Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi

354 Pages·2007·9.803 MB·Italian

by  Antonio Machì (auth.)

A Matilde
Antonio Machì
Gruppi
Una introduzione a idee e metodi
della Teoria dei Gruppi
~ Springer
ANTONIO MACHl
Dipartimento di Matematica
Università La Sapienza, Roma
ISBN 13 978-88-470-0622-5 Springer Milan Berlin Heidelberg New York
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Prefazione
Questo libro raccoglie le lezioni di Teoria dei Gruppi da me tenute per va
ri anni presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Roma "La
Sapienza". Riprendendo il filo di un discorso iniziato anni fa nel volume In
troduzione alla teoria dei gruppi, pubblicato dall'editore Feltrinelli e dedicato
principalmente ai gruppi finiti, mi sono proposto di ampliare il contenuto di
quel mio lavoro, in particolare per quanto riguarda i gruppi di permutazioni e
la coomologia. Ho trattato anche questioni relative ai gruppi infiniti (gruppi
liberi, generatori e relazioni, proprietà residue) e problemi di carattere logico
(problema della parola, decidibilità). Ho seguito in questo il rinnovato inte
resse per i gruppi infiniti al quale si è assistito negli ultimi anni, e ac ui non
è probabilmente estranea la soluzione del problema della classificazione dei
gruppi semplici finiti, senz'altro il risultato più importante della storia recen
te della Teoria dei Gruppi (anche se per alcuni studiosi la cosa non è ancora
completamente chiarita). Un problema che, sulla scorta del "programma di
H6lder" ha orientato buona parte della ricerca per tutto l'ultimo secolo.
Il libro si rivolge agli studenti del terzo anno del corso di laurea e a quelli
della laurea specialistica in Matematica, senza escludere gli studenti di Fisica
e di Chimica che volessero acquisire una solida base per affrontare in seguito
questioni della teoria di più diretto interesse applicativo.
Sono molte le persone che devo ringraziare per l'interesse mostrato per
questo mio lavoro, spingendomi a continui miglioramenti con utilissime osser
vazioni; in particolare, Tullio Ceccherini-Silberstein, Alessandro D'Andrea e
Marialuisa J. de Resmini. Va da sé che io resto l'unico responsabile per gli
errori e i punti oscuri che ancora fossero presenti.
Roma, giugno 2007 Antonio Machì
Indice
Notazioni ...................................................... XI
1 Nozioni introduttive e primi teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
1.1 Definizioni ed esempi .................................... 1
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
1.2 Classi laterali e teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .3 .4 . . . . . . . . . .
1.3 Automorfismi ........................................... 36
Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .3 .9 . . . . . . . . . .
2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo . . .. 41
2.1 Prodotto di Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
2.3 Coniugio............................................... 53
sn ... ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. ..
2.3.1 Il coniugio in 58
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.4 Normalizzanti e centralizzanti di sottogruppi . . . . . . . . . . ... . 62. .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
2.5 Il programma di H6lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
2.6 Prodotto diretto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
2.7 Prodotto semidiretto ..................................... 77
2.8 Gruppi simmetrici e atlerni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .8 .8 . . . . . . . . . .
2.9 Il derivato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91
3 Azione di un gruppo su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 9. 3. . . .
3.1 Azione ................................................. 93
Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ... . .. .1 .0 .3 . . . . .
VIII Indice
3.2 Il teorema di Sylow .. ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 105
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3 Formula di Burnside e caratteri di permutazione ... ... ... .. .. 123
Esercizi ................................................ 127
3.4 Azione indotta .......................................... 130
Esercizi ................................................ 132
3.5 Automorfismi di (C, il) .................................. 133
Esercizi ................................................ 136
3.6 Permutazioni e inversioni ................................. 138
Esercizi .... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 141
3.7 Semplicità di alcuni gruppi ............................... 142
3.7.1 Il gruppo semplice di ordine 168 ... ... ... .. ... ... .. .. 142
3.7.2 Gruppi lineari proiettivi speciali ..................... 146
Esercizi ................................................ 151
4 Generatori e relazioni ...................................... 153
4.1 Generatori .............................................. 153
Esercizi ................................................ 157
4.2 Il sottogruppo di Frattini .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 158
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3 Gruppi abeliani finitamente generati ... .. ... ... .. ... ... .. .. 162
4.4 Caratteri di un gruppo abeliano ........................... 176
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5 Gruppi liberi ............................................ 178
Esercizi ................................................ 181
4.6 R elazioni ............................................... 182
Esercizi ................................................ 187
4.7 Sottogruppi di un gruppo libero ........................... 187
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.8 R elazioni e gruppi semplici ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 191
4.9 Il problema della parola .................................. 193
4.10 Proprietà residue .... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 195
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili ....................... 199
5.1 Serie centrali e gruppi nilpotenti ........................... 199
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 16
5.2 Gruppi p-nilpotenti ...................................... 218
Esercizi ................................................ 223
5.3 Normalizzanti di p-sottogruppi e coniugio .................. 224
Esercizi .... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 225
5.4 Automorfismi senza punti fissi e gruppi di Frobenius ......... 226
Esercizi .... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 231
5.5 Gruppi risolubili ......................................... 232
Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ... . .. .2 .4 .4 . . . . .
Indice IX
6 Rappresentazioni lineari ................................... 247
6.1 Definizioni ed esempi .................................... 247
6.2 Teorema di Maschke ..................................... 251
6.3 Caratteri ............................................... 253
6.4 Tavola dei caratteri ...................................... 266
6.5 Gruppi compatti ........................................ 271
7 Ampliamenti e coomologia ................................. 275
7.1 Omomorfismi crociati .................................... 275
7.2 Il primo gruppo di coomologia ............................ 278
Esercizi ................................................ 281
7.2.1 L'anello di gruppo Z7r .............................. 283
Esercizi ................................................ 287
7.3 Il secondo gruppo di coomologia ........................... 287
7.3.1 Ampliamenti e Hl ................................. 293
7.3.2 H2(7r,A) per 7r ciclico finito ........................ 294
Esercizi ................................................ 296
7.4 Il moltiplicatore di Schur ................................. 297
7.4.1 Rappresentazioni proiettive ......................... 298
7.4.2 Ricoprimenti ...................................... 300
7.4.3 M (7r) e presentazioni di 7r .......................... 305
8 Soluzione degli esercizi .................................... 311
8.1 Esercizi del Capitolo 1 ................................... 311
8.2 Esercizi del Capitolo 2 ................................... 313
8.3 Esercizi del Capitolo 3 ................................... 318
8.4 Esercizi del Capitolo 4 ................................... 326
8.5 Esercizi del Capitolo 5 ................................... 329
8.6 Esercizi del Capitolo 6 ................................... 335
8.7 Esercizi del Capitolo 7 ................................... 337
Bibliografia .................................................... 341
Indice analitico ................................................ 343
Notazioni
[~], 26 G', [G, G], 88 o(a), 16
A, 176 G/H, 44 O(n),272
[a, b], 88 [G: H], 27 Op(G), OP(G), 120
A·B,41 G(i), 232 Out(G),55
a9,93 GL(V), 12 Q, Q+(-), Q*, 5
ae, 94 GL(n, K), GL(n, q),13 R, R+(-), R*, 5
aO",6 G/ p, 26 Ps,248
An, 83 (G, il), 93 (S), 11
Aut(G), 36 Grr,275 SL(V), 13
Bl(X, Y), 278 19,53 SL(n, K), SL(n, q), 13
B2(X, Y), 291 ri(G), 200 SO(n), 272
B-l.., 177 [ri, G], 200 SU(n), 272
C, C*5 h(x),177 sn,8
Ce(x), 56 H, 160 Sylp(G), 106
Ce(H),64 Hl(X, Y), 278 Sa 6
Ce(1r),275 H2(X, Y), 291 Sldl , 8
Ce(H/K),209 H::; G, H < G, 9 QP,23
Xp, 253 H::::! G, H <l G, 44 U(n) (unità), 22
Xl = le, 253 H x K, H EB K , 71 U(n) (unitario), 272
cl(x),53 H", K, 63 V,13
Cn,20 HX,63 [Xl,X2,'" ,xn], 199
CpOO, 23 [H,K], 199 x'" y, 53
.1(G), 92 [Hl, H2,···, Hn]' 199 (X I R), 167
Dn,14 Hom(X, Y), 285 Z, 4
Doo,79 Homrr(X, Y), 285 Z(G), 55
End(G), 49 Im(<p) , 50 Zi, 200
F(G), 208 I(G), 54 Zn, 5
Fq,12 h,285 Z1r, 283
<p(n) , 22 Ker(<p), 49 z(r), 138
<J>(G) , 158 M(1r), 297 Zl(X, Y), 278
IGI,3 Ne(H),63 Z2(X, Y), 291
Ga,95 np, 106
1
Nozioni introduttive e primi teoremi
1.1 Definizioni ed esempi
1.1 Definizione. Un gruppo C è un insieme non vuoto nel quale è definita
un'operazione binaria, cioè una funzione
C x C -+ C,
tale che, denotando con ab l'immagine della coppia (a, b),
i) l'operazione è associativa: (ab)c = a(bc), per ogni tema di elementi
a,b,c E C;
ii) esiste un elemento e E C tale che ea = a = ae, per ogni a E C. Questo
elemento è unico. Infatti, se anche e' è tale che e' a = a = ae', per ogni a E C,
allora ee' = e e ee' = e', e dunque e' = e (la funzione C x C -+ C non può
associare due elementi diversi alla coppia (e, e'));
iii) per ogni a E C esiste x E C tale ax = e = xa.
Si dice allora che l'operazione così definita dà all'insieme C struttura di
gruppo. C, considerato soltanto come insieme, è il sostegno del gruppo.
L'elemento ab di C, associato alla coppia (a, b), si chiama prodotto dei due
elementi a e b (in quest'ordine). Altre notazioni sono a· b, a * b, a o b, e simili,
ovvero a + b; in quest'ultimo caso si parlerà di somma dei due elementi a e b.
Se si vuoI dare rilievo all'operazione si scrive C(·), C(+), ecc.
L'elemento e si chiama elemento neutro dell'operazione (nel senso che ope
rare con e è come non operare affatto). Altre denominazioni sono elemento
identico, identità o zero (quest'ultimo se l'operazione si denota additivamente)
e si hanno le notazioni 1 (ed è questa che useremo più frequentemente), I o
O (zero). Se il gruppo si riduce alla sola identità, allora si tratta del gruppo
identico C = {l}.
Dalle i), ii) e iii) segue la regola di cancellazione:
ab = ac :::} b = c e ba = ca :::} b = c.
Infatti, se ab = ac, sia x E C tale che xa = e; dalla x(ab) = x(ac) segue, per la
i), (xa)b = (xa)c e dunque eb = ec cioè b = c. L'altra implicazione è analoga.
A. Machì,
Gruppi
© Springer-Verlag Italia, Milano 2007
2 1 Nozioni introduttive e primi teoremi
In particolare, se ax = e = ay, allora x = y, ovvero: dato a, l'elemento x
di iii) è unico. Questo elemento si chiama inverso di a, e si denota con a-l
(nel caso della notazione additiva: opposto di a, e si denota con -a). Dalla
aa-l = e si ha anche che a è un inverso per a-l, e quindi l'unico; si ha perciò
La regola di cancellazione implica tra l'altro che la moltiplicazione per un
elemento del gruppo è una corrispondenza biunivoca, nel senso che se S è un
qualunque sottoinsieme di C, e x un elemento di C, la corrispondenza
S -+ Sx
tra S e li'nsieme dei prodotti Sx = {sx, s E S} è biunivoca. È chiaro che è
surgettiva (sx proviene da s), ed è iniettiva in quanto se sx = s' x, allora per
la regola di cancellazione s = s'. In particolare, prendendo per S tutto C si
ottiene, per ogni x E C, una corrispondenza biunivoca di C con se stesso, cioè
una permutazione dell'insieme C (v. oltre, Teor. 1.22).
1.2 Teorema (PROPRIETÀ ASSOCIATIVA GENERALIZZATA). I prodotti che si
ottengono in corrispondenza ai vari modi di associare n elementi di un gruppo
al, a2, ... ,an nell 'ordine scritto hanno tutti lo stesso valore.
Dim. Induzione su n. Per n = 1,2 non c'è niente da dimostrare. Sia allora
n > 2 e supponiamo il teorema vero per un prodotto che consti di meno di n
fattori. Occorre dimostrare che, per 1 < s < r < n,
(1.1)
Per ipotesi induttiva,
al·· .ar = (al ... as)(as+l ... ar) = ab,
asH ... an = (asH ... ar)(ar+l ... an) = bc,
e la (1.1) diventa (ab)c = a(bc), che è vera in virtù della proprietà associativa
del gruppo. <>
In particolare, scrivendo an per il prodotto di n volte a abbiamo, per m, n
interi non negativi,
(1.2)
ove si ponga aO = e. Scrivendo a-m = (a-l)m (prodotto di m volte a-l),
la prima delle (1.2) si ha anche per m e n negativi; se uno solo dei due è
negativo la stessa uguaglianza si ottiene sopprimendo gli elementi del tipo
aa-l (o a-la) che compaiono. Inoltre,