Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen und Anwendungen

254 Pages·2017·5.46 MB·German

by  Georg Rill

Georg Rill
Thomas Schaeffer
Grundlagen und
Methodik der
Mehrkörpersimulation
Vertieft in Matlab-Beispielen,
Übungen und Anwendungen
3. Auflage
Grundlagen und Methodik
der Mehrkörpersimulation
(cid:2)
Georg Rill Thomas Schaeffer
Grundlagen und Methodik
der Mehrkörpersimulation
Vertieft in Matlab-Beispielen, Übungen
und Anwendungen
3. überarbeitete und erweiterte Auflage
GeorgRill ThomasSchaeffer
FakultätMaschinenbau FakultätMaschinenbau
OTHRegensburg OTHRegensburg
Regensburg,Deutschland Regensburg,Deutschland
ISBN978-3-658-16008-1 ISBN978-3-658-16009-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-16009-8
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Lektorat:ThomasZipsner
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Vorwort
Nachdem in den 80er Jahren des vergangenen Jahrhunderts in den Industrieunterneh-
men CAD-Systeme im Bereich der Produktentwicklung Einzug gehalten haben, sind in
diesem Umfeld viele weitere rechnergestützte Systeme entstanden, die mittlerweile den
komplettenProduktlebenszyklusabdecken.So ist esheuteauchbeikleineren Unterneh-
men Stand der Technik, dass hoch belastete Bauteile hinsichtlich ihrer Verformung und
Beanspruchung mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) berechnet werden. Der
immerwährendeWunsch nachkürzerenEntwicklungszeiten bei gleichzeitiger Kostenre-
duzierungundQualitätssteigerungbestehtnachwievor.Deshalbversuchtmanunterdem
Stichwort„VirtuelleProduktentwicklung“dasVerhalteneinesProduktesodereiner Ma-
schineimVorfeldohneaufwändigeundzumTeillangwierigeVersuchemitteurenrealen
Prototypen nur durch Simulationen mit virtuellen Prototypen vorherzusagen. Die Funk-
tion technischer Systeme mit beweglichen Bauteilen kann mit Hilfe einer Mehrkörper-
simulation (MKS) untersucht und bewertet werden. Moderne MKS-Programme helfen
dienotwendigenBewegungsgleichungenaufzubauen,führendieSimulationsrechnungen
durchundstellendieErgebnisseanimiertoderinFormvonDiagrammendar.Sieerlauben
es,dasBewegungsverhaltendesSystemsodereinzelnerBauteilevorabzusimulierenund
so dieFunktionsicherzustellen. Gleichzeitiglassen sich damitauchdieBelastungender
Bauteileberechnen,diegeradefürderenoptimaleAuslegungzwingendnotwendigsind.
Leider war der Einsatz bis vor wenigen Jahren mit sehr hohen Hard- und Softwarekos-
ten verbunden. Die Rahmenbedingungenhaben sich geändert: die Hardwarekosten sind
drastischgesunken,weildieLeistungsfähigkeitnormalerPCsfürsolcheUntersuchungen
mittlerweileausreichendist.AuchdieSoftwareistleistungsfähigerundvorallenDingen
bedienerfreundlichergeworden.DieszeigtsichvoralleminderzunehmendenIntegration
vonMKS-ProgrammteilenindieCAD-UmgebungeinesKonstruktionsarbeitsplatzes.
Dieses Lehrbuchentstand in der 1. Auflage aus den Unterlagen zur Vorlesung Mehr-
körperdynamikimMasterstudiengangMaschinenbauanderHochschulefürAngewandte
Wissenschaften Regensburg (jetzt OTH Regensburg), die erstmalig im Wintersemester
2007/2008durchgeführtwurde.
Deshalb werden in diesem Lehrbuch die Methoden der Mehrkörperdynamik auf der
BasisgrundlegenderKenntnisseinderTechnischenMechanikundineinerhöherenPro-
grammiersprachevermittelt.DieVor-undNachteiledereinzelnenMethodenbeiderprak-
V
VI Vorwort
tischenAnwendungwerdendurcheinfache,aberdennochgenügendkomplexeBeispiele
erläutert.Analogzu demLehrbuchvonNikravesh1,dassich ausschließlich mitderebe-
nenMehrkörperdynamikbeschäftigt,werdenauchhierMatlab-Skripteund-Funktionenin
denTextintegriert.SieverdeutlichendieeinzelnenMethodenundgebeneinenEindruck
in den Aufwand und die Problematik bei der Umsetzung der Theorie innerhalb von Si-
mulationsprogrammen.Diein Matlab verwendeteobjektorientierteProgrammiersprache
ermöglicht eine kompakte und nahezu selbsterklärende Umsetzung der mathematischen
BeziehungeninentsprechendeProgrammanweisungen.ZahlreicheGrafikengebeneinen
EindruckindasdynamischeVerhaltenvonMehrkörpersystemen.
Dieses Lehrbuch vermittelt einen vertieften Einblick in die Mehrkörperdynamik.Die
Modellbildung,diemathematischeBeschreibungunddienumerischeSimulationvonSys-
temen starrer Körper bilden dabei die Schwerpunkte. Die Modellierung von Kontakten
und die mathematische Beschreibung elastischer Körper sowie deren Einbindung in ein
Mehrkörpersystemkönnendagegennurbeispielartigerläutertwerden.DasLehrbuchsoll
anspruchsvolleStudierendeinmathematischnaturwissenschaftlichenStudiengängenund
praxisnahe Anwender kommerzieller Programme zur Simulation von Mehrkörpersyste-
men in die Lage versetzen, bei der Modellierung komplexer Systeme die Vorteile der
jeweiligen Methodik auszunutzen und die Nachteile zu vermeiden. Ferner vermittelt es
dieFähigkeiteinfachereProblemstellungenselbstständigzulösen.
In der 2. Auflage wurden einige zusätzliche Beispiele eingefügt und praxisrelavante
ÜbungsaufgabenamEndederKapitelanimierendenLeserzumSelbststudium.
Dienunvorliegende3.AuflagelässtdenbewährtenAufbauunddiewesentlichenIn-
halteunverändert,stelltdenInhaltnunaberineinemMedienneutralenLayoutdar.Einneu
aufgenommenerAbschnittzu„sparsematrixsolvern“sowieeinausgearbeitetesBeispiel
zueinemSystemmitkinematischerSchleifehabendieSeitenzahletwaserhöht.
Natürlichwurdedie3.Auflageauchdazugenutzt,Druckfehlerzubeseitigen,diegra-
fischenDarstellungenzuüberarbeitenundFormelzeichenzuvereinheitlichen.
Die Autoren danken dem Springer Vieweg Verlag für die angenehme Zusammenar-
beit und insbesondere Herrn Thomas Zipsner aus dem Lektorat Maschinenbau, der mit
wertvollenAnregungenzumGelingendiesesLehrbuchsbeigetragenhat.
Regensburg,imOktober2016 GeorgRill
ThomasSchaeffer
1Nikravesh,ParvizE.:Computer-aidedanalysisofmechanicalsystems,PrenticeHall,Englewood
Cliffs,NewJersey,1988.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ElementederMehrkörperdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 DynamikdesstarrenKörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Lagebeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Starrkörperbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 KörperfestesKoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Kardan-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Vektortransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.6 Euler-Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.7 DrehungumeinebeliebigeAchse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.8 Euler-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.9 Orthogonalitätsbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 AllgemeineRelativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Starrkörperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Winkelgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Kardan-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Euler-Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.4 Euler-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Bewegungsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
2.5 BeispielQuaderimhomogenenSchwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 MathematischeBeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3 DriftindenEuler-Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.4 EulerscheKreiselgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Übungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 StarreKörpermitelastischenVerbindungselementen . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Bushings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Kraft-undMomentenwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 BeispielräumlichesDoppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 BeidseitiggelenkiggelagertesKraftelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Kraft-undMomentenwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 BeispielLaufkatzemitLast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Kontaktelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 EinfachesKontaktelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 SpezielleKontaktelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.3 BeispielKörpergegenBoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 ExpliziteVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.3 ImpliziteVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.4 NumerischeDämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 KonsequenzenfürelastischgekoppelteMehrkörpersysteme . . . . . . . . 63
3.5.1 TypischesVerhaltenexpliziterundimpliziterSolver . . . . . . . . 63
3.5.2 DünnbesetzteJacobi-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Übungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 StarreKörpermitkinematischenBindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 RollendeMünze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Modellbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 OrientierungundLage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.3 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.4 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 MethodenundPrinzipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Euler-Lagrange-Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 KinetischeEnergieundderenpartielleAbleitungen . . . . . . . . . 81
Inhaltsverzeichnis IX
4.2.4 VerallgemeinerteKräfteundMomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.5 Euler-Lagrange-GleichungenfüreinenstarrenKörper . . . . . . . 84
4.2.6 VerallgemeinerterDrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.7 Differential-AlgebraischesSystemvomIndex1 . . . . . . . . . . . 85
4.2.8 JourdainundD’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 RäumlichesDoppelpendelmitKugelgelenken. . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1 Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.4 VerallgemeinerteKräfteundMomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.5 Massenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.6 Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.7 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 RekursiverAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 Bewegungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.3 EliminationderZwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.5 TopologievonMehrkörpersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 EbenesMehrfachpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.1 ErsteVorwärtsrekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.2 Rückwärtsrekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.3 AbschließendeVorwärtsrekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 EinfachgeschlossenekinematischeSchleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.1 BeispielLaufkatzemitLast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.2 Bindungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.3 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7 Differential-AlgebraischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7.1 Schnittmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7.2 Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.7.3 Index-Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7.4 RäumlichesDoppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.7.5 Gear-Gupta-Leimkuhler-Stabilisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7.6 Baumgarte-Stabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7.7 Index3Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7.8 BindungsgleichungenundAnzahlderFreiheitsgrade . . . . . . . . 130
4.7.9 RedundanteBindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8 Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Übungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
X Inhaltsverzeichnis
5 AnalysevonMehrkörpersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.1.1 DefinitionundBestimmungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.1.2 NichtlineareGleichungslöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.3 SimulationdesEinschwingverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.4 MinimierungderpotentiellenEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Eigendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.2 EigenwerteundEigenvektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.3 BeispielRäumlichesDoppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.4 BeispielTraktormitgefederterVorderachse . . . . . . . . . . . . . 148
5.3 Fremderregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.2 Sprungantwort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3.3 HarmonischeErregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.4 ErregungdurchGleitsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.5 StochastischeErregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4.2 BeispieloptimalesEinschwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5 InverseKinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.2 Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.3 BeispielBahnvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.6 InverseDynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.6.1 Lage,GeschwindigkeitundBeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 166
5.6.2 Stellkräfteund-momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6.3 BeispielBahnsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Übungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 ElastischeKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.1.1 Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.1.2 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.1.3 BewegtesBezugssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.4 RelativePunkt-Kinematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2 EinfachesBalkenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.1 Modell-Vorstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.2 Euler-Bernoulli-Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.3 Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181