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Grundzüge der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodäsie PDF

272 Pages·1953·15.47 MB·German
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Grundzüge der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendungen in der Geodäsie Von Dr.-lng. W alter Großmann o. Professor an der Technischen Hoc.hschule Hannover Mit 54 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1953 ISBN 978-3-662-23591-1 ISBN 978-3-662-25670-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-25670-1 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopic, Mikrokopie) zu vervielfältigen. Copyright 1953 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1953 Softcover reprint of the bardeover 1st edition 1953 Vorwort. Dieses Buch ist, wie meine bei der Wissenschaftlichen Verlags anstalt Hannover im Jahre 1949 erschienenen "Rechnungen und Ab bildungen in der Landesvermessung", auf der einen Seite als Vorlesungs hilfe gedacht, zum anderen will es den Praktiker, der für den Einzelfall Belehrung sucht, instand setzen, sich schnell und möglichst vollständig zu unterrichten. Da ich die Kenntnis der Matrizenrechnung noch nicht allgemein glaube voraussetzen zu dürfen, habe ich die klassische GAuss sche Schreibweise beibehalten und mich bemüht, in diesem Rahmen für alle in der breiteren Praxis benutzten Ausgleichungsverfahren leicht verständliche Formelentwicklungen und übersichtliche Rechenanlei tungen zu geben. Die Beispiele behandeln in den ersten 4 Abschnitten vorwiegend die gängigen Aufgaben aus der Vermessungspraxis, wobei, wie es der Praxis entspricht, die Winkelwerte teils in alter, teils in neuer Teilung gegeben sind. Im 5. Abschnitt werden Ansätze allgemeiner Art gebracht, deren Anwendung auf andere Wissensgebiete nicht schwer fallen wird. In Zweifelsfällen ist nicht der knappsten, sondern der durchsichtigsten Lösung der Vorzug gegeben. Die Texterläuterungen sind so ausführlich gehalten, daß sie auch ein Selbststudium erlauben. Einen Überblick über Stoff und Gliederung des Inhalts findet man auf den Seiten 4 und 5. In der vorliegenden Form ist dieser Band die Erweiterung einer im Jahre 1952 erschienenen Autographie, die über den Kreis meiner Hörer hinaus freundliche Aufnahme gefunden hat. Grgenüber jener Darstellung hat das Buch vor allem durch den dem Verlag und seinen geschulten Mitarbeitern zu dankenden ansprechenden Satz und den klaren Druck gewonnen. Hinzugekommen sind neben kleinen Ergän zungen die HAGENsehe Begründung des GAussschen Fehlergesetzes, das BoLTZsche Entwicklungsverfahren, eine kurze Darstellung der ver mittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen, der Gebrauch von äquivalenten Fehlergleichungen, die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen und ein Überblick über die mittleren Fehler der Genauigkeitsmaße. Das Buch hält damit etwa die Mitte zwischen den von HEOEMANN, WEITBRECHT, .WERKMEISTER U. a. herausgebrachtt•n Kurzdarstellungen und den umfassenderen \Verken von JoRDAN und HELMERT. IV Vorwort. In der Zusammenstellung und Zurichtung des Stoffes haben mich die Herren Dr.-Ing. HöPCKE und Dipl.-Ing. WANDELT sehr wesentlich unterstützt. Für die Neugestaltung sind mir aus dem In- und Auslande wertvolle Anregungen zugegangen, für die ich an dieser Stelle meinen Dank ausspreche. Hannover, 1m September 1953. W. Großmann. Inhaltsverzeichnis. ~eite § 1. Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate . 1 I. Grundzüge der Fehlerlehre. . . . . . . . . . . . . . . 6 § 2. Fehlerarten und Genauigkeitsmaße . . . . . . . . . 6 Grobe, regelmäßige und unregelmäßige Fehler. S. 6 - Durchschnitt licher, mittlerer und wahrscheinlicher Fehler. S. 8. - Der Grenz oder Maximalfehler. S. 10. - Der relative Fehler. S. 10. § 3. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . . • . 11 Die Fortpflanzung wahrer Fehler. S. 11. -Die Fortpflanzung mitt lerer Fehler. S. 11. § 4. Berechnung des mittleren Fehlers aus scheinbaren Fehlern gleieh genauer Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Wahre und scheinbare Fehler. S. 19. - Mittlerer Fehler einer ur- . sprünglichen Beobachtung. S. 20. - Mittlerer Fehler des arith metischen Mittels. S. 21. § 5. Berechnung des mittleren Fehlers aus Beobachtungen verschiede- ner Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Einführung der Gewichte. S. 23. - Gewicht und mittlerer Fehler. S. 24. - Gewicht einer Funktion beobachteter Größen. S. 26. - Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit. S. 27. § 6. Berechnung des mittleren Fehlers aus Doppelmessungen. . . . . 31 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes. S. 31. - Beobachtungs· paare ungleichen Gewichtes. S. 32. § 7. Das Gaußsehe Fehlergesetz und die Genauigkeitsmaße . . . . . 35 Fehlerhäufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit. S. 35. - Die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion. S. 36. - Die graphische Dar stellung von tp (e). S. 38.-Die Beziehungen zwischen t, m, rundh. S.41. - Zur Theorie des Maximalfehlers. S. 44. - Hagens Ableitung des Fehlergesetzes. S. 44. II. Ausgleichung von direkten Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . 48 § 8. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe . . . . . 48 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung. S. 48. - Das Ausglei chungsprinzip. S. 48. - Ausgleichungsverfahren. S. 49. § 9. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit. (Arith metisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 § 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. (Allgemeines arithmetisches Mittel.) . . . . . 54 § 11. Beobachtungen mit Summengleichung . . . . 56 111. Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen. 59 § 12. Einführung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen 59 § 13. Aufstellen der Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . 61 Wahl der Unbekannten. S. 61. -Lineare Fehlergleichungen. S. 62. - Nichtlineare Fehlergleichungen. S. 62. VI Inhaltsverzeichnis. Seite § 14. Aufstellen und Auflösen der Normalgleichungen nebst Summen- proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Das Aufstellen der Normalgleichungen. S. 65. - Die Auflösung der Normalgleichungen. S. 66. - Summenproben. S. 68. § 15. [vv]-Proben, Schlußprobe und Rechenschema . . . . . . . . . 70 Berechnung der v mit v-Proben. S. 70. - Berechnung von [ vv] nebst [vv]-Proben. S. 70. - E-Proben und [ll]-Proben. S. 71. - Schluß probe. S. 73. - Anordnung der Zahlenrechnung. S. 73. § 16. Gewichtsreziproken und mittlere Fehler der Unbekannten . . . . 76 Herleitung der Gewichtsreziproken. S. 76. - Die Berechnung der Gewichtsreziproken im Gaußsehen Algorithmus. S. 79. - Gewichts berechnung durch Umstellen der Normalgleichungen. S. 80. - Ge wichtsreziproken bei zwei Unbekannten. S. 81. - Zahlenbeispiel s. 81. § 17. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe . . . 83 § 18. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit . 87 § 19. Gewicht einer Funktion der Unbekannten ..... 90 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtsrezi proken. S. 90. - Berechnen des Funktionsgewichtes durch Er weitern des ursprünglichen Normalgleichungssystems. S. 92. - Berechnen des Funktionsgewichtes mit symbolischen Gewichts koeffizienten. S. 93. § 20. Übersicht über die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen 97 § 21. Gemeinsame Berechnung der Unbekannten und ihrer Gewichts- reziproken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Normalgleichungen und Gewichtsgleichungen. S. 99. - Berechnen der Unbekannten und Gewichtsreziproken durch fortgesetzte Re duktion. S. 100. - Bilden der Endgleichungen ohne Zwischen- stufen. S. 101. § 22. Ausgleichung von Höhennetzen . . . . . . . . . . . . . . . 104 § 23. Reduzierte Fehlergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Elimination einer Unbekannten mittels Summengleichung. S.106. - Die Schreibersehe Regel. S. 107. § 24. Stationsausgleichungen . . . . . . . . . 109 § 25. Trigonometrisches Einschneiden . . . . . 117 IY. Ausgleichung von bedingten Beobachtungen. 142 § 26. Einführung in die Methode der bedingten Beobachtungen 143 § 27. Aufstellen der Bedingungsgleichungen . . . . . . . . 144 Ursprüngliche und umgeformte Bedingungsgleichungcn. S. 144. - Das Aufstellen der Bedingungsgleichungen. S. 145. - Linear machen von Bedingungsgleichungen. S. 146. § 28. Korrclatengleichungen, Normalgleichungen und Proben 14 7 Aufstellen und Auflösen der Korrelatengleichungen und der Nor malgleichungen. S. 147. - Die [vv]-Proben. S.149. - Summen proben und Schlußprobe. S. 150. § 29. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe . . . . . . . . . . 151 Zurückführung bedingter auf vermittelnde Beobachtungen. S. 151. - Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten Größe. s. 152. § 30. Bedingte Beobachtungen mit ungleichen Gewichten . . . . . . 153 § :n. Mittlerer Fehler von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen 154 Berechnung des Funktionsgewichtes mit Hilfe von Übertragungs- Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben. VII Seite koeffizienten. S. 154. - Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des ursprünglichen Normalgleichungssystems. S. 157. - Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen. S. 159. § 32. Übersicht über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen . 160 § 33. Einfache Anwendungen der Ausgleichung nach bedingten Beob- achtungen •........................ 163 § 34. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen . . . . . . . . . . . 170 Einführen von Seitengleichungen. S. 170. - Bedingungen bei Win· kelbeobachtungen in freien Netzen. S. 173. - Bedingungen in an geschlossenen Netzen. S. 177. - Behandlung von Richtungssätzen. s. 179. § 35. Reduzierte Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 183 § 36. Das Boltzsche Entwicklungsverfahren ............ 192 Gruppenweise Ausgleichung. S. 192. - Die Entwicklung der Kor relaten nach den Widersprüchen. S. 193. - Berechnung der Kor relaten in zwei getrennten Gruppen. S. 195. § 37. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen ..• 202 § 38. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten . • . . . . . . • . . 209 Allgemeinste Form der Ausgleichungsaufgabe. S. 209. - Fehler gleichungen mit verschiedenartigen Beobachtungsgrößen. S. 211. § 39 . .Äquivalente Fehlergleichungen . 216 V. Anhang. . . . . . . . . . . . . . 221 § 40. Ausgleichung durch schrittweise Annäherung 221 § 41. Genäherte Darstellung von Funktionen 231 Bestimmen der ausgleichenden Geraden. S. 231. - Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe. S. 235. - Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen. S. 239. § 42. Mittlere Fehler der Genauigkeitsmaße . . . . . . . . . . . . 248 Die mittleren Fehler des durchschnittlichen und mittleren Fehlers. S. 248. - Der mittlere Fehler des mittleren Fehlers aus scheinbaren Fehlern. S. 251. Schrifttum (Auswahl) 254 Namen- und Sachverzei(•hnis 255 Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben. I. Grundzüge der Fehlerlehre. Zu § 2 Beispiel 1 zur Berechnung der Genauigkeitsmaße aus wahren Fehlern 9 Zu § 3 Beispiele 2 bis 9 zum Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . 14 Zu § 4 Beispiel 10 zur Berechnung des mittleren Fehlers aus scheinbaren Fehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Zu § 5 Beispiele 11 bis 15 zur Gewichtsberechnung . . . . . . . . . . 29 Zu § 6 Beispiele 16 bis 18 zur Berechnung des mittleren Fehlers aus Doppel- messungen 33 II. Ausgleichung von direkten Beobachtungen. Zu § 9 Aufgabe 1. Mehrfache Bestimmung eines Winkels . . 53 Zu § 10 Aufgabe 2. Mehrfache Bestimmung einer Höhenmarke 55 VIII Verzeichnis der Beispiele und Aufgaben. Seite Zu § 11 Aufgabe 3. Winkelmessung mit Horizontschluß (I) . . . 56 Aufgabe 4. Ausgleichung einer Nivellementsschleife. . . 57 III. Ausgleich1mg von vermittelnden Beobachtungen. Zu § 12 Aufgabe 5. Winkelmessung mit Horizontschluß (II) 59 Zu § 13 Aufgabe 6. Maßstabsvergleich (I) . . . . . . . . 63 Aufgabe 7. Punktbestimmung durch Bogenschlag 64 Zu § 18 Aufgabe 7. Fortsetzung . . . . . . . . . . . . 89 Zu § 19 Aufgabe 8. Mittlere Fehler der ausgeglichenen Strecken bei der Punktbestimmung durch Bogenschlag ........ . 95 Zu § 22 Aufgabe 9. Ausgleichung geometrischer Nivellements (I) 104 Aufgabe 10. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen (I) 105 Zu § 23 Aufgabe 11. Maßstabsvergleich (Il) ......... . 109 Zu § 24 Aufgabe 12. Berechnung vollständiger Richtungssätze . . llO Aufgabe 13. Vereinigung unvollständiger Richtungssätze 113 Aufgabe 14. Winkelmessung in allen Kombinationen (I) . 116 Zu § 25 Aufgabe 15. Berechnung der Richtungskoeffizienten . 118 Aufgabe 16. Vorwärtseinschneiden mit Winkeln 120 Aufgabe 17. Vorwärtseinschneiden mit Richtungen . 121 Aufgabe 18. Rückwärtseinschneiden mit Richtungen 125 Aufgabe 19. Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden 128 Aufgabe 20. Doppelpunkteinschaltung . . . . . . . . . 133 Aufgabe 21. Die Fehlerellipse und der mittlere Punktfehler 137 IV. Ausgleichung von bedingten Beobachtungen. Zu § 26 Aufgabe 22. Winkelmessung mit Horizontschluß (III) 143 Zu § 29 Aufgabe 23. Winkelausgleichung im Dreieck . . . . 151 Zu § :l3 Aufgabe 24. Winkelmessung in allen Kombinationen (II) 163 Aufgabe 25. Ausgleichung geometrischer Nivellements (II) 164 Aufgabe 26. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen (II) 165 Zu § 34 Aufgabe 27. Ausgleichung eines Diagonalenvierecks mit beobachte- ten Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Aufgabe 28. Ausgleichung einer sphärischen Kette mit Richtungs beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Zu § 35 Aufgabe 29. Strenge Aubgleichung eines Polygonzugs . . . . . . 185 Zu § 36 Aufgabe 30. Korrelatenentwicklung einer einfach gestörten Drei- eckskette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Zu § 37 Aufgabe 31. Winkelmessung nach der Schweizer Sektorenmethode 204 Zu § 38 Aufgabe 32. Bestimmung der inneren Orientierung einer Meßkammer 213 V. Anhang. Zu § 40 Aufgabe 33. Schrittweise Ausgleichung unvollständiger Richtungs- sätze ............................ 222 Aufgabe 34. Stufenweise Ausgleichung eines Nivellementsnetzes . 224 Aufgabe 35. Ausgleichung trigonometrischer Höhenmessungen durch wiederholte Mittelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Zu § .J, I Aufgabe 36. Bestimmen der Standkorrektion und de1:l Temperatur koeffizienten eines Federbarometers . . . . . . . . . . . . . . 234 Aufgabe 37. Bestimmen von Stand und Gang einer Pendeluhr 237 Aufgabe 38. Heuvelinks Verfahren zur Bestimmung der regelmäßi- gr·n Teilungs\·crbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 § 1. Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate1• Die JJfethode der kleinsten Quadrate ist zu Beginn des 19. Jahrhunderts von A. M. LEGENDRE und ÜARL FRIEDRICH GAuss unabhängig von einander ungefähr gleichzeitig gefunden worden. LEGENDRE hat sie erst malig im Jahre 1806 am Schluß eines kleinen Werkes über die Berech nung der Kometenbahnen entwickelt und eine zweite Abhandlung im Jahre 1810 veröffentlicht. Von ihm stammt der Name "methode des rnoindres carres" (englisch "method of the least squares"). GAUSS hat von 1809 bis 1826 eine Anzahl von Abhandlungen meist in lateinischer Sprache erscheinen lassen, von denen die wichtigsten die Theoria motus corporum coelestium (1809) und die Theoria combinationis observatio num erroribus minimis obnoxiae, pars prior (1821), pars posterior (1823) und supplementum (1826) sind. Den ersten bedeutenden Erfolg bei der Anwendung seines, wie er selbst angibt, von ihm bereits seit 1794 gebrauchten Prinzips erzielte GAuss im Jahre 1802. Im Jahre zuvor hatte der italienische Astronom PIAZZI den kleinen Planeten Ceres entdeckt und ihn an 41 Tagen über nur 9° seiner Bahn beobachten können. Als PIAZZI seine Entdeckung einige Monate später bekanntgab, machten sich namhafte Astronomen, darunter der junge Dr. GAuss in Göttingen, daran, aus den spärlichen Beobachtungsdaten die Bahnelernente zu ermitteln. Die Wiederent deckung gelang dem Astronomen v. ZACH in Gotha auf Grund der An gaben von GAuss, dem es mit Hilfe seines Ausgleichungsprinzips gelungen war, alle Beobachtungen gleichmäßig zu berücksichtigen und damit, wie ZACH schrieb, eine "zur Bewunderung genaue" Ellipse zu berechnen. Die Methode der kleinsten Quadrate ist zuerRt zur Ausgleichung astronomischer Beobachtungen benutzt worden. Sie wurde jedoch bald auch auf geodätische Messungen angewandt. Insbesondere hat sich GAuss ihrer bei seiner hannoverschen Gradmessung bedient. Um den Ausbau der Methode hat sich u. a. F. W. BESSEL verdient gemacht. Für den allgemeinen Gebrauch waren jedoch die GAussschen und BESSELschen Abhandlungen zu schwierig. Von entscheidender Bedeu tung für die Verbreitung der Methode war das Lehrbuch der "Ausglei chungsrechnungen in der praktischen Geometrie oder die Methode der 1 Vgl. Schrifttum.

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