b . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 § 4. Anwendung der Mellin-Transformation in der Funktionentheorie 415 12. Kapitel: Die Laplace-Transformation von Funktionen der Klasse L2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 419 § 1. Hilfssätze über die Planchereisehe Fourier-Transformation und die Funktionsklasse ~ 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • 420 § 2. Funktionen aus ~ 2 als Laplace-Transformierte von Funktionen aus L 2(0, oo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 § 3. Metrisierung der Räume L 2(0, oo) und ~ 2• Korrespondenz zwischen mittelkonvergenten Reihen für F(t) und absolut konvergenten Reihen für f(s) als Konsequenz der Parsevalsehen Gleichung . . 432 § 4. Korrespondenz zwischen Orthogonalfunktionen im Intervall 0 :<: t < oo und solchen im Intervall - oo < y < + oo als Kon- sequenz der verallgemeinerten Parsevalsehen Gleichung 434 § 5. Verallgemeinerte Parsevalsehe Gleichung, Umkehrformel zum Faltungssatz, Laplace-Transformierte eines Produkts und Cauchy- sche Formel für Funktionen aus L 2(0, oo) . . . . . . . . . . 437 § 6. Eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation, die die Werte von f(s) auf der reellen Achse benutzt . . . . . . . . . . . . 438 § 7. Ein Vergleich zwischen Potenzreihen, fastperiodischen Funk- tionen (Dirichletschen Reihen) und der Laplace-Transformierten hinsichtlich Umkehrformel und Parsevalscher Gleichung . . . . 442 V. TEIL Abelsche und Taubersehe Sätze 13. Kapitel: Abelsche Sätze über das Verhalten der Laplace- Transformierten an einer singulären Stelle im End- lichen .......... ·. . . . . . . . . . . . . 455 § 1. Asymptotisches Verhalten bei Annäherung in einem Winkelraum an eine singuläre Stelle auf der Konvergenzgeraden . . . . . . 455 § 2. Anwendungen: Singuläre Integrale. Vergleich zwischen verschie- denen Summationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 461 § 3. Vollständige Charakterisierung einer auf der Konvergenzgeraden liegenden Singularität der Laplace-Transformierten 466 § 4. Abelsche Sätze für die zweiseitige Laplace-Transformation und die Mellin-Transformation . . . . . . . . . . . 471

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