Grundwissen Mathematik für Ingenieure

501 Pages·2001·16.099 MB·German

by  Prof. Dr. Matthias Richter (auth.)

Matthias Richter
Grundwissen
Mathematik fur Ingenieure
Matthias Richter
Grundwissen
Mathematik fur Ingenieure
Teubner
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fOr diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhăltlich.
Prof. Dr. Matthias Richter
Hochschule fOr Technik und Wirtschaft Dresden (FH)
E-Mail: [email protected]
1. Auflage August 2001
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2001
Ursprunglich erschienen bei B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2001
www.teubner.de
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und daher von
jedermann benutzt werden dOrften.
Umschlaggestaltung: Urlike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
ISBN 978-3-519-00413-4 ISBN 978-3-663-05772-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05772-7
Vorwort
Das Lehrbuch "Grundwissen Mathematik flir Ingenieure" wendet sich an Stu
dierende technischer Fachrichtungen. Es vermittelt die mathematischen Grund
lagen einschlie6lich der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Sta
tistik, die im Mittelpunkt des Grundstudiums der Ingenieurausbildung stehen.
Auswahl und Darlegung des Stoffes basieren auf Erfahrungen, die ich wahrend
meiner langjahrigen Lehrtatigkeit an Fachhochschulen und Universitaten im
In- und Ausland sammelte. Wichtige mathematische Begriffe, Definitionen und
Aussagen werden im Text hervorgehoben. Der dargelegte Stoff wird dabei stets
anhand zahlreicher vollstandig durchgerechneter Beispiele erlautert, und der
Leser kann jederzeit beim LOBen der gestellten Aufgaben sein erworbenes Wis
sen iiberpriifen. AIle LOBungen dieser Aufgaben sind am Ende des Buches, oft
auch noch erganzt durch zusatzliche Losungshinweise, angegeben. Das Buch ist
so konzipiert, dass man sich auch selbststandig in den Vorlesungsstoff einarbei
ten kann. Fiir weiterfiihrende Gebiete wird auf entsprechende Spezialliteratur
verwiesen.
In diesem Buch wird beriicksichtigt, dass in der Ausbildung zunehmend Com
puteralgebra-Systeme verwendet werden, die sowohl auf PC's als auch auf
grafikfahigen Taschenrechnem vorhanden sind. Mit einem Computeralgebra
System lassen sich symbolische Berechnungen ausflihren. Taschenrechner mit
derartigen Systemen liefem z.B. Texas Instruments, Casio, Hewlett Packard
und Sharp. ErfahrungsgemaB hat ein gr06er Teil der Studenten beim ersten
Umgang mit Computeralgebra-Systemen Schwierigkeiten. Aus diesem Grund
wird an geeigneten Stellen im Buch auf die Handhabung von Taschenrech
nem kurz eingegangen. Da sich die Struktur der Computeralgebra-Systeme
wenig unterscheidet, lassen sich die angegebenen Hinweise zum Einsatz des
TI-89 auch auf andere Taschenrechner iibertragen. Dem Anwender werden da
mit langwierige Rechnungen per Hand erspart, und er wird von Routinearbeit
entlastet. In diesem Zusammenhangmussjedoch ausdriicklich daraufhingewie
sen werden, dass die Verwendung modemer Rechentechnik nicht davon befreit,
sich intensiv mit den mathematischen Grundlagen zu beschaftigen. Nur bei
6 Vorwort
fundierten mathematischen Kenntnissen wird es erst moglich, das Hilfsmittel
Taschenrechner bzw. Computer sinnvoll beim LOBen von Problemen und Auf
gaben einzusetzen. Aus diesem Grund steht in diesem Buch die Vermittlung
der mathematischen Grundlagen im Vordergrund.
Die Druckvorlage wurde mit dem Textsatzsystem 'lEX erstellt. Die Einbin
dung des Inhaltes des Displays vom TI-89 in den Text erfolgte mit Hilfe des
TI-GRAPH LlNKTM. Einige Bilder wurden mit der Software Mathematica ange
fertigt.
Auf diesem Weg mOchte ich allen Kollegen recht herzlich danken, die mich
bei der Arbeit an diesem Buch unterstutzten. Mein besonderer Dank gilt den
Herren Prof. Dr. S. Scholz, Prof. Dr. G. Zeidler, Dr. H.-D. Dahlke und Dr. W.
Mauermann, die das Manuskript kritisch durcharbeiteten und mir wertvolle
Hinweise bei der Darlegung des Stoffes gaben. Die Herren Dr. H.-D. Dahlke
und Dr. W. Mauermann haben samtliche Beispiele und Aufgaben mit gro6er
Sorgfalt nachgerechnet. Weiterhin mOchte ich mich bei den Herren Prof. Dr.
C. Lange, Prof. Dr. D. Oestreich und Prof. Dr. L. Paditz bedanken, die Teile
des Manuskripts durchsahen.
Gro6en Dank schulde ich auch Herrn J. WeiB aus Leipzig und dem Verlag B.G.
Teubner fUr die angenehme Zusammenarbeit.
Fur Hinweise und Bemerkungen zu diesem Buch bin ich jedem Leser und Nut
zer dankbar.
Dresden, im Februar 2001 Matthias Richter
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 13
1.1 Grundbegriffe der Logik . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Aussagen, Elemente und Mengen ..... . 13
1.1.2 Aussageformen und Aussagenverbindungen . 15
1.1.3 Beweisverfahren..... 19
1.2 Grundbegriffe der Mengenlehre 21
1.2.1 Mengenoperationen .... 21
1.2.2 Losen von Ungleichungen . 25
1.2.3 Produktmengen und Abbildungen . 27
1.3 Funktionen ..... . 33
1.3.1 Grundbegriffe......... 33
1.3.2 Hilfsfunktionen ....... . 35
1.3.3 Eigenschaften von Funktionen 37
1.4 Grundfunktionen . . . . . 45
1.4.1 Potenzfunktionen ...... . 45
1.4.2 Winkelfunktionen....... 46
1.4.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen . 56
1.5 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.1 Polynome, ganze rationale Funktionen 58
1.5.2 Gebrochen rationale Funktionen ... 64
1.5.3 Hyperbolische und Area-Funktionen . 65
1.6 Die binomische Forme} . . . . . . . 69
1. 7 Hinweise zur Arbeit mit dem TI-89 . . . . . 70
2 Komplexe Zahlen 71
2.1 Definition der komplexen Zahlen ..... . 71
2.2 Darstellungen komplexer Zahlen ..... . 73
2.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen 76
2.4 Potenzieren und Radizieren .... 80
2.5 Produktdarstellung von Polynomen .... 84
8 lnhaltsverzeichnis
2.6 Komplexe Zahlen mit dem TI-89 . 86
2.7 Aufgaben ............ . 88
3 Vektoren 89
3.1 Grundbegriffe......... 89
3.2 Vektoroperationen ..... . 90
3.2.1 Addition von Vektoren 91
3.2.2 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl . 92
3.2.3 Das Skalarprodukt von Vektoren (inneres Produkt) 93
3.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt, auBeres Produkt) 96
3.2.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Darstellung von Vektoren in der Ebene und im Raum 99
3.3.1 Vektordarstellung in der Ebene 99
3.3.2 Vektordarstellung im Raum . 100
3.3.3 Vektoroperationen ....... . 101
3.4 Anwendungen in der Geometrie . . . . . 107
3.4.1 Parameterdarstellung einer Geraden . . 107
3.4.2 Parameterdarstellung einer Ebene . . . 109
3.4.3 Parameterfreie Darstellung einer Ebene . . 111
3.4.4 Parameterfreie Darstellung einer Geraden . 113
3.4.5 Abstandsprobleme ...... . 114
3.4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . 117
3.5 Der n-dimensionale Vektorraum lRn . . 119
3.6 Vektoren mit dem TI-89 .. . . . . . . 123
4 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 125
4.1 Grundbegriffe......... . 125
4.2 Matrizenoperationen . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.1 Addition von Matrizen . . . . . . . . 128
4.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl . 129
4.2.3 Multiplikation von Matrizen . 129
4.2.4 Aufgaben . . . . . . . 131
4.2.5 Verflechtungsmodelle . 132
4.3 Lineare Gleichungssysteme . . 135
4.3.1 Grundbegriffe.... . 135
4.3.2 GauB'sches Eliminationsverfahren . 137
4.3.3 LOsbarkeit linearer Gleichungssysteme . 139
4.4 Inverse Matrizen ............ . 142
4.5 Determinanten ............ . .145
4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren . .148
Inhaltsverzeichnis 9
4.7 Eigenwerte und Eigenvektoren .152
4.8 Matrizen mit dem TI-89 . . . . .155
5 Kurven in der Ebene und im Raum 159
5.1 Koordinatensysteme .159
5.2 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . .163
5.2.1 Einfiihrung ........ . .163
5.2.2 Darstellung ebener Kurven mit dem TI-89 .165
5.2.3 Algebraische Kurven zweiter Ordnung .167
5.2.4 Rollkurven. .171
5.2.5 Spiralen .173
5.3 Raumkurven .... .173
6 Grenzwerte von Folgen und Funktionen 175
6.1 Folgen und Reihen von reellen Zahlen .. .175
6.1.1 Zahlenfolgen und deren Eigenschaften . .175
6.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen .178
6.1.3 Zahlenreihen ..... .186
6.2 Grenzwerte bei Funktionen . . 191
6.3 Stetigkeit von Funktionen .199
7 Differenzialrechnung 205
7.1 Ableitung einer Funktion ......... . .205
7.2 Ableitung einiger elementarer Funktionen . .209
7.3 Ableitungsregeln ..... .211
7.4 Differenzial einer Funktion . . . . . .217
7.5 Hahere Ableitungen . . . . . . . . . .222
7.6 Differenzialrechnung mit dem TI-89 .223
7.7 Mittelwertsatz .... .224
7.8 L'Hospitalsche Regel ....... . .225
7.9 Kurvendiskussion ......... . .227
7.9.1 Monotonie von Funktionen . .227
7.9.2 Kriimmung von Funktionen und Kurven .228
7.9.3 Lokale Extrempunkte von Funktionen . .235
7.10 Ne wtonverfahren . . .240
7.11 Splines . . . . . . . . .242
7.12 Extremwertaufgaben .246
10 Inhaltsverzeichnis
8 IntegraIrechnung 249
8.1 Bestimmtes Integral. . . . . . . . . . . . . 249
8.2 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion . . 250
8.3 Integrationsmethoden.... . 253
8.3.1 Substitutionsregel......... . 253
8.3.2 Partielle Integration ....... . 255
8.3.3 Integration gebrochen rationaler Funktionen . 258
8.4 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . 263
8.5 Uneigentliches Integral . . . . . . 267
8.6 Integralrechnung mit dem TI-89 . 271
8.7 Anwendungen.......... . 273
8.7.1 BogenHi.nge ebener Kurven . .273
8.7.2 Volumen und Mantelinhalte von Rotationskorpern . .276
8.7.3 Flacheninhalt ebener Flachen .282
8.8 Numerische Integration. .287
8.8.1 Rechteckregel .288
8.8.2 Trapezregel . . . . 289
8.8.3 Simpsonregel .. . 289
8.8.4 Beispiele und Folgerungen .290
9 Funktionenreihen 295
9.1 Funktionenfolgen und Funktionenreihen . .295
9.2 Potenzreihen .. .298
9.3 Taylor-Reihen. .302
9.4 Fourier-Reihen .308
10 Funktionen mehrerer Variabler 315
10.1 Funktionen zweier Variabler .. .315
10.2 Funktionen von n Variablen . .319
10.3 Differenzialrechnung flir Funktionen mehrerer Variabler . .324
10.3.1 Partielle Ableitungen .......... . .324
10.3.2 Totale Differenzierbarkeit und Gradient. .327
10.3.3 Totales Differenzial . . . . . . .330
10.3.4 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . .332
10.3.5 Verallgemeinerte Kettenregel. . . . . . . .334
10.3.6 Differenziation implizit gegebener Funktionen .336
10.3.7 Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . 338
10.3.8 Lokale Extrempunkte . . . . . . . . . .339
10.3.9 Methode der kleinsten Quadrate ... .343
10.3.10 Differenziation von Vektorfunktionen . 346
Inhaltsverzeichnis 11
10.4 Integralrechnung fur F'unktionen mehrerer Variabler . . 350
10.4.1 Einfiihrung ............... . 350
10.4.2 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . 352
10.4.3 Ebene und raumliche Normalbereiche . . 355
10.4.4 Berechnung von Mehrfachintegralen . . 358
10.4.5 Transformationen von Integralen . 364
10.4.6 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . 365
11 Differenzialgleichungen 367
11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . 369
11.2.1 Geometrische Darstellung der LOsung . . 369
11.2.2 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen . 371
11.2.3 Variation der Konstanten .... . 375
11.2.4 Exakte Differenzialgleichungen. . . . . . . . . 378
11.3 Differenzialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . . 381
11.3.1 Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung . 381
11.3.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizi-
enten. . . . . . . . . . .383
11.4 Differenzialgleichungssysteme . 392
11.5 Erganzungen ........ . 397
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung 399
12.1 Zufallige Ereignisse . . . . . . 399
12.1.1 Grundbegriffe . . . . . 399
12.1.2 Ereignisoperationen. . 402
12.1.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses . . 405
12.1.4 Klassische Methoden . . . . . . . 407
12.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . 410
12.1.6 Unabhangigkeit von Ereignissen . 412
12.2 ZufallsgroBen . . . . . . . . . . . . . . . 415
12.2.1 ZufallsgroBe und Verteilungsfunktion . 415
12.2.2 KenngroBen von ZufallsgroBen . . 419
12.2.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . .423
12.2.4 Binomialverteilung . . . . . . . . . . 425
12.2.5 Poisson- und Exponentialverteilung . 427
12.2.6 Weibullverteilung . . . . . 430
12.3 Mehrdimensionale ZufallsgroBen . . .431
12.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . 431
12.3.2 Kovarianz und Korrelation . .434