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Grundzüge der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodäsie PDF

359 Pages·1961·13.06 MB·German
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Grundzüge der Ausgleich ungsrechn ung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendung in der Geodasie Von Dr. Ing. WaIter GroBmann o. Professor an der Techmschen Hochschule Hannover Zweite erweiterte Auflage Mit 56 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1961 ISBN 978-3-662-30209-5 ISBN 978-3-662-30208-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-30208-8 Alle Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrilckliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfaltigen Copyright 1953 by Springer-Verlag OGR., Berlin/G5ttingen/Reidelberg © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1961 Ursprilnglich erschienen bei Springer Verlag OHG., BerlinlG5ttigenIHeidelberg 1961. Vorwort zur zweiten Aufla.ge Urteile aus dem In- und Ausland lassen mich annehmen, daB meine Absicht, ein leicht lesbares Buch zu schreiben, in del' 1. Auflage im wesentlichen verwirklicht werden konnte. Die Wiinsche, die an mich gelangt sind, bezogen si ch ausschlieBlich auf Erweiterungen. Da diese Wiinsche vielfach mit del' lebhaften Entwicklung koinzidieren, die die Ausgleichungsrechnung im letzten Jahrzehnt genom men hat, mu/3te ihnen weitgehend Rechnung getragen werden. Das bedingte allerdings, urn UmfangundPreis des Buchesnicht zusehr anschwellen zu lassen, eine kraftige Straffung del' verbleibenden Teile. Im einzelnen sind neu aufgenommen odeI' erweitert im I.Abschnitt die Behandlung del' relativen Fehler und die Beobachtungen mit syste matischen und konstanten Fehleranteilen sowie einige Zufallskriterien. Im Ill. Abschnitt sind der moderne GAusssche Algorithmus, del' AIgo rithmus von CHOLESKI, die Ausgleichung von Streckennetzen und die Ausgleichung von Triangulierungsnetzen nach vermittelnden Beobach tungen nebst einigen Zahlenbeispielen eingefiigt und die Abschnitte iiber Stationsausgleichungen umgestellt worden. Im IV. Abschnitt sind hinzugekommen das KRUGERSche Zweigruppenverfahren, das BOLTZ sche Substitutionsverfahren, die BESsELsche Netzausgleichung und die Ausgleichung korrelierter Beobachtungen. Neu sind ferner Zahlen beispiele fUr die Ausgleichung eines Kranzsystems, einer beiderseits angeschlossenen Kette und eines nach unvollstandigen Richtungssatzen beobachteten Rlickwartseinschnitts. Im V. Abschnitt sind die HELMERT Transformation mit zwei Zahlenbeispielen und eine Gegeniiberstellung von Ausgleichungsrechnung und Statistik aufgenommen. Ganzlich neu ist del' VI. Abschnitt libel' die Anwendung del' Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung. Diesel' letzte Punkt bedurfte besonders eingehender Dberlegungen. Zweifelsohne wird die Matrizenrechnung in immer starkerem Umfang in die Ausgleichungsrechnung eindringen. Andererseits hatte vollstan dige Umstellung des Werkes auf die Matrizenalgebra zur Folge gehabt, daB das Buch fiir einen groBen Teil meiner Leser, vor allem fiir die gelegentlichen Benutzer aus del' Praxis, auf weite Strecken unlesbar geworden ware. Ich habe infolgedessen die Matrizen im Hauptteil nur zur Veranschaulichung von Zusammenhangen benutzt und die Anwen- IV Aus dem 'Vorwort zur ersten Auflage dung der Matrizenalgebra auf Ausgleichungsprobleme in den Abschnitt VI verwiesen. Damit sollen an einigen ausgewahlten Beispielen die Moglich keiten der Matrizenrechnung demonstriert und zumal die jiingeren Leser angeregt werden, die Kenntnis dieser Rechnungsart zu erwerben. Um dem Leser dabei entgegenzukommen, sind die wenigen notwendigen elementaren Rechenregeln durch Zahlenbeispiele erlautert. Im Hinblick auf die praktische Anwendung sind ferner die Ausgleichsformeln so eingerichtet, daB man moglichst Spalten mit Spalten zu multiplizieren hat. SchlieBlich sind nach geodatischem Brauch iiberall Summenpro ben eipgefiigt. Bei der Neubearbeitung ist mir sehr viel Hilfe zuteil geworden. Ich danke in erster Linie Herrn Pro£. R. HIRVONEN, Helsinki, und Herrn ORVR Dr. HOPCKE, Hannover, die mich vor allem hinsichtlich des letztgenannten Tells sehr weitgehend unterstiitzt haben, wenn ich auch leider nicht alle ihre Anregungen iibernehmen konnte. Wertvolle Hin weise verdanke ich den Herren Prof. Dr. WOLF und Pro£. Dr. LICHTE. Dariiber hinaus bin ich meinen Assistenten, den Herren Dipl.-Ing. KAMPFERBECK, WIEMERSLAGE, BLEUMER und GROTHENN zu Dank ver pfIichtet. Hannover, lm Januar 1961. W. Gro8mann Aus dem Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist auf der einen Seite als Vorlesungshilfe gedacht, zum anderen will es denPraktiker, der fUr den Einzelfall Belehrung sucht, in Stand setzen, sich schnell und moglichst vollstandig zu unterrichten. Da ich die Kenntnis der Matrizenrechnung noch nicht allgemein glaube voraussetzen zu diirfen, habe ich die klassische GAusssche Schreibweise beibehalten und mich bemiiht, in diesem Rahmen fUr alle in der breiteren Praxis benutzten Ausgleichungsverfahren leichtverstandliche Formel entwicklungen und iibersichtliche Rechenanleitungen zu geben. In Zweifelsfallen ist nicht der knappsten, sondern der durchsichtigsten Losung der Vorzug gegeben. Die Texterlauterungen sind so ausfiihrlich gehalten, daB sie auch ein Selbststudium erlauben. Das Buch halt etwa die Mitte zwischen den von HEGEMANN, WEIT BRECHT, WERKMEISTER u. a. herausgebrachten Kurzdarstellungen und den umfassenderen Werken von JORDAN und HELMERT. Hannover, im September 1953 W. GroUmann Inhaltsverzeichnis -oberblick iiber die Methode der kleinsten Quadrate . 1 I. Abschnitt Grundziige der FehlerIehre § 1. Fehlerarten und GenauigkeitsmaBe . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Grobe, regelmaBige, unregelmaBige und totale Fehler . . 5 1.2 Durchschnittlicher, mittlerer und wahrscheinlicher Fehler 7 1.3 Der Grenz- oder MaximaHehler . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Der relative Fehler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 2. Der relative und der mittlere Fehler von Funktionen beobachteter GroBen (Fehlerfortpflanzungsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Der EinfluB der Beobachtungsfehler auf Funktionen beobachteter GroBen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Der relative Fehler einer Funktion beobachteter GroBen. . . . 11 2.3 Der mittlere Fehler von Funktionen gegenseitig unabhangiger Beob achtungsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 § 3. Berechnung des mittleren Beobachtungsfehlers aus den iibrigbleibenden Fehlem gleich genauer Beobachtungen . . . . . . . . 21 3.1 Wahre und iibrigbleibende Fehler . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Mittlerer Fehler einer urspriinglicb.en Beobachtung 22 3.3 Mittlerer Fehler des. arithmetischen Mittels direkt beobachteter MessungsgroBen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 4. Berechnung des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit aus den iibrig- bleibenden Fehlem von Beobachtungen verschiedener Genauigkeit . . 25 4.1 Einfiihren des Gewichts und des allgemeinen arithmetischen Mittels 25 4.2 Beziehungen zwischen Gewichten und mittleren Fehlem . . 27 4.3 Die Gewichte von Funktionen direkt beobachteter GroBen . 28 4.4 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit . . . . . . . . . 29 § 5. Berechnung des mittleren Beobachtungsfehlers aus Doppelmessungen. 33 5.1 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes . . . . . . . . . .. 33 5.2 Beobachtungspaare ungleichen Gewichtes. . . . . . . . .. 34 § 6. Beobachtungen mit systematischen und konstanten Fehleranteilen. 36 § 7. Das GAusssche Fehlergesetz . . . . . . . . . . . 41 7.1 Fehlerhaufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit. 41 7.2 Die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion 42 VI I nhaltsverzeichnis 7.3 Die graphische Darstellung von tp(e) . 44 7.4 HAGENS Ableitung des Fehlergesetzes 46 7.5 Fehlergesetz und Beobachtungsreihen 49 § 8. Die fehlertheoretische Begriindung und die mittleren Fehler der Genauig- keitsmalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.1 Die Beziehungen zwischen t, m, r und h. . . . . . . . . . . 50 8.2 Zur Theorie des Maximalfehlers . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.3 Der mittlere Fehler des durchschnittlichen und des mittleren Fehlers 54 8.4 Der mittlere Fehler eines aus den iibrigbleibenden Fehlern berech- neten mittleren Fehlers . 57 8.5 Zufallskriterien ...................... 59 H. Abschnitt Ausgleichung yon direkten Beobachtungen § 9. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe . 61 9.1 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung 61 9.2 DasAusgleichungsprinzip . . . . . . . . . . . 61 9.3 Ausgleichungsverfahren . . . . . . . . . . . . 63 § 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit (Arithme tisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 § 11. Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit (All- gemeines arithmetisches Mittel). . . . 67 § 12. Beobachtungen mit Summengleichung. . . . . . . . . . . . . . . 69 HI. Abschnitt Ausgleichung yon yermittelnden Beobachtungeo § 13. Einfiihrung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen . 73 § 14. Aufstellen der Fehlergleichungen . 74 14.1 Wahl der Unbebnnten. . . . 75 14.2 Lineare Fehlergleichungen 76 14.3 Nichtlineare Fehlergleichungen. 76 § 15. Aufstellen und Auflosen der Normalgleichungen 79 15.1 Aufstellen der Normalgleichungen . . . . 79 15.2 Auflosen der Normalgleichungen nach dem GAussschen AIgo- rithmus . . . . . . . . . . . . . 80 15.3 Obergang auf mehrere Unbekannte 82 15.4 Das System der Endgleichungen. . 84 I nhaltsverzeichnis VII § 16. Vervollstandigung des Algorithmus durch Summen- und [v v]-Proben 85 16.1 Die Summenproben. . • . 85 16.2 v-Proben und [v v]-Proben . . 87 16.3 Die SchluBprobe. . . . . . . 89 16.4 Anordnung der Zahlenrechnung 90 § 17. Gewichtskoeffizienten und mittlere Fehler der Unbekannten 92 17.1 Herleitung der Gewichtskoeffizienten. . . . . . . . . 92 17.2 Berechnung der Gewichtskoeffizienten aus ihren Endgleichungen 96 17.3 Gleichzeitige Aufliisung von Normal- und Gewichtsgleichungen . 98 17.4 Die unbestimmte Auflosung '" . . . . . . . . 99 17.5 Gewichtsberechnung bei nur zwei Unbekannten . 102 § 18. Mittlere Fehler der beobachteten GriiBen . . . . . . 103 18.1 Ableiten der Fehlerformel. . . . . . . . . . . 103 18.2 Zweite GAusssche Begriindung der Methode der kleinsten Quadrate 105 § 19. Vermittelnde Beobachtungen verschiedener Genauigkeit. 107 § 20. Die Gewichte von Funktionen der Unbekannten 110 20.1 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtskoeffi- zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 20.2 Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des urspriing lichen Normalgleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 112 20.3 Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beob- achtungen . . . . . . . . . . . . . . 113 20.4 Freie oder nicht korrelierte Funktionen 114 § 21. Rechenmaschinenalgorithmen. . . . . . . . 116 21.1 Der mechanisierte GAusssche Algorithmus 116 21.2 Der moderne GAusssche Algorithmus 117 21.3 Der Algorithmus von CHOLESKY. . . . . 123 § 22. Obersicht iiber die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen 125 § 23. Ausgleichung von Hiihennetzen 127 § 24. Reduzierte Fehlergleichungen 130 24.1 Elimination einer Unbekannten mittels der Summengleichung 130 24.2 Die SCHREIBERSche Regel . 131 § 25. Stationsausgleichungen 134 § 26. Trigonometrisches Einschneiden 145 § 27. Ausgleichung von Streckennetzen. 169 § 28. Die Ausgleichung von Triangulierungsnet~en nach vermittelnden Beob- achtungen . . . . . . . . . . . . . . . 174 28.1 Ausgleichen von Fiillnetzen . . . . . 174 28.2 Ausgleichen von fteien Flachennetzen 175 VIn Inhaltsverzeichnis IV. Abschnitt Ausgleiehung von bedingten Beobschtungen § 29. Einfiihrung in die Methode der bedingten Beobachtungen 177 § 30. DaB Aufstellen der Bedingungsgleichungen 178 30.1 Aufsuche~ der Bedingungen. . . . 178 30.2 Lineare Bedingungsgleichungen . . . 180 30.3 Nichtlineare Bedingungsgleichungen . 181 § 31. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben . 182 31.1 Aufstellen und Auflosen der. Korrelatengleichungen und der Nor- malgleichungen. . . . . . . . . 182 31.2 Die [v v]-Proben . . . . . . . . . 183 31.3 Summenproben und SchluBprobe. . 184 § 32. Mittlerer Fehler einer beobachteten GroBe 185 32.1 Zuruckfiihren bedingter auf vermittelnde Beobachtungen. 185 32.2 Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten GroBe 187 § 33. Bedingte' Beobachtungen mit ungleichen Gewichten . . . . . .. 187 § 34. Die Gewichte von Funktionen der aUBgeglichenen Beobachtungen.. 188 34.1 Darstellen des FunktionsgewichteB mittels der "Obertragungskoeffi- zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188 34.2 Berechnen der Funktionsgewichte . . . . . . . . . . . . . . 191 34.3 Die Gewichtskoeffizienten der ausgeglichenen Beobachtungen. . 192 34.4 Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 § 35. "Obersicht iiber die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen . 195 § 36. Einfache Anwendungen der bedingten Beobachtungen . 197 § 37. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen . . . . . . 204 37.1 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen 204 37.2 Abzahlformeln bei Winkelbeobachturigen in freien Netzen . 206 37.3 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in angeschlossenen Netzen 209 37.4 Behandlung von Richtungssatzen ........ : . . .. 210 37.5 Fehlerberechnung in trigonometrischen Netzen. . . . . . .. 211 § 38. Iterative und gruppenweise Behandlung von Bedingungsgleichungen 221 38.1 Ein GAusssches lterationsverfahren . . . . . . . . . . .. 222 38.2 Naherungsausgleichung von Dreiecksnetzen mit Richtungsbeob- achtungen. . . . . . . . . . . . . . 223 38.3 Reduzierte Bedingungsgleichungen . . . . . 224 38.4 Das KRUGERSChe Zweigruppenverfahren . . 226 § 39. Entwicklungsverfahren und Substitutionsverfahren 234 39.1 Grundgedanken des Entwicklungsverfahrens. 234 39.2 Die Entwicklung der Korrelaten nach den Widerspriichen 234 Inhaltsverzeichnis IX 39.3 Der AIgorithmus des Entwicklungsverfahrens 236 39.4 Grundgedanken des Substitutionsverfahrens . 239 § 40. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen 244 40.1 Direkte Losung . . . . . . . . . . . . . 244 40.2 Zweistufige Ausgleichung nach F. W. BESSEL 246 40.3 Eine Losung von C. F. BAESCHLIN. . . . . 248 § 41. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten . . . . 253 41.1 Allgemeine Form der Ausgleichungsaufgabe . 253 41.2 Fehlergleichungen mit verschiedenartigen BeobachtungsgroBen 255 § 42. Ausgleichen kOITelierter Beobachtungen mittels aquivalenter Fehlerglei- chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 42.1 Aquivalente Fehlergleichungen .......... 260 42.2 Ausgleichen kOITelierter bedingter Beobachtungen . . 261 42.3 Ausgleichen kOITelierter vermittelnder Beobachtungen 263 V. Abschnitt Sonderfiille und Grenzgebiete § 43. Ausgleichung durch schrittweise Annaherung . . . . . . . . . . . 268 § 44. Bestimmen der Konstanten einer linearen Transformation (HELMERT Transformation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 44.1 Berechnen der Transformationskonstanten aus den auf die Schwer punkte bezogenen Koordinaten der PaBpunkte. . . . . . . . . 279 44.2 Berechnen der Konstanten zur Transformation photogrammetri scher Modelle aus den urspriinglichen Koordinaten der PaBpunkte 282 § 45. Genaherte Darstellung von Funktionen . . . . . . . . 284 45.1 Bestimmen der ausgleichenden Geraden 284 45.2 Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe 288 45.3 Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen . 292 § 46. Ausgleichungsrechnung und mathematische Statistik . . 301 46.1 Statistische Untersuchung von Beobachtungsreihen 301 46.2 Grundbegriffe der KOITelationsrechnung 305 46.3 Physikalische und algebraische Korrelationen 307 VI. Abschnitt Anwendungen der Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung § 47. Grundregeln t;\er Matrizenrechnung .. 308 47.1 Definition und Bezeichnungen .. 308 47.2 Rechenoperationen mit Matrizen 310 47.3 Sonderfalle und Anwendungen der Multiplikationsregel. 311 47.4 Inversion der Matrizen ....... . 314 47.5 Symmetrische Matrizen ....... . 317 47.6 Differentiation von Matrizenfunktionen . 321

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