Grundzüge der Globalen Optimierung

188 Pages·2018·7.13 MB·German

by  Oliver Stein (auth.)

Grundzüge der Globalen Optimierung
Oliver Stein
Grundzüge der Globalen
Optimierung
OliverStein
InstituteofOperationsResearch(IOR)
KarlsruheInstituteofTechnology(KIT)
Karlsruhe
Deutschland
ISBN978-3-662-55359-6 ISBN978-3-662-55360-2(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55360-2
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Don’tpanic.
(DouglasAdams,
TheHitchhiker’sGuidetotheGalaxy)
Vorwort
DiesesLehrbuchistausdemSkriptzumeinerVorlesung„GlobaleOptimierungIundII“
entstanden, die ich am Karlsruher Institut für Technologie seit 2008 jährlich halte. Die
Adressaten dieser Vorlesung sind in erster Linie Studierende des Wirtschaftsingenieur-
wesens im Bachelor-Vertiefungsprogramm. Im vorliegenden Lehrbuch spiegelt sich dies
darin wider, dass mathematische Sachverhalte zwar stringent behandelt, aber erheblich
ausführlicher motiviert und illustriert werden als in einem Lehrbuch für einen rein ma-
thematischenStudiengang.DasBuchrichtetsichdaheranStudierende,diemathematisch
fundierteVerfahreninihremStudiengangverstehenundanwendenmöchten,wiediesetwa
indenNatur-,Ingenieur-undWirtschaftswissenschaftenderFallist.Dadieausführlichere
MotivationnaturgemäßaufKostendesStoffumfangsgeht,beschränktdiesesBuchsichauf
dieDarstellungvonGrundzügenderglobalenOptimierung.
Gegenstand ist die Behandlung globaler Minimierungs- oder Maximierungsmodelle
mit nichtlinearen Zielfunktionen unter nichtlinearen Nebenbedingungen, wie sie in An-
wendungsdisziplinen sehr oft auftreten. Dabei besteht häufig das Problem, dass numeri-
sche Lösungsverfahren effizient lokale Optimalpunkte finden können, während globale
Optimalpunktevielschwererzuidentifizierensind.DiesentsprichtderTatsache,dassman
mitlokalenSuchverfahrenzwargutdenGipfeldesnächstgelegenenBergesfindenkann,
dieSuchenachdemGipfeldesMountEverestabereheraufwendigist.
Bevor man sich der theoretischen und algorithmischen Identifizierung von globalen
Optimalpunkten zuwendet, ist es allerdings wichtig zu klären, ob ein Optimierungspro-
blemüberhauptOptimalpunktebesitzt.DaseinführendeKap.1gehtnebengrundlegender
TerminologieundNotationdaherausführlichaufdieverschiedenenArtenvonUnlösbar-
keitsowieaufmöglichstschwachehinreichendeBedingungenfürLösbarkeitein.
Kap.2diskutiert,wiesichglobaleMinimalpunktevonglattenkonvexenOptimierungs-
problemenbestimmenlassen,dennfürsielassensichnichtnurstarketheoretischeResul-
tate, sondern auch effiziente Algorithmen angeben. Ein zentrales Resultat für konvexe
Optimierungsprobleme besteht darin, dass jeder lokale Minimalpunkt notwendigerweise
auch globaler Minimalpunkt sein muss. Für die globale Lösung konvexer Optimierungs-
probleme genügen daher beispielsweise Verfahren der lokalen Optimierung [32]. Da sie
indiesemSinne„einfach“ist,wirddiekonvexeOptimierunghäufignichtdemGebietder
VII
VIII Vorwort
globalenOptimierungzugeordnet,diesichdannihrerseitsaufdieLösungvon„schweren“
nichtkonvexen Optimierungsproblemen konzentriert. Dieses Lehrbuch setzt zur Lösung
von nichtkonvexen Problemen in Kap.3 aber Techniken der konvexen Optimierung aus
Kap.2 ein, was den gewählten Aufbau erklärt. Im Kap.3 wird als exemplarisches und
praktisch umsetzbares Verfahren der globalen Optimierung ein auf Intervallarithmetik
basierendesBranch-and-Bound-Verfahrenhergeleitet.
Dieses Lehrbuch kann als Grundlage einer vierstündigen Vorlesung dienen. Es stützt
sichteilweiseaufDarstellungenderAutorenM.S.Bazaraa,H.D.SheraliundC.M.Shetty
[4], C.A. Floudas [9], O. Güler [12], J.-B. Hiriart-Urruty und C. Lemaréchal [17], R.
Horst und H. Tuy [19] sowie H.Th. Jongen, K. Meer und E. Triesch [22], die auch viele
überdiesesBuchhinausgehendeFragestellungenbehandeln.ZuGrundlagender(lokalen)
nichtlinearen Optimierung sei auf [32] und zu allgemeinen Grundlagen der Optimierung
auf[27]verwiesen.
An dieser Stelle möchte ich Frau Dr. Annika Denkert vom Springer-Verlag herz-
lich für die Einladung danken, dieses Buch zu publizieren. Frau Bianca Alton und Frau
Regine Zimmerschied danke ich für die hilfreiche Zusammenarbeit bei der Gestaltung
desManuskripts.EingroßerDankgiltaußerdemmeinenMitarbeiternDr.TomášBajbar,
Peter Kirst, Robert Mohr, Christoph Neumann, Dr. Marcel Sinske, Dr. Paul Steuermann
undDr.NathanSudermann-MerxsowiezahlreichenStudierenden,diemichwährendder
EntwicklungdiesesLehrmaterialsaufinhaltlicheundformaleVerbesserungsmöglichkei-
ten aufmerksam gemacht haben. Der vorliegende Text wurde in LATEX2e gesetzt. Die
AbbildungenstammenausXfigoderwurdenalsAusgabevonMatlaberzeugt.
In kleinerem Schrifttyp gesetzter Text bezeichnet Material, das zur Vollständigkeit angegeben ist,
beimerstenLesenaberübersprungenwerdenkann.
Karlsruhe,imJuni2017 OliverStein
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ................................................... 1
1.1 BeispieleundBegriffe ....................................... 2
1.2 Lösbarkeit ................................................ 12
1.2.1 DefinitionderLösbarkeit................................ 13
1.2.2 ArtenvonUnlösbarkeit ................................. 15
1.2.3 DerSatzvonWeierstraß ................................ 19
1.2.4 UnbeschränktezulässigeMengen ......................... 21
1.2.5 NichtabgeschlossenezulässigeMengen .................... 29
1.3 RechenregelnundUmformungen ............................... 33
2 KonvexeOptimierungsprobleme .................................. 37
2.1 Konvexität ................................................ 38
2.2 DieC1-CharakterisierungvonKonvexität ......................... 44
2.2.1 MehrdimensionaleersteAbleitungen....................... 44
2.2.2 C1-Charakterisierung................................... 46
2.3 LösbarkeitkonvexerOptimierungsprobleme ....................... 48
2.4 OptimalitätsbedingungenfürunrestringiertekonvexeProbleme......... 50
2.5 DieC2-CharakterisierungvonKonvexität ......................... 53
2.5.1 DiemehrdimensionalezweiteAbleitung .................... 54
2.5.2 C2-Charakterisierungen ................................. 55
2.6 DieMonotoniecharakterisierungvonKonvexität.................... 59
2.7 OptimalitätsbedingungenfürrestringiertekonvexeProbleme .......... 61
2.7.1 Lagrange-undWolfe-Dualität ............................ 62
2.7.2 DieKarush-Kuhn-Tucker-Bedingungen ..................... 75
2.7.3 Komplementarität ..................................... 78
2.7.4 GeometrischeInterpretationderKKT-Bedingungen............ 79
2.7.5 ConstraintQualifications ................................ 81
2.8 NumerischeVerfahren ....................................... 89
2.8.1 GrundideedesGradientenverfahrens ....................... 90
2.8.2 GrundideedesNewton-Verfahrens......................... 91
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.8.3 GrundideevonSchnittebenenverfahren ..................... 92
2.8.4 DasSchnittebenenverfahrenvonKelley ..................... 93
2.8.5 DasVerfahrenvonFrank-Wolfe........................... 99
2.8.6 Grundideevonprimal-dualenInnere-Punkte-Methoden ......... 103
3 NichtkonvexeOptimierungsprobleme .............................. 111
3.1 BeispieleundeinkonzeptionellerAlgorithmus ..................... 112
3.2 KonvexeRelaxierung ........................................ 115
3.3 Intervallarithmetik .......................................... 120
3.3.1 MotivationundAnwendungen............................ 121
3.3.2 Intervallgrundrechenarten ............................... 122
3.3.3 NatürlicheIntervallerweiterung ........................... 126
3.3.4 Abhängigkeitseffekt ................................... 128
3.3.5 Einschließungseigenschaft............................... 129
3.3.6 Taylor-Modelle ....................................... 131
3.3.7 WeitereBezeichnungen ................................. 132
3.4 KonvexeRelaxierungperαBB-Methode.......................... 133
3.5 GleichmäßigverfeinerteGitter ................................. 143
3.6 Branch-and-BoundfürboxrestringierteProbleme ................... 151
3.7 Branch-and-BoundfürkonvexrestringierteProbleme ................ 159
3.8 Branch-and-BoundfürnichtkonvexeProbleme ..................... 160
3.9 Lipschitz-Eigenschaften ...................................... 165
3.9.1 EigenschaftenLipschitz-stetigerFunktionen ................. 167
3.9.2 DirekteAnwendungaufAlgorithmus3.5 .................... 170
3.9.3 EineVariationvonAlgorithmus3.5 ........................ 173
Literatur ........................................................ 177
Stichwortverzeichnis............................................... 179
1
Einführung
Inhaltsverzeichnis
1.1 BeispieleundBegriffe .................................................. 2
1.2 Lösbarkeit ........................................................... 12
1.2.1 DefinitionderLösbarkeit .......................................... 13
1.2.2 ArtenvonUnlösbarkeit............................................ 15
1.2.3 DerSatzvonWeierstraß ........................................... 19
1.2.4 UnbeschränktezulässigeMengen .................................... 21
1.2.5 NichtabgeschlossenezulässigeMengen ............................... 29
1.3 RechenregelnundUmformungen .......................................... 33
Die endlichdimensionale kontinuierliche Optimierung behandelt die Minimierung oder
Maximierung einer Zielfunktion in einer endlichen Anzahl kontinuierlicher Entschei-
dungsvariablen. Wichtige Anwendungen finden sich nicht nur bei linearen Modellen
(wieineinfachenModellenzurGewinnmaximierunginProduktionsprogrammenoderbei
Transportproblemen[27]),sondernauchbeidiversennichtlinearenModellenausNatur-,
Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. Dazu gehören geometrische Probleme, me-
chanische Probleme, Parameter-Fitting-Probleme, Schätzprobleme, Approximationspro-
bleme, Datenklassifikation und Sensitivitätsanalyse. Als Lösungswerkzeug benutzt man
sie außerdem bei nichtkooperativen Spielen [33], in der robusten Optimierung [33] oder
beiderRelaxierungdiskreterundgemischt-ganzzahligerOptimierungsprobleme[30].
Das vorliegende einführende Kapitel motiviert in Abschn.1.1 zunächst die grundle-
gendeTerminologieundNotationvonOptimierungsproblemenanhanddiverserBeispiele.
Abschn.1.2 widmet sich danach ausführlich der Frage, unter welchen Voraussetzungen
Optimierungsprobleme überhaupt lösbar sind und welche Arten von Unlösbarkeit auf-
tretenkönnen.AbschließendstelltAbschn.1.3einigeRechenregelnundUmformungenfür
Optimierungsproblemebereit,dieimRahmendiesesLehrbuchseineRollespielenwerden.
©Springer-VerlagGmbHDeutschland2018 1
O.Stein,GrundzügederGlobalenOptimierung,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55360-2_1