Gruppentheorie [Lecture notes]

83 Pages·2009·0.542 MB·German

by  Burkhard Külshammer

Gruppentheorie
Vorlesung im Wintersemester 1992/93
B. Ku¨lshammer
Ausarbeitung:
Markus Deiml
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Halbgruppen 3
Kapitel 2. Gruppen 5
Kapitel 3. Normalteiler und Faktorgruppen 11
Kapitel 4. Normalreihen und Gruppen mit Operatoren 15
Kapitel 5. Direkte Summen und Produkte 18
Kapitel 6. Direkte Zerlegungen 21
Kapitel 7. Kommutatoren 25
Kapitel 8. Au߬osbare und nilpotente Gruppen 28
Kapitel 9. Sylowgruppen 32
Kapitel 10. Einfache Anwendungen der Sylow-S¨atze 35
Kapitel 11. Die Frattinigruppe 39
Kapitel 12. Gruppenerweiterungen 42
Kapitel 13. Erweiterungen mit abelschem Kern 50
Kapitel 14. Erweiterungen mit nichtabelschem Kern 54
Kapitel 15. Freie Gruppen 61
Kapitel 16. Endliche p-Gruppen 64
Kapitel 17. Permutationsgruppen 68
Kapitel 18. Die Verlagerung 71
Kapitel 19. Endliche p-nilpotente Gruppen 75
Index 79
1

KAPITEL 1
Halbgruppen
1.1. Definition. Eine (innere) Verknu¨pfung auf einer Menge M ist eine Abbildung M ×M → M. Das
Bild von (a,b)∈M ×M schreibt man h¨aufig in der Form a∗b, a·b, a+b, ab.
Beispiel.
(i) Addition, Multiplikation, Subtraktion in Z, R, C.
(ii) DurchschnittundVereinigungaufderPotenzmengeP(X),derMengeallerTeilmengenderMenge
X.
(iii) ggT und kgV in N.
(iv) Komposition von Abbildungen auf der Menge Abb(X) aller Abbildungen X →X.
Bemerkung. Verknu¨pfungen auf kleinen Mengen kann man oft durch ihre Verknu¨pfungstafel angeben:
··· b ···
.. .. ∧ w f
. .
z.B. w w f
a ··· ab ···
f f f
. .
. .
. .
1.2. Definition. Gegeben sei eine Verknu¨pfung auf einer Menge M. Ein Element e ∈ M mit ae = a
(bzw. ea=a) fu¨r alle a∈M heißt rechtsneutral (bzw. linksneutral). Ist e rechtsneutral und linksneutral,
so nennt man e neutral.
Bemerkung. Ist e ∈ M linksneutral und f ∈ M rechtsneutral, so ist e = ef = f; insbesondere enth¨alt
M h¨ochstens ein neutrales Element.
Beispiel. 0 ist neutral in (Z,+), 1 in (Z, ·).
1.3. Definition. GegebenseieineVerknu¨pfungaufeinerMengeM.ZweiElementea,b∈M mitab=ba
nennt man vertauschbar. Sind je zwei Elemente in M vertauschbar, so nennt man M kommutativ oder
abelsch. Man nennt M eine Halbgruppe, falls alle a,b,c∈M das Assoziativgesetz erfu¨llen: (ab)c=a(bc).
Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man Monoid.
Beispiel.
(i) (N,+) ist abelsche Halbgruppe, (N ,+) ist abelsches Monoid.
0
(ii) Fu¨r jede Menge X ist Abb(X) ein Monoid mit neutralem Element id ; dabei ist id : X →
X X
X, x(cid:55)→x die identische Abbildung auf X.
(iii) A sei eine nichtleere Menge und W die Menge aller endlichen Folgen (a ,...,a ) von Elementen
1 m
a ,...,a ∈A (m∈N). Fu¨r (a ,...,a ),(b ,...,b )∈W definiert man
1 m 1 m 1 n
(a ,...,a )(b ,...,b ):=(a ,...,a ,b ,...,b ).
1 m 1 n 1 m 1 n
AufdieseWeisewirdW zueinerHalbgruppe.MannenntW diefreieHalbgruppeu¨berdemAlphabet
A. Die Elemente in W nennt man auch W¨orter in A, die in A Buchstaben. Statt (a ,...,a )
1 m
schreibt man kurz a ...a . Nimmt man zu W das leere Wort ε = () hinzu, so erh¨alt man das
1 m
freie Monoid W u¨ber A.
0
Bemerkung. DasneutraleElementbezeichnenwiroftmit1(oder0,fallswir+alsBezeichnungfu¨rdie
Verknu¨pfung w¨ahlen).
3
4 1. HALBGRUPPEN
1.4. Definition. Gegeben sei ein Monoid M und ein Element a ∈ M. Ein Element b ∈ M mit ab = 1
(bzw. ba=1) heißt rechtsinvers (bzw. linksinvers) zu a. Ist b rechtsinvers und linksinvers zu a, so nennt
man b invers zu a. Man nennt a dann auch rechtsinvertierbar bzw. linksinvertierbar bzw. invertierbar.
Bemerkung. Ist b ∈ M rechtsinvers zu a und c ∈ M linksinvers zu a, so ist b = 1b = (ca)b = c(ab) =
c1=c; insbesondere besitzt a h¨ochstens ein inverses Element. Dieses bezeichnet man mit a−1 (bzw. mit
−a, falls man + fu¨r die Verknu¨pfung schreibt). Mit a ist auch a−1 invertierbar, und (a−1)−1 = a. Sind
a,b∈M invertierbar, so auch ab, und (ab)−1 =b−1a−1.
1.5. Definition. IneinerHalbgruppeH definiertmanfu¨ra∈H undn∈Ndien-tePotenzvonadurch
an :=a...a (n Faktoren). Ist H Monoid, so definiert man außerdem a0 :=1. Ist a invertierbar, so setzt
man a−n :=(a−1)n fu¨r n∈N.
Bemerkung. Wie u¨blich ist dann jeweils aman =am+n und (am)n =amn. Sind a,b∈H vertauschbar,
so ist auch (ab)n =anbn.
KAPITEL 2
Gruppen
2.1. Definition. Eine Gruppe ist eine Halbgruppe G mit einem linksneutralen Element e, in der zu
jedem g ∈G ein h∈G existiert mit hg =e.
Bemerkung. Daraus folgt leicht, daß e neutrales Element und jedes Element in G invertierbar ist. Die
Anzahl der Elemente in G bezeichnet man als Ordnung |G| von G.
Beispiel.
(i) (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) sind abelsche Gruppen, jedoch nicht (N,+).
(ii) (Q\{0}, ·), (R\{0}, ·), (C\{0}, ·), (]0,∞[, ·) sind abelsche Gruppen, nicht jedoch (Z\{0}, ·)
oder (Q, ·).
(iii) {1} ist Gruppe bzgl. · , {0} Gruppe bzgl. +.
(iv) Fu¨r jede Menge X bilden die Bijektionen X → X eine Gruppe Sym(X) bzgl. der Komposition
vonAbbildungen.MannenntSym(X)diesymmetrische GruppeaufX undihreElementePermu-
tationen. Ist |X| = n < ∞, so ist |Sym(X)| = n!. Wir schreiben Sym(n) = Sym({1,...,n}) und
sprechen von der symmetrischen Gruppe des Grades n. Die Elemente in Sym(n) schreiben wir in
der Form f =(cid:0) 1 2 ··· n (cid:1), z.B. (123). Dann ist f−1 =(cid:0)f(1)f(2)··· f(n)(cid:1).
f(1)f(2)··· f(n) 321 1 2 ··· n
(v) Fu¨r n∈N und jeden K¨orper K (stets kommutativ) bilden die invertierbaren n×n-Matrizen mit
KoeffizienteninK eineGruppebzgl.·,dieallgemeinelineare GruppeGL(n,K)desGradesnu¨ber
K.
(vi) Fu¨r jede nichtleere Familie von Gruppen (G ) ist ihr direktes Produkt
i i∈I
(cid:89) ×
G := G ={(g ) :g ∈G fu¨r i∈I}
i i i i∈I i i
i∈I i∈I
(cid:81)
eineGruppe,wennmandefiniert:(g ) (h ) :=(g h ) fu¨r(g ) ,(h ) ∈ G .ImFall
i i∈I i i∈I i i i∈I i i∈I i i∈I i∈I i
n
I = {1,...,n} fu¨r ein n ∈ N schreibt man auch ×G = (cid:81)n G = G ×...×G statt ×G
i i=1 i 1 n i
i=1 i∈I
und (g ,...,g ) statt (g ) .
1 n i i∈I
2.2. Definition. Eine Abbildung f einer Gruppe G in eine Gruppe H nennt man
(i) Homomorphismus, falls f(ab)=f(a)f(b) fu¨r a,b∈G ist.
(ii) Monomorphismus, falls f ein injektiver Homomorphismus ist.
(iii) Epimorphismus, falls f ein surjektiver Homomorphismus ist.
(iv) Isomorphismus, falls f ein bijektiver Homomorphismus ist.
(v) Endomorphismus, falls f ein Homomorphismus und G=H ist.
(vi) Automorphismus, falls f ein bijektiver Endomorphismus ist.
Bemerkung. Fu¨r jeden Homomorphismus f : G → H ist f(1 ) = 1 und f(g−1) = f(g)−1 (g ∈ G).
G H
Fu¨r Gruppen G,H,K und Homomorphismen f : G → H, g : H → K ist auch g ◦f : G → K ein
Homomorphismus. Ist f ein Isomorphismus, so auch f−1 :H →G. Wir setzen
Hom(G,H) := {f :G→H :f Homomorphismus}
End(G) := Hom(G,G)
Aut(G) := {f ∈End(G):f bijektiv}
5
6 2. GRUPPEN
Beispiel.
(i) Fu¨r n∈Z ist die Abbildung (Z,+)→(Z,+), z (cid:55)→nz ein Homomorphismus.
(ii) Fu¨r n∈N ist der alternierende Charakter
(cid:89) g(i)−g(j)
sgn:Sym(n)→({1,−1}, ·), g (cid:55)→
i−j
i,j∈N
1≤i<j≤n
ein Homomorphismus. Fu¨r g ∈Sym(n) nennt man sgn(g) das Vorzeichen oder Signum von g. Ist
sgn(g)=1, so nennt man g gerade, sonst ungerade.
(iii) Fu¨r n ∈ N und jeden K¨orper K ist die Determinante det : GL(n,K) → (K \{0}, ·) ein Homo-
morphismus.
(iv) Fu¨r jede Gruppe G und jedes Element a ∈ G ist die Abbildung f : G → G, g (cid:55)→ aga−1 ein
a
Automorphismus von G. Man nennt f den von a induzierten inneren Automorphismus von G.
a
2.3. Definition. Man nennt zwei Gruppen G,H isomorph und schreibt G ∼= H, falls es einen Isomor-
phismus f :G→H gibt.
Bemerkung. Die Isomorphie von Gruppen ist eine A¨quivalenzrelation, d.h. es gilt:
(i) G∼=G (Reflexivit¨at).
(ii) G∼=H ⇒ H ∼=G (Symmetrie).
(iii) G∼=H ∧ H ∼=K ⇒ G∼=K (Transitivit¨at).
Beispiel. Fu¨r jeden K¨orper K und jeden K-Vektorraum V bilden die linearen Bijektionen f : V → V
bzgl. der Komposition von Abbildungen eine Gruppe GL(V), die allgemeine lineare Gruppe von V. Im
Fall dimV =n<∞ ist bekanntlich GL(V)∼=GL(n,K).
2.4. Definition. Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe G mit ab−1 ∈ H fu¨r a,b ∈ H nennt man
eine Untergruppe von G.
Bemerkung. IndiesemFallist1 ∈H,undH wirdmitderentsprechendeingeschr¨anktenVerknu¨pfung
G
selbst zu einer Gruppe. Wir schreiben H ≤G (bzw. H <G im Fall H (cid:54)=G).
Beispiel.
(i) In jeder Gruppe G sind {1} und G Untergruppen. Wir schreiben 1 statt {1} und nennen 1 die
triviale Untergruppe von G. Untergruppen H von G mit H (cid:54)= G nennen wir echte Untergruppen
von G. Eine echte Untergruppe M von G nennt man maximale Untergruppe von G, falls keine
Untergruppe H von G mit M <H <G existiert. Eine nichttriviale Untergruppe N von G nennt
man minimale Untergruppe von G, falls keine Untergruppe H von G mit 1<H <N existiert. Es
gibt Gruppen, die weder minimale noch maximale Untergruppen enthalten.
(cid:84)
(ii) Fu¨r jede nichtleere Familie (H ) von Untergruppen einer Gruppe G ist H ≤G. Insbeson-
i i∈I i∈I i
dere ist fu¨r jede Teilmenge X von G der Durchschnitt aller Untergruppen H von G mit X ⊆ H
eine Untergruppe (cid:104)X(cid:105) von G. Man nennt (cid:104)X(cid:105) die von X erzeugte Untergruppe von G. Sie besteht
aus allen Elementen der Form
xε1...xεn mit n∈N , x ,...,x ∈X, ε ,...,ε ∈{±1}.
1 n 0 1 n 1 n
(ImFalln=0mußmandasProduktals1interpretieren).ImFallX ={a ,...,a }schreibtman
1 n
auch (cid:104)a ,...,a (cid:105) statt (cid:104)X(cid:105). Ist G=(cid:104)X(cid:105), so nennt man X ein Erzeugendensystem von G. Besitzt
1 n
G ein endliches Erzeugendensystem, so nennt man G endlich erzeugt. Ist G = (cid:104)a(cid:105) fu¨r ein a ∈ G,
so nennt man G zyklisch.
(cid:81)
(iii) Fu¨r jede nichtleere Familie (G ) von Gruppen bilden die Elemente (g ) ∈ G mit |{i∈
i i∈I i i∈I i∈I i
(cid:96) (cid:81)
I : g (cid:54)= 1}| < ∞ eine Untergruppe G von G , die man das eingeschr¨ankte direkte
i i∈I i i∈I i
Produkt von (G ) nennt.
i i∈I
(iv) Fu¨r jede Gruppe G ist Aut(G)≤Sym(G). Man nennt Aut(G) die Automorphismengruppe von G.
(v) (Z,+)≤(Q,+)≤(R,+)≤(C,+), (Q\{0}, ·)≤(R\{0}, ·)≤(C\{0}, ·).
2. GRUPPEN 7
(vi) Fu¨rjedenHomomorphismusvonGruppenf :G→H undbeliebigeUntergruppenU ≤G, V ≤H
istf(U)≤H undf−1(V)≤G;insbesondereistBild(f):=f(G)≤H undKer(f):=f−1({1 })=
H
{g ∈ G : f(g) = 1} ≤ G. Man nennt Bild(f) das Bild und Ker(f) den Kern von f. Genau dann
ist f injektiv, wenn Ker(f)={1 } ist.
G
(vii) Fu¨r n ∈ N nennt man den Kern Alt(n) von sgn : Sym(n) → {±1} die alternierende Gruppe des
Grades n, und fu¨r jeden K¨orper K nennt man den Kern SL(n,K) von det:GL(n,K)→K\{0}
die spezielle lineare Gruppe des Grades n u¨ber K.
Fu¨r n ∈ N ist das Bild nZ von Z → Z, z (cid:55)→ nz eine Untergruppe von Z. Man zeigt leicht, daß
0
man auf diese Weise alle Untergruppen von Z erh¨alt.
(viii) Ist G eine Gruppe und f der von a ∈ G induzierte innere Automorphismus von G, so ist die
a
Abbildung F :G→Aut(G),a(cid:55)→f ein Homomorphismus. Sein Bild Inn(G) ist eine Untergruppe
a
vonAut(G),seinKernZ(G)eineUntergruppevonG.OffensichtlichistZ(G)={a∈G:aga−1 =
g fu¨r g ∈G}={a∈G:ag =ga fu¨r g ∈G}.MannenntInn(G)dieinnereAutomorphismengruppe
und Z(G) das Zentrum von G.
2.5. Definition. Fu¨r Teilmengen X,Y einer Gruppe G setzt man XY := {xy : x ∈ X, y ∈ Y} und
X−1 :={x−1 :x∈X}.
Bemerkung. Dannist(X−1)−1 =X, (XY)−1 =Y−1X−1 undX(YZ)=(XY)Z fu¨rX,Y,Z ≤G,und
es gilt: X ≤G ⇔ X (cid:54)=∅ und XX−1 ⊆X.
Satz. Fu¨r Untergruppen U,V,W einer Gruppe G gilt:
(i) U ∪V ≤G ⇔ U ⊆V oder V ⊆U.
(ii) UV ≤G ⇔ UV =VU.
(iii) U ⊆W ⇒ UV ∩W =U(V ∩W) (Dedekind-Identit¨at).
Beweis. Algebra. (cid:3)
2.6. Definition. Eine Operation (action) einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω ist eine Abbil-
dung G×Ω→Ω,(g,ω)(cid:55)→ gω mit folgenden Eigenschaften:
(i) 1ω =ω.
(ii) a(bω)= abω fu¨r a,b∈G, ω ∈Ω.
Man sagt auch: G operiert auf Ω“ oder Ω ist eine G-Menge“.
” ”
Bemerkung.
(i) In diesem Fall erh¨alt man eine A¨quivalenzrelation ∼ auf Ω, wenn man fu¨r α,β ∈Ω definiert:
α∼β :⇔ gα=β fu¨r ein g ∈G.
DieA¨quivalenzklassenbzgl.∼nenntmandieBahnen(orbits)vonΩunterG.Fu¨rω ∈Ωbezeichne
Orb (ω):={gω :g ∈G} die Bahn von ω unter G. Man bezeichnet |Orb (ω)| auch als L¨ange der
G G
Bahn von ω. Gibt es nur eine einzige Bahn, so nennt man die Operation transitiv.
(ii) Fu¨r jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes Element g ∈ G ist
die Abbildung τ : Ω → Ω, ω (cid:55)→ gω bijektiv. Ferner ist die Abbildung τ : G → Sym(Ω), g (cid:55)→ τ
g g
ein Homomorphismus. Man bezeichnet Ker(τ) auch als Kern der Operation. Im Fall Ker(τ) = 1
(bzw. Ker(τ)=G) nennt man die Operation treu (bzw. trivial).
(iii) UmgekehrtliefertjederHomomorphismusρeinerGruppeGineinesymmetrischeGruppeSym(Ω)
eine Operation von G auf Ω, indem man fu¨r g ∈G und ω ∈Ω definiert: gω :=(ρ(g))(ω).
(iv) Fu¨r jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes Element ω ∈ Ω ist
der Stabilisator Stb (ω) := {g ∈ G : gω = ω} von ω in G eine Untergruppe von G. Auf diese
G
Weiseverschafftmansichh¨aufigUntergruppeneinervorgegebenenGruppe.Fu¨rg ∈Gundω ∈Ω
gilt: Stb (gω) = gStb (ω)g−1. Sind (∆ ) die Bahnen von Ω unter G, so hat man die triviale,
G G i i∈I
aber nu¨tzliche Bahnengleichung:
(cid:88)
|Ω|= |∆ |.
i
i∈I
8 2. GRUPPEN
Beispiel.
(i) Jede Untergruppe H einer Gruppe G operiert auf G durch Linksmultiplikation: hg := hg (h ∈
H, g ∈G). In diesem Fall ist Orb (g)={hg :h∈H}=:Hg. Man bezeichnet Hg als Rechtsne-
H
benklassevong nachH undsetztH\G:={Hg :g ∈G}.Fernerbezeichnetman|G:H|:=|H\G|
als Index von H nach G. Fu¨r g ∈ G ist die Abbildung H → Hg, h (cid:55)→ hg bijektiv; insbesondere
ist |Hg|=|H|. Die Bahnengleichung liefert also:
|G|=|G:H|·|H| (Satz von Lagrange).
Im Fall |G|<∞ sind insbesondere |H| und |G:H| Teiler von |G|.
(ii) AnalogoperiertjedeUntergruppeH einerGruppeGaufGdurchRechtsmultiplikation:hg :=gh−1
(h∈H, g ∈G). In diesem Fall erh¨alt man als Bahnen die Linksnebenklassen gH :={gh:h∈H}
und setzt G/H := {gH : g ∈ G}. Die Abbildung G/H → H\G, gH → Hg−1 = (gH)−1 ist
bijektiv; insbesondere ist |G/H|=|G:H|.
(iii) Jede Gruppe G operiert auf P(G) durch Konjugation: gX := gXg−1 = {gxg−1 : x ∈ X}
(g ∈ G, X ⊆ G). Man nennt Orb (X) = {gXg−1 : g ∈ G} die Konjugationsklasse von X in
G
G. Teilmengen in der gleichen Bahn nennt man konjugiert (unter G). Fu¨r X ⊆ G nennt man
Stb (X) = {g ∈ G : gXg−1 = X} =: N (X) den Normalisator von X in G. Im Fall X ≤ G ist
G G
X ≤N (X) wegen xXx−1 ⊆X =xx−1Xxx−1 ⊆xXx−1 fu¨r x∈X.
G
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
⊆X
(iv) Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: gx = gxg−1 (g,x ∈ G). Man nennt
Orb (x) = {gxg−1 : g ∈ G} die Konjugationsklasse von x ∈ G in G. Elemente in der gleichen
G
Konjugationsklasse nennt man auch konjugiert (in G). Die Anzahl der Konjugationsklassen von
G bezeichnet man als Klassenzahl von G. Fu¨r x ∈ G nennt man Stb (x) = {g ∈ G : gxg−1 =
G
x} = {g ∈ G : gx = xg} =: C (x) den Zentralisator von x in G. Fu¨r X ⊆ G nennt man
G
(cid:84)
C (X) := C (x) = {g ∈ G : gx = xg fu¨r x ∈ X} den Zentralisator von X in G. Offenbar
G x∈X G
ist C (X)≤N (X) und C (G)=Z(G).
G G G
(v) Jede Gruppe G operiert auf G/H fu¨r jede Untergruppe H von G durch Linksmultiplikation:
g(xH)=gxH (g,x∈G). Diese Operation ist transitiv mit Kern
{g ∈G:gxH =xH fu¨r x∈G} = {g ∈G:x−1gxH =H fu¨r x∈G}
= {g ∈G:x−1gx∈H fu¨r x∈G}
= {g ∈G:g ∈xHx−1 fu¨r x∈G}
(cid:92)
= xHx−1 =: Core (H).
G
x∈G
Man bezeichnet Core (H) als Kern von H in G.
G
(vi) Fu¨rUntergruppenH,K einerGruppeGoperiertH×K aufG:(h,k)g :=hgk−1(g ∈G, h∈H, k ∈
K).DieBahneinesElementsg ∈GistdanndieDoppelnebenklasseHgK ={hgk :h∈H, k ∈K}.
Wir setzen H\G/K = {HgK : g ∈ G}. Im allgemeinen sind weder |HgK| noch |H\G/K| Teiler
von |G| (im Fall |G|<∞). Fu¨r h∈H und g ∈G ist hgK ⊆HgK. Fu¨r h,h(cid:48) ∈H und g ∈G gilt
ferner:
hgK =h(cid:48)gK ⇔ g−1h−1h(cid:48)gK =K ⇔ g−1h−1h(cid:48)g ∈K
⇔ h−1h(cid:48) ∈gKg−1 ⇔ h−1h(cid:48) ∈H ∩gKg−1
⇔ h−1h(cid:48)(H ∩gKg−1)=H ∩gKg−1
⇔ h(cid:48)(H ∩gKg−1)=h(H ∩gKg−1).
Daher ist jede Doppelklasse HgK disjunkte Vereinigung von |H :H∩gKg−1| Linksnebenklassen
nach K und analog disjunkte Vereinigung von |K : K ∩ g−1Hg| Rechtsnebenklassen nach H;
insbesondere ist |HgK|=|H :H ∩gKg−1|·|K|=|K :K∩g−1Hg|·|H|.
2.7. Satz. Fu¨r Untergruppen H,K einer Gruppe G gilt:
2. GRUPPEN 9
(i) K ≤H ⇒ |G:K|=|G:H|·|H :K| (Lagrange). Insbesondere sind |G:H| und |H :K| im Fall
|G:K|<∞ Teiler von |G:K|.
(ii) HK ist disjunkte Vereinigung von |H :H ∩K| Linksnebenklassen nach K und disjunkte Vereini-
gung von |K :H ∩K| Rechtsnebenklassen nach H.
(iii) |HK|=|H :H ∩K|·|K|=|K :H ∩K|·|H|.
(iv) |H :H ∩K|≤|G:K|.
(v) |H :H ∩K|=|G:K|<∞ ⇒ G=HK =KH.
(vi) |G:H ∩K|≤|G:H|·|G:K|.
(vii) |G:H ∩K|=|G:H|·|G:K|<∞ ⇒ G=HK =KH.
(viii) |G:H|,|G:K| endlich und teilerfremd ⇒ |G:H ∩K|=|G:H|·|G:K|.
Beweis.
• • •
(cid:83) (cid:83) (cid:83)
(i) Wir schreiben G = rH und H = sK. Dann ist G = rsK, also |G : K| =
r∈R s∈S r∈R, s∈S
|R|·|S|=|G:H|·|H :K|.
(ii),(iii) Setze g :=1 in Beispiel 2.6(vi).
(iv) folgt aus (ii) wegen HK ⊆G.
(v) Im Fall |H :H∩K|=|G:K|<∞ folgt aus (ii): G=HK. Mit Satz 2.5(ii) ergibt sich G=KH.
(vi) Nach (i) und (iv) ist |G:H ∩K|=|G:H|·|H :H ∩K|≤|G:H|·|G:K|.
(vii) ImFall|G:H∩K|=|G:H|·|G:K|<∞zeigtdieArgumentationin(vi):|H :H∩K|=|G:K|.
Mit (v) folgt G=HK =KH.
(viii) Nach (i) und (iv) ist |G:H|·|H :H ∩K|=|G:H ∩K|=|G:K|·|K :H ∩K|≤|G:K|·|G:
H| < ∞. Sind |G : H| und |G : K| teilerfremd, so ist |G : K| Teiler von |H : H ∩K|. Aus (iv)
folgt daher |G:K|=|H :H ∩K|, und man hat |G:H ∩K|=|G:H|·|G:K|.
(cid:3)
2.8. Satz. Fu¨r jede Operation einer Gruppe G auf einer nichtleeren Menge Ω und jedes ω ∈ Ω ist
die Abbildung G/Stb (ω) → Orb (ω), gStb (ω) (cid:55)→ gω wohldefiniert und bijektiv; insbesondere ist
G G G
|Orb (ω)|=|G:Stb (ω)|, und dies teilt |G| im Fall |G|<∞.
G G
Beweis. Algebra. (cid:3)
Bemerkung. Sind ∆ (i∈I) die Bahnen von Ω unter G und w¨ahlt man aus jedem ∆ ein Element ω ,
i i i
so kann man also die Bahnengleichung auch in der Form
(cid:88)
|Ω|= |G:Stb (ω )|
G i
i∈I
schreiben.
Beispiel. JedeTeilmengeX einerGruppeGbesitztgenau|G:N (X)|KonjugierteinG.Analogenth¨alt
G
die Konjugationsklasse eines Elementes x∈G genau |G:C (x)| Elemente. Die Bahnengleichung wird in
G
diesem Fall zur Klassengleichung:
(cid:88)
|G|= |G:C (x )|.
G i
i∈I
Dabei ist (x ) ein Repr¨asentantensystem fu¨r die Konjugationsklassen von G.
i i∈I
2.9. Definition. Fu¨rjedesElementg einerGruppeGbezeichnetman|(cid:104)g(cid:105)|alsOrdnungvong.Elemente
der Ordnung 2 nennt man Involutionen. Ist |(cid:104)g(cid:105)| < ∞ und π eine Menge von Primzahlen, die alle
Primteiler von |(cid:104)g(cid:105)| enth¨alt, so nennt man g ein π-Element. Ist jedes Element in G ein π-Element, so
nenntmanGeineπ-Gruppe.BestehtπausgenaueinerPrimzahlp,sosprichtmanku¨rzervonp-Elementen
und p-Gruppen.
Bemerkung.