Grundzüge der Algebra

249 Pages·1978·4.66 MB·German

by  Dr. rer. nat. Otto Schafmeister

MLG
Mathematik für das
Lehramt an Gymnasien
Claus
Einführung in die Informatik
254 Seiten. Kart. DM 24,80
Degen/Profke
Grundlagen der affinen
und euklidischen Geometrie
232 Seiten. Kart. DM 25,80
Schafmeister/Wiebe
Grundzüge der Algebra
247 Seiten. Kart. DM 26,80
Walter
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik
Wille
Analysis
Eine anwendungsbezogene Einführung
336 Seiten. Kart. DM 29,00
Die Reihe Mathematik für das Lehramt an Gymnasien
wird durch weitere Bände fortgesetzt.
Preisänderungen vorbehalten.
B. G. Teubner Stuttgart
Mathematik für das Lehramt an Gymnasien
Schafmeister/Wiebe
Grundzüge der Algebra
Mathematik für das
Lehramt an Gymnasien
Herausgegeben von
Prof. Dr. W. Degen, Stuttgart, Prof. Dr. K. Kirchgässner, Stuttgart,
Oberstudienrat M. Toussaint, Karlsruhe, Prof. Dr. E. Walter, Freiburg
Die Reihe Mathematik für das Lehramt an Gymnasien behandelt die
für den Unterricht in der Sekundarstufe II bedeutsamen Gebiete der
Mathematik. Die einheitlich konzipierten Bände vermitteln dem Lehr
amtskandidaten klassischen und neueren Universitätsstoff in einer auf
den Schulunterricht bezogenen konkretisierten Form. Dem in der Praxis
stehenden Lehrer dienen die Darstellungen dieser Reihe zur Vertiefung
und Erweiterung seines theoretischen Wissens und bieten ihm den wis
senschaftlichen Hintergrund für eine eigene Gestaltung des Unterrichts.
Grundzüge der Algebra
Von Dr. rer. nat. Ouo Schafmeister
Akad. Oberrat an der Universität Bochum
und Dr. rer. nat. Hartrnut Wiebe
Akad. Oberrat an der Universität Bochum
Mit 19 Abbildungen, 19 Beispielen
und 198 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1978
Dr. rer. nat. ütto Schafmeister
Geboren am 20. 4. 1940 in Perleberg, Mark Brandenburg.
Studium der Mathematik, Physik und Mathematischen
Logik in Münster. 1968 Promotion in Mathematik. Danach
wissenschaftlicher Assistent in Münster und Bochum. Seit
1973 akademischer überrat in Bochum
Dr. rer. nat. Hartmut Wiebe
Geboren am 4. 6. 1942 in Bonn. Studium der Mathematik,
Physik und Mathematischen Logik in Münster, Heidelberg
und an der Purdue University, USA. 1967 Promotion in
Mathematik in Münster. Danach wissenschaftlicher Assistent
in Münster und Bochum. Seit 1974 akademischer überrat
in Bochum. 1975/7 6 Vertretung einer Professur für Didaktik
der Mathematik an der Universität Frankfurt.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Schafmeister, Otto
Grundzüge der Algebra! von Otto Schafmeister u.
Hartmut Wiebe. - 1. Auf1. - Stuttgart : Teubner,
1978.
(Mathematik ftir das Lehramt an Gymnasien)
ISBN 978-3-519-02754-6 ISBN 978-3-322-94751-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94751-2
NE: Wiebe, Hartmut:
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nahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem
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Werkes, dem Verlag vorbehalten.
Bei gewerblichen Zwecken dienender VervieWiltigung ist an den Ver
lag gemäß § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem
Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1978
Satz: Eisner & Behrens GmbH, Oftersheim
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Algebra ist neben Analysis und Geometrie eine der tragenden Säulen der Schulmathe
matik und der Mathematik überhaupt. Wir haben in diesem Band versucht, eine Aus
wahl aus der klassischen Algebra und der elementaren Zahlentheorie zu treffen, die als
Hintergrundinformation ftir den Mathematiklehrer am Gymnasium sinnvoll erscheint.
Bei der ersten Bekanntschaft mit Algebra stehen das Zahlenrechnen und die Suche
nach Lösungen ftir einfache Gleichungen im Vordergrund. Wir geben daher nach einer
kurzen Darstellung der wichtigsten algebraischen Grundbegriffe einen vollständigen
überblick über den Aufbau des Zahlsystems, wobei es uns darauf ankam, die Zahl
bereichserweiterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen heraus
zuarbeiten. So zeigen wir die Gemeinsamkeiten bei der Konstruktion der ganzen und
der rationalen Zahlen auf und gewinnen die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen
durch die allgemeinen Prozesse der Vervollständigung angeordneter Körper bzw. der
Adjunktion von Nullstellen.
Bei den Ausftihrungen über Gruppen legen wir besonderes Gewicht auf Beispiele ftir
endliche Gruppen: Permutationsgruppen, Gruppen kleiner Ordnung, endliche Bewe
gungsgruppen der Ebene.
Einen zentralen Platz nimmt die ausftihrliche Behandlung der Teilbarkeitslehre ein.
Neben den Anwendungen bei ganzen Zahlen und Polynomen gehen wir exemplarisch
auf die Zahlentheorie des Ringes der ganzen Gaußschen Zahlen ein und zeigen, wie
sich zahlentheoretische Aussagen über diesen Ring in Aussagen über Quadratsummen
natürlicher Zahlen übersetzen lassen.
Entscheidende Antriebsquellen ftir die Entwicklung der Algebra sind die klassischen
Fragen nach Lösungsformeln ftir Gleichungen höheren Grades und nach der Möglich
keit bestimmter Konstruktionen mit Zirkel und Lineal gewesen. Das wichtigste Hilfs
mittel in diesem Zusammenhang ist die Theorie der algebraischen Körpererweiterungen,
auf die wir im letzten Kapitel eingehen. Dabei wird der allgemeine Begriffsapparat nur
insoweit entwickelt, wie es zu einer angemessenen Behandlung der Unmöglichkeitsaus
sagen bei den angesprochenen klassischen Problemen notwendig ist.
Im Anhang geben wir einen relativ elementaren Beweis der Transzendenz von 1T wieder.
Vorkenntnisse werden vom Leser im wesentlichen nicht verlangt. Lediglich in den Ab
schnitten 21 und 31 greifen wir auf einige elementare Hilfsmittel aus der linearen Algebra
zurück.
Der Text enthält zahlreiche Aufgaben, die der Einübung und Illustration des Stoffes
dienen; dazu werden Lösungshinweise im Anhang gegeben.
Wir danken Frau D. Jelen und Frau F. Leyhe ftir die sorgfaltige Herstellung des Manu
skriptes und dem Teubner-Verlag ftir die verständnisvolle und geduldige Zusammen
arbeit.
Bochum, im Frühjahr 1978 O. Schafmeister, H. Wiebe.
Inhalt
Grundbegriffe der Mengenlehre
1 Mengen 9
2 Relationen 11
3 Abbildungen . 13
4 Quotientenmengen . 17
11 Algebraische Strukturen
5 Halbgruppen und Gruppen 20
6 Ringe und Körper . 30
7 Unterstrukturen . . . 37
8 Homomorphismen. . 40
9 Quotientenstrukturen . 48
10 Konstruktion von Brüchen 51
III Zahlbereiche
11 Die natürlichen Zahlen 55
12 Die ganzen und die rationalen Zahlen. . . . 64
13 Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper. 71
14 Vollständig angeordnete Körper 76
15 Die reellen Zahlen. . . . . . . . . . 86
IV Gruppen
16 Zyklische Gruppen und Ordnungen 92
17 Normalteiler und Quotientengruppen . 99
18 Direkte Produkte von Gruppen. . . 105
19 Permutationsgruppen . . . . . . 109
20 Beispiele zur Klassifikation endlicher Gruppen. 121
21 Endliche Gruppen von Kongruenzabbildungen . 126
V Ringe
22 Ideale und Restklassenringe 131
23 Polynomringe . . . . 136
24 Nullstellen von Polynomen 140
25 Symmetrische Polynome . 144
26 Primfaktorzerlegung . . 149
27 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, faktorielle Ringe 155
28 Weitere Teilbarkeitsuntersuchungen . . . . 160
29 Anwendung: Dezimalentwicklung von Brüchen 167
30 Anwendung: Quadratsummen . . . . . . 174
8 Inhalt
VI Körper
31 Algebraische Körpererweiterungen 181
32 Zerfallungskörper . . 189
33 Die komplexen Zahlen 193
34 Endliche Körper 199
35 Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 204
36 Anwendung: Auflösung algebraischer Gleichungen 213
Anhang: Transzendenz von 7r. • 223
Lösungen zu den Übungsaufgaben 227
Literatur (Auswahl) . 240
Sachverzeichnis . . 242
I Grundbegriffe der Mengenlehre
In diesem Abschnitt soll eine kurze Zusammenstellung einiger Grundbegriffe der Mengen
lehre erfolgen. Für eine ausftihrlichere und axiomatisch *engere Behandlung dieses
Themas verweisen wir auf die im Literaturverzeichnis aufgeftihrten Lehrbücher.
1 Mengen
Wir gehen von einer naiven "Definition" des Mengenbegriffs aus:
Unter einer M eng e versteht man eine Gesamtheit von einzelnen Objekten, den
Eie m e n t e n dieser Menge. Dabei muß flir jedes vorstellbare Objekt feststehen, ob
es Element dieser Menge ist oder nicht. Für ein Objekt a und eine Menge A bedeutet
a E A, daß a Element von A ist, und a El' A, daß a kein Element von A ist.
Man beschreibt Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente oder mit Hilfe einer ihre Ele
mente charakterisierenden Eigenschaft. Beispielsweise kann man die aus den reellen
Zahlen 1 und -I bestehende Menge in folgender Weise angeben: {I, -l}, {x I x ER und
x2 = I} oder kürzer {x E R I x2 = I}.
Zwei Mengen A und B heißen gleich, in Zeichen A = B, wenn sie dieselben Elemente
besitzen, d. h., wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist und umgekehrt.
1.1 Definition Eine Menge A heißt eine Te i I m eng e einer Menge B, in Zeichen
A C B oder B :::l A, wenn jedes Element von A auch Element von Bist.
Genau dann gilt also A = B, wenn A C Bund B C A ist.
Die lee reM eng e ist die Menge, die überhaupt kein Element enthält. Man bezeich
net sie mit (/J. Es ist (/J C A flir jede Menge A.
1.2 Definition A und B seien zwei Mengen.
1. Die Menge {x I x E A und x E B} heißt der Dur c h sc h n i t t von A und Bund
wird mit A nB bezeichnet.
2. Die Menge {x I x E A oder x E B} heißt die Ver ein i gun g von A und B und wird
mit A U B bezeichnet.
Bei der Definition der Vereinigung darf "oder" nicht mit "entweder - oder" verwechselt
werden. A U B besteht also aus allen Elementen, die mindestens zu einer der beiden
Mengen A, B gehören. Ohne Beweis notieren wir die folgenden bekannten Rechenregeln.
1.3 Für Mengen A, B, C gilt:
1. AUB=BUA, AnB=BnA.
2. AU (B U C) = (A U B) U C, An (B n C) = (A n B) n C.
3. AU (B n C) = (A U B) n (A U C), An (B U C) = (A n B) U (A n C).
Durchschnitt und Vereinigung kann man auch gleich für beliebig viele Mengen erklären.
Ist nämlich illl eine nichtleere Menge von Mengen, so setzt man:
10 Grundbegriffe der Mengenlehre
n
M:= {x I x E M für alle M E ~Jl},
ME~1
U M:= {x I x E M für mindestens ein M E :lll}.
ME~1
Im Spezialfall :lll = {A, B} erhält man dabei gerade A nB und AU B.
1.4 Definition Für zwei Mengen A und B heißt die Menge {x I xE A und x Ej: B} die
D i f f e ren z von A und B. Sie wird mit A ~ B bezeichnet.
Man beachte, daß bei dieser Definition B nicht notwendig eine Teilmenge von A sein
muß.
I.S Für Mengen A, B, C gilt:
A~ (B U C) =(A ~ B) n(A ~ C), A~(B n C) =(A~B) U (A~C).
1.6 Definition Für zwei Mengen A und B heißt die Menge der geordneten Paare (a, b)
von Elemen ten a E A und bEB das kar t e s i s ehe Pro d u k t von A und Bund
wird mit A x B bezeichnet. Es ist also
A x B : = {( a, b) I a E A und bEB}.
Dabei haben wir den Begriff des geordneten Paares als undefinierten Grundbegriff be
nutzt. Zwei geordnete Paare (a, b) und (a', b') sind (nur dann) gleich, wenn a = a' und
b = b' gilt. Man darf also das geordnete Paar (a, b) nicht mit der Menge {a, b} verwech
seln. Es ist nämlich stets {a, b} = {b, a}, aber (a, b) = (b, a) gilt nur im Fall a = b.
A n m e r k u n g. Der Begriff "geordnetes Paar" ließe sich auch auf den Mengenbegriff
zurückführen. Setzt man nämlich (a, b) := { {a}, {a, b}}, so zeigt man leicht, daß bei
dieser Definition zwei geordnete Paare (a, b) und (a', b') genau dann gleich sind Gelzt
als Mengen), wenn a = a' und b = b' ist. Dies ist die charakteristische Eigenschaft geord
neter Paare.
Im Fall A = 0 oder B = 0 ist natürlich A x B = 0. Wir halten noch die folgenden Rechen
regeln fest.
1.7 Für Mengen A, B, C gilt:
l. A x (B U C) = (A x B) U (A xC), A x (B n C) = (A x B) n (A xC).
2. A x (B ~ C) = (A x B) ~ (A xC).
Schließlich definieren wir:
1.8 Definition Für eine Menge A heißt die Menge der Teilmengen VOn A die Pot e n z
m eng e von A. Sie wird mit 'ß( A) bezeichnet. Es ist also 'ß (A) = {X IX CA}.
Übungsaufgaben
1.9 Für Mengen A, B zeige man die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
1. AC B; 2. An B = A; 3. A U B = B; 4. Für jede Menge C gilt: AU (B n C) = (A U C)
n B. 5. Es gibt eine Menge C mit: AU (B n C) = (A U C) n B.
1.10 Für Mengen A, B zeige man die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
I. A = qJ; 2. A - B = A n B; 3. B ~ A = BUA.