Handbuch der Laplace-Transformation: Anwendungen der Laplace-Transformation

294 Pages·1956·8.35 MB·English

GUSTAV DOETSCH
HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION
BANDill
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE
DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
MATHEMATISCHE REIHE· BAND 10
HANDBUCH DER
LAPLACE-TRANSFORMATION
BANDill
ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION
2. ABTEILUNG
VON
GUSTAV DOETSCH
ORD. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FREIBURG I. BR.
Springer Basel AG
1956
ISBN 978-3-0348-4036-1 ISBN 978-3-0348-4108-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-4108-5
Nachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten,
insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen und
der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm
© Springer Basel AG 1956
Ursprting1ich erschienen bei Birkhăuser Verlag Base1 1956.
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1956
5
Vorwort
Der vorliegende Band III bildet mit dem früher erschienenen Band II ein
Ganzes, was auch äusserlich dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Teile und
Kapitel ansebliessend an die von Band II weiternumeriert sind. Gegenüber der
früheren Darstellung in meiner Monographie <<Theorie und Anwendung der
Laplace-Transformation>> von 1937 hat sich auch in diesem Band der Stoff auf
allen Gebieten stark ausgeweitet. Manches ist ausführlicher dargestellt, anderes
ganz neu hinzugekommen, wie die Kapitel über partielle Differentialgleichungen
mit variablen Koeffizienten, Kompatibilitätsbedingungen für Randwertprobleme,
Differenzengleichungen, Integralgleichungen im unendlichen Intervall, verschie-
dene mit Laplace-Transformation lösbare Integralgleichungen und ganze Funk-
tionen vom Exponentialtypus. Letztere bieten ein schier unerschöpfliches Feld
für Anwendungen der Laplace-Transformation, und die dargestellten Unter-
suchungen möchten zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet anregen.
Bei den Funktionalgleichungen sei besonders auf die Differenzengleichungen
verwiesen, deren Behandlung mit Laplace-Transformation hier zum erstenmal
in Buchform vollständig dargestellt ist. An Hand der Theorie der Kettenleiter,
der Schrittregler und ähnlicher Probleme ist in letzter Zeit in der Technik
ein neues Interesse an den Differenzengleichungen erwacht, und für die hier
vorliegenden Fragen dürfte insbesondere das 22. Kapitel brauchbare Methoden
liefern.
Bei den partiellen Differentialgleichungen ist die Distributionstheorie noch
nicht verwendet. Einerseits lagen bei Abfassung des Manuskripts die grund-
legenden Arbeiten von L. ScHwARTz und J. L. LIONS über die Benutzung der
Distributionstheorie in dem Gebiet <• Laplace-Transformation und partielle Dif-
ferentialgleichungen>> noch nicht vor, andererseits haben gerade diese Arbeiten
gezeigt, dass die Durchführung nicht ohne einen beträchtlichen Apparat möglich
und keineswegs so einfach ist, wie manche Bearbeiter des Grenzgebiets zwischen
Mathematik und Physik sich das vorzustellen scheinen. Wie schon im Vorwort
zum II. Band angekündigt, hoffe ich die Laplace-Transformation und die Diffe-
rentialgleichungen auf dem Boden der Distributionstheorie in einem gesonderten
Band darstellen zu können, wenn diese Dinge hinreichend ausgereift sind und es
sich herausgestellt hat, welche der heute vorliegenden Begründungen der Distri-
butionstheorie sich am besten für diesen Zweck eignet.
Zu dem Stil des nunmehr fertig vorliegenden Werkes möchte ich bemerken,
dass ich mich immer bemüht habe, sowohl dem reinen Mathematiker (hinsichtlich
der Strenge) als auch dem Praktiker (hinsichtlich der Verwendbarkeit der Resul-
tate) gerecht zu werden. Besonders mit Rücksicht auf den letzteren sind alle
Ergebnisse so formuliert, dass sie ohne zeitraubendes Nachschlagen auf vorher-
gehenden Seiten unmittelbar benützt werden können.
Am Schluss von Band III sind in einem Nachtrag zu Band I einige seit dem
Erscheinen dieses Bandes gefundene theoretische Eigenschaften der Laplace-
Transformation zusammengestellt, von denen es wünschenswert erschien, dass
sie möglichst bald allgemein bekannt würden. Teilweise werden sie bereits in
Band III verwendet.
6 Vorwort
Das Literaturverzeichnis bringt die in Band II und III zitierten Arbeiten,
aber auch inzwischen erschienene Beiträge zu dem Stoff von Band I. Arbeiten
von Autoren, die bereits in Band I genannt wurden, sind ansebliessend weiter-
numeriert. Die Literaturverzeichnisse von Band I und 111 zusammen umfassen
über 500 Titel.
Bei Abschluss des ganzen Werkes möchte ich meinem Verleger, Herrn Dr. h.c.
Albert Birkhäuser, nochmals für seine Bereitwilligkeit, ein so umfangreiches Un-
ternehmen durchzuführen, und für die sorgfältige Drucklegung und vorzügliche
Ausstattung meinen Dank aussprechen.
Freiburg i. B., GusTAV DoETSCH
Riedbergstrasse 8
Im April 1956.
Bezeichnungen und Verweise
Die in Band I, S. 13, 14 angeführten Bezeichnungen werden auch in Band 111
benutzt.
Da die Kapitel von Band II und III durchnumeriert sind, wird bei Verweisen
auf Paragraphen dieser Bände die Bandnummer nicht angegeben. Band II ent-
hält das 1. bis 16. Kapitel, Band 111 das 17. bis 32. Kapitel der «Anwendungeu.
Daher ist z. B. 6. 3 (= 6. Kap., § 3) in Band II, 26.2 (= 26. Kap., § 2) in Band 111
zu finden.
Bei Verweisen auf Band I und auf einzelne Seiten von Band II wird die
Bandnummer durch eine römische Zahl gekennzeichnet. Satz 2 [I 6. 3] bedeutet
also Satz 2 in Band I, 6. Kap., § 3, und II, S. 79 bedeutet Band II, S. 79.
7
Inhaltsverzeichnis
IV. TEIL
Partielle Differential~leichun~en
17. Kapitel. Allgemeines über partielle Differentialgleichungen und ihre
Integration vermittels Laplace-Transformation . . . 13
§ 1. Rand- und Anfangswertprobleme und der Sinn der Randbedingungen . . . 13
§ 2. Die der Laplace-Transformation zugänglichen Probleme . . . . . . . . . 16
§ 3. Allgemeine Richtlinien für die Lösung eines Rand- und Anfangswertproblems
vermittels E-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstan-
ten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 1. Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung (Parabolischer Typ) 22
1. Der Wärmeleiter ohne innere Quellen und mit verschwindender Anfangs-
temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Der Wärmeleiter mit verschwindenden Randtemperaturen . . . . 27
3. Der unendlich lange Wärmeleiter. . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 2. Die Ein- oder Vieldeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung 31
§ 3. Die Wellengleichung und die Telegraphengleichung (Hyperbolischer Typ) 38
1. Einschaltvorgang. . . . . . . . . . 41
2. Ausschwingvorgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 4. Die Potentialgleichung (Elliptischer Typ) . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 5. Eine Differentialgleichung mit gebietsweise verschiedenen konstanten Koef-
fizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 6. Die Verwendung der komplexen UmkehrformeL . . . . . . . . . . . 58
19. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten . 62
§ 1. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von den nichttransformierten Vari-
ablen abhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§ 2. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von der transformierten Variablen
abhängen (Singuläre Fokker-Plancksche Gleichung) . . . . . . . 64
20. Kapitel. Eindeutigkeltssätze und Kompatibilitätsbedingungen für die
Rand- und Anfangswerte . . . . . . . . . . 70
§ 1. Die in der E-Transformation liegenden Möglichkeiten zur Ableitung von
Eindeutigkeitssätzen und Kompatibilitätsbedingungen . . . . . . . 70
§ 2. Eindeutigkeitssatz und Lösbarkeitsbedingungen für ein Randwertproblem
in einer speziellen Klasse von Lösungen . . . . . . . 71
§ 3. Kompatibilitätsbedingungen für den elliptischen Typ . . 75
§ 4. Kompatibilitätsbedingungen für den parabolischen Typ . 76
§ 5. Kompatibilitätsbedingungen für den hyperbolischen Typ 77
8 Inhaltsverzeichnis
21. Kapitel. Huy~enssches und Eulersches Prinzip 79
§ 1. Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . 79
§ 2. Das Eu! ersehe Prinzip. . . . . . . . . . . . 82
§ 3. Die Beziehung zwischen der Erzeugung transzendenter Relationen durch das
Huygenssche und Eutersehe Prinzip und der Erzeugung durch die .~!-Trans-
formation. Der Zusammenhang mit der Theorie der Halbgruppen . . . . . 84
V. TEIL
Differenzen~leichun~en
22. Kapitel. Gewöhnliche Differenzengleichun~en im Originalraum 91
§ 1. Allgemeines über Differenzengleichungen . . . . . . . . 91
§ 2. Die lineare Differenzengleichung unter Anfangsbedingungen . . . 93
Beispiel: Elektrischer Kettenleiter . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 3. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 105
23. Kapitel. Gewöhnliche Differenzengleichungen im Bildraum 107
§ 1. Analytische Lösungen einer Differenzengleichung . . . . . . 107
§ 2. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 113
24. Kapitel. Partielle Differenzen~leichungen . . . . . . . . . . . . 116
§ 1. Ein Randwertproblem für eine partielle Differenzengleichung 116
§ 2. Ein Randwertproblem für eine Differentialdifferenzengleichung in mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
VI. TEIL
Inte~ralgleichun~en und Inte~ralrelationen
25. Kapitel. Inte~ral~leichun~en vom reellen Faltun~stypus im endlichen
Intervall . . . . . . . . . . . . 133
§ 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art 133
§ 2. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 144
1. Das Erneuerungsproblem der Statistik 144
2. Die Entzerrung der Anzeige bei physikalischen Messinstrumenten. Der
Zusammenhang zwischen Übergangsfunktion und Frequenzgang . 146
§ 3. Die lineare Integralgleichung erster Art . . . . . . . . . 151
§ 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1. Die Abcische Integralgleichung und Verallgemeinerungen 157
2. Integration und Differentiation nichtganzer Ordnung im Raum der Ori-
ginalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 5. Integral- und Integrodifferentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . 169
26. Kapitel. Integral~leichungen vom reellen Faltungstypus im unendlichen
Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 2. Die lineare Integralgleichung erster Art (Umkehrung der Integraltransforma-
tionen vom Faltungstypus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Inhaltsverzeichnis 9
27. Kapitel. Funktionalrelationen mit reellen Faltungsintegralen, insbeson-
dere transzendente Additionstheoreme . . . . . . . . 187
§ 1. Allgemeine Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
§ 2. Funktionen, deren E-Transformierte vom Typus s -- ß e -a<p(s) sind 188
§ 3. Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 4. Besselsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 5. Konfluente hypergeometrische Funktion, Hermitesche und Lagocrresche
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
28. Kapitel. Integralgleichungen vom komplexen Faltungstypus . 199
§ 1. Die Integralgleichung erster Art in speziellen Funktionsräumen. Die Deri-
vierte beliebiger Ordnung im Raum der E-Transformierten. . . 199
§ 2. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung . . . . . 0 204
29. Kapitel. Korrespondenz zwischen komplexen Faltungsintegralen von
Bildfunktionen und Produkten ihrer Originalfunktionen 209
§ 1. Funktionalrelationen mit komplexen Faltungsintegralen 209
CO CO
§ 2. Auswertung von I e-st F 2 (t) dt und I F 2 (t) dt durch ein komplexes Faltungs-
o 0
integral über f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
30. Kapitel. Verschiedene mit Laplace-Transformation lösbare Typen von
Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§ 1. Transformation einer Integralgleichung erster Art in eine Integralgleichung
mit bekannter Lösung o • • • • o • • • • • • • • • • • 215
§ 2. Kerne, deren E-Transformierte Exponentialfunktionen sind . . . . . . . 217
§ 3. Involutorische Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 4. Integralgleichungen, die eine Funktionaloperation darstellen, deren Abbild
eine elementare Substitution ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
VII. TEIL
Ganze Funktionen vom Exponentialtypus und endliche
Laplace- Transformation
31. Kapitel. Die endliche Laplace-Transformation. 225
§ 1. Die endliche Er-Transformation 225
§ 2. Die endliche Eu-Transformation . . . . . . . 229
32. Kapitel. Ganze Funktionen vom Exponentlaitypus . 233
§ 1. Darstellung einer ganzen Funktion vom Exponentialtypus als endliche Eu-
Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§ 2. Der quadratische Mittelwert m(x) für die endliche Eu-Transformierte mit einer
Originalfunktion der Klasse L 2 . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 3. Der Zusammenhang zwischen dem \Vachstum einer ganzen Funktion vom
Exponentialtypus und dem ihrer Ableitung . . . . . . . . . . . . . . 249
Nachträge zu Band I 253
Literarische und historische Nachweise 261
Bücher über die Laplace -Transformation 277
Literaturverzeichnis o 279
Sachregister . . . . 297
Berichtigungen zu Band II 29~1