Grundwissen Mathematik am bayerischen Gymnasium (G8)

140 Pages·2010·1.41 MB·German

Grundwissen Mathematik
am bayerischen Gymnasium (G8)
Richard Reindl
2004–2010
Das Grundwissen ist zweispaltig dargestellt,
links die Definitionen, S¨atze und Beweise,
rechts Abbildungen und Beispiele.
Es handelt sich nicht nur um einen Grundwis-
senskatalog, sondern um eine kompakte Dar-
stellung des Stoffes mit den notwendigen Her-
leitungen und Beweisen. Daher eignet sich der
Text zur Wiederholung und zum Selbsstudium
des Stoffes.
Die Auswahl des Stoffes beruht auf meinem
Unterricht und den von mir gesetzten Schwer-
pukten und Vertiefungen, ist also nicht unbe-
dingt eine 1:1-Umsetzung des Lehrplans. Es
wird auch kein Anspruch auf Vollst¨andigkeit
erhoben.
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Zahlen
Definitionen und Regeln Beispiele
Zahlenmengen
Eine Zusammenfassung von Zahlen nennt man A= 2,5,7,8,9
{ }
eine Zahlenmenge. Die Elemente einer Menge
2,2,2,3,4,4 = 2,3,4
mu¨ssen verschieden sein. { } { }
x ist ein Element von A: x A 5 A
∈ ∈
x ist kein Element von A: x / A 1 / A
∈ ∈
Die Menge = , die kein Element enth¨alt, oder
∅ { } { } ∅
heißt leere Menge.
DieAnzahlderElementeeinerMengenenntman 2,4,5,6 =4
|{ }|
ihre M¨achtigkeit.
=0, 0 =1
A =Zahl der Elemente von A |{ }| |{ }|
| |
IstjedesElementvonAaucheinElementvonB, 5,8,9 2,5,7,8,9
{ }⊂{ }
dann ist A in B enthalten oder A ist eine Teil-
menge von B: Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge:
A B
A bzw. A (A beliebige Menge)
⊂
{ }⊂ ∅⊂
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
A A
⊂
Mengen kann man durch bestimmte Eigenschaf- x x gerade und 3≦x<10 = 4,6,8
{ | } { }
ten der Elemente angeben:
x x durch 3 teilbar und 3≦x<18 =
{ | }
3,6,9,12,15
x Eigenschaft =Menge aller Zahlen x { }
{ | }
mit der Eigenschaft x x N, x durch 3 und durch 5 teilbar =
{ | ∈ }
15,30,45, ...
{ }
Alle Elemente, die gleichzeitig in zwei Mengen 1,2,5,6,8,9 2,4,6,7,9 = 2,6,9
{ }∩{ } { }
vorkommen, bilden ihre Durchnittsmenge:
1,3,5,7 2,4,6,8 =
{ }∩{ } { }
A B = x x A und x B A = bzw. A =
∩ { | ∈ ∈ } ∩{ } { } ∩∅ ∅
Eine Zahl geh¨ort zur Vereinigungsmenge von A 1,2,5 3,4,6 = 1,2,3,4,5,6
{ }∪{ } { }
und B, wenn sie entweder Element von A oder
1,2,5,6 2,4,6 = 1,2,4,5,6
ElementvonB oderElementvonbeidenMengen { }∪{ } { }
ist: A =A bzw. A =A
∪{ } ∪∅
A B = x x A oder x B
∪ { | ∈ ∈ }
A ohne B: 1,2,3,4,5,6,7 2,4,6 = 1,3,5,7
{ }\{ } { }
2,3,4,5,6,7 2,4,6,8,10 = 3,5,7
A B = x x A und x / B { }\{ } { }
\ { | ∈ ∈ }
A =A bzw. A =A
\{ } \∅
N=Menge der natu¨rlichen Zahlen N= 1,2,3,4,5, ...
{ }
N =N 0 N = 0,1,2,3,4,5, ...
0 0
∪{ } { }
Z=Menge der ganzen Zahlen Z= ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, ...
{ − − − − }
Z =Menge der negativen ganzen Zahlen Z =Z N
− − 0
\
2
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Grundrechenarten
Addition, addieren: 3+5 = 8
Summe WertderSumme
1. Summand+2. Summand=Wert der Summe
|{z3}plus5gle|i{czh}8
Subtraktion, subtrahieren: 8 3 = 5
−
Differenz WertderDifferenz
Minuend Subtrahend=Wert der Differenz
− |{z8}minus3gle|i{czh}5
Multiplikation, multiplizieren: 3 5 = 15
·
Produkt WertdesProdukts
1. Faktor·2. Faktor=Wert des Produkts |{z}3mal5glei|ch{z1}5
a b=b+b+ ... +b 3 5=5+5+5
· ·
aSummanden
| {z }
Division, dividieren: 15:3 = 5
Quotient WertdesQuotienten
Dividend:Divisor=Wert des Quotienten
1|5{dziv}idiert durch|{3z}gleich5
Teilung: Aufteilen in gleiche Teile 24m:3 = 8m
Messung: Wie oft enthalten 24m:3m = 8
Potenz, potenzieren:
35 = 243
BasisExponent =Wert der Potenz
Potenz WertderPotenz
|{3zh}och5glei|c{hz}243
an =a a a ... a 35 =3 3 3 3 3
· · · · · · · ·
nFaktoren
| {z }
Definition: a0 =1 fu¨r a>0 20 =1, 70 =1, 00 nicht definiert
a0 =1, a1 =a, 0n =0 1n =1 90 =1, 61 =6, 07 =0 18 =1
a2 =a a heißt auch a Quadrat“. 02 =0, 12 =1, 22 =4, 32 =9, 42 =16, 52 =25,
· ”
Quadratzahlenvon02 bis202,zus¨atzlich252 aus- 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100,
wendig! 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196,
152 = 225, 162 = 256, 172 = 289, 182 = 324,
192 =361, 202 =400, 252 =625
Zweierpotenzen von 20 bis 210 auswendig! 20 =1, 21 =2, 22 =4, 23 =8, 24 =16, 25 =32,
26 =64,27 =128,28 =256,29 =512,210 =1024
Zehnerpotenzen:
100 =1, 101 =10, 102 =100
10n =1 mit n Nullen 103 =1000, 7 105 =700000
·
106 =Million 1018 =Trillion
109 =Milliarde 1024 =Quadrillion
1012 =Billion 1030 =Quintillion
1015 =Billiarde 1036 =Sextillion
Jede Zahl des Dezimalsystems (Zehnersystems) 68047=6 104+8 103+0 102+4 101+7 100
· · · · ·
kannalsSummevonZehnerpotenzengeschrieben
werden.
3
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Rechenregeln
Reihenfolge einer Rechnung: 28 3 (7 5)3 =28 3 23 =
− · − − ·
=28 3 8=28 24=4
Klammer – Potenz – Punkt – Strich − · −
Klammern von innen nach außen!
[(15 8) 2 2 4]3 =[7 2 2 4]3 =
− · − · · − ·
a+0=a a 0=a a 1=a a:1=a =[14 8]3 =63 =216
a a=0 a−:a=1 a·0=0 0:a=0 −
− ·
7+0=7 0=7, 7 1=7:1=7
− ·
a:0 und 0:0 sind nicht definiert!!
7 7=0 7=0:7=0, 7:7=1
− ·
a+b=b+a a b=b a
· · 3+7=7+3=10, 3 7=7 3=21
· ·
(Kommutativgesetze, KG)
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
2+5+7=(2+5)+7=2+(5+7)=14
a b c=(a b) c=a (b c)
· · · · · ·
7 12
(Assoziativgesetze, AG)
8 (7+3)=8 1|0{=z8}0 oder | {z }
· ·
8 (7+3)=8 7+8 3=56+24=80
a (b+c)=a b+a c
· · ·
· · ·
a (b c)=a b a c
· − · − · 7 998=7 (1000 2)=7 1000 7 2=
· · − · − ·
(Distributivgesetze, DG) =7000 14=6986
−
x+a=b x=b a x a=b x=b:a x+8=15 x=15 8=7
x a=b ⇒ x=b−+a x·:a=b ⇒ x=b a x 8=15 ⇒ x=15+−8=23
− ⇒ ⇒ · x−8=72 ⇒x=72:8=9
· ⇒
Der kleine Gauß: x:8=7 x=7 8=56
⇒ ·
1+2+3+4+ ...100=100 101:2=5050
1+2+3+ ... +n=n (n+1):2
·
·
Teilbarkeit
Die Vielfachenmenge einer Zahl a ist die Menge V(6)= 6,12,18,24, ...
{ }
aller Vielfachen von a.
V(2)=Menge der geraden Zahlen
V(a)= x x=n a mit n N
{ | · ∈ }
aistTeilervonb,wennbeinVielfachesvonaist.
a b b=n a mit n N 7 35 weil 35=5 7
| ⇐⇒ · ∈ | ·
a b und a c = a (b+c) und a (b c) 9 99 und 9 27 = 9 (99+27)=126
| | ⇒ | | − | | ⇒ |
a b und b c = a c 12 60 und 60 180 = 12 180
| | ⇒ | | | ⇒ |
Fu¨r jede natu¨rliche Zahl a gilt 1 a und a a.
| |
Die Teilermenge einer Zahl a ist die Menge aller T(6)= 1,2,3,6
{ }
Teiler von a.
1, 2, 3, 4, 6
T(48)=
T(a)= x x a = x x Teiler von a 48, 24, 16, 12, 8
{ | | } { | } (cid:26) (cid:27)
1, 2, 3, 4, 6
Fu¨r a≧2 ist T(a) ≧2 T(36)=
| | 36, 18, 12, 9
(cid:26) (cid:27)
T(a) ist ungerade a ist Quadratzahl
| | ⇐⇒ T(6) =4, T(48) =10, T(36) =9
| | | | | |
Teilung mit Rest:
d:s=eRr d=s e+r mit r <s 30:7=4R2, weil 30=7 4+2
⇐⇒ · ·
4
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Teilbarkeitsregeln
x ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer von x 2 1378, da 2 8, 2 ∤ 4441, da 2 ∤ 1
| |
durch 2 teilbar oder 0 ist. 2 13330
|
x ist durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten 4 1324, da 4 24, 4 ∤ 4442, da 4 ∤ 42
| |
beidenZiffernvonxgebildeteZahldurch4teilbar 4 13300
oder 00 ist. |
x ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer von x 5 1375, 5 9970, 5 ∤ 5058
| |
5 oder 0 ist.
x ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden 25 1375, 25 9900, 25 ∤ 5055
| |
Ziffer von x 00, 25, 50 oder 75 sind.
Die Quersumme (QS) einer Zahl ist die Summe QS(73024)=7+3+0+2+4=16
ihrer Ziffern.
EineZahlistdurch3teilbar,wennihreQuersum- 3 1377 weil QS(1377)=18 und 3 18
| |
me durch 3 teilbar ist. 3 ∤ 505 weil QS(505)=10 und 3 ∤ 10
EineZahlistdurch9teilbar,wennihreQuersum- 9 5877 weil QS(5877)=27 und 9 27
| |
me durch 9 teilbar ist. 9 ∤ 987 weil QS(987)=24 und 9 ∤ 24
Primzahlen
Eine natu¨rliche Zahl heißt Primzahl oder kurz T(7)= 1,7 = 7 ist prim
{ } ⇒
prim, wenn ihre Teilermenge genau zwei Elemen- T(87)= 1,3,29,87 = 87 ist nicht prim
te enth¨alt, d.h. wenn sie nur durch eins und sich { } ⇒
selbst ohne Rest teilbar ist.
Menge der Primzahlen:
x prim T(x) =2
⇐⇒ | | P = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
{
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103, ...
Es gibt unendlich viele Primzahlen. }
Jede natu¨rliche Zahl gr¨oßer als eins l¨asst sich 12=2 2 3=22 3, 51=3 17
· · · ·
eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben 81=34, 1001=7 11 13
(Primfaktorenzerlegung). · ·
2102100=22 3 52 72 11 13
· · · · ·
Menge der gemeinsamen Teiler von a und b:
T(a,b)=T(a) T(b) 1, 2, 3 1, 2, 3
T(12,18)= =
∩ 12, 6, 4 ∩ 18, 9, 6
(cid:26) (cid:27) (cid:26) (cid:27)
Das gr¨oßte Element von T(a,b) ist der gr¨oßte
= 1,2,3, 6 = ggT(12,18)=6
gemeinsame Teiler (ggT) von a und b. { } ⇒
36= 2 2 3 3
Praktisch findet man den ggT(a,b) mit Hilfe der · · · ggT(36,54)=2 3 3=18
Primfaktorenzerlegung von a und b oder mit der 54= 2 ·3· 3·3 ) · ·
Kettendivision:
Manteiltdiegr¨oßeredurchdiekleinereZahl.Man 126:70=1R56
teilt immer wieder den Divisor durch den Rest, 70:56=1R14
bisderRestnullherauskommt.DerletzteDivisor
56: 14 =4R 0 = ggT(126,70)=14
ist der gesuchte ggT.
⇒
Menge der gemeinsamen Vielfachen von a und b:
V(a,b)=V(a) V(b) V(6,8)= 6,12,18,24,30,36,42,48,54, ...
∩ { }∩
8,16,24,32,40,48,56, ... = 24,48, ...
Das kleinste Element von V(a,b) ist das kleinste ∩{ } { }
= kgV(6,8)=24
gemeinsame Vielfache (kgV) von a und b.
⇒
5
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Praktisch findet man das kgV(a,b) mit Hilfe der
36= 2 2 3 3
Primfaktorenzerlegung von a und b oder mit fol- · · · kgV(36,54)=2 2 3 3 3
gendemZusammenhang,wobeimandenggT(a,b) 54=2 3 3 3 ) · · · ·
· · · 108
mit der Kettendivision ermittelt:
kgV(36,54)=36 54:ggT(36,5|4)=1{z08 }
·
ggT(a,b) kgV(a,b)=a b
· · 1944 18
| {z } | {z }
Ganze Zahlen
Die Spiegelzahl von a ist a, die Spiegelzahl von
−
a ist a: ( a)=a.
− − −
a>0 = a<0 a<0 = a>0 b a a b
⇒ − ⇒ − − −
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
− − − − − − − −
b<a, wenn b auf der Zahlengeraden links von a.
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand vom Null- (+3)= 3 ( 6)=+6=6
− − − −
punkt auf der Zahlengeraden:
( 7)<( 3) ( 3)<2 2<3
− − −
+a wenn a≧0 6 =6 6 = ( 6)=6
a = | | |− | − −
| | ( a wenn a<0
−
a = a a ≧0
| | |− | | |
Rechenregeln fu¨r ganze Zahlen: 5+( 12)=5 12= (12 5)= 7
− − − − −
5+( 12)= 5 12= (5+12)= 17
− − − − − −
+(+a)=+a=a +( a)= a 3 ( 5)=( 3) 5= 15
− − · − − · −
( a)=+a=a (+a)= a
− − − − ( 3) ( 5)=+15=15
a b= (b a) − · −
− − − 30:( 5)=( 30):5= 6
a b= (a+b) − − −
a ( −b)=−( a)−b= (a b) ( 30):( 5)=+6=6
· − − · − · − −
( a) ( b)=a b 3+( 5)=( 5)+3 ( 9)+( 7)=( 7)+( 9)
− · − · − − − − − −
a:( b)=( a):b= (a:b)
( 4)+[( 7)+3]=[( 4)+( 7)]+3
− − −
( a):( b)=a:b − − − −
− −
Kommutativgesetze ( 4) (4+7)= 11
− − −
Assoziativgesetze (4+|4)={z8 } | (1{1z3)= }8
− − − − −
Distributivgesetz
( 4) [( 7)+3]=( 4) ( 7)+( 4) 3
| {z } | {z }
− · − − · − − ·
( 4) +28 ( 12)
( 1)1 = 1, ( 1)2 =1, ( 1)3 = 1 − −
− − − − − 4|4=16{z } | {z28 1}2=1|6 {z }
· −
(| 1)44{=z1, (}1)1|7 = 1, {z( 1)100 =}1
− − − −
( 1)n = 1 fu¨r gerades n ( 2)2 =4, ( 2)3 = 8, ( 2)9 = 512
− ( 1 fu¨r ungerades n − − − − −
−
Abz¨ahlen von M¨oglichkeiten
Platz1kannmitz ,Platz2mitz ,...undPlatzn 3 Hu¨te, 7 T-Shirts und 4 Hosen kann man auf
1 2
mit z verschiedenen Gegenst¨anden besetzt wer-
n
den. Dann k¨onnen alle n Pl¨atze auf 3 7 4=84
· ·
z z z ... z verschiedene Arten miteinander kombinieren.
1 2 3 n
· · · ·
verschiedene Arten belegt werden.
n verschiedene Gegenst¨ande kann man auf 5 Personen kann man auf
n!=1 2 3 4 ... n 5!=1 2 3 4 5=120
· · · · · · · · ·
verschiedene Arten auf n Pl¨atze verteilen. verschiedene Arten in einer Reihe aufstellen.
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Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Zahlensysteme∗
Die Basis des Zehnersystems (Dezimalsystems) 3784=3 103 +7 102 +8 101 +4 100
· · · ·
ist 10, die Stufenzahlen sind die Zehnerpotenzen,
1000 100 10 1
es gibt zehn Ziffern. 3007004=3 106 +7 103 +4 100
|{z·} |{z}· |{z}· |{z}
Stufenzahlen: 100 =1,101 =10,102 =100, ...
1000000 1000 1
Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
|{z} |{z} |{z}
Jede natu¨rliche Zahl b ≧ 2 kann als Basis eines (2905) =2 b3+9 b2+0 b1+5 b0
b
· · · ·
Zahlensystemsverwendetwerden.DieStufenzah-
LOL=(101) =1 22 +0 21 +1 20 =5
lensinddanndiePotenzenvonb,esgibtbZiffern 2
· · ·
von 0 bis b 1. 4 2 1
−
Stufenzahlen: b0 =1,b1 =b,b2,b3,b4,... dual L LO|{zL}L L|O{Oz} LO|L{z}LLO LLL
dezimal 1 2 3 4 5 6 7
Ziffern: 0,1,2, ...b 1
−
dual LOOO LOOL LOLO LOLL LLOO
Die Basis des Zweiersystems (Dualsystems) ist 2,
dezimal 8 9 10 11 12
dieStufenzahlen sinddieZweierpotenzen, esgibt
LOLL=8+0+2+1=11
nur zwei Ziffern (0,1).
LOLLOLL=64+0+16+8+0+2+1=91
Stufenzahlen: 20 =1,21 =2,22 =4, ...
Ziffern: 0,1 oder O,L
Die Basis des Sechzehnersystems (Hexadezimal- In der Computerliteratur werden Hexzahlen oft
systems) ist 16, die Stufenzahlen sind die Poten- mit einem Dollarzeichen geschrieben:
zen von 16, es gibt 16 Ziffern.
(A0B) =$A0B
Stufenzahlen: 160 =1,161 =16,162 =256, ... 16
Ziffern: 0 bis 9 A B C D E F $FF=15 161 +15 160 =255
10 11 12 13 14 15 · ·
16 1
$100=1 162 +0 161 +0 160 =256
· |{z} · |{z} ·
256 16 1
$AFF=10 162 +15 161 +15 160 =2815
|{·z} |{z·} |{z}·
256 16 1
|{z} |{z} |{z}
Gr¨oßen
Vorsilben
Name Abk. Wert L¨ange 1km=1000m
Hekto h 100 1m=10dm=100cm=1000mm
·
Kilo k 1000
· 1mm=1000µm=106nm
Mega M 106
Giga G ·109 1µm=1µ=1000nm=106pm
·
Tera T 1012 1nm=1000pm
·
Dezi d :10
Zenti c :100
Milli m :1000 Zeit 1h=60min=3600s
Mikro µ :106 1min=60s
Nano n :109 1s=1000ms=106µs
Piko p :1012
Femto f :1015 1ms=1000µs=106ns
1µs=1000ns=106ps
Benennungen
m g e Ct l 1ns=1000ps
Meter Gramm Euro Cent Liter
s min h d a
Sekunde Minute Stunde Tag Jahr
7
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Bei der Kommaschreibweise von Gr¨oßen bezieht Masse 1t=1Tonne=1000kg=106g
sich die Einheit (Benennung) auf die Stelle vor
1Ztr=1Zentner=50kg
dem Komma:
1kg=1000g=106mg
Kommaschreibweise gemischteSchreibweise
1g=1000mg=106µg
1234,56789m =1km234m567mm890µ
1mg=1000µg=106ng
z }| { z }| {
Kommaschreibweise gemischteSchreibweise
1µg=1000ng=106pg
1234,56789kg =1t234kg567g890mg
1ng=1000pg
z }| { z }| {
Geometrie
Definitionen und Regeln Beispiele
Elemente der Geometrie
Die Geometrie handelt von Punkten (keine Aus-
h
dehnung, nulldimensional), Linien (eindimensio-
nal), Fl¨achen (zweidimensional) und r¨aumlichen g=AB
K¨orpern (dreidimensional). Eine Gerade ist eine B
nachbeidenSeitenunendlichlange,geradeLinie.
Durch zwei Punkte A und B l¨aßt sich A
[CD]
genau eine Gerade g =AB zeichnen. C
D
Sind C und D zwei Punkte, dann ist die Strecke
[CD] der Teil der Geraden CD zwischen den
Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie
Punkten C und D. Die Randpunkte C und D
keinen Schnittpunkt haben (g und h
geh¨oren zur Strecke [CD].
sind parallel).
CD=L¨ange der Strecke [CD]
Geraden und Strecken sind Punktmengen.
Geometrische Figuren
C
Drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Ge-
raden liegen, bilden das Dreieck ABC (∆ABC).
B
A, B und C sind die Ecken, [AB], [BC] und [CA]
die Seiten des Dreiecks. Ein Dreieck hat also drei
EckenunddreiSeiten.EinViereckhatvierEcken A
und vier Seiten usw. Dreieck Viereck
Ein Rechteck ist ein Viereck, in dem je zwei
D C
benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden
AB=CD
(senkrecht aufeinander stehen). BC=DA
Zwei gegenu¨berliegende Seiten im A B
Rechteck sind gleich lang. Rechteck Quadrat
Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten heißt
Quadrat.
IstM dieMengealler Quadrate, M dieMenge
Q R Parallelogramm: Raute: Trapez:
allerRechteckeundMV dieMengeallerVierecke, Jezweigegen- Alle vier Seiten Ein gegenu¨berlie-
dann gilt u¨berliegende sindgleichlang gendesSeitenpaar
Seitensind istparallel
MQ jMR jMV parallel
oder in Worten: Jedes Quadrat ist ein Rechteck
und jedes Rechteck ist ein Viereck.
8
Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 5
Definitionen und Regeln Beispiele
Koordinaten
Das (kartesische) Koordinatensystem besteht aus DasfolgendeKoordinatensystemhatgleicheEin-
zwei zueinander senkrechten Achsen. Die waag- heiten auf beiden Achsen.
rechte Achse heißt Abszissenachse oder kurz Ab-
y
szisse (wird oft auch als x-Achse bezeichnet), die
7 A(76)
senkrechteAchseistdieOrdinatenachse,kurzOr- |
6
dinate (oder oft y-Achse). Der Schnittpunkt der
B( 64) 5
beidenAchsenistderUrsprungdesKoordinaten- − |
4
systems.EinPunktwirddurchseinenNamenund
3
diebeidenKoordinaten,dieAbszisseunddieOr-
2
dinate, angegeben:
1
−8 0 3
A(Abszisse Ordinate) −7−6−5−4−3−2−11 1 2 4 5 6 7 8 x
| −
2
Man findet den Punkt, wenn man vom Ursprung −
3
aus um den Wert der Abszisse nach rechts und C(−8|−3) −4 −
um den Wert der Ordinate nach oben geht. Die
5
−
Einheiten des Koordinatensystems geben an, wie 6
−
weit die Eins auf den Achsen vom Ursprung ent- −7 D(3|−6)
fernt ist. Die Einheiten auf der Abszisse und der
Ordinaten k¨onnen verschieden sein.
Der Punkt A(67) hat die Abszisse 7 und die Or-
|
dinate 6.
Fl¨achenmaße
Ein Quadrat mit der Seitenl¨ange 1m hat den 1a=1Ar=100m2
Fl¨acheninhalt (kurz: ”die Fl¨ache“) 1m2. 1ha=1Hektar=100a=10000m2
1km2 =100ha=10000a=106m2
1m2 =100dm2 =10000cm2 =106mm2
1m2 1m 1dm2 =100cm2 =10000mm2
1cm2 =100mm2
1mm2 =(1000µ)2 =106µ2
1m
1µ2 =(1000nm)2 =106nm2
1nm2 =(1000pm)2 =106pm2
Ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a und b hat
die Fl¨ache
A=a b
· 1,23456789km2 =1km223ha45a67m289dm2
EinQuadratmitderSeitenl¨angeahatdieFl¨ache 123,456789m2 =1a23m245dm267cm289mm2
0,123456789m2 =12dm234cm256mm2789000µ2
A=a2
0,0123456789cm2 =1mm2234567µ2890000nm2
0, 12 34 56 78 90 12 km2
1a 1ha ha a m2 dm2 cm2 mm2
10m 100m
|0{,z1}2|3{4z5}6|7{8z9}1|2{3z}45|{6z7}89|{mz}m2
µ2 nm2 pm2
10m 100m | {z }| {z }| {z }
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Grundwissen Mathematik – Jahrgangsstufe 6
Zahlen
Definitionen und Regeln Beispiele
Bru¨che und Bruchteile
1 5 18
Teilt man die Zahl b in a gleich große Teile, dann 1:3= , 5:7= , =18:6=3
3 7 6
hat ein Teil die Gr¨oße a : b. Diesen Quotienten
0 1 2
schreibt man auch in Form eines Bruches:
1
a =1:3
=a:b 3
b 0 2
2 1
Za¨hler =2:3=2
=Wert des Bruches 3 · 3
Nenner
1
a 1
=a:b=(a 1):b=a (1:b)=a
b · · · b
1 2 5
a 1 1
= a= von a 14 14 14
b b · b
2 1 5 1
=2 , =5
a 1 a c
von c=a von c=a c:b=(a c):b= · 14 · 14 14 · 14
b ·b · · b 3 1 28
von 28=3 von 28=3 =3 4=12
a a a c 7 · 7 · 7 ·
von c= c= ·
b b · b 3 3 8 24
von 8= · =
7 7 7
Damandurchnullnichtteilendarf,darfauchder
Nenner eines Bruches niemals null sein! 3 3 150cm 450cm
von 1,5m= · = =45cm
10 10 10
a a 0 7 8 0
=1, =a, =0 =1, =8, =0
a 1 a 7 1 13
Wird das Ganze in b gleiche Teile zerlegt, dann DasGanze(17Teile)
a
bildenadieserTeiledenBruchteil vomGanzen
b
a
(das -fache des Ganzen).
b
8
vomGanzen
17
Die Menge der rationalen Zahlen
0 3 16 12
N= 1,2,3,4,... (natu¨rliche Zahlen) =0, − = 3, = 8, − =3
{ } 1 1 − 2 − 4
− −
Z= 3, 2, 1,0,1,2,3,... (ganze Zahlen) Jede ganze Zahl z kan man als Bruch schreiben,
{− − − } z
z.B. z = . Die Menge Z der ganzen Zahlen ist
Mit Q bezeichnet man die Menge aller Bru¨che, 1
also in der Menge Q der rationalen Zahlen ent-
wobeidieZ¨ahlereinebeliebigeganzeZahlunddie
halten (Z ist eine Teilmenge von Q):
Nenner eine ganze Zahl außer null sein du¨rfen:
NjZjQ
a
Q= a Z und b Z und b=0
b ∈ ∈ 6
n o
Q heißt auch Menge der rationalen Zahlen.
10