Grundzüge der modernen Analysis

440 Pages·1976·17.322 MB·German

by  J. Dieudonné (auth.)

Dieudonne . Grundziige der modernen Analysis
Band 4
Logik und Grundlagen der Mathematik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dieter R6dding, Munster
Band 19
Band 1 L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung
Band 2 A. A. Sinowjew, Vber mehrwertige Logik
Band 3 J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen
Band 4 G. Choquet, Neue Elementargeometrie
Band 5 A. Monjallon, Einfiihrung in die moderne Mathematik
Band 6 S. W. Jablonski/G. P. Gawrilow/W. B. Kudrawzew
Boolesche Funktionen und Postsche Klassen
Band 7 A. A. Sinowjew, Komplexe Logik
Band 8 J. Dieudonne, Grundzuge der modernen Analysis, Band 1
Band 9 N. Gastinel, Lineare numerische Analysis
Band 10 W. V. O. Quine, Mengenlehre und ihre Logik
Band 11 J. P. Serre, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen
Band 12 1. R. Schafarewitsch, Grundzuge der algebraischen Geometrie
Band 13 A. 1. Malcev, Algorithmen und rekursive Funktionen
Band 14 P. S. Novikov, Grundzuge der mathematischen Logik
Band 15 M. Denis-Papin/R. Faure/A. Kaufmann/Y. Malgrange
Theorie und Praxis der Booleschen Algebra
Band 16 1. Adler, Gruppen in der N euen Mathematik
Band 17 J. Dieudonne, Grundzuge der modernen Analysis, Band 2
Band 18 J. Dieudonne, Grundzuge der modernen Analysis, Band 3
Band 19 J. Dieudonne, Grundzuge der modernen Analysis, Band 4
J. Dieudonne
Grundziige
der modernen
Analysis
Band 4
» vl• eweg
J. Dieudonne
Elements d' Analyse
a
Tome IV, Chapitres XVIII XX
Ga uthier-Villars, Editeur
ParisfBruxellesfMontreal 1971
Ubersetzung aus dem Franzosischen:
Herbert Kurke, Gerhard Pfister und Marko Roczen
1976
ABe Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
© der deutschen Ausgabe
Friedr. Vieweg Sohn.VerlagsgeseBschaft mbH, Braunschweig, 1976
softcover reprint ofthe hardcover 1s t edition 1976
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vielfaltigung durch aBe Verfahren einschlieBlich Speicherung und jede tJbertragung auf
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ISBN 978-3-322-89908-8 ISBN 978-3-322-89907-1 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-89907-1
Inhalt
18. Differentialrechnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit 9
II. Elementare globale Theorie der Differentialgleichungen erster
und zweiter Ordnung. Elementare lokale Theorie differenzierbarer
Systeme .......................................................... 9
lS.1. Differentialgleichungen erster Ordnung auf einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit .......................................... , 10
lS.2. Die Stromung eines Vektorfeldes ............................ 12
lS.3. Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf einer Mannigfaltig.
keit ............ . ....... ....... ..... .. . .. . . . . ....... .. .. .. 24
lS.4. Isochrone Felder und isochrone Differentialgleichungen zweiter
Ordnung ................................................. 2S
lS.5. Konvexitii.tseigenschaften isochroner Differentialgleichungen .... 32
lS.6. Die Geodatischen eines Zusammenhangs ...................... 36
lS.7. Einparametrige Familien von Geodatischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
lS.S. p.Richtungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
lS.9. Differenzierbare Systeme ................................... 53
IS.lO. Integralelemente eines differenzierbaren Systems .............. 54
lS.11. Formulierung des Integrationsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
lS.12. Der Satz von CAUCHy·KoWALEWSKAJA . . . . . ...... . . .. .... . . .. 67-
1S.13. Der Satz von CARTAN·KAHLER .............................. 76
lS.14. Vollstandig integrierbare Pfaffsche Systeme ................... S6
lS.15. Singulare Integralmannigfaltigkeiten. Charakteristische Mannigfal.
tigkeiten ................................................. 9S
lS.16. Cauchysche Charakteristiken ................................ 101
lS.17. Beispiele: 1. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung .... 115
IS.IS. Beispiele: II. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung .. 122
19. Liesche Gruppen und Liesche Algebren .......................... 127
19.1. Aquivariante Operationen einerLieschen Gruppe auf Faserbiindeln 12S
19.2. Operation einer Lieschen Gruppe G auf Biindeln mit der Basis G .. 133
19.3. Die infinitesimale Algebra und die Liesche Algebra einer Lieschen
Gruppe ................................................... 135
19.4. Beispiele ................................................. 143
19.5. Die Taylorsche Formel auf einer Lieschen Gruppe ............. 146
6 Inhalt
19.6. Die einhullende Algebra der Lieschen Algebra einer Lieschen
Gruppe ................................................... 152
19.7. Eingebettete Liesche Gruppen und Liesche Unteralgebren ...... 155
19.8. Invariante Zusammenhange, einparametrige Untergruppen und
Exponentialabbildung ...................................... 164
19.9. Eigenschaften der Exponentialabbildung ..................... 174
19.10. Abgeschlossene Untergruppen reeller Liescher Gruppen ......... 179
19.11. Die adjungierte Darstellung. Normalisatoren und Zentralisa-
toren ....................... " ............................ 183
19.12. Die Liesche Algebra der Kommutatorgruppe .................. 190
19.13. Automorphismengruppen Liescher Gruppen ................... 193
19.14. Semidirekte Produkte Liescher Gruppen ...................... 199
19.15. Das Differential einer Abbildung in eine Liesche Gruppe . . . . . . .. 208
19.16. Invariante Differentialformen und Haarsches Mall auf einer Lieschen
Gruppe ................................................... 210
19.17. Komplexe Liesche Gruppen ................................. 219
20. Hauptzusammenhonge und Riemannsche Geometrie .............. 225
20.1. Das Reperebundel eines Vektorbiindels ....................... 227
20.2. Hauptzusammenhange auf Hauptfaserbundeln ................ 231
20.3. Die zu einem Hauptzusammenhang gehorende kovariante aullere
Differentiation und die Krummungsform eines Hauptzusammen-
hangs .................................................... 236
20.4. Beispiele von Hauptzusammenhangen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240
20.5. Zu einem Hauptzusammenhang assoziierte line are Zusammenhange 245
20.6. Die Methode des Reperefeldes ............................... 252
20.7. G-Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
20.8. Aligemeines uber pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten ...... 285
20.9. Der Levi-Civita-Zusammenhang ............................. 292
20.10. Der Riemann-Christoffel-Tensor ............................. 306
20.11. Beispiele fUr Riemannsche und fUr pseudo-Riemannsche Mannig-
faltigkeiten ............................................... 314
20.12. Die auf einer Untermannigfaltigkeit induzierte Riemannsche Metrik 323
20.13. Kurven auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .. 334
20.14. Hyperflachen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . .. 344
20.15. Das Einbettungsproblem ................................... 356
20.16. Die Riemannsche Mannigfaltigkeit als metrischer Raum. Lokale
Untersuchungen ........................................... 361
20.17. Streng geodatisch konvexe Kugeln ........................... 370
20.18. Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Raume. Globale
Untersuchungen. Vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeiten .. 372
20.19. Periodische Geodatische .................................... 382
20.20. Die erste und die zweite Variation der Bogenlange und Jacobifelder
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 384
20.21. Die zweidimensionale Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 395
20.22. Mannigfaltigkeiten mit positiver oder negativer zweidimensionaler
Krummung ............................................... 397
20.23. Riemannsche Mannigfaltigkeiten konstanter Krummung ........ 404
Inhalt 7
Anhang. Ergonzungen aus der Algebra (Fortsetzung des Anhangs zu
Band 3) ............................................................ 411
A.20. Tensorprodukte unendlichdimensionaler Vektorraume .......... 411
A.21. Algebren formaler Potenzreihen ............................. 412
Literatur 417
Bezeichnungen ...................................................... 423
Sachverzeichnis ..................................................... 433
1. Mengenlehre
2. Ree[e Zahlen
4. Die reelle
Zahlengerade
RCiume stetiger
Funktionen
Differentialrechnung
9. Analytische Funktionen
16. Differenzierbare
Mannigfaltigkeiten
24. Elementare
Differentialtopologie
25. Nichtlineare Probleme
18. Differential rech nu n g
auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
II. Elementare globale Theorie der Differentialgleichungen
erster und zweiter Ordnung. Elementare lokale Theorie
differenzierbarer Systeme
Nachdem man den Begriff des Tangentialvektors an eine differenzierbare Man
nigfaltigkeit M hat, kann man den Begriff der Losung einer Differentialglei
chung erster Ordnung (vgl. (10.4.2)) leicht auf Funktionen verallgemeinern,
die auf einem Intervall von R definiert sind und ihre Werte in M annehmen:
Die Ableitung u' (t) ist durch das Bild des Tangenteneinheitsvektors von R im
Punkt t vermoge der Tangentialabbildung Tt(u) zu ersetzen, und dement
sprechend muB die rechte Seite ein Tangentialvektor von M im Punkt u(t) sein.
Mittels einer Karte wird eine solche Gleichung lokal auf eine gewohnliche Diffe
rentialgleichung (10.4.1) zuriickgefUhrt. Da man auf diese Weise eine dem Wesen
des Problems entsprechende invariante ("innere") Formulierung des Begriffs
der Differentialgleichung hat, kann man fUr eine solche Gleichung Fragen glo
baler Natur stellen, etwa die nach der Existenz einer "maximalen" Integral
kurve und ihrem Verhalten als Funktion der sie definierenden "Anfangsbedin
gung" oder als Funktion der "Parameter", von denen die Gleichung abhangt.
Wir deuten hier nur die ersten Anfange des Studiums dieser sehr schwierigen
Probleme an, welche feinere Betrachtungen aus der Topologie bzw. der Inte
grationstheorie erfordern (siehe einige Beispiele in Kapitel 25 sowie die Werke
[39] und [79]). Der Begriff der Differentialgleichung zweiter Ordnung auf einer
Mannigfaltigkeit Mist weniger offensichtlich, weil dazu der Begriff der "zwei
ten Ableitung" einer Abbildung eines Intervalls von R in M benotigt wird. Da
die Werte der "ersten Ableitung" Tangentialvektoren an M sind, werden wir
dazu gefUhrt, sie als Abbildung in das Tangentialbiindel T(M) anzusehen, und
eine Gleichung zweiter Ordnung in M wird dann zu einer Gleichung erster Ord
nung in der Mannigfaltigkeit T(M). Die lokalen und die globalen Probleme, die
wir fUr diese Gleichungen behandeln (Abschnitte 18.3 bis 18.7), betreffen insbe
sondere einen speziellen Typ von Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
namlich diejenigen, welche die Geodiitischen der Zusammenhange liefern und
die in Kapitel 20 fUr Riemannsche Mannigfaltigkeiten genauer untersucht
werden.
Abstrahiert man bei der Untersuchung der durch Differentialgleichungen
definierten Kurven vom Parameter, so kann man diese Kurven dadurch defi
nieren, daB sie in jedem ihrer Punkte eine vorgegebene Gerade aus dem Tan
gentialraum an die Mannigfaltigkeit in diesem Punkt beriihren. Ersetzt man
diese Richtungen durch Vektorteilraume beliebiger Dimension, so erhalt man
den allgemeinen Begriff eines "Pfaffschen Systems" auf einer Mannigfaltigkeit,
10 18. Differentialrechnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
welcher der invariante ("innere") Ausdruck der klassischen "partiellen Differen
tialgleichung" ist. Wir bringen aus der globalen Theorie hier lediglich die Theorie
der voHstandig integrierbaren Systeme (siehe [97]) und die der linearen (oder
der diesen ahnlichen) partiellen Differentialgleichungen, denen wir in den Ka
piteln 23 und 25 wieder begegnen werden. In diesem Kapitel beschranken wir
uns ausschlieBlich auf lokale Existenz- und Eindeutigkeitsfragen, wobei wir uns
ohne weiteres auf den RN beschranken konnen. Die Terminologie der Mannig
faltigkeiten und vor aHem der auBere Differentialkalkul sind jedoch, wie
E. CARTAN gezeigt hat, selbst in diesem Fall sehr nutzlich, um das Wesen dieser
Probleme unabhangig von jedem der ProblemsteHung fremden Koordinaten
system zu verstehen. Das gewaltige Werk E. CARTANS auf diesem Gebiet, des sen
Studium wir dem Leser warmstens ans Herz legen (vgl. [87] und [88]), konnte
hier leider nur gestreift werden.
18.1. Differentialgleichungen erster Ordnung auf einer differenzier
baren Mannigfaltigkeit
18.1.1. 1st U c Rfl eine offene Menge und f eine stetige Abbildung von U
in RfI, so versteht man unter einem (reellen) autonomen SY8tem von Differential
gleichungen auf U eine vektorielle Differentialgleichung
18.1.1.1. Dx = f(x) •
Eine Losung dieser Gleichung ist dann eine stetig differenzierbare Abbildung u
eines offenen IntervaHs I c R in U, fUr welche Du(t) = f(u(t)) fUr jedes tEl
gilt (vgl. Abschnitt lOA). Wir bezeichnen ein autonomes System von Differen
tialgleichungen auch als eine vektorieHe Differentialgleichung, in deren rechter
Seite "die Variable t nicht vorkommt". Offenbar ist mit jeder auf I c R defi
+
nierten Losung u von (lS.1.1.1) fUr jedes a E Rauch die Funktion t -+ u(t a)
+
eine Losung von (18.1.1.1), die auf I (-a) detiniert ist.
Identifiziert man das Tangentialbundel T (U) mittels der kanonischen Tri
vialisierung (16.15.5) mit U X RfI, so kann man x -+ (x, f(x)) als 10k ale Dar
steHung eines durch die Bedingung X(x) = T;l(f(x)) definierten stetigen Vek
torfelde8 X auf U ansehen (vgl. (16.15.4)). Das durch die Bedingung, 'l't(E(t)) sei
der Einheitsvektor in R, definierte Vektorfeld E auf R nennen wir Einheit8feld.
Fur eine Abbildung u der Klasse 01 von I in U konnen wir dann Du(t)
= Tu(t) ( T t( u) . E(t)) schreiben; folglich ist die Relation Du(t) = f( u(t)) der Rela
tion
18.1.1.2. T(u) . E(t) = X(u(t))
fUr jedes tEl aquivalent.
18.1.2. Schreibt man die Tatsache, daB u eine Losung von (18.1.1.1) ist,
in der Gestalt (18.1.1.2) auf, so kommt die Trivialisierung von T(U) nicht mehr
vor; dies gestattet also, den Begriff eines autonomen Systems von Differential-