Gruppen, Ringe, Körper: Die grundlegenden Strukturen der Algebra

205 Pages·1999·14.535 MB·German

by  Heinz Lüneburg

#
Gruppen,
Ringe, Körper
Die grundlegenden Strukturen der Algebra
von
Heinz Lüneburg
R. Oldenbourg Verlag München Wien 1999
DieDeutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme
-
Lüneburg, Heinz:
Gruppen, Ringe, Körper : diegrundlegenden Strukturen derAlgebra/
von HeinzLüneburg. München ; Wien : Oldenbourg, 1999
ISBN 3-486-24977-0-
© 1999 R. OldenbourgVerlag
RosenheimerStraße 145, D-81671 München
Telefon: [phone], Internet: http://www.oldenbourg.de
Das Werkeinschließlich allerAbbildungen isturheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung
außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen.
Mikroverfilmungen und dieEinspeicherungund Bearbeitung in elektronischen Systemen.
Lektorat: AndreasTürk
Herstellung: RainerHaiti
Satz: HeinzLüneburg, Kaiserslautern
Umschlagkonzeption: KraxenbergerKommunikationshaus, München
Gedrucktaufsäure- und chlorfreiem Papier
Gesamtherstellung: R. OldenbourgGraphische BetriebeGmbH. München
Vorwort
Ohne Internet gäbe es dieses Buch nicht. Die Beschreibung meiner Vorlesung gleichen
Namens aufmeiner Homepage veranlassteHerrn Andreas Türk, Lektordes Oldenbourg
Verlages, mich zu fragen, ob ich diese Vorlesung nicht publizieren wolle. Nach einigem
Zögern nahm ich den Vorschlag an. Das Zögern rührte daher, dass ich mit einem sehr
umfangreichen Buchprojekt zur Geschichte der Körpertheorie beschäftigt bin. Doch
nach einigem Überlegen unterbrach ich die Arbeit an genanntem Projekt und schrieb
dieses Buch auf. Dabei kam mir zugute, dass ich meine Vorlesungen schon seit Jahren
sorgfältig aufschreibe, so dass ich mit dem Formulieren keine Zeit mehr verlor.
Was ist das Besondere an diesem Buch? Sicherlich die ersten Abschnitte über das
Auswahlaxiom und die Maximumprinzipien der Mengenlehre. Der Algebraiker benutzt
meist das zornsche Lemma, doch an manchen Stellen bieten sich andere Maximumprin-
zipien als die viel natürlicheren Werkzeuge an. Ich möchte daher aufkeines verzichten.
Den Abschnitt über Unabhängigkeitsstrukturen finde ich sehr reizvoll. Hinter ihm
verbergen sich unter anderem die Mengen linear unabhängiger Teilmengen von Vek-
torräumen, die Wälder genannten Teilstrukturen von Graphen und die Mengen alge-
braisch unabhängiger Teilmengen von Körpererweiterungen, welch letztere Gegenstand
unserer Untersuchungen im vorletzten Abschnitt sein werden. Die allgemeine Theorie
liefert dann Existenz und Gleichmächtigkeit von Basen in all diesen Fällen.
Sieht man sich an, was heute alles unter dem Begriff Algebra subsumiert wird, so
ist kaum noch zu erkennen, dass die Frage nach der Auflösbarkeit von algebraischen
Gleichungen durch Radikale am Anfang der Algebra stand. Lineare Gleichungssys-
teme wurden von Beginn an mit immer größerer Virtuosität gelöst. Auch Gleichungen
zweiten Grades boten nie Schwierigkeiten bei ihrer Lösung. Für Gleichungen dritten
und vierten Grades fanden erst Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, Girolamo Car-
dano und Ludovico Ferrari im 16. Jahrhundert Lösungsformeln. Doch Gleichungen
fünften und höheren Grades boten scheinbar unüberwindliche Schwierigkeiten. Die Un-
tersuchungen von Joseph Louis Lagrange, Paolo Ruffini und insbesondere Niels Hen-
rik Abel und Evariste Galois vom Ende des 18. bzw. Anfang des 19. Jahrhunderts
zeigten dann schließlich, dass Gleichungen mit rationalen Koeffizienten nicht immer
durch Radikale lösbar sind. Dabei stellte sich heraus, dass es wichtig ist, zu fixieren,
woher die Koeffizienten der Gleichungen stammen, so wie gerade geschehen, da wir von
rationalen Koeffizienten sprachen. Dass dies wirklich wichtig ist, sieht man daran, dass
über dem Körper der reellen Zahlen irreduzible Gleichungen den Grad 1 oder 2 haben,
also durch Radikale lösbar sind. Hier beginnt implizit, was wir heute Körpertheorie
nennen.
Als man mit der Frage nach der Auflösbarkeit von algebraischen Gleichungen durch
Radikale nicht weiter kam, stellte man andere Fragen, zum Beispiel die, ob Gleichungen
überhaupt Lösungen haben und woman sie zu suchen habe. Die Antwort hieraufist der
Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jede algebraische Gleichung über dem
vi Gruppen, Ringe, Körper
Körper der komplexen Zahlen eine Lösung in diesem Körper hat. Alle Beweise dieses
Satzes erste Beweisversuche unterschiedlicher Qualität stammen von Jean-Baptiste
leRond—d'Alembert, Leonhard Euler, Joseph LouisLagrange,PierreSimon Laplaceund
Carl Friedrich Gauß aus dem 18. Jahrhundert, erste Beweise von Jean Robert Argand
& Augustin-Louis Cauchy und Gauß aus dem 19. Jahrhundert sind Existenzbeweise
und geben bestenfalls Hinweise, wie man die Lösungen approxi—mieren kann. Sie liefern
keinen BeitragzurerstenFrage. Einen sehreleganten Beweis dieses Satzes, dervon Emil
Artin und Otto Schreier stammt, findet der Leser hier wiedergegeben. Er macht vom
Hauptsatz der Galoistheorie Gebrauch, der einen Zusammenhang herstellt zwischen
der Menge der Lösungen einer algebraischen Gleichung und ihrer Galoisgruppe. Die
Gruppen, die zu Gleichungen gehören, die durch Radikale lösbar sind, lassen sich rein
gruppentheoretisch beschreiben. Diese Gruppen heißen naturgemäß auflösbare Grup-
pen und sind schon seit langem Gegenstand eigenständiger gruppentheoretischer Un-
tersuchungen.
Die Abschnitte des vorliegenden Buches über Gruppen dienen nun dazu, die galois-
sche Theorie, die, wie schon gesagt, jeder algebraischen Gleichung eine Gruppe zuord-
net, mit Leben zu erfüllen. Die Einfachheit der alternierenden Gruppen vom Grade
größer als vier zeigen die Nichtauflösbarkeit der symmetrischen Gruppen entsprechen-
den Grades, so dass man sehr rasch zu Gleichungen kommt, die nicht durch Radikale
lösbar sind. Um diese Beispiele zu konstruieren, bedient man sich der Polynomringe
in n Unbestimmten über einem Körper und ihrer Quotientenkörper sowie der Ringe
der symmetrischen Polynome und deren Quotientenkörper, so dass auch diese Gegen-
stand unserer Untersuchungen sein werden. Diese Beispiele lösen aber nicht das alte
Problem, ob nicht vielleicht doch algebraische Gleichungen über dem Körper der ra-
tionalen Zahlen immer durch Radikale lösbar sind. Sie sind es nicht, wie an Hand von
irreduziblen Gleichungen von Primzahlgrad gezeigt wird.
Polynomringe werden sorgfältig definiert und ihre grundlegenden Eigenschaften be-
wiesen. Kommt man dann zu den Mengen algebraisch unabhängiger Mengen, so stellt
sich heraus, dass man auch etwas über die feinere Struktur der Polynomringe wissen
muss, dass sie nämlich Integritätsbereiche sind, in denen der Satz von der eindeuti-
gen Primfaktorzerlegung gilt. Dieses Wissen wird in dem Abschnitt über ggT-Bereiche
bereitgestellt. In den letzten beiden Abschnitten schließlich wird dann auf die men-
gentheoretischen Methoden zurückgegriffen, über die zu Anfang berichtet wurde. Ins-
besondere wird im letzten Abschnitt gezeigt, dass jeder Körper einen algebraischen
Abschluss hat.
In den Aufgaben wird manches dargestellt, was in anderen Texten integriert er-
scheint. Der Leser nehme die Aufgaben daher zumindest zur Kenntnis. Bei ihrer Aus-
wahl war Frau Dr. PetraMeyereinegroßeHilfe. Siebetreutedie Übungenzur Vorlesung
und reagierte sehr sensibel aufdie Lücken und Schwierigkeiten der Teilnehmer, so dass
die Aufgaben zum Teil gezielt auf deren Probleme eingingen in der Hoffnung, sie zu
beseitigen. So erklärt sich insbesondere auch die Vielzahl von Aufgaben, die Metho-
den der linearen Algebra zu ihrer Lösung erfordern. Ich nehme an, dass der Leser sie
begrüßen und zur Festigung seiner Kenntnisse in linearer Algebra nutzen wird.
FrauMeyerlasundkritisierteauchdenText diesesBuches, worausvieleVerbesserun-
gen des Textes sowiedes Indexes resultierten. Ihr sei auch an dieser Stelle recht herzlich
Vorwort vii
für ihre Unterstützung gedankt
Die grobe Skizze, die ich oben. machte, um ein wenig den Hintergrund dieses Buches
zu erhellen, kommt aus der Unternehmung, die ich unterbrochen habe, um dieses Buch
zu schreiben. Wer mehr über jene Unternehmung wissen möchte, schaue sich meine
Homepage auf dem Netz an. Die Adresse ist
www.mathematik.uni-kl.de/~luene
und dann weiter zu: Bücher, die ich geschrieben habe und noch schreiben möchte.
Es bleibt mir nur noch, dem Buch viele Leser zu wünschen, und Ihnen, lieber Leser,
dass Sie an diesem Buch Gefallen finden.
Kaiserslautern, im Oktober 1998 Heinz Lüneburg

1. Relationen und Abbildungen
Wir gehen mit dem Begriff der Menge und der Relation „ist Element von" ganz
naiv um, dh., wir machen keine Axiomatik der Mengenlehre. Dennoch wollen wir
ein wenig mehr über die Begriffe „Relation" und „Abbildung" reflektieren als dies
in Anfängervorlesungen und einführenden Algebravorlesungen und den einschlägigen
Büchern gemeinhin üblich ist. Zunächst wollen wir mit Kuratowski zeigen, dass man
den Begriffdes geordneten Paares aufmengentheoretische Begriffe zurückführen kann.
Es seien A und B Mengen. Ist a € A und b G B, so definieren wir das geordnete
Paar (a,b) durch
(a,6) {{a},{a,b}}.
:=
Es ist also (a,b) die Menge aus den beiden Mengen {a} und {a,b}. Ist a = b, so sind
sie nicht verschieden. Es gilt der wichtige
Satz von der eindeutigen Lesbarkeit. Es seien A und B Mengen. Sind a, o! G A
und b, b' G B, so gilt genau dann [a,b) = (a',b'), wenn a = a' und b = b' ist.
Beweis. Ist a = a' und b = b1, so ist natürlich (a,b) = {a',b'). Es sei also (a,b) =
(a1,b'). Dann ist
{a} = {a}n{a,b} = f] x = f) x = {a1} n {a',b'} = {a1}.
xe(a,b) xe(a',b')
Also ist a = a'. Ferner ist
{a,b} = {a}Ll{a,b} = [j x = {J x = {a1} U {a\b'} = {o',6'}.
x(z(a,b) x£(a',br)
Es folgt b' G {a,b}. Ist b' = b, so sind wir fertig. Es sei also b' a. Wegen a = a' ist
dann b' = a' und somit —
{a,b} {a',b'} {a',a'} {a'} {a}.
= = = =
Also ist b = a und folglich auch hier b' = b. Damit ist alles bewiesen.
Sind A und B Mengen, so setzen wir
Ax B := {{a,b) | a G A,b G B).
Die Menge A x B heißt cartesisches Produkt der Mengen A und B. Ist A = 0 oder
B = 0, so ist auch A x B = 0.
Sind A und B Mengen und ist R C ,4x B, so nennen wir R binäre Relation zwischen
A und B. Da wir meist nur binäre Relationen betrachten, lassen wir das Adjektiv
„binär" fast immer weg.
2 Gruppen, Ringe, Körper
Ist A eine Menge, so setzen wir
1A := {(a,a) | a £ .4}.
Dann nennt man 1^ C .4 x A je nach Kontext die Diagonale von A oder die Identität
auf -4. Offenbar ist 1^ die Gleichheitsrelation aufA. Ist nämlich (a,b) £ 1,4, so gibt es
ein c G A mit (a,6) = (c,c). Mit dem Satz von der eindeutigen Lesbarkeit folgt daher
a = c = b.
Sind .A, 73, C drei Mengen, ist R C .4 x 7? und 5 C 73 x C, so definieren wir die
Relation 7?o 5 zwischen A und C durch
Ro S := {x | es gibt o £ 5,c6 C mit (a,b) G R, {b,c) G S und £ = (a,c)}.
RoSheißt Produkt der Relationen 7? und 5. Die Operation o heißt auch Multiplikation
von Relationen.
Satz 1. Es seien A und B zwei Mengen. Ist R C A x B, so ist lA ° R = R = R° Iß
Beweis. Es sei x G 7?, also £ = (a,6) mit a £ A und 6 G 73. Wegen (a,a) G 1,4 ist
dann (a,b) G l/i o7?. Also ist R C lA o7?. Es sei y G 1^o7?. Wegen 1,4 oR C ^4 x 73 gibt
es ein a G A und ein 6 G 73 mit y = (a,b). Es gibt aber dann ein a' G A mit (a,a') G l..i
und (a',b) G 7?. Mit dem Satz von der eindeutigen Lesbarkeit folgt a = a' und damit
(a,b) G R. Die zweite Aussage beweist sich analog.
Satz 2. Es seien A, 73, C, D Mengen. Ist R C .4 x 73, S C 73 x C imd T C C x D, so
ist
{R°S)oT Ro(S°T).
=
Die Verknüpfung von Relationen ist also assoziativ.
Beweis. Es sei x G 7?o (5oT). Es gibt dann a G 4, b G 73 und d £ D mit x = (a,d)
und (a,b) £ R und (&,d) G SoT\ Es gibt weiter ein c £ C mit (6,c) £ S und (c,d) £ T.
Es folgt (a,c) G RoS und damit (a,d) G (7?o5) oT. Also ist 7?o(5oT) C (7?o5) oT.
Es sei y G (7? o 5) o T. Es gibt dann a £ A, 7 G C und 8 £ D mit ?/ = (a,6) und
(q,7) G 7? o S und (7,6) £ T. Es gibt weiter ein ß £ 73 mit (a,ß) £ R und (/3,7) G 5.
Es folgt (/3,<5) £ SoT und weiter (a,<J) G Ro(SoT). Also ist {RoS) oT C Ro (SoT).
Insgesamt also (7? o 5) o T = Ro (5 o T).
Ist 7? C .4 x 73, so setzen wir
7?A- {(6,a) | («,i)eJ?}
:=
und nennen Rk die zu 7? konverse Relation. Es gilt (Rk)k = R.
Satz 3. SindA, 73, C Mengen, ist R C AxB undS C BxC, so ist (RoS)k = SkoRk.
Beweis. Es sei x £ (RoS)k. Es gibt dann ein a £ A und ein c £ C mit (o,c) G 7?o5
und x = (c,a). Es gibt folglich ein 6 G 73 mit (a,b) £ R und (6,c) G 5. Es ist somit
(c,b) £ Sk und (b,a) £ Rk. Es folgt (c,a) G 5A' o 7?fr. Also ist
{RoS)k 5A' o7?fc.
C
1. Relationen und Abbildungen 3
Nach dem gerade Bewiesenen ist
{SkoRk)k C RkkoSkk =R°S.
Nun folgt aus X C Y C A x 73, dass Xk C Yk ist. Also gilt auch
Sk oRk (Sk Rk)kk C(Ro S)k.
= o
Damit ist alles bewiesen.
Ist R eine Relation zwischen ,4 und B und ist A C A', so ist auch 7? C .4' x 73, so
dass 7? auch eine Relation zwischen A1 und 73 ist. In diesem Zusammenhang kann 7?
durchaus andere Eigenschaften haben. Es ist also stets wesentlich zu wissen, zwischen
welchen Mengen R Relation ist. Dass dies wesentlich ist, zeigt der folgende Satz.
Satz 4. Es seien A und 73 Mengen. Ferner sei R C A x 73.
a) Genau dann ist 1a C R o Rk, wenn es zu jedem a £ A ein b £ 73 gibt mit
(a,b) G R.
b) Genau dann ist lß Q Rk o R, wenn es zu jedem b G 73 ein a G A gibt mit
(a,b) G 7?.
Beweis, a) Es sei 1a Q Ro Rk. Ferner sei a G A. Dann ist (a,a) G l^i und somit
(o,a) £ Ro Rk. Es gibt also ein b £ 73 mit (a,i>) G TZ und, was wir nicht brauchen,
(b,a) £ Rk. Dies zeigt die Existenz von b.
Es gebe umgekehrt zu jedem a £ A ein b £ 73 mit (o,b) £ R. Dann ist natürlich
(a,a) £ RoRk und folglich lAQRoRk.
b) Vertauscht man in a) die Rollen von A und 73 und ersetzt 7? durch 7?^, so gibt
es also zu b £ 73 genau dann stets ein a £ A mit (b,a) £ Rk, dh., mit (a,b) £ R, wenn
1B C Rk oRkk = Rk oR
ist.
Satz 5. Es seien A und 73 Mengen und es sei R C A x 73.
a) Genau dann ist Ro Rk C 1a, wenn es zu b £ 73 höchstens ein a £ A gibt mit
(a,b) £ R.
b) Genau dann ist Rk o R C 1b, wenn es zu a £ A höchstens ein b £ 73 gibt mit
(a,b) £ R.
Beweis, a) Es sei Ro Rk C 1a. Ferner seien (a,b), (a',b) £ R. Dann ist (a,b) £ R
und (6,a') £ Rk. Es folgt (a,a') £ Ro Rk C 1a. Dies hat wiederum a = a1 zur Folge.
Es gebe umgekehrt zu jedem b £ 73 höchstens ein o G A mit (a,6) G R. Es sei
a; G 7? o 7?*. Es gibt dann ein b £ 73 und a. a' £ A mit x = (a,a') und (a,b) £ R und
(6,a') G 7?*. Es folgt (o,6), (a',6) G 7? und daher a = a', so dass x £ 1a ist. Damit ist
a) bewiesen.
b) folgt mittels a), wenn man die Rollen von Aund 73 vertauscht, Rdurch Rk ersetzt
und Rkk = R beachtet.
Es seien A und 73 Mengen und a C .4 x 73 sei eine binäre Relation zwischen A und
73. Genau dann heißt a Abbildung von A nach 73, falls gilt: