Handbook of Differential Equations (Advances in Applied Mathematics)

736 Pages·2021·13.25 MB·english

by  Daniel Zwillinger

Handbook of Differential
Equations
Advances in Applied Mathematics
Series Editors:
Daniel Zwillinger
Quadratic Programming with Computer Programs
Michael J. Best
Introduction to Radar Analysis
Bassem R. Mahafza
CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, 33rd Edition
Edited by Daniel Zwillinger
The Second-Order Adjoint Sensitivity Analysis Methodology
Dan Gabriel Cacuci
Operations Research
A Practical Introduction, Second Edition
Michael Carter, Camille C. Price, Ghaith Rabadi
Handbook of Mellin Transforms
Yu. A. Brychkov, O. I. Marichev, N. V. Savischenko
Advanced Mathematical Modeling with Technology
William P. Fox, Robert E. Burks
Introduction to Quantum Control and Dynamics
Domenico D’Alessandro
Handbook of Radar Signal Analysis
Bassem R. Mahafza, Scott C. Winton, Atef Z. Elsherbeni
Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs
Andrei D. Polyanin, Alexei I. Zhurov
Boundary Value Problems on Time Scales, Volume I
Svetlin Georgiev, Khaled Zennir
Boundary Value Problems on Time Scales, Volume II
Svetlin Georgiev, Khaled Zennir
Observability and Mathematics
Fluid Mechanics, Solutions of Navier-Stokes Equations, and Modeling
Boris Khots
Handbook of Differential Equations, Fourth Edition
Daniel Zwillinger, Vladimir Dobrushkin
Experimental Statistics and Data Analysis for Mechanical and Aerospace Engineers
James Middleton
Advanced Engineering Mathematics with MATLAB®, Fifth Edition
Dean G. Duffy
Handbook of Fractional Calculus for Engineering and Science
Harendra Singh, H. M. Srivastava, Juan J Nieto
Advanced Engineering Mathematics
A Second Course with MATLAB®
Dean G. Duffy
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shed,forthcoming&pg=1&pp=12&so=pub&view=list
Handbook of Differential
Equations
Fourth Edition
Daniel Zwillinger
Vladimir Dobrushkin
Fourth edition published 2022
by CRC Press
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300, Boca Raton, FL 33487-2742
and by CRC Press
4 Park Square, Milton Park, Abingdon, Oxon, OX14 4RN
© 2022 Taylor & Francis Group, LLC
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Trademark notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks and are used
only for identification and explanation without intent to infringe.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Names: Zwillinger, Daniel, 1957- author. | Dobrushkin, V. A. (Vladimir
Andreevich) author.
Title: Handbook of differential equations / Daniel Zwillinger, Department
of Mathematical Sciences, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New
York, Vladimir Dobrushkin, Division of Applied Mathematics Brown
University, Providence, Rhode Island.
Description: Fourth edition. | Boca Raton : Chapman & Hall, CRC Press,
2022. | Series: Advances in applied mathematics | Includes
bibliographical references and index.
Identifiers: LCCN 2021021813 (print) | LCCN 2021021814 (ebook) | ISBN
9780367252571 (hardback) | ISBN 9781032118932 (paperback) | ISBN
9780429286834 (ebook)
Subjects: LCSH: Differential equations.
Classification: LCC QA371 .Z88 2022 (print) | LCC QA371 (ebook) | DDC
515/.35--dc23
LC record available at https://lccn.loc.gov/2021021813
LC ebook record available at https://lccn.loc.gov/2021021814
ISBN: 978-0-367-25257-1 (hbk)
ISBN: 978-1-032-11893-2 (pbk)
ISBN: 978-0-429-28683-4 (ebk)
DOI: 10.1201/9780429286834
Publisher’s note: This book has been prepared from camera-ready copy provided by the authors.
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Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
How to Use This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
I.A Definitions and Concepts
1 Definition of Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Alternative Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Bifurcation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Chaos in Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Classification of Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Compatible Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Conservation Laws. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Differential Equations – Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 Differential Equations – Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10 Differential Resultants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Existence and Uniqueness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
12 Fixed Point Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
13 Hamilton–Jacobi Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14 Infinite Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
15 Integrability of Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
16 Inverse Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
17 Limit Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
18 PDEs & Natural Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
19 Normal Forms: Near-Identity Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
20 q-Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21 Quaternionic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
22 Self-Adjoint Eigenfunction Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
23 Stability Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
24 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25 Sturm–Liouville Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
26 Variational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
27 Web Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
28 Well-Posed Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
29 Wronskians & Fundamental Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
30 Zeros of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
I.B Transformations
31 Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
32 Canonical Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
33 Darboux Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
34 An Involutory Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
35 Liouville Transformation – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
v
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(cid:105) (cid:105)
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vi Contents
36 Liouville Transformation – 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
37 Changing Linear ODEs to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
38 Transformations of Second Order Linear ODEs – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
39 Transformations of Second Order Linear ODEs – 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
40 Transforming an ODE to an Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
41 Miscellaneous ODE Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
42 Transforming PDEs Generically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
43 Transformations of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
44 Transforming a PDE to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
45 Pru¨fer Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
46 Modified Pru¨fer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
II Exact Analytical Methods
47 Introduction to Exact Analytical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
48 Look-Up Technique∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
48.1 Ordinary Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
48.2 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
48.3 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
48.4 Hamiltonians Representing Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
48.5 The Laplacian in Different Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
48.6 Parametrized Differential Equations at Specific Values . . . . . . . . . . . . . . . 146
49 Look-Up ODE Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
II.A Exact Methods for ODEs
50 Use of the Adjoint Equation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
51 An Nth Order Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
52 Autonomous Equations – Independent Variable Missing . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
53 Bernoulli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
54 Clairaut’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
55 Constant Coefficient Linear ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
56 Contact Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
57 Delay Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
58 Dependent Variable Missing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
59 Differentiation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
60 Differential Equations with Discontinuities∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
61 Eigenfunction Expansions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
62 Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
63 Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
64 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
65 Exact First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
66 Exact Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
67 Exact Nth Order Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
68 Factoring Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
69 Factoring/Composing Operators∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
70 Factorization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
71 Fokker–Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
72 Fractional Differential Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
73 Free Boundary Problems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
74 Generating Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
75 Green’s Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
76 ODEs with Homogeneous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
77 Hypergeometric Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
78 Method of Images∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
79 Integrable Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
Contents vii
80 Integrating Factors∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
81 Interchanging Dependent and Independent Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
82 Integral Representation: Laplace’s Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
83 Integral Transforms: Finite Intervals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
84 Integral Transforms: Infinite Intervals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
85 Lagrange’s Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
86 Lie Algebra Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
87 Lie Groups: ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
88 Non-normal Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
89 Operational Calculus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
90 Pfaffian Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
91 Quasilinear Second Order ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
92 Quasipolynomial ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
93 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
94 Resolvent Method for Matrix ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
95 Riccati Equation – Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
96 Riccati Equation – Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
97 Scale-Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
98 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
99 Series Solution∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
100 Equations Solvable for x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
101 Equations Solvable for y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
102 Superposition∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
103 Undetermined Coefficients∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
104 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
105 Vector ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
II.B Exact Methods for PDEs
106 Ba¨cklund Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
107 Cagniard–de Hoop Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
108 Method of Characteristics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
109 Characteristic Strip Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
110 Conformal Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
111 Method of Descent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
112 Diagonalizable Linear Systems of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
113 Duhamel’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
114 Exact Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
115 Fokas Method / Unified Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
116 Hodograph Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
117 Inverse Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
118 Jacobi’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
119 Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
120 Lie Groups: PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
121 Many Consistent PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
122 Poisson Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
123 Resolvent Method for PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
124 Riemann’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
125 Separation of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
126 Separable Equations: Sta¨ckel Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
127 Similarity Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
128 Exact Solutions to the Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
129 Wiener–Hopf Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
III Approximate Analytical Methods
130 Introduction to Approximate Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
viii Contents
131 Adomian Decomposition Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
132 Chaplygin’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
133 Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
134 Constrained Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
135 Differential Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
136 Dominant Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
137 Equation Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
138 Floquet Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
139 Graphical Analysis: The Phase Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
140 Graphical Analysis: Poincar´e Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
141 Graphical Analysis: Tangent Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
142 Harmonic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
143 Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
144 Integral Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
145 Interval Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
146 Least Squares Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
147 Equivalent Linearization and Nonlinearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
148 Lyapunov Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
149 Maximum Principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
150 McGarvey Iteration Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
151 Moment Equations: Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
152 Moment Equations: Itoˆ Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
153 Monge’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
154 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
155 Pad´e Approximants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
156 Parametrix Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
157 Perturbation Method: Averaging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
158 Perturbation Method: Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
159 Perturbation Method: Functional Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
160 Perturbation Method: Multiple Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
161 Perturbation Method: Regular Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
162 Perturbation Method: Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
163 Perturbation Method: Strained Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
164 Picard Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
165 Reversion Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
166 Singular Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
167 Soliton-Type Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
168 Stochastic Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
169 Structured Guessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
170 Taylor Series Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
171 Variational Method: Eigenvalue Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
172 Variational Method: Rayleigh–Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
173 WKB Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
IV.A Numerical Methods: Concepts
174 Introduction to Numerical Methods∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
175 Terms for Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
176 Finite Difference Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
176.1 One Dimension: Rectilinear Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
176.2 Two Dimensions: Rectilinear Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
176.3 Two Dimensions: Irregular Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
176.4 Two Dimensions: Triangular Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
176.5 Numerical Schemes for the ODE: y(cid:48) =f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
176.6 Explicit Numerical Schemes for the PDE: au +u =0 . . . . . . . . . . . . . . 484
x t
176.7 Implicit Numerical Schemes for the PDE: au +u =S(x,t). . . . . . . . . . . . 485
x t
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)
Contents ix
176.8 Numerical Schemes for the PDE: F(u) +u =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
x t
176.9 Numerical Schemes for the PDE: u =u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
x tt
177 Finite Difference Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
178 Grid Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
179 Richardson Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
180 Stability: ODE Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
181 Stability: Courant Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
182 Stability: Von Neumann Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
183 Testing Differential Equation Routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
IV.B Numerical Methods for ODEs
184 Analytic Continuation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
185 Boundary Value Problems: Box Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
186 Boundary Value Problems: Shooting Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
187 Continuation Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
188 Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
189 Cosine Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
190 Differential Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
191 Eigenvalue/Eigenfunction Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
192 Euler’s Forward Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
193 Finite Element Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
194 Hybrid Computer Methods∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
195 Invariant Imbedding∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
196 Multigrid Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
197 Neural Networks & Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
198 Nonstandard Finite Difference Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
199 ODEs with Highly Oscillatory Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
200 Parallel Computer Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
201 Predictor–Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
202 Probabilistic Methods∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
203 Quantum Computing∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
204 Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
205 Stiff Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
206 Integrating Stochastic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
207 Symplectic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
208 System Linearization via Koopman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
209 Using Wavelets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
210 Weighted Residual Methods∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
IV.C Numerical Methods for PDEs
211 Boundary Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
212 Differential Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
213 Domain Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
214 Elliptic Equations: Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
215 Elliptic Equations: Monte–Carlo Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
216 Elliptic Equations: Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
217 Hyperbolic Equations: Method of Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
218 Hyperbolic Equations: Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
219 Lattice Gas Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
220 Method of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
221 Parabolic Equations: Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
222 Parabolic Equations: Implicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
223 Parabolic Equations: Monte–Carlo Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
224 Pseudospectral Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
(cid:105) (cid:105)
(cid:105) (cid:105)