Grundzüge der Quantentheorie: Mit exemplarischen Anwendungen

282 Pages·1985·6.39 MB·German

by  Dr. rer. nat. Werner R. Theis (auth.)

Teubner Studienbucher
PhysiklChemie
Becher/Bohm/Joos: Elchtheorlen der 8tarken und elektro8chwachen Wech8elwlrkung.
2. Aufl. OM 36,-
Bourne/Kendall: VektoranalY818. OM 23,80
Oaniel: Be8chleunlger. OM 25,80
Engelke: Aufbau der MolekOle. OM 36,-
GroBer: ElnfOhrung In die Tellchenoptlk. OM 21,80
GroBmann: Mathematlscher EinfOhrungskur8 fOr die PhY81k. 4. Aufl. OM 32,
Heil/Kitzka: Grundkur8 Theoretl8che Mechanlk. OM 39,-
Heinloth: Energle. OM 38,-
Kamke/Kriimer: PhY81kall8che Grundlagen der MaBelnhelten. OM 19,80
Kleinknecht: Detektoren fOr Tellchen8trahlung. OM 26,80
Kneubiihl: Repetltorlum der PhY81k. 2. Aufl. OM 44,-
Lautz: Elektromagnetl8che Felder. 3. Aufl. OM 29,80
Lindner: Drehlmpul8e In der Ouantenmechanlk. OM 26,80
Lohrmann: ElnfOhrung In die ElementartelichenphY8lk. OM 24,80
Lohrmann: HochenerglephY8Ik.2. Aufl. OM 32,-
Mayer-Kuckuk: Atomphyslk. 3. Aufl. OM 32,-
Mayer-Kuckuk: KernphY8lk. 4. Aufl. OM 34,-
Neuert: Atomare StoBproze8se. OM 26,80
Primas/Miiller-Herold: Elementare Ouantenchemle. OM 39,-
Raeder u. a.: Kontrollierte Kernfuslon. OM 36,-
Rohe: Elektronlk fOr Physlker. 2. Aufl. OM 26,80
Rohe/Kamke: Dlgltalelektronlk. OM 26,80
Schatz/Weidinger: Nukleare Fe8tkorperphY8lk. 2. 'Aufl. 248 Seiten. OM 29,80
Walcher: Praktlkum der PhY81k. 5. Aufl. OM 29,80
Wegener: PhY81k fOr Hochschulanflnger
Teil 1: OM 24,80
Teil 2: OM 24,80
Wiesemann: EinfOhrung In die Ga8elektronik. OM 28,-
Mathematik
Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. OM 29,80
Aigner: Graphentheorle. OM 29,80
Ansorge: Dlfferenzenapproxlmatlonen partleller Anfang8wertaufgaben. OM 29,80 (LAMM)
Behnen/Neuhaus: Grundkur8 Stocha8t1k. OM 36,-
Bohl: Finite Modelle gew6hnllcher Randwertaufgaben. OM 29,80 (LAMM)
Bohmer: Spllne-Funktlonen. OM 32,-
Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite
Grundzuge der
Quantentheorie
Mit exemplarischen Anwendungen
Von Dr. rer. nat. Werner R. Theis
Professor an der Freien Universitat Berlin
B. G. Teubner Stuttgart 1985
Prof. Dr. rer. nat. Werner R. Theis
Geboren 1926 in Hamburg. Studium und Promotion (1954) bei W.
Lenz in Hamburg. Ais Assistent in Hamburg fiir 11/2 Jahre Stipendiat
der DFG bei W. Pauli in ZUrich. 1959 Habilitation in Hamburg, im
WS 62/63 Gastdozent in Karlsruhe und 1963 o. Professor und Direk
tor des lnstituts fiir Theoretische Physik der Freien Universitat Berlin.
Einjahriger Amerikaaufenthalt (UCLA in Los Angeles und University
of Minnesota), mehrere Forschungssemester als Gast bei DESY in
Hamburg.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Theis, Werner R.:
Grundziige der Quantentheorie : mit exemplar.
Anwendungen / von Werner R. Theis. -
Stuttgart: Teubner, 1985.
(Teubner-Studienbticher : Physik)
ISBN-13: 978-3-519-03063-8 e-ISBN-13: 978-3-322-84835-2
DOl: 10.1007/978-3-322-84835-2
Das Werk ist urheberrechtlich geschtitzt. Die dadurch begriindeten Rechte,
besonders die der Obersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funk
sendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder iihnlichem Wege, der
Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch
bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten.
Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfiiltigung ist an den Verlag gemilil>
§ 54 UrhG eine Vergtitung zu zahlen, deren Htihe mit dem Verlag zu verein
baren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1985
Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim
Umschlaggestaltung: M. Koch, Reutlingen
Vorwort
Die Quantentheorie hat in fast alle Gebiete der Physik Eingang gefunden und ist flir viele
Gebiete sogar grundlegender Ausgangspunkt. Daher ist ihre Kenntnis f1ir jeden, der sich
mit Physik bef~t oder sich f1ir Physik interessiert, unumgiinglich.
Die vorliegende Darstellung konzentriert sich auf die Grundideen der Quantentheorie
und ihre Auswirkungen auf die Physik als Ganzes. Sie soll aber auch den Umgang mit
quantentheoretischen Methoden so weit einUben, d~ sich ein Literaturstudium auf den
verschiedensten Spezialgebieten wie z. B. Atom-und Molekiilphysik, Kemphysik, Fest
korperphysik oder Hochenergiephysik unmittelbar anschlieBen liiBt.
Trotz des relativ geringen Umfangs wird eine gewisse Gesamtschau der Quantentheorie
auch flir diejenigen angestrebt, die sich intensiv nur einmal mit der Quantentheorie be
fassen konnen, wie z. B. viele Lehrer der Naturwissenschaften. Deshalb konnen wesent
liche Aspekte der Quantentheorie nicht einfach mit dem Hinweis aufweiterflihrende
Literatur ausgeklammert werden. Das betrifft insbesondere die Quantisierung von Fel
demo Ich hoffe, der Leser gewinnt so nach intensivem Durcharbeiten ein einigermaBen
zutreffendes Bild von der kulturellen Leistung, die die Entwicklung der Quantentheorie
zweifellos darstellt; er ist dadurch vielleicht, auch in bezug auf weltanschauliche Fragen,
eher vor Fehlinterpretationen geschUtzt, die durch verkiirzte Kenntnis entstehen konnten.
Behandelt werden die Grundziige der Quantentlieorie einzelner Teilchen, nichtrelativi
stischer Teilchensysteme sowie phiinomenologischer und relativistischer Felder. Der
Umfang entspricht einer etwa zweisemestrigen Vorlesung flir Physikstudenten und er
moglicht auch anderen Interessenten, Methoden und Resultate der Quantentheorie in
angemessener Zeit kennenzulernen.
Spezifisch quantentheoretische Betrachtungsweisen und die dazugehorigen Formalis
men werden ausflihrlich erliiutert, weil in dieser Hinsicht Kenntnisse nicht vorausgesetzt
werden. Dabei wird versucht, eher die wesentlichen Strukturen aufzuzeigen, als durch
geeignete Ansiitze mogiichst rasch zu Resultaten zu kommen. Die ausgewiihlten Anwen
dungen dienen einerseits dazu, die der klassischen Physik unbekannten Phiinomene und
ihre Beschreibungen zu verdeutlichen, andererseits sollen sie die Tragweite der Quanten
theorie vor Augen flihren.
Wo etwas liingere elementare Rechnungen den Text uniibersichtlich Machen wiirden,
sind sie als Rechenschritte (R ...) am Ende des Buches ausgeflihrt. Die riiumliche Tren
nung moge den Leser zu eigenem Durchrechnen ermuntem. Die Anhiinge (A ...) sollen,
mit Ausnahme eines etwas liingeren Beweisganges, unterschiedliche Vorkenntnisse der
klassischen Physik ausgieichen.
Viele Anregungen zu dieser Darstellung der Quantentheorie habe ich, abgesehen von der
Lehrbuchliteratur, durch Fragen und Diskussionen in Vorlesungen und Dbungen von
Studenten erhalten. Ich danke ihnen allen sehr, wie auch den Kollegen und Mitarbeitem,
die in zahlreichen Unterhaltungen zur Kliirung der Frage beigetragen haben, was denn
die hauptsiichlich zu vermittelnden Inhalte der Quantentheorie seien. FUr die Durch
sicht des Manuskripts und wertvolle Hinweise mochte ich Herm Professor Dr. A. lind
ner, Universitat Hamburg, danken. Mein besonderer Dank gilt Frau H. Kassner fUr die
Ausdauer beim miihevollen Schreiben der Druckvorlage.
Berlin, im August 1984 W. R. Theis
Inhalt
Einflihrung ........................................ 7
Tell I Grundbegriffe der nichtreIativistischen Quantenmechanik am Beispiel
des Elektrons
1.1 Aufstellung der Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1 Elektronenbeugung am Doppelspalt, Wahrscheinlichkeitsampli-
tuden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 2 De Broglle-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 3 SchrOdinger-Gleichung und klassischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Allgemeine Folgerungen aus der Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . . 15
§ 4 Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhaltung der Wahrscheinlichkeit. 15
§ 5 Impulsverteilung zu gegebener Ortswahrscheinlichkeitsamplitude . 16
§ 6 Erwartungswerte und ihre zeitliche Anderung ............. 18
1.3 Mogliche Me~werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 7 Eigenwerte und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 8 Erste einfache Beispiele von Eigenwertgleichungen .. . . . . . . .. 23
§ 9 Wahrscheinlichkeit von Me~werten, Observable ............ 27
1.4 Die gegenseitige Beeinflussung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 10 Vertraglichkeit zweier Messungen ..................... 30
§ 11 Beschreibung eines Zustandes mit Hilfe eines vollstandigen Satzes
vertauschbarer Observabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 12 Unscharferelationen .............................. 33
1.5 Zwei flir die Anwendungen typische Eigenwertprobleme .......... 36
§ 13 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§ 14 Ein eindimensionales Streuproblem mit gebundenem Zustand . . . 48
1.6 Quantentheoretisches Gemisch bei unvollstandiger Kenntnis . . . . . . . . 54
§ 15 Der statistische Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 16 Zustandslinderung durch Messung ..................... 59
Sch1~bemerkung zu Teil 1 ............................. 62
Tell II Formaler Ausbau der Theorie und exempIarische Anwendungen auf
Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden
II.1 Formulierung der Quantentheorie im abstrakten Zustandsraum . . . . . . 64
§ 17 Abstrakte Zustlinde und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
§ 18 Physikalisch aquivalente Beschreibungen, Schrodinger-und
Heisenberg-Bild ................................. 71
Inhalt 5
§ 19 Observable als Erzeugende von Transfonnationen . . . . . . . . . . . 75
§ 20 Drehimpulseigenwerte und Spinfreiheitsgrad .......... . . . . 85
§ 21 Invarianz und ErhaltungssiHze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
II.2 Quantentheoretische Methoden am Beispiel der Bindungszustande des
Wasserstoffatoms .................................... 99
§ 22 Die Grobstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms . . . . . 99
§ 23 Zeitabhiingige Storungstheorie, induzierte Emission und
Absorption .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
§ 24 Storungstheorie von Eigenwerten, Spinwechselwirkung ....... 109
§ 25 Addition von Drehimpulsen, irreduzible Tensoroperatoren;
Wasserstoffatom im auflleren Magnetfeld .................. 118
II.3 Nichtrelativistische Stofllprobleme ......................... 124
§ 26 Stationare Streutheorie ............................ 124
§ 27 Allgemeine zeitabhiingige Fonnulierung der Streuung, S-Matrix .. 133
II.4 Quantentheorie nichtunterscheidbarer Teilchen .... . . . . . . . . . . .. 139
§ 28 Der Begriff der Nichtunterscheidbarkeit ..... . . . . . . . . . . .. 139
§ 29 Pennutationssymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140
§ 30 Symmetrie und Antisymmetrie unter Pennutationen als
empirischer Befund. Das Periodische System der Elemente . . . .. 143
§ 31 Die chemische Bindung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
§ 32 Umschreibung des Vielelektronenproblems in eine
quantisierte Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156
Tell III Quantentheorie der Felder
III. 1 Photonen als Quanten des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . .. 165
§ 33 Kanonische Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes . 165
§ 34 Feldoperatoren und ihre Messung im Zusammenhang mit der
Photonenzahl. Plancksches Strahlungsgesetz .............. 173
§ 35 Strahlungsiibergange, Multipolentwicklung ............... 180
III.2 Skalare Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185
§ 36 Nichtrelativistisches Quantenfeld fUr spinlose Tellchen . . . . . . .. 186
§ 37 Quasiteilchen am Beispiel einer schwach angeregten Fliissigkeit .. 190
§ 38 Relativistisches Feld spinloser massiver Teilchen, Antiteilchen . .. 197
IIl.3 Relativistische Quantenfeldtheorie fUr massive Teilchen vom Spin 1/2 . 210
§ 39 Spin 1/2-Teilchen ohne Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . .. 210
§ 40 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
§ 41 Elektronen im auflleren Feld, lokale Eichsymmetrie . . . . . . . . .. 233
§ 42 Ausblick auf die volle quantentheoretische Behandlung der
fundamentalen Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241
Schlu2bemerkung ......................................... 246
6 Inhalt
Anhang
Al Gruppengeschwindigkeit................................. 247
A2 Das Prinzip von Maupertuis ............................... 247
A3 Fourier·Transformation.................................. 248
A4 Wigners Satz tiber die moglichen iiquivalenten Beschreibungen . . . . . . . .. 250
A5 Klassische Bewegungsgleichung fUr den Spin .................... 253
A6 Gro~kanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 255
A7 Entwicklung eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257
Rechenschritte Rl bis R23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261
Naturkonstanten .......................................... 276
Sachverzeichnis ........................................... 277
Einfiihrung
Die Quantentheorie ist die umfassende Rahmentheorie fUr die Beschreibung aller bisheri·
gen physikalischen Erfahrungen. Sie enthalt die sogenannte k1assische Physik a1s Teil·
gebiet. Den AnstoE, die k1assische Physik zu erweitern, d. h. gewisse in ihr vorausgesetzte
Vorstellungen aufzugeben, gab Max Pia n c k im Jahre 1900 durch seine Interpolation
der beiden Forme1n fUr die Hoh1raumstrah1ung hoher bzw. niedriger Frequenzen. Er
begriindete danach seine experimentell bestatigte Interpolationsformel durch die von der
klassischen Elektrodynamik abweichende Annahme, elektromagnetische Strahlung der
Frequenz w konne nur in Vielfachen der Ene r g i e qua n ten € = liw abgegeben wer·
den. Ii ist dabei eine neue fundamentale Konstante der Physik. Sie heiEt P I a n c k s c h e s
Wi r k u n g s qua n tum und konnte schon aus den Strahlungsmessungen geniihert
bestimmt werden. Ihr Wert betragt
• =( 1,0545887). 10-34 J = ( 6,582173). 10-28 V
,1 ± 0,0000057 s ± 0,000017 e s.
1m Jahre 1905 zeigte Albert E ins t e i n am I i c h tel e k t r i s c hen E ff e k t ,
daE man das Strahlungsfeld als aus Quanten der Energie Iiw bestehend auffassen kann,
die er Lichtquanten nannte. Damit ist nicht nur der tlbertragungsmechanismus quanti·
siert, sondern auch die Strahlung selbst. Einstein iibertrug 1907 die Plancksche Hypo
these auch auf die Schwingungen im Festkorper und konnte so den klassisch nicht zu
verstehenden Abfall der s p e z i f i s c hen War m e in tlbereinstimmung mit dem
Experiment erkliiren.
Jahrzehnte vor Plancks Entdeckung gaben die diskreten Spektren der Atome der klassi·
schen Physik Ratsel auf. Niels B 0 h r konnte 1913 die Spektrallinien des Wasserstoff·
atoms durch zwei Postulate erklaren: Es gibt diskrete Energiewerte des Wasserstoff·
atoms, die durch eine bestimmte Vorschrift, die das Plancksche Wirkungsquantum ent·
hIDt, bestimmt sind. Die ausgesandte Frequenz beim Obergang von einem Niveau der
Energie El zu einem anderen der Energie E2 ist gegeben durch El - E2 = Iiw. Die von
Bohr geforderten diskreten Niveaus der Atome konnten von F ran c k und Her t z
1914 experimentell nachgewiesen werden.
Diese Entwicklung zeigte, daE die Konstante Ii nicht nur fUr die Strahlung eine funda·
mentale Rolle spielt, sondern auch fUr den Aufbau atomarer Gebilde, und daE die klas·
sische Physik nur dort eine gute Niiherung ist, wo die Wirkung hklein gegen die vorkom·
menden GroEenordnungen ist. Da eine grundlegende physikalische Theorie im Prinzip
den gesamten physikalischen Erfahrungsbereich beschreiben muE, verlangten die neuen
Erfahrungen nach einer Theorie, die die gesamte Physik der Teilchen und Felder erfaEte.
Die vor etwa 50 Jahren entwickelte sogenannte moderne Quantentheorie erfiillt diese
Forderung. Dabei stellte sich heraus, daE die beiden Begriffe "Teilchen" und "Felder"
in ihr zu einer einheitlichen Beschreibung verschmelzen.
Die Quantenilieorie beansprucht und besitzt allgemeine Giiltigkeit. Bis heute ist kein
Gebiet der Physik bekannt, das nicht den Prinzipien der Quantentheorie geniigt, und
alle Vergleiche mit Experimenten, die man bisher durchgeftihrt hat, liefern im Rahmen
8 Einflihrung
der Fehlergrenzen quantitative Vbereinstimmung. Man hat jedoch stets offen zu sein
fiir Erweiterungen, die dann zwingend wiirden, wenn physikalische Beobachtungen der
Quantentheorie widersprachen. Eine Erweiterung mi£te allerdings die experimentell
gesicherten Ergebnisse der Quantentheorie enthalten, genauso wie die Quantentheorie
die gesicherten Ergebnisse der klassischen Physik enthalt.
1m folgenden wird eine Darstellung der Quantentheorie mit dem lie! versucht, dem
Leser nach Durcharbeitung einen Vberblick iiber die Struktur und die Tragweite der
Quantentheorie als Ganzes zu geben. Dabei ist der Umfang den Bediitfnissen eines
nicht auf Theorie spezialisierten Physikers angepaBt. Diese lielsetzung bedingt eine
Beschrankung auf das (subjektiv) Wesentliche. Anwendungen konnen nur die wichtige
Aufgabe der Verdeutlichung der Theorie haben. Auch auf eine mathematische Fundie
rung muB verzichtet werden. Statt eines historischen Aufbaues soli nach Moglichkeit
jeweils von den am einfachsten zu deutenden Tatsachen ausgegangen werden.
Urn die Vereinheitlichung der physikalischen Beschreibung von Teilchen und Feldern
darstellen zu konnen, die ein Grundzug der Quantentheorie ist, muB sich ein gewichtiger
Teil der Ausfiihrungen der Frage widmen, wie eine klassische Feldtheorie, also im
wesentlichen die Elektrodynamik, in die Quantentheorie eingebaut wird. Die Beschrei
bung der Photonen als Teilchen eines quantisierten elektromagnetischen Feldes und der
Entstehung eines elektromagnetischen Feldes bei der spontanen Emission ist ein fun
damentaler Schritt in der Entwicklung der Quantentheorie. Die Behandlung der Erzeu
gung und Vernichtung von Teilchen fiihrt auch dort auf eine Quantenfeldtheorie, wo es
keine klassische Feldtheorie gibt, wie beispielsweise beim {3-lerfall oder in der Hochenergie
physik. Von zunehmend praktischer Bedeutung wird die quantenfeldtheoretische For
mulierung in der nichtrelativistischen Festkorperphysik und in der Quantenoptik.
Tell I Grundbegriffe der nichtrelativistischen Quantenmechanik am
Beispiel des Elektrons
Das wichtigste Anwendungsobjekt fUr die nichtrelativistische Quantentheorie ist das
Elektron, das bei fast allen Vorgangen in der Natur mitwirkt. Die Grundbegriffe der
nichtrelativistischen Quantentheorie sollen daher anhand von idealisierten experimen
tellen Situationen an Elektronen eingefiihrt werden, wobei der Spin unberucksichtigt
bleibt. Wir werden dabei im Teil I zu einer inhaltlich vollstandigen quantenmechani
schen Beschreibung kommen, allerdings in einer speziellen Formulierung, bei der die
Ortskoordinate eine ausgezeichnete Rolle spielt.
1.1 Aufstellung der Schrodinger-Gleichung
§ 1 Elektronenbeugung am Doppelspalt, Wahrscheinlichkeitsamplituden
Aus Bewegungen von Elektronen in elektromagnetischen Feldern, z. B. in Beschleunigern
(Synchrotron, Betatron), die sich im Rahmen der klassischen (relativistischen) Mechanik
beschreiben lassen, kennt man die (Ruh-) Masse m und die Ladung e eines Elektrons.
Rue Werte betragen
_ ( 9,109534). -28 _ ( 0,5110034) 2
mel - ± 0,000047 10 g - ± 0,0000014 MeV/c ,
_ (-4,803242) '10-10 1/2 3/2 -1 1)
eel - ± 0,000014 g cm s,
- ._ '4="" - (-1,6021892 ) . 10-19
eel .-V 't1ffo eel - \ ± 0,0000046 As.
Man spricht daher von einem Teilchen.
Streut man Elektronen an einem Kristall (D a vis son und G e r mer 1927), dann
zeigen sich Beugungs-und Interferenzerscheinungen, wie sie bei Streuung von Licht an
Raumgittern auftreten. Das ist, wie wir im einzelnen sehen werden, mit einer klassischen
Teilchenbeschreibung unvereinbar. In einer adaquaten Beschreibung der Phanomene
mull> der Begriff des Teilchens abgeandert werden. Man sollte dann eigentlich auch ein
neues Wort einfiihren (etwa "Massenquant"), doch behalt man auch in der Fachsprache
das mit klassischen Vorstellungen belastete Wort Teilchen fUr den neuen Begriff beL
1) In den hier und im folgenden benutzen Einheiten ist das Potential <.p einer Punkt
ladung e2 gegeben durch <.p(rl) = e2/r12'