Grundzüge der Tensorrechnung in Analytischer Darstellung: II. Teil: Tensoranalysis

348 Pages·1950·10.73 MB·German

by  Dr. Phil. Adalbert Duschek

GRUNDZÜGE
DER TENSORRECHNUNG
IN ANALYTISCHER
DARSTELLUNG
VON
DR. PHIL. ADALBERT DUSCHEK
O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN
UND
DR. TECHN. AUGUST HOCHRAINER
DIREKTIONS-ASSISTENT DER ELIN-A. G. IN WIEN
IN DREI TEILEN
11. TEIL: TENSORANALYSIS
MIT 64 TEXTABBILDUNGEN
Springer-Verlag Wien GmbH
1950
ISBN 978-3-7091-2071-2 ISBN 978-3-7091-2070-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-2070-5
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
Copyright 1950 by Springer-Verlag Wien
Originally pub1ished by Springer-Verlag in Vienna in 1950.
Vorwort.
Das Erscheinen des zweiten Teiles hat sich bedauerlicherweise
über alle Gebühr verzögert: Nicht nur, weil wir beide mit beruf
licher Arbeit und die Druckerei mit anderen Aufträgen überlastet
waren, sondern vor allem, weil wir trotz aller Schwierigkeiten
an unserem Plan festhalten wollten, dem Leser eine verständliche
und doch alle wesentlichen, den tensoriellen Methoden erschlosse
nen Gebiete umfassende Darstellung zu vermitteln; dabei ist
der Umfang des Bandes allerdings größer geworden, als wir
ursprünglich angenommen haben.
Der erste Teil hat eine sehr beifällige Aufnahme gefunden -
sichtbarer Ausdruck dafür ist die Tatsache, daß schon eineinhalb
Jahre nach Erscheinen der ersten Auflage eine zweite notwendig
wurde. Wir hoffen, daß dem vorliegenden zweiten Teil, in dem die
analytische Methode erst richtig ihre Kraft erweist, eine gleich
gute Aufnahme beschie!ien ist und daß sowohl der Zeitverlust als
auch der Umfang gerechtfertigt erscheinen. Er enthält die so
genannte Tensoranalysis, also die Differentiation und Integration
veränderlicher Tensoren und behandelt zwei ziemlich scharf ge
trennte Gebiete:
Das eine ist die Differentialgeometrie, die in den §§ 16 bis 22
und 33 bis 38 entwickelt wird und die Theorie der Kurven und
Flächen des euklidischen Raums sowie die Grundbegriffe der
Riemannschen Geometrie umfaßt, das zweite ist die Theorie
der Felder in den restlichen §§ 23 bis 32, die zugleich eine Ein
führung in die Potentialtheorie und ihre Randwertaufgaben dar
stellt. Beide Gebiete überschneiden sich gelegentlich, insbesondere
in den §§ 30, 33 und 38. Erwähnt sei, daß die Differentialgeometrie
im wesentlichen von A. DuscHEK, die Theorie der Felder im
wesentlichen von A. HOCHRAINER bearbeitet wurde.
Unsere ursprüngliche Absicht, die drei Teile, wenn sie einmal
erschienen sind, in einen einzigen Band zu vereinigen, haben wir
IV Vorwort.
besonders mit Rücksicht auf den Umfang fallen lassen. Aus diesem
Grund ist dem vorliegenden Band ein Register beigegeben, das
im ersten fehlt, aber bei der nächsten Auflage na.chgetragen
werden soll. Ferner bringen wir, einem vielfach geäußerten Wunsch
nachkommend, in zwei Anhängen die vollständigen Lösungen
der Aufgaben des ersten und zweiten Teiles. Die des ersten Teiles
sollen ebenso wie der § 31, der sachlich zur Tensoralgebra gehört,
bei einer nächsten Auflage in den ersten Band aufgenommen
werden.
Zu danken haben wir den Herren Dr. ERICH BUKOVICS,
Dr. WALTER EBERL und Dr. LEoPoLD PECZAR für ihre verdienst
volle Mithilfe bei der sauren Arbeit des Korrekturlesens und dem
Verlag für sein immer wieder unter Beweis gestelltes Entgegen
kommen und für die vorzügliche Ausstattung des Buches.
Wien, im Jänner 1950.
A. Duschek, A. Hochrainer.
Inhal tsverzeichnis.
Zweiter Teil.
Tensoranalysis.
Seite
§ 16. Veränderliche Vektoren und Raumkurven................... 1
§ 17. Das begleitende Dreibein und die Formeln von FRENET . . . . . . 7
§ 18. Krümmung und Windung. Die natürlichen Gleichungen einer
Kurve................................................... 16
§ 19. Raumkurven und Torsen ...... , . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. 22
§ 20. Die erste Grundform der Flächentheorie. Messung von Längen,
Winkeln und Flächeninhalten auf einer Fläche.............. 29
§ 21. Die zweite Grundform der Flächentheorie. Die Krümmung einer
Fläche................................................... 37
§ 22. Weiteres über die Krümmung der Fläche................... 44
§ 23. Tensorfelder.............................................. 54
Die Darstellung der Felder..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Die Differentiation von Feldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
§ 24. Die Integration der Feldgrößen. Kurvenintegrale ........... , 69
§ 25. Flächenintegrale. Der Stokessche Satz...................... 81
§ 26. Raumintegrale. Die Integralsätze von GAUSS und GREEN.... 92
Der Satz von GAUSS.................................... 93
Die Integralsätze von GREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100
Unstetigkeiten im Feld .................................. IOI
§ 27. Das quellen- und wirbelfreie Feld (Laplace-Feld) ............ I02
Eindeutigkeit und Randbedingungen ..................... 102
Symmetrische Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II I
Randwertaufgaben und Greensche Funktion ............... 121
§ 28. Das Poissonsche oder wirbelfreie Feld ................. '. .... 131
Eindeutigkeit und Randbedingungen ..................... , 131
Felder von Quellpunkten und Quellflächen ................ 137
Dipol-Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
Randwertaufgaben ...................................... 151
§ 29. Das quellenfreie oder Wirbelfeid ........................... 157
Eindeutigkeit und Randbedingungen ...................... 157
Die Felder isolierter Wirbellinien (Wirbelfäden) ............ 163
Wirbelschichten und Doppelwirbel ....................... 177
Randwertaufgaben .......... , ........................... 181
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 30. Die geometrischen Eigenschaften der Vektorfelder ........... 184
Die Einteilung der Felder... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
Das allgemeine Feld.................................... 188
Die flächennormalen Felder .............................. 194
Das Laplacesche Feld ................................... 200
§ 3 I. Das ebene Feld I......................................... 206
Ebene Tensoren ........................................ 207
Der Zusammenhang mit der komplexen Rechnung ......... 216
§ 32. Das ebene Feld II........................................ 220
Differentiation und Integration ........................... 220
Die In tegralsä tze ....................................... 224
Das allgemeine ebene Vektorfeld ......................... 226
Das ebene Quellenfeld .................................. 227
Das ebene Wirbelfeid ................................... 241
Das ebene Laplace-Feld ................................ , 242
§ 33. Allgemeine (krummlinige) Koordinaten ...................... 246
§ 34. Vektoren und Tensoren in allgemeinen Räumen ............. 258
§ 35. Absolute Differentiation und Parallel verschiebung im Riemann-
sehen Raum.............................................. 269
§ 36. Der Riemannsche Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 280
§ 37. Anwendungen auf die Flächentheorie ....................... 285
§ 38. Spezielle Koordinaten ..................................... 295
Anhang I. Lösungen der Aufgaben des ersten Teiles. . . . . . . . . . .. 301
Anhang II. Lösungen der Aufgab~n des zweiten Teiles ........... 325
Sachverzeichnis ........................................... , 335
In hai t s übe r si c h t des er s t e nun ddr i tt e n Te i I e s.
Tensoralgebra.
Der Gegenstand der Tensorrechnung. - Punkte, Strecken und Vektoren.
- Addition von Vektoren. Produkt eines Vektors mit einem Skalar. -
Lineare Abhängigkeit von Vektoren. - Länge eines Vektors. - Das
innere oder skalare Produkt. ~ Beispiele aus der Geometrie. - Lineare
Vektorfunktionen. Tensoren. - Orthogonale Transformationen und Be
wegungsgruppe. - Tensoren und einfachste Tensoroperationen. - Der
e-Tensor und das äußere Produkt von Vektoren. - Reziproke Dreibeine.
- Tensoren zweiter Stufe. - Symmetrische Tensoren zweiter Stufe. -
Flächen zweiten Grades.
Anwendungen.
Das elektrostati~che Feld. Das elektrische Strömungsfeld. - Das
thermische Strömungsfeld. - Das hydrodynamische Strömungsfeld. -
Das elektromagnetische Feld. - Hydrodynamische Wirbelfeider. - Das
Elastizitätsfeld. - Elektromagnetische Schwingungsfelder. - Akustische
Felder. - Raum-Zeit-Felder.
Zweiter Teil.
Tensoranalysis.
§ 16. Veränderliche Vektoren und Raumkurven.
Wir haben bisher die Vektoren und Tensoren im allgemeinen
als konstante Größen behandelt. Vektoren und Tensoren können
aber auch Funktionen irgendwelcher Parameter (unabhängige
Variable) sein. Diese Parameter können Tensoren beliebiger Stufe
und insbesondere auch Skalare sein.
Wir beschäftigen uns zunächst mit dem einfachsten Fall, daß
ein Vektor Ai von einem Skalar abhängt, was wir durch
(16, 01)
zum Ausdruck bringen. Die Gleichungen besagen, daß die Ko
ordinaten des Vektors Funktionen des Parameters t sind.
Es gibt viele Beispiele solcher Vektoren, denn zu ihnen gehören
alle vektoriellen Größen, die sich mit der Zeit ändern, also z. B.
zeitlich veränderliche Kräfte, Geschwindigkeiten oder Beschleuni
gungen. Der Parameter hat hier die spezielle physikalische Be
deutung der von einem Anfangswert t = to gemessenen Zeit (Zeit
spanne von to bis t). Es sei darauf hingewiesen, daß ein Vektor
der Form (16, 01) im allgemeinen nicht nur seinen Betrag, sondern
auch seine Richtung ändert.
So hat z. B. ein Vektor, der in der (I, z)-Ebene liegt und dessen Spitze
bei festgehaltenem Anfangspunkt eine Ellipse beschreibt, die Form
Al = a cost,
A = b sint,
2
A3 = o.
Soll nur der Betrag des Vektors variabel sein, aber nicht seine
Richtung, so müssen die Verhältnisse
Al: A2: A3
Duschek-Hochrainer, Tensorrechnung, 11.
2 11. Tensoranalysis.
unabhängig von der Zeit sein. Das ist dann der Fall, wenn der
Vektor Ai mit einem festen Vektor Bi kollinear ist, also
Ai = Bi I(t) (16, 02)
gilt.
Soll anderseits der Betrag (die Länge) konstant und nur die
Richtung variabel sein, dann muß der Vektor sich in der Form
Ai = A cos (Xi(t) (16, 03)
darstellen lassen, wobei A die konstante Länge und die die
(Xi
variablen Winkel zwischen dem Vektor und den Koordinaten
achsen sind. Zu dieser Sorte gehören veränderliche Einsvektoren,
die also von der Form
(16, 04)
sind.
Wir wollen hier zunächst von der Annahme ausgehen, daß
die Koordinaten Xi eines Punktes Funktionen eines Parameters t
sind:
(16, 05)
Das heißt in der uns schon geläufigen Redeweise nichts anderes,
als daß der Ortsvektor Xi von t abhängt. Die Gleichungen (16,05)
er,
sind eine Parameterdarstellung einer· Raumkurve deren ver
schiedene Punkte sich eben für die verschiedenen' Werte 'des
er
Parameters t ergeben. Bedeutet t die Zeit, so bekommt die
Bedeutung der Bahnkurve eines bewegten Punktes, die Gleichungen
(16,05) geben uns dann vollständigen Aufschluß darüber, wie sich
die Bewegung des Punktes im Laufe der Zeit abspielt.
Wir wollen zunächst an der Bedeutung von t als Zeit festhalten.
Von den drei Funktionen xi(t) setzen wir voraus, daß sie in einem
gemeinsamen Intervall a ~ t ~ b definiert und stetig sind und
- höchstens mit Ausnahme einzelner Punkte - auch stetige
er
Ableitungen haben. Die Kurve bezeichnen wir dann als stück
weise glatt.
Mit dem Fall, daß ~ eine gerade Linie ist, haben wir uns bereits in § 7
beschäftigt. Wenn wir noch annehmen, daß der dort benützte Parameter u
eine Funktion u = u(l) der Zeit 1 ist, so haben wir in
xi = ai + bi u(t)
die Darstellung einer geradlinigen Bewegung eines Punktes vor uns, wobei
durch u(t) das Bewegungsgesetz gegeben ist. Die Bewegung ist gleichförmig.
wenn u(t) eine lineare Funktion ist.