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Halbringe: Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik PDF

368 Pages·1993·11.836 MB·German
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Halbringe Aigebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik Von Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch Bergakademie Freiberg und Prof. Dr. phil. et rer. nat. habil. Hanns Joachim Weinert Technische Universitiit Clausthal B.G.Teubner Stuttgart 1993 Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch Geboren 1954 in Welver/Soest. Studium der Mathematik und Informatik ab 1974 in ClaListhal, Diplom 1979, Promotion 1984, Habilitation 1990. Von 1979 bis 1993 Assistent bzw. Oberassistent an der TU Clausthal. Seit 1993 Professor an der Bergakademie Freiberg. Prof. Dr. phil. et rer. nat. habil. Hanns Joachim Weinert Geboren 1927 in Leipzig. Studium der Mathematik, Physik und Philosophie ab 1946 in Leipzig, Diplom 1951, Promotion 1952, Habilitation 1963. Professuren an der Pădagogischen Hochschule Potsdam, der University of Florida in Gainesville, der Universităt Mainz, der Universidad de 105 Andes in Bogotâ/Kolumbien und der Technischen Universităt Clausthal. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Hebisch, Udo: Halbringe : algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik / von Udo Hebisch und Hanns Joachim Weinert. - Stuttgart : Teubner, 1993 (Teubner-StudienbOcher : Mathematik) ISBN 978-3-519-02091-2 ISBN 978-3-322-94682-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-94682-9 NE: Weinert, Hanns Joachim: Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwendung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulăssig und strafbar. Das gilt besonders fOr Verviel făltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver arbeitung in elektronischen Systemen. © B. G. Teubner Stuttgart 1993 Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe Einband: Tabea u. Martin Koch, Ostfildern/Stuttgart Vorwort Der Begriff des Halbringes entsteht aus dem des Ringes, indem man auf die Gruppeneigenschaft (und seltener auch auf die Kommutativitiit) der Addition verzichtet. So bilden die natiirlichen Zahlen einen Halbring, die sicherlich iilteste algebraische Struktur, in der Menschen gerechnet haben. Zahlreiche Arbeiten tiber Halbril1ge sind seit etwa 50 Jahren erschienel1. AniaB dazu war, jedenfalls teilweise, das Auftretel1 von Halbringen als Positivbereiche partiell geordneter Ringe und Korper, bei topologischen Fragestellungen, und nicht zuletzt beim Aufbau der Arithmetik im Zusammenhang mit entsprechenden Fragen des Schulunterrichts. Besonderes Interesse verdienen Halbringe da durch, daB sie unterdessen in wachsendem MaBe, oft ohne Bezug auf die bereits vorhandene Literatur, als Hilfsmittel in verschiedenen Gebieten der Informatik verwendet werden. In dieser Situation mochten wir eine Einfiihrung in die algebraische Theorie der Halbringe vorlegen, in der auch einige Anwendungen in der Theoretischen Informatik ausfiihrlich behandelt werden. Dabei haben wir uns inhaltlich weitgehend auf die allgemeinen Grundlagen einer algebraisehen Halbringtheo rie und auf solche Teilgebiete dieser Theorie besehriinkt, die ftir die eben genannten Anwendungen benotigt werden. Weiterhin legen wir hier, wie ja aueh bei der Behandlung von Ringen iiblieh, einen Halbringbegriff zugrunde, der die Kommutativitiit der Addition einsehlieBt (vgl. Definition 2.1 im ersten Kapitel). Damit haben wir die gelegentlich in der Literatur auch auftreten den Halbril1ge mit nichtkollllllutativer Addition ausgeklammert, deren Unter suchung zwar fiir sieh reizvoll, dartiber hinaus jedoch von weit geringerem Interesse ist und oft erheblich mehr Aufwand erfordert. Ubrigens gelten viele Resultate tiber Halbringe nur, wenn man die Kommutativitiit der Addition oder wenigstens eine Abschwachung dieser Kommutativitiit voraussetzt. Ais Leser dieses Buches stellen wir uns einerseits Studenten der Mathema tik oder Informatik mittlerer Semester vor, die sieh im Zusammenhang mit entsprechenden Lehrveranstaltungen oder ill1 Selbststudium in die algebrai sehe Theorie der Halbringe und in die genannten Anwendungen einarbeiten moehten. Aus diesell1 Grunde haben wir uns um eine iibersiehtliehe Glie derung bemiiht und zahlreiehe Erliiuterungen, Hinweise und Querverweise gegeben. Aueh sind aIle Beweise, von einigen einfaehen und naheliegenden Folgerungen abgesehen, vollstiindig und ll1eist sehr ausfiihrlieh angegeben. Trotz dieser Ausfiihrliehkeit hoffen wir, daB sich andererseits auch der fort gesehrittene Mathematiker oder Inforll1atiker mit geringell1 Zeitaufwand iiber IV die hier dargestellten Gebiete und Anwendungen der Halbringtheorie infor mieren kann. An ihn haben wir insbesondere bei der Auswahl der relativ umfangreichen Literaturangaben gedacht, wobei uns die Korrespondenz mit Herrn Professor Dr. K. Glazek und seine Literaturzusammenstellung [Gla85] eine groBe Hilfe war. 1m Hinblick auf den zuerst genannten Leserkreis wurden auch die verwendeten Hilfsmittel aus anderen mathematischen Gebieten weitgehend in unsere Dar stellung einbezogen. So setzen wir zwar einige element are Begriffsbildungen und Bezeichnungen der Mengenlehre als bekannt voraus, erliiutern sie aber meist bei ihrem ersten Auftreten. Die von uns benatigten Begriffe und Aus sagen iiber Relationen, partiell und linear geordnete Mengen und Verbiinde stellen wir in Paragraph 6 von Kapitel I zusammen. Lediglich fiir das Rech nen mit Kardinalzahlen verweisen wir auf entsprechende Lehrbiicher. Ebenso haben wir die jeweils verwendeten Begriffsbildungen und Aussagen iiber Halb gruppen in unsere Darstellung aufgenommen, teils in Form gesonderter Para graphen, teils im laufenden Text oder in einigen Aufgaben. Ahnliches gilt fiir die Aussagen iiber Ringe und Karpel', die den hier behandelten iiber Halb ringe entsprechen oder Spezialfiille ihrer hier untersuchten Verallgemeinerun gen sind. Insbesondere haben wir, soweit sich die jeweiligen Anwendungen auf Ringe nicht von selbst verstehen oder uns als Analogien oder Verschiirfungen erwiihnenswert erschienen, den Ringfall in unsere Formulierwlgen und Beweise mit aufgenommen. Fiir eine Orientierung iiber die behandelten Gegenstiinde verweisen wir auf das Inhaltsverzeichnis und die Ubersichten, die jedem der fiinf Kapitel voran gestellt sind. An dieser Stelle machten wir ganz besonders Frau Edith Weber-Hebisch fiir die sorgfiiltige und ziigige Erstellung der Druckvorlage zu diesem Buch danken. Ebenso gilt unser Dank den Mitarbeitern des Verlages B. G. Teubner fiir ihr verstiindnisvolles Entgegenkommen bei der Entstehung unseres Buches und seine Aufnahme in die Studienbuchreihe. Clausthal, im August 1993 U. Hebisch, H. J. Weinert Inhaltsverzeichnis Kapitel I. Allgemeine Aussagen iiber Halbringe 1 1.1. Halbgruppen 2 1.2. Halbringe 10 1.3. Homomorphismen und Isomorphismen 25 1.4. Multiplikativ kiirzbare Halbringe 36 1.5. Halbkorper 43 1.6. Relationen, partiell geordnete Mengen, Verbiinde 51 1.7. Kongruenzen und Homomorphiesiitze 67 1.8. Halbringideale und k-Ideale 83 Kapitel II. Erweiterungen von Halbringen 96 ILl Polynomhalbringe 97 Il.2 Quotientenhalbkorper 110 11.3 Quotientenhalbgruppen 116 Il.4 Quotientenhalbringe 123 11.5 Differenzenhalbringe und Differenzenringe 129 Il.6 N acheinanderanwendung von Quotienten- und Differenzenerwei terungen 140 Il.7 Kongruenzen und Ideale in Halbringen und ihren Differenzenringen 147 Kapitel III. Partiell geordnete Halbringe 152 IlLl Partiell geordnete kommutative Halbgruppen 153 III.2 Partiell geordnete Halbringe 161 IlL3 Quotientenhalbringe partiell geordneter Halbringe 177 IlI.4 Differenzenhalbringe partiell geordneter Halbringe 192 Kapitel IV. Halbringe mit unendlichen Summen 203 IV.l ~-Algebren 203 IV.2 Neutrale und absorbierende Elemente 220 IV.3 ~-Halbmoduln und ~-Halbringe 226 IV.4 Die Sternoperation 236 IV.5 Freie Halbgruppen und formale Sprachen 244 IV.6 Das algebraische Pfadproblem 256 VI v. Kapitel Halbalgebren, Halbgruppen-Halbringe und Potenzreihenhalbringe 273 V.l. Operatorhalbmoduln tiber Halbringen 273 V.2. Halbalgebren tiber Halbringen 285 V.3. Verallgemeinerte Halbalgebren und Halbgruppen Halbringe 299 V.4. Potenzreihenhalbringe und formale Sprachen 309 Losungen zu ausgewahlten Aufgaben 320 Literaturverzeichnis 336 Symbolverzeichnis 352 Sachverzeichnis 355 Hinweise fur den Leser Entsprechend dem Inhaltsverzeichnis gliedern wir unseren Stoff in Kapitel und Paragraphen, mit deren Numerierung wir in jedem Kapitel gemaB 1.1, 1.2, ... ,11.1,... neu beginnen. Innerhalb eines Paragraphen werden aile Defi nitionen, Satze, Beispiele, Bemerkungen etc. fortlaufend z. B. gemaB Defi nition 3.1, Beispiel 3.2,... durchnumeriert. Innerhalb des gleichen Kapitels zitieren wir dann ohne Kapitelangabe, und sonst unter EinschluB der Kapitel nummer, also z. B. Definition 1.3.1. Entsprechend verfahren wir mit wiederholt gebrauchten Formeln und den Aufgaben. Das Ende eines Beweises kennzeich nen wir durch das Zeichen •. Die zahlreichen Aufgaben dienen zur Ubung und Verstandniskontroile und sind groBtenteils leicht zu losen. Sie enthalten aber auch Erganzungen zum laufenden Text, Beispiele und Gegenbeispiele sowie mitunter (stets kursiv hervorgehobene) weitere Begriffsbildungen. Ftir eine Auswahl von (meist etwas schwierigeren) Aufgaben haben wir die Losungen am Ende dieses Buches zusammengestellt. Kapitel I Allgemeine Aussagen iiber Halbringe Gegenstand dieses Kapitels sind solche Begriffsbildungen und Aussagen, die bei den verschiedensten Untersuchungen iiber Halbringe immer wieder auftre ten und daher als allgemeine Grundlage einer algebraischen Theorie der Halb ringe angesehen werden konnen. Jedoch kann man beim ersten Studium einige der in 1.2 angegebenen Beispiele fiir Halbringe (etwa die Beispiele 2.8, 2.9 und insbesondere 2.11) und auch das erst spater gebrauchte Lemma 2.20 zunachst iibergehen. Das gleiche gilt fiir den letzten Teil von 1.3 ab Lemma 3.11 und fiir die technisch etwas aufwendigeren Beweise der Struktursatze 4.6, 5.5 und 5.6 fiir multiplikativ kiirzbare Halbringe bzw. fUr Halbkorper. Die in 1.6 zu sammengestellten Aussagen iiber Relationen und partiell geordnete Mengen werden bereits fiir die Behandlung von Kongruenzen in I. 7 und auch spater im mer wieder gebraucht. Die in 1.8 eingefiihrten Halbringideale stehen in engem Zusammenhang mit Kongruenzen, doch konnen fiir Halbringe diese Ideale (im Gegensatz zu der Situation bei Ringen) die explizite Verwendung von Kon gruenzen nicht ersetzen. Das Studium der ersten Paragraphen von Kapitel II und auch von Kapitel IV kann aber schon im AnschluB an 1.5 erfolgen. Allgemein wei sen wir noch darauf hin, daB halbringtheoretische Begriffsbil dungen in der Literatur teilweise noch recht unterschiedlich definiert und be nannt werden. Wir haben daher die hier verwendete Terminologie moglichst neutral gewahlt und z. B. vermieden, fiir Halbringe mit unterschiedlichen Ei genschaften jeweils verschiedene spezielle Bezeichnungen einzufiihren. Beson ders wichtig war uns dabei folgendes: Da jeder Ring erst recht ein Halbring ist, haben wir, bis auf eine Ausnahme, aIle Begriffsbildungen fiir Halbringe so gefaBt und bezeichnet, daB sie in die iiblichen ringtheoretischen Begriffs bildungen iibergehen, wenn man sie auf einen Ring anwendet. Die Ausnahme betrifft den Idealbegriff, wo wir ausdriicklich zwischen Halbringideal und Ring ideal unterscheiden, die in der Literatur beide als Ideal bezeichnet werden. Ein Halbringideal eines Ringes braucht namlich kein Ideal dieses Ringes im iiblichen ringtheoretischen Sinne zu sein. Da jeder Halbring aus zwei Halbgruppen besteht (vgl. Definition 2.1), begin nen wir mit einer Zusammenstellung einiger Hilfsmittel iiber Halbgruppen. 2 Halbgruppen 1.1. Halbgruppen Wir bezeichnen mit IN bzw. IN 0 die Menge der positiven bzw. der nichtne gativen ganzen Zahlen. Einfache Begriffsbildungen und Bezeichnungen der Mengenlehre setzen wir als bekannt voraus, doch erlautern wir sie oft bei ihrem ersten Auftreten. Definition 1.1. Es sei S =1= 0 eine nichtleere Menge. Unter einer zweiJtelligen Operation p. auf S versteht man eine Abbildung p. von der Produktmenge S x S in S, d. h. p. ordnet jedem Paar (a, b) E S x S genau ein Element p.( a, b) E S zu. Ublicherweise schreibt man statt p.( a, b) meist ap.b und ersetzt p. durch + gelaufige Operationssymbole, also etwa a . b, a b, a 1\ b usw. Fiir die folgenden Aussagen iiber Halbgruppen verwenden wir ohne Be schriinkung der Allgemeinheit die multiplikative Schreibweise. Geringfiigige Abweichungen von der sonst iiblichen Terminologie erkliiren sich daraus, dafi wir in Halbringen eine multiplikativ geschriebene und eine additiv geschrie bene Halbgruppe gleichzeitig zu betrachten haben. Definition 1.2. Es sei S =1= 0 eine Menge und . eine zweistellige Operation auf S. Dann heiBt (S,') eine Halbgruppe, wenn diese Operation aJsoziativ ist, d. h. wenn a·(b·c)=(a·b)·c fiir aIle a, b, c E S gilt. Insbesondere heiBt eine Halbgruppe (S, .) kommutativ, wenn a·b=b·a fiir alle a, b E S erfiiIlt ist. Allgemein bezeichnen wir mit IAI die Kardinalzahl einer Menge A und nennen lSI die Ordnung einer Halbgruppe (S, .). Man sagt auch, dafi die Ordnung von (S,') endlich bzw. unendlich ist, je nachdem ob lSI eine endliche Kardinalzahl (also eine natiirliche Zahl n E IN) oder eine unendliche (transfini te) Kardinalzahl ist. Bekanntlich folgt aus dem Assoziativgesetz, dafi in jeder Halbgruppe (S,·) auch Produkte al . a2 ..... an von n ~ 3 (n E IN) Elementen a" E S durch Zuriickfiihrung auf n -1 Produkte von je zwei Elementen definiert und beliebig beklammert werden konnen. Man schreibt dann n II (Ll) al . a2 ..... an = a" fiir n E IN ,,=1 = = ... = = mit der naheliegenden Interpretation rr~=1 a" al. Fiir al an a definiert (1.1) die n-te Potenz an eines Elementes a von (S, .). Dabei gelten Halbgruppen 3 an. am = an+m und (an)m = an·m fur alle a E S und alle n, mE IN, wahrend (a· b)n = an. bn die Vertauschbarkeit a· b = b· a von a, bE S voraussetzt. 1m Falle einer kommutativen Halbgruppe (S, .) kann in (1.1) auch die Reihenfolge der Faktoren all E S beliebig abgeandert werden. Definition 1.3. Es sei (S,·) eine Halbgruppe. a) Eine Element e, E S heiBt linksneutral in (S, .), wenn e, . a = a fur alle a E S gilt. b) Ein Element 0, E S heiBt linksabsorbierend in (S, .), wenn 0, . a = 0, fur alle a E S gilt. c) Ein Element a E S heiBt linkskurzbar in (S, .), wenn a· x = a· Y ==> x = Y fur alle x, yES gilt. Trifft dies fur alle Elemente a E S zu, so nennt man (S, .) eine linkskurzbare H albgruppe. d) Ein Element a E S heiBt idempotent, wenn a . a = a gilt. Haben alle Elemente a E S diese Eigenschaft, so nennt man (S,') eine idempotente Halb gruppe. Bemerkung 1.4. i) Mit jedem "linksseitigen" Begriff, wie den unter a), b) und c) definierten, betrachtet man auch den entsprechenden "rechtssei tigen" Begriff als definiert. So heiBt z. B. ein Element er E S rechtsneutral, wenn a . er = a fur alle a E S gilt. Man nennt solche Begriffe zueinander links rechts-dual, im Gegensatz zu selbst-dualen Begriffen, wie z. B. den unter d) definierten. ii) Analog kann man zu jeder Aussage uber Halbgruppen die ihr entsprechende links-rechts-duale Aussage bilden; letztere stimmt mit der ursprunglichen Aus sage genau dann uberein, wenn diese selbst-dual ist. Da die Begriffsbildung der Halbgruppe selbst-dual ist, folgt aus der Richtigkeit jeder Aussage die Richtigkeit der zu ihr dualen Aussage. Von jedem Paar zueinander links rechts-dualer A ussagen braucht also jeweils nur eine formuliert und bewiesen zu werden. Die folgende Feststellung und die in Beispiel 1.6 enthaltenen Behauptungen sind leicht zu beweisen. Zum Verstandnis der eben beschriebenen Dualitat sollte man beide (und uberfliissigerweise auch die Beweise) dualisieren. Fakt 1.5. a) Ein Element e, einer Halbgruppe (S,') i,~t genau dann linksneu tral, wenn e, idempotent und linkskurzbar ist. b) Gilt ae, = a fur ein in (S, .) linkskurzbares Element a E S, so i,~t e, links neutral in (S,·). 4 Halbgruppen Beispiel 1.6. Jede Menge S i- 0 wird zu einer Halbgruppe (S, .), indem man a . b = a fur alle a, b E S definiert. Diese Halbgruppe ist idempotent und rechtskurzbar, und jedes Element c E S ist rechtsneutral und linksabsor bierend in (S,·). Man nennt sie die linksabsorbierende H albgruppe uber der Menge S. Fakt 1.7. Enthiilt eine Halbgruppe (S,·) ein linksneutrales Element el und = = ein rechtsneutrales Element er, so stimmen be ide wegen el q . er er uberein. Das gleiche gilt fur links- und rechtsabsorbierende Elemente wegen 01 = 01 . Or = Or. Definition 1.8. Es sei (S,·) eine Halbgruppe. a) Ein Element e E S, welches sowohl links- als auch rechtsneutral in (S,·) ist, also e· a = a· e = a fur alle a E S erfullt, heiBt neutral in (S, .). b) Analog heiBt ein Element 0 E S absorbierend in (S,·), wenn 0 sowohl links- als auch rechtsabsorbierend in (S, .) ist. Aus Fakt 1.7 folgt unmittelbar: Fakt 1.9. Eine Halbgruppe (S,·) enthiilt entweder kein oder genau ein neu trales Element e. 1m zweiten Faile gibt es keine weiteren einseitig neutralen Elemente in (S, .). Ent,~prechend enthiilt eine Halbgruppe (S,·) entweder kein oder genau ein absorbierendes Element 0, und in dies em Falle keine weiteren einseitig absorbierenden Elemente. Bemerkung 1.10. i) Fur kommutative Halbgruppen stimmen links-rechts duale Begriffe (und Aussagen) ersichtlich uberein. In diesem Falle ist dann z. B. die Unterscheidung von "linksneutral" und "rechtsneutral" uberflussig, da beides auf "neutral" hinauslauft. ii) Eine Halbgruppe mit neutralem Element wird auch als Monoid bezeichnet. Definition 1.11. Es sei (S,·) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Ein Element a E S heiBt linksinvertierbar in (S, .), wenn es ein Element a' E S mit a' . a = e gibt. Man nennt dann a' ein Linksinverses von a. Q ($I v(>n ((/IKS (r>verfrcr.:.)c", Es gibt Beispiele von Monoiden, in denen Elemente mit mehreren Linksinver sen und Elemente mit mehreren Rechtsinversen auftreten. Dagegen gilt fur (von beiden Seiten) invertierbare Elemente:

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