Grundzüge der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodäsie

359 Pages·1961·13.06 MB·German

by  Dr.-Ing. Walter Großmann (auth.)

Grundzüge der
Ausgleich ungsrechn ung
nach der Methode der kleinsten Quadrate
nebst Anwendung in der Geodasie
Von
Dr. Ing. WaIter GroBmann
o. Professor an der Techmschen Hochschule Hannover
Zweite erweiterte Auflage
Mit 56 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1961
ISBN 978-3-662-30209-5 ISBN 978-3-662-30208-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-30208-8
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Copyright 1953 by Springer-Verlag OGR., Berlin/G5ttingen/Reidelberg
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1961
Ursprilnglich erschienen bei Springer Verlag OHG., BerlinlG5ttigenIHeidelberg 1961.
Vorwort zur zweiten Aufla.ge
Urteile aus dem In- und Ausland lassen mich annehmen, daB meine
Absicht, ein leicht lesbares Buch zu schreiben, in del' 1. Auflage im
wesentlichen verwirklicht werden konnte. Die Wiinsche, die an mich
gelangt sind, bezogen si ch ausschlieBlich auf Erweiterungen. Da diese
Wiinsche vielfach mit del' lebhaften Entwicklung koinzidieren, die die
Ausgleichungsrechnung im letzten Jahrzehnt genom men hat, mu/3te
ihnen weitgehend Rechnung getragen werden. Das bedingte allerdings,
urn UmfangundPreis des Buchesnicht zusehr anschwellen zu lassen, eine
kraftige Straffung del' verbleibenden Teile.
Im einzelnen sind neu aufgenommen odeI' erweitert im I.Abschnitt
die Behandlung del' relativen Fehler und die Beobachtungen mit syste
matischen und konstanten Fehleranteilen sowie einige Zufallskriterien.
Im Ill. Abschnitt sind der moderne GAusssche Algorithmus, del' AIgo
rithmus von CHOLESKI, die Ausgleichung von Streckennetzen und die
Ausgleichung von Triangulierungsnetzen nach vermittelnden Beobach
tungen nebst einigen Zahlenbeispielen eingefiigt und die Abschnitte
iiber Stationsausgleichungen umgestellt worden. Im IV. Abschnitt sind
hinzugekommen das KRUGERSche Zweigruppenverfahren, das BOLTZ
sche Substitutionsverfahren, die BESsELsche Netzausgleichung und die
Ausgleichung korrelierter Beobachtungen. Neu sind ferner Zahlen
beispiele fUr die Ausgleichung eines Kranzsystems, einer beiderseits
angeschlossenen Kette und eines nach unvollstandigen Richtungssatzen
beobachteten Rlickwartseinschnitts. Im V. Abschnitt sind die HELMERT
Transformation mit zwei Zahlenbeispielen und eine Gegeniiberstellung
von Ausgleichungsrechnung und Statistik aufgenommen. Ganzlich neu
ist del' VI. Abschnitt libel' die Anwendung del' Matrizenrechnung auf die
Ausgleichungsrechnung.
Diesel' letzte Punkt bedurfte besonders eingehender Dberlegungen.
Zweifelsohne wird die Matrizenrechnung in immer starkerem Umfang
in die Ausgleichungsrechnung eindringen. Andererseits hatte vollstan
dige Umstellung des Werkes auf die Matrizenalgebra zur Folge gehabt,
daB das Buch fiir einen groBen Teil meiner Leser, vor allem fiir die
gelegentlichen Benutzer aus del' Praxis, auf weite Strecken unlesbar
geworden ware. Ich habe infolgedessen die Matrizen im Hauptteil nur
zur Veranschaulichung von Zusammenhangen benutzt und die Anwen-
IV Aus dem 'Vorwort zur ersten Auflage
dung der Matrizenalgebra auf Ausgleichungsprobleme in den Abschnitt VI
verwiesen. Damit sollen an einigen ausgewahlten Beispielen die Moglich
keiten der Matrizenrechnung demonstriert und zumal die jiingeren Leser
angeregt werden, die Kenntnis dieser Rechnungsart zu erwerben. Um
dem Leser dabei entgegenzukommen, sind die wenigen notwendigen
elementaren Rechenregeln durch Zahlenbeispiele erlautert. Im Hinblick
auf die praktische Anwendung sind ferner die Ausgleichsformeln so
eingerichtet, daB man moglichst Spalten mit Spalten zu multiplizieren
hat. SchlieBlich sind nach geodatischem Brauch iiberall Summenpro
ben eipgefiigt.
Bei der Neubearbeitung ist mir sehr viel Hilfe zuteil geworden. Ich
danke in erster Linie Herrn Pro£. R. HIRVONEN, Helsinki, und Herrn
ORVR Dr. HOPCKE, Hannover, die mich vor allem hinsichtlich des
letztgenannten Tells sehr weitgehend unterstiitzt haben, wenn ich auch
leider nicht alle ihre Anregungen iibernehmen konnte. Wertvolle Hin
weise verdanke ich den Herren Prof. Dr. WOLF und Pro£. Dr. LICHTE.
Dariiber hinaus bin ich meinen Assistenten, den Herren Dipl.-Ing.
KAMPFERBECK, WIEMERSLAGE, BLEUMER und GROTHENN zu Dank ver
pfIichtet.
Hannover, lm Januar 1961.
W. Gro8mann
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch ist auf der einen Seite als Vorlesungshilfe gedacht, zum
anderen will es denPraktiker, der fUr den Einzelfall Belehrung sucht,
in Stand setzen, sich schnell und moglichst vollstandig zu unterrichten.
Da ich die Kenntnis der Matrizenrechnung noch nicht allgemein glaube
voraussetzen zu diirfen, habe ich die klassische GAusssche Schreibweise
beibehalten und mich bemiiht, in diesem Rahmen fUr alle in der breiteren
Praxis benutzten Ausgleichungsverfahren leichtverstandliche Formel
entwicklungen und iibersichtliche Rechenanleitungen zu geben. In
Zweifelsfallen ist nicht der knappsten, sondern der durchsichtigsten
Losung der Vorzug gegeben. Die Texterlauterungen sind so ausfiihrlich
gehalten, daB sie auch ein Selbststudium erlauben.
Das Buch halt etwa die Mitte zwischen den von HEGEMANN, WEIT
BRECHT, WERKMEISTER u. a. herausgebrachten Kurzdarstellungen und
den umfassenderen Werken von JORDAN und HELMERT.
Hannover, im September 1953
W. GroUmann
Inhaltsverzeichnis
-oberblick iiber die Methode der kleinsten Quadrate . 1
I. Abschnitt
Grundziige der FehlerIehre
§ 1. Fehlerarten und GenauigkeitsmaBe . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Grobe, regelmaBige, unregelmaBige und totale Fehler . . 5
1.2 Durchschnittlicher, mittlerer und wahrscheinlicher Fehler 7
1.3 Der Grenz- oder MaximaHehler . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Der relative Fehler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 2. Der relative und der mittlere Fehler von Funktionen beobachteter GroBen
(Fehlerfortpflanzungsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Der EinfluB der Beobachtungsfehler auf Funktionen beobachteter
GroBen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Der relative Fehler einer Funktion beobachteter GroBen. . . . 11
2.3 Der mittlere Fehler von Funktionen gegenseitig unabhangiger Beob
achtungsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 3. Berechnung des mittleren Beobachtungsfehlers aus den iibrigbleibenden
Fehlem gleich genauer Beobachtungen . . . . . . . . 21
3.1 Wahre und iibrigbleibende Fehler . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Mittlerer Fehler einer urspriinglicb.en Beobachtung 22
3.3 Mittlerer Fehler des. arithmetischen Mittels direkt beobachteter
MessungsgroBen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 4. Berechnung des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit aus den iibrig-
bleibenden Fehlem von Beobachtungen verschiedener Genauigkeit . . 25
4.1 Einfiihren des Gewichts und des allgemeinen arithmetischen Mittels 25
4.2 Beziehungen zwischen Gewichten und mittleren Fehlem . . 27
4.3 Die Gewichte von Funktionen direkt beobachteter GroBen . 28
4.4 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit . . . . . . . . . 29
§ 5. Berechnung des mittleren Beobachtungsfehlers aus Doppelmessungen. 33
5.1 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes . . . . . . . . . .. 33
5.2 Beobachtungspaare ungleichen Gewichtes. . . . . . . . .. 34
§ 6. Beobachtungen mit systematischen und konstanten Fehleranteilen. 36
§ 7. Das GAusssche Fehlergesetz . . . . . . . . . . . 41
7.1 Fehlerhaufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit. 41
7.2 Die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion 42
VI I nhaltsverzeichnis
7.3 Die graphische Darstellung von tp(e) . 44
7.4 HAGENS Ableitung des Fehlergesetzes 46
7.5 Fehlergesetz und Beobachtungsreihen 49
§ 8. Die fehlertheoretische Begriindung und die mittleren Fehler der Genauig-
keitsmalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.1 Die Beziehungen zwischen t, m, r und h. . . . . . . . . . . 50
8.2 Zur Theorie des Maximalfehlers . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3 Der mittlere Fehler des durchschnittlichen und des mittleren Fehlers 54
8.4 Der mittlere Fehler eines aus den iibrigbleibenden Fehlern berech-
neten mittleren Fehlers . 57
8.5 Zufallskriterien ...................... 59
H. Abschnitt
Ausgleichung yon direkten Beobachtungen
§ 9. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe . 61
9.1 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung 61
9.2 DasAusgleichungsprinzip . . . . . . . . . . . 61
9.3 Ausgleichungsverfahren . . . . . . . . . . . . 63
§ 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit (Arithme
tisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§ 11. Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit (All-
gemeines arithmetisches Mittel). . . . 67
§ 12. Beobachtungen mit Summengleichung. . . . . . . . . . . . . . . 69
HI. Abschnitt
Ausgleichung yon yermittelnden Beobachtungeo
§ 13. Einfiihrung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen . 73
§ 14. Aufstellen der Fehlergleichungen . 74
14.1 Wahl der Unbebnnten. . . . 75
14.2 Lineare Fehlergleichungen 76
14.3 Nichtlineare Fehlergleichungen. 76
§ 15. Aufstellen und Auflosen der Normalgleichungen 79
15.1 Aufstellen der Normalgleichungen . . . . 79
15.2 Auflosen der Normalgleichungen nach dem GAussschen AIgo-
rithmus . . . . . . . . . . . . . 80
15.3 Obergang auf mehrere Unbekannte 82
15.4 Das System der Endgleichungen. . 84
I nhaltsverzeichnis VII
§ 16. Vervollstandigung des Algorithmus durch Summen- und [v v]-Proben 85
16.1 Die Summenproben. . • . 85
16.2 v-Proben und [v v]-Proben . . 87
16.3 Die SchluBprobe. . . . . . . 89
16.4 Anordnung der Zahlenrechnung 90
§ 17. Gewichtskoeffizienten und mittlere Fehler der Unbekannten 92
17.1 Herleitung der Gewichtskoeffizienten. . . . . . . . . 92
17.2 Berechnung der Gewichtskoeffizienten aus ihren Endgleichungen 96
17.3 Gleichzeitige Aufliisung von Normal- und Gewichtsgleichungen . 98
17.4 Die unbestimmte Auflosung '" . . . . . . . . 99
17.5 Gewichtsberechnung bei nur zwei Unbekannten . 102
§ 18. Mittlere Fehler der beobachteten GriiBen . . . . . . 103
18.1 Ableiten der Fehlerformel. . . . . . . . . . . 103
18.2 Zweite GAusssche Begriindung der Methode der kleinsten Quadrate 105
§ 19. Vermittelnde Beobachtungen verschiedener Genauigkeit. 107
§ 20. Die Gewichte von Funktionen der Unbekannten 110
20.1 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtskoeffi-
zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
20.2 Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des urspriing
lichen Normalgleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 112
20.3 Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beob-
achtungen . . . . . . . . . . . . . . 113
20.4 Freie oder nicht korrelierte Funktionen 114
§ 21. Rechenmaschinenalgorithmen. . . . . . . . 116
21.1 Der mechanisierte GAusssche Algorithmus 116
21.2 Der moderne GAusssche Algorithmus 117
21.3 Der Algorithmus von CHOLESKY. . . . . 123
§ 22. Obersicht iiber die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen 125
§ 23. Ausgleichung von Hiihennetzen 127
§ 24. Reduzierte Fehlergleichungen 130
24.1 Elimination einer Unbekannten mittels der Summengleichung 130
24.2 Die SCHREIBERSche Regel . 131
§ 25. Stationsausgleichungen 134
§ 26. Trigonometrisches Einschneiden 145
§ 27. Ausgleichung von Streckennetzen. 169
§ 28. Die Ausgleichung von Triangulierungsnet~en nach vermittelnden Beob-
achtungen . . . . . . . . . . . . . . . 174
28.1 Ausgleichen von Fiillnetzen . . . . . 174
28.2 Ausgleichen von fteien Flachennetzen 175
VIn Inhaltsverzeichnis
IV. Abschnitt
Ausgleiehung von bedingten Beobschtungen
§ 29. Einfiihrung in die Methode der bedingten Beobachtungen 177
§ 30. DaB Aufstellen der Bedingungsgleichungen 178
30.1 Aufsuche~ der Bedingungen. . . . 178
30.2 Lineare Bedingungsgleichungen . . . 180
30.3 Nichtlineare Bedingungsgleichungen . 181
§ 31. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben . 182
31.1 Aufstellen und Auflosen der. Korrelatengleichungen und der Nor-
malgleichungen. . . . . . . . . 182
31.2 Die [v v]-Proben . . . . . . . . . 183
31.3 Summenproben und SchluBprobe. . 184
§ 32. Mittlerer Fehler einer beobachteten GroBe 185
32.1 Zuruckfiihren bedingter auf vermittelnde Beobachtungen. 185
32.2 Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten GroBe 187
§ 33. Bedingte' Beobachtungen mit ungleichen Gewichten . . . . . .. 187
§ 34. Die Gewichte von Funktionen der aUBgeglichenen Beobachtungen.. 188
34.1 Darstellen des FunktionsgewichteB mittels der "Obertragungskoeffi-
zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
34.2 Berechnen der Funktionsgewichte . . . . . . . . . . . . . . 191
34.3 Die Gewichtskoeffizienten der ausgeglichenen Beobachtungen. . 192
34.4 Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen
Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 35. "Obersicht iiber die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen . 195
§ 36. Einfache Anwendungen der bedingten Beobachtungen . 197
§ 37. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen . . . . . . 204
37.1 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen 204
37.2 Abzahlformeln bei Winkelbeobachturigen in freien Netzen . 206
37.3 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in angeschlossenen Netzen 209
37.4 Behandlung von Richtungssatzen ........ : . . .. 210
37.5 Fehlerberechnung in trigonometrischen Netzen. . . . . . .. 211
§ 38. Iterative und gruppenweise Behandlung von Bedingungsgleichungen 221
38.1 Ein GAusssches lterationsverfahren . . . . . . . . . . .. 222
38.2 Naherungsausgleichung von Dreiecksnetzen mit Richtungsbeob-
achtungen. . . . . . . . . . . . . . 223
38.3 Reduzierte Bedingungsgleichungen . . . . . 224
38.4 Das KRUGERSChe Zweigruppenverfahren . . 226
§ 39. Entwicklungsverfahren und Substitutionsverfahren 234
39.1 Grundgedanken des Entwicklungsverfahrens. 234
39.2 Die Entwicklung der Korrelaten nach den Widerspriichen 234
Inhaltsverzeichnis IX
39.3 Der AIgorithmus des Entwicklungsverfahrens 236
39.4 Grundgedanken des Substitutionsverfahrens . 239
§ 40. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen 244
40.1 Direkte Losung . . . . . . . . . . . . . 244
40.2 Zweistufige Ausgleichung nach F. W. BESSEL 246
40.3 Eine Losung von C. F. BAESCHLIN. . . . . 248
§ 41. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten . . . . 253
41.1 Allgemeine Form der Ausgleichungsaufgabe . 253
41.2 Fehlergleichungen mit verschiedenartigen BeobachtungsgroBen 255
§ 42. Ausgleichen kOITelierter Beobachtungen mittels aquivalenter Fehlerglei-
chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
42.1 Aquivalente Fehlergleichungen .......... 260
42.2 Ausgleichen kOITelierter bedingter Beobachtungen . . 261
42.3 Ausgleichen kOITelierter vermittelnder Beobachtungen 263
V. Abschnitt
Sonderfiille und Grenzgebiete
§ 43. Ausgleichung durch schrittweise Annaherung . . . . . . . . . . . 268
§ 44. Bestimmen der Konstanten einer linearen Transformation (HELMERT
Transformation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
44.1 Berechnen der Transformationskonstanten aus den auf die Schwer
punkte bezogenen Koordinaten der PaBpunkte. . . . . . . . . 279
44.2 Berechnen der Konstanten zur Transformation photogrammetri
scher Modelle aus den urspriinglichen Koordinaten der PaBpunkte 282
§ 45. Genaherte Darstellung von Funktionen . . . . . . . . 284
45.1 Bestimmen der ausgleichenden Geraden 284
45.2 Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe 288
45.3 Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen . 292
§ 46. Ausgleichungsrechnung und mathematische Statistik . . 301
46.1 Statistische Untersuchung von Beobachtungsreihen 301
46.2 Grundbegriffe der KOITelationsrechnung 305
46.3 Physikalische und algebraische Korrelationen 307
VI. Abschnitt
Anwendungen der Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung
§ 47. Grundregeln t;\er Matrizenrechnung .. 308
47.1 Definition und Bezeichnungen .. 308
47.2 Rechenoperationen mit Matrizen 310
47.3 Sonderfalle und Anwendungen der Multiplikationsregel. 311
47.4 Inversion der Matrizen ....... . 314
47.5 Symmetrische Matrizen ....... . 317
47.6 Differentiation von Matrizenfunktionen . 321