Grundvorstellungen und Vorgehensweisen bei der Subtraktion Stoffdidaktische Analysen und empirische Befunde von Schülerinnen und Schülern des 1. Schuljahres Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor der Pädagogik (Dr. paed.) der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund Vorgelegt von Jan Wessel Dortmund, den 24.10.2014 Dissertation Technische Universität Dortmund, Fakultät für Mathematik, 2014 Tag der Disputation: 24.10.2014 Erstgutachter: Prof. Dr. Christoph Selter Zweitgutachter: Prof. Dr. Sebastian Wartha Geleitwort Vor mehr als 100 Jahren hat John Dewey in seinem bahnbrechenden Aufsatz ‘The Child and the Curriculum’ (1902) klar heraus gearbeitet, dass es für die Organisation und Gestaltung von Lehr-/Lernprozessen nicht ausreichend ist, sich allein auf die mathematische Analyse der Lerninhalte einerseits oder auf die Vorgehensweisen und Denkwege der Lernenden andererseits zu konzentrieren. Es sei eine kontinuierliche Rekonstruktion erforderlich, die stets die zahlreichen Wechselwirkungen zwischen Lernenden und Lernstoff beachten müsse. Diese Erkenntnis ist sicherlich nicht nur für das Lehren und Lernen im Ma- thematikunterricht zutreffend, sondern auch für Lernprozesse innerhalb der mathematikdidaktischen Kommunität relevant. Hier ist ebenfalls eine kontinu- ierliche Rekonstruktion erforderlich, bei der stoffdidaktische Analysen und empirische Forschung beständig aufeinander zu beziehen sind. Während stoffdidaktische Analysen und empirische Forschung bisweilen nicht hinreichend gut aufeinander bezogen werden und häufig nicht in ein und derselben Hand liegen, zeichnet sich die vorliegende Arbeit von Jan Wessel dadurch aus, dass die beiden Arten mathematikdidaktischer Forschungstätigkeit eng und durchgängig aufeinander bezogen werden. Thematisch befasst sich der Autor mit zentralen Grundvorstellungen der Subtraktion, dem Rest und dem Unterschied, oder anders: dem Abziehen und dem Ergänzen. Hierzu arbeitet Herr Wessel im ersten Kapitel in klarer Weise heraus, dass das Grundvorstellungskonzept das oben beschriebene Spannungs- verhältnis aufgreift, um auf dieser Grundlage Lehr-/Lernprozesse zu strukturie- ren. Im Weiteren analysiert Herr Wessel im Kapitel 2 den theoretischen Hinter- grund aus mathematikdidaktischer Perspektive, bevor im Kapitel 3.1 eine klar strukturierte Darstellung existierender empirischer Befunde zum Thema erfolgt, die in 3.2 darin mündet, dass offene Fragen und Grenzen bisheriger empirischer Forschung klar markiert werden. Auf dieser Grundlage werden sodann die For- schungsfragen für die vom Autor durchgeführte empirische Untersuchung in sehr gut nachvollziehbarer Weise abgeleitet. Zunächst wird im vierten Kapitel in klar nachvollziehbarer Weise ausge- führt, welche Methodologie, welches Design und welche Auswertungsmethoden in der eigenen Untersuchung aus welchen Gründen verwendet werden. Die Ergebnisse der eigenen Forschungstätigkeiten werden zunächst in Ka- pitel 5.1 im Hinblick auf den Gebrauch der verschiedenen Grundvorstellungen und der Vorgehensweisen dargestellt, bevor im Kapitel 5.2 die Forschungsfragen beantwortet werden, die den Wechsel von der durch die Problemstellung ange- VI Geleitwort sprochenen Grundvorstellung thematisieren. Die Arbeit schließt mit dem Kapitel 6, welches zunächst die zentralen stoffdidaktischen und empirischen Resultate der Arbeit beschreibt und klar aufeinander bezieht, bevor Konsequenzen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung formuliert werden. Insgesamt zeigt die Arbeit deutlich den Mehrwert, den die enge Verknüp- fung von stoffdidaktischen Analysen und empirischer Forschungstätigkeit bietet, ganz im Sinne des eingangs angeführten Dewey-Zitats. Christoph Selter Danksagung Prof. Dr. Christoph Selter danke ich für die Betreuung meiner Dissertation. Du hast es stets geschafft, mir auf der einen Seite notwendige Freiräume zu lassen, um so eigene Wege zu gehen. Auf der anderen Seite hast du mir aber auch zu jeder Zeit die für die Fertigstellung der Arbeit notwendige Unterstützung gege- ben. Dabei hast du Verständnis für jede noch so kleine Schwierigkeit gezeigt, auftretende Probleme gelöst und meine Gedanken und Ideen immer wieder geordnet. Prof. Dr. Sebastian Wartha danke ich für das Interesse an meinem For- schungsprojekt und die Betreuung meiner Arbeit als Zweitgutachter. Dr. Andreas Marx und Prof. Dr. Tobias Huhmann danke ich für die zahlrei- chen Stunden, zusammengenommen wahrscheinlich eher Tage, des überaus produktiven und intensiven Austausches über verschiedenste Aspekte meiner Arbeit. Ihr habt meine Sichtweise auf die Dinge – auch über die Dissertation hinaus – sehr geprägt. Dr. Kathrin Akinwunmi und Dr. Katharina Kuhnke danke ich für die inten- sive, produktive und immer kritisch konstruktive Zusammenarbeit während unserer gemeinsamen Zeit am IEEM. Der gemeinsame Austausch mit euch und das Diskutieren meiner Ideen und Sichtweisen haben mir sehr geholfen. Dem PIK- und KIRA-Team danke ich für unsere schöne gemeinsame Zeit am IEEM. Mit euch gemeinsam die Höhen und Tiefen des Promovierens zu erleben hat mir immer sehr viel Freude bereitet. Dabei danke ich insbesondere Dr. Martin Reinold für die zahlreichen Gespräche, Hilfen und Ablenkungen während unserer gemeinsamen Bürozeit. Den verschiedenen Arbeitsgruppen des IEEM in Form der AG Selter, der AG Primarstufe sowie des Forschungsseminars danke ich für die stets konstruk- tive Begleitung meiner Arbeit. Andrea Laferi danke ich für das Interesse an meiner Arbeit und die vielen Stunden des Korrekturlesens. Maren Laferi danke ich für die Unterstützung während der verschiedenen – mitunter stressigen – Phasen des Promovierens. Du hast es immer wieder ge- schafft, mich in meiner Arbeit zu bestärken und mich bei der Lösung von Prob- lemen zu unterstützen. Jan Wessel Inhaltsverzeichnis Geleitwort .......................................................................................................... V Danksagung .................................................................................................... VII Abbildungsverzeichnis ................................................................................. XIII Tabellenverzeichnis ...................................................................................... XIX Einleitung ............................................................................................................ 1 1 Das Grundvorstellungskonzept ................................................................... 5 1.1 Begriffsklärung: Was sind Grundvorstellungen? .................................... 5 1.1.1 Grundvorstellungen zur Beschreibung von mentalen Repräsentationen ......................................................................... 6 1.1.2 Zur Bedeutung von Grundvorstellungen im Lernprozess ........... 7 1.2 Zur Ausbildung und (Weiter-) Entwicklung von Grundvor- stellungen im Lernprozess .................................................................... 15 1.2.1 Zur Ausbildung und (Weiter-) Entwicklung von Grundvorstellungen im Lernprozess aus deskriptiver Perspektive ................................................................................ 15 1.2.2 Zur Ausbildung und (Weiter-) Entwicklung von Grundvorstellungen im Lernprozess aus präskriptiver Perspektive ................................................................................ 16 1.3 Zur Rolle des Grundvorstellungskonzepts in der Mathematik- didaktik ................................................................................................ 20 1.3.1 Theoretische Perspektive .......................................................... 21 1.3.2 Deskriptive Perspektive ............................................................ 22 1.3.3 Weitere Perspektiven ................................................................ 23 1.4 Zusammenfassung ................................................................................ 24 2 Grundvorstellungen und Vorgehensweisen bei der Subtraktion aus theoretischer Perspektive – Stoffdidaktische Analysen ........................... 27 2.1 Forschungsstand ................................................................................... 28 2.1.1 Zur Syntax und Semantik der Subtraktion ................................ 28 2.1.1.1 Die syntaktische Struktur der Subtraktion .................. 28 2.1.1.2 Die semantische Struktur der Subtraktion .................. 31 X Inhaltsverzeichnis 2.1.2 Grundvorstellungen der Subtraktion ......................................... 37 2.1.3 Vorgehensweisen zur Lösung von Subtraktionsproblemen ...... 44 2.1.3.1 Eindimensionale Kategoriensysteme .......................... 44 2.1.3.2 Mehrdimensionale Kategoriensysteme ....................... 49 2.1.4 Zusammenfassung des Forschungsstandes ............................... 51 2.2 Weiterführende stoffdidaktische Überlegungen ................................... 53 2.2.1 Subtraktionsprobleme ............................................................... 54 2.2.1.1 Formale Subtraktionsprobleme ................................... 54 2.2.1.2 Subtraktive Kontextprobleme ..................................... 55 2.2.2 Grundvorstellungen der Subtraktion ......................................... 65 2.2.3 Vorgehensweisen zur Lösung von Subtraktionsproblemen ...... 66 2.3 Zusammenfassung ................................................................................ 69 3 Grundvorstellungen und Vorgehensweisen bei der Subtraktion aus deskriptiver Perspektive – Empirische Befunde ...................................... 73 3.1 Forschungsstand ................................................................................... 73 3.1.1 Gebrauch der Grundvorstellungen und darauf aufbauenden Vorgehensweisen ....................................................................... 74 3.1.2 Effizienz der Grundvorstellungen und darauf aufbauenden Vorgehensweisen ....................................................................... 79 3.1.3 Zusammenfassung des Forschungsstandes ............................... 80 3.2 Herleitung der Forschungsfragen der empirischen Untersuchung ....... 81 3.2.1 Offene Fragen und Grenzen der bisherigen empirischen Untersuchunge(cid:81) ....................................................................... .81 3.2.2 Formulierung der Forschungsfragen ......................................... 85 4 Von den Forschungsfragen zur Methodologie und dem Design der empirischen Untersuchung ........................................................................ 87 4.1 Methodologie der empirischen Untersuchung ..................................... 87 4.2 Design der empirischen Untersuchung ................................................ 91 4.2.1 Ablauf der empirischen Untersuchung ..................................... 91 4.2.2 Konzeption der Interviews ........................................................ 92 4.2.2.1 Zur Interviewmethode ................................................ 93 4.2.2.2 Zur Auswahl der Problemstellungen .......................... 94 4.2.2.3 Interviewleitfaden ....................................................... 98 4.3 Informationen zur Stichprobe ............................................................. 102 4.3.1 Allgemeine Informationen ...................................................... 102 4.3.2 Hintergrundinformationen zur unterrichtlichen Thematisierung der Subtraktion .............................................. 103
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