Grundzüge der Tensorrechnung in Analytischer Darstellung: In Drei Teilen I. Teil: Tensoralgebra

178 Pages·1968·5.81 MB·German

by  Dr. Phil. Adalbert Duschek

GRUNDZOGE
DER TENSORRECHNUNG
IN ANALy TISCHER
DARSTELLUNG
VON
DR. PHIL. ADALBERT DUSCHEK
WEILAND O. PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN
UND
DR. TECHN. AUGUST HQCHRAINER
A. O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN
DIREKTOR DES HOCHSPANNUNGSINSTITUTES UND DER HOCHSPANNUNGS
SCHALTGERATEFABRIK DER AEG I. R.
DIREKTOR DES INSTITUTES FOR HOCHSPANNUNGSTECHNIK
DER RHEINISCH-WESTFALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN
IN DREI TELLEN
I. TElL: TENSORALGEBRA
MIT 34 TEXTABBILDUNGEN
FONFTE, UNVERA.NDERTE AUFLAGE
1968
SPRINGER·VERLAG
WIEN· NEW YORK
ISBN-13: 978-3-211-80858-0 e-ISBN-13: 978-3-7091-8188-1
001: 10.1007/978-3-7091-8188-1
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TiteJ-Xr. ~1~:.!
Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende Buch ist einer leider recht seltenen ,Arbeits~
gemeinschaft entsprungen. Ein Mathematiker, der wwrend der
Kriegszeit zwar unfreiwillig, aber durchaus nicht ungem vor die
Notwendigkeit gestellt war, sich gewissermaBen Hals iiber Kopf
in die Elektrotechnik zu stiirzen, und ein wirklich mitten in der
Praxis stehender Techniker und Leiter der Forschungsabteilung
eines groBeren Untemehmens der Starkstromtechnik, der wieder
von seinen technischen Problemen aus ge~wungen war, immer
tiefer auch in die "reine Mathematik" hineinzusteigen, legen hie
mit ein Ergebnis ihrer Zusammenarbeit vor, deren Besonderheit
das Abgehen von der gebrauchlichen Darstellung der Vektor
rechnung und der konsequente Aufbau einer neuen Art der Dar
stellung ist, die zwar an und fiir sich nicht neu ist, aber doch
bisher nicht in vollem Umfang durchgefiihrt wurde. Unsere
Erfahrungen damit waren so positiv, daB wir glauben, daB ihre
weitere Verbreitung sich allgemein dahingehend auswirken konnte,
die Scheu besonders des Technikers vor der praktischen Anwendunp
der Vektor- und Tensorrechnung zu iiberwinden. Das endgiiltigf'
Urtell wird auch hier, wie in allen Fragen der Darstellung und
der Methode, von der Erfahrung gesprochen werden.
Die vorliegende Lieferung umfaBt lediglich den erstelJ., die
Tensoralgebra enthaltenden Teil des Buches. Die beiden anderen
Teile, die wir in einer einzigen abschlieBenden Lieferung heraus
zubringen hoffen, werden die Tensoranalysis, also die Theorie der
von irgendwe1chen Veranderlichen abhangigen Vektoren und
Tensoren einschlieBlich der Differentialgeometrie und der Feld
theorie, und die eigentlichen physikalischen und technischen
Anwendungen behandeln. Die an das Inhaltsverzeichnis des
ersten Teiles angeschlossene Inhaltsiibersicht fUr den zweiten und
dritten Tell gibt dariiber nweren AufschluB.
IV Vorwort
Der Krds der Leser, an die skh das Enc.h wendet. ist da
durch schon vorgezeichnet: Es ist mcht nur der Mathematiker
und Physiker, sondern vor allem der Techniker in den Forschungs
und Berechnungsabteilungen der Industrie. Dementsprechend
beschranken sich die Vorkenntnisse, die das Buch verlangt, auf
das Minimum dessen, was an den Hochschulen in den iiblichen
Vorlesungen uber hCihere Mathematik geboten wird.
Dem Verlag danken wir fur die tatkraftige Initiative, mit der
er unter schwierigsten Verhaltnissen das Erscheinen des Buches
nicht nur uberhaupt, sondern in einer fast friedensmaBigen Form
und Ausstattung erm6glicht hat.
Wien, Herbst 1946
A. Duschek, A. Hochrainer
Vorwort zur vierten Auflage
Ais A. DUSCHEK und ich seinerzeit beschlossen, dieses Werk
zu schreiben, erschien es uns fast als ein Experiment, den vie1en
Buchern uber Vektorrechnung in der symbolischen Schreibweise
ein Werk gegenuberzustellen, welches die Tensorrechnung ein
schlieBlich der Vektorrechnung vollstandig auf der analytischen
Darstellung aufbaut. Diese Methode war damals noch so wenig all
gemein bekannt, daBwir erst die Bezeichnung "analytische Darstel
lung" dafiir erfinden muBten. DaB der erste Band nunmehr in der
vierten Auflage erscheinen kann, zeigt, daB das Experiment
gegluckt ist, und die Aufnahme dieser Darstellung in verschie
dene N ormblatter uber die Schreibweise von Tensoren und Vekto
ren laBt erkennen, daB die analytische Darstellung doch von vielen
als zum mindesten gleichberechtigt neb en der symbolischen
betrachtet wird. Eine Verteidigung der analytischen und Kritik der
symbolischen Schreibweise, wie sie in der Einleitung gebracht wird,
ist heute lange nicht mehr so notwendig wie damals, wozu viel
leicht auch die konsequente Durchfuhrung der analytischen
Schreibweise in den 1950 bis 1955 erschienenen weiteren Banden
des Werkes beigetragen haben durfte. Man kann daher he ute
wieder etwas toleranter sein, und ich habe bei dieser Neuauflage,
Vorwort v
die den grundsatzlichen Aufbau der friiheren Auflagen beibehalt,
viel mehr Briicken zur symbolischen Schreibweise eingebaut,
run deren Anhangem den 'Obergang zur analytischen Dar
stellung bei den schwierigeren Problemen und bei den mit
der symbolischen Schreibweise nur umstiindlich maglichen
Untersuchungen der Grundlagen zu ermoglichen. Ich weiB
mich dabei in voller 'Obereinstimmung mit den Ansichten von
A. DUSCHEK, dessen friihes Ableben unsere erfolgreiche Arbeig
gemeinschaft vorzeitig beendete. Es bleibt sein Verdienst, meine
Aufmerksamkeit auf die Moglichkeit der konsequenten Durch
fiihrung der analytischen Schreibweise gelenkt zu haben, und
ich hoffe, daB auch diese Neuauflage dazu dienen moge, seine
Auffassung von der Notwendigkeit einer mathematisch exakten
und klaren Darstellung weiter zu verbreiten.
Kassel, Herbst 1959
A. Hochrainer
Vorwort zur fiinften Auflage
DaB der erste Band der "Tensorrechnung" nun bereits in fiinfter
Auflage erscheint, darf wohl als Beweis dafiir angesehen werden,
daB das Buch in der vorliegenden Form die ihm gestellte Aufgabe
wirklich erfiillt. Deshalb bestanden auch keine Bedenken, die
fiinfte Auflage als mit geringfiigigen Verbesserungen versehene
photomechanische Wiedergabe der vierten Auflage herauszu
bringen.
Aachen, Herbst I968
A. Hochrainer
Inhaltsverzeichnis
Seite
EinIeitung ............................ _. . . . . . . . . . . . . . • . • . • . • • • • I
Erster Teil
Tensoralgebra
§ I. Der Gegenstand der Tensorrechnung...... .............••••• 13
§ 2. Punkte, Strecken und Vektoren............................ 15
§ 3. Addition von Vektoren. Produkt eines Vektors mit einem Skalar 19
§ 4. Lineare Abhii.ngigkeit von Vektoren .. . . . . . . . . . . . . .. .. ..•... 22
§ 5. Lange eines Vektors ....................................•. 28
§ 6. Das innere oder skalare Produkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..• . .. . . . 31
§ 7. Beispiele aus der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 38
§ 8. Lineare Vektorfunktionen. Tensoren .. . ... .... . . .•..•.....•. 46
§ 9. Orthogonale Transformationen und Bewegungsgruppe •....... 52
§ 10. Tensoren und einfachste Tensoroperationen • . . . . . .. . ..•. . . .. . 62
§ II. Der e-Tensor und das aul3ere Produkt von Vektoren......... 73
§ 12. Reziproke Dreibeine............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 13. Tensoren zweiter Stufe ......... :.......................... 98
§ 14. Symmetrische Tensoren zweiter Stufe ...................... 118
§ 15. Flachen zweiten Grades.................................... 125
Anhang. LOsungen der Aufgaben .............................•.. 143
Sachverzeichnis ................................................ 168
Inhaltsubersicht des zweiten una cirill""
Tensoranalysis
Veranderliche Vektoren und Raumkurven. - Das begleitende Dreibein
und die Formeln von FRENET. - Krummung und Windung. Die natiir
lichen Gleichungen einer Kurve. - Raumkurven und Torsen. - Die erste
Grundform der Flachentheorie. Messung von Langen, Winkeln und Flachen
inhalten auf einer Flache. - Die zweite Grundform der Flachentheorie.
Die Krummungeiner Flache. - Weiteres uber die Krummung der Flache.
Tensorfelder. - Die Integration der FeldgroBen. Kurvenintegrale. _.
Flachenintegrale. Der Stokessche Satz. - Ranmintegrale. Die Integral
satze von GAUSS und GREEN. - Das quellen- und wirbelfreie Feld
(Laplace-Feld). - Das Poissonsche oder wirbelfreie Feld. - Das quellen
freie oder Wirbelfeld. - Die geometrischen Eigenschaften der Vektor
felder. - Das ebene Feld I. - Das ebene Feld II. - Allgemeine (krumm
linige) Koordinaten.- Vektoren und Tensoren in allgemeinen Raumen. -
Absolute Differentiation und Parallelverschiebung im Riemannschen
Raum. - Der E.iemannsche Krummungstensor. - Anwendungen auf die
Flachentheorie. - Spezielle Koordinaten.
Anwendungen in Physik und Technik
Mechanik des Massenpunktes. - Mechanik des Punktsystems. - Mechanik
des starren Korpers. - Spezielle Bewegungen. - Elastizitatstheorie I. -
Elastizitatstheorie II. - Mechanik der Flussigkeiten I. - Mechanik der
.Fltissigkeiten II (Hydrodynamik). - Vektorielle Doppelfelder I. - Vekto
rieHe Doppelfelder II. - Das Warmefeld. - Das elektrostatische Feld. -
Das magnetische Feld. - Das elektrische Feld. - Das elektromagnetische
Feld. - Quasistationare elektromagnetische Vorgange. - Schnell veran
derliche elektromagnetische Felder. - Spezielle Relativitatstheorie I.
Spezielle Relativitatstheorie II. - Allgemeine Relativitatstheorie.
Spezielle Losungen der Gravitationsgleichungen.
Einleitung
Die Tensorrechnung ist in der letzten Zeit sehr in Mode ge
kommen. nicht nur bei den Physikern, fiir die sie schon seit
langem ein fast unentbehrliches Instrument geworden ist,
sondern auch bei den Technikern, die ihre Vorziige immer mehr
zu schatzen wissen. Leider muB man aber bei der Durchsicht
der Literatur nur zu oft eine mangelhafte, mitunter geradezu
falsche Handhabung der Tensorrechnung feststellen. Es scheint
vielfach die notige Klarheit dariiber zu fehlen, was eigentlich
ein Tensor ist und wann die Begriffsbildungen der Tensor
rechnung mit Vorteil Anwendung finden konnen. So werden,
urn nur einige Beispiele zu nennen, in einem recht bekannten
Lehrbuch der technischen Mechanik sechs Ausdriicke also Kompo
nenten des Spannungstensors bezeichnet, die niemals ein Tensor
sein konnen, und in einem an anderer Stelle erschienenen Aufsatz
iiber kritische Drehzahlen einer mit Schwungmassen belasteten
Welle wird in einer geradezu grotesken Weise mit den Begriffen
der Tensorrechnung herumgeworfen, ohne daB auch nur die
geringste Berechtigung dazu besteht. Der Verfasser behandelt
zuerst den "skalaren" Fall mit nur einer Masse und geht dann
zur "vektoriellen" Darstellung iiber, indem er drei Massen auf
der Welle annimmt und diese drei Massen als Komponenten
eines Vektors bezeichnet. Ein besonders krasser Fall ist aber
der eines amerikanischen Autors, der die Tensorrechnung geradezu
mit Gewalt auf die Theorie der elektrischen Maschinen und
Netze anwenden will, sich bis zu den Begriffen "absolutes Diffe
rential" und "Kriimmungstensor" versteigt und dariiber dicke
Biicher und lange Serien von Abhandlungen veroffentlicht. Es
hatte nicht viel Sinn, iiber solche Dinge auch nur ein Wort zu
verlieren, wenn sie nicht geradezu symptomatisch waren, und
wenn nicht die Gefahr bestiinde, daB hier ein wertvolles und
Duscbck-Hochrainer, Tensorrechnung I, 5. Auf!.
2 Einleitung
ungemein leistungsfahiges Instrument durch mi!3brauch!ichl:'
Anwendung in den Augen der Zuschauer verdorben und in MiB
kredit gebracht wird. DaB wir hier keine Gespenster sehen,
wird uns jeder bestatigen, der mit Technikern in den Forschungs
abteilungen und Berechnungsbiiros iiber die Sache gesprochen
hat. "Die Vektoren" - meist bleiben die Leute ja schon bei
diesem Begriff stehen - "mogen' ja etwas ganz Schones sein,
aber wirklich rechnen konnen wir doch nicht damit", das ist
fast die stereotype Antwort und deutlicher kann man wohl nicht
zum Ausdruck bringen, daB die Vektoren und erst recht die
Tensoren in MiBkredit geraten sind und das bei Leuten, die sie
doch sehr gut brauchen und damit rechnen konnten, wenn sie
nur wiiBten wie.
Schuld an diesen bedauerlichen Zustanden ist eine recht
merkwiirdige Tatsache. Auf der einen Seite haben die Mathe
matiker in den letzten Jahrzehnten ein Rechenverfahren ent
wickelt, das in der Regel als "Tensoranalysis" bezeichnet wird,
ein Instrument von hochster Vollkommenheit ist und die groBen
Fortschritte auf dem Gebiete der allgemeinen Differential
geometrie iiberhaupt erst ermoglicht hat. Diese Entwicklung
ist von einem Impuls ausgegangen, den die Physik durch die
Relativitatstheorie gegeben hat, und die Physiker haben auf
diesem Gebiet auch reichlich ~utzen aus den Methoden der
Tensoranalysis gezogen, aber die vierdimensionale Raum-Zeit
Welt der Relativitatstheorie mit ihrer allgemeihen Metrik ist
nicht das, was vor allem die Techniker brauchen. Diese arbeiten
nach wie vor im altehrwiirdigen dreidimensionalen euklidischen
Raum, wo mit all den schonen Wort en und Namen der allgemeinen
Methoden nicht viel anzufangen ist, wenn man nicht auf solchen
Unfug verfallen will, wie die oben genannten Autoren. Nun hat
es aber durchaus den Anschein, als ob auch fUr den Techniker
reichlich gesorgt ware. Es gibt doch eine ganze Menge von Biichern,
die sich recht bescheiden meist als "Lehrbuch der Vektorrechnung"
bezeichnen - was ungefahr ebenso treffend ist, als wollte man
"Theorie der Polynome" statt "Funktionentheorie" oder "Apfel
baum" statt "Obstgarten" sagen - und in denen ein Rechen
verfahren mehr oder weniger ausfiihrlich dargelegt ist, dem der
euklidische Raum zugrunde liegt. Die Methode, die hier ganz
allgemein verwendet wird, ist aber im Prinzip vollig verschieden
Einleitung 3
von den Methoden der allgemeinen Tensorrechnung. Ihre Ver
treter reiten auf einem ganz absonderlichen Steckenpferd, das
verschiedene Namen tragt, wie "Unabhangigkeit vom Koordinaten
system", "Invariante Methode", "Direkte Analyse" usw. Gemeint
ist damit folgendes: Da die Vektorrechnung ein geometrisches
Rechenverfahren ist - daran andern die zahlreichen Anwendungs
moglichkeiten in der Physik nicht das geringste - und sich mit
geometrischen GroBen beschaftigt, will man mit diesen GroBen
selbst rechnen und alle fremden Elemente. ausschalten. Diese
fremden Elemente sind vor allem die Koordinaten, die hier' auf
einmal, ohne daB dafUr irgendwo ein verntinftlger Grund an
gegeben wird, als etwas hochst Verabscheuungswtirdiges hingestellt
werden. Wir haben doch wohl alle genug analytische Geometrie
getrieben, um zu wissen, wie zweckmaBig die Koordinaten sind
und, vor aHem, wie gut es sich mit ihnen rechnen laBt. DaB die
Formeln der analytischen Geometrie und die Langen und Winkel,
die wir nach ihren Methoden berechnen, vom Koordinatensystem
unabhangig sind, das wissen wir doch ganz genau. Es mag vielleicht
zweckmaBig sein, sich tiber den Begriff der Unabhangigkeit vom
Koordinatensystem eine prazisere V orstellung zu schaff en, vielleicht
lassen sich die Methoden der analytischen Geometrie auch noch
weiter verbessern und verfeinern, aber wir haben gar keinen Grund,
sie in Bausch und Bogen zu verdammen und tiber Bord zu werfen,
bloB weil es da Koordinaten gibt.
Diese sogenannte "Vektorrechnung" erreicht ihre Unabhangig
keit vom Koordinatensystem dadurch, daB sie von Koordinaten
einfach nicht redet. Ftir gewisse GroBen und fUr gewisse zunachst
am einfachsten erscheinende Verkntipfungen dieser GroBen
werden Symbole eingefUhrt und dann wird mit diesen Syrnbolen
frisch darauflos gerechnet. Von Koordinaten ist nicht die Rede,
allerdings nur scheinbar, denn irgendwie werden sie ja doch immer
wieder eingeschmuggelt, nur htitet man sich, das Kind beim
rechten Namen zu nennen. Man kann nattirlich, daruber besteht
kein Zweifel, die orientierte Strecke im Raum mit dem Symbol a
bezeichnen und "Vektor" nennen. Hat man zwei solche Vektoren a
und b, so kann man sie in bekannter Weise addieren; das Resultat
ist ein Vektor c = a + b. Man kann noch andere Verkntipfungen
einftihren, z. B. kann man a' b = c das "innere Produkt von a
und btl nennen und durch c = a • b • cos ffJ definieren, wobei a
1*