Grundlagen des maschinellen Beweisens: Eine Einführung für Informatiker und Mathematiker PDF
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Dieter Hofbauer Ralf-Detlef Kutsche Grundlagen des maschinellen Beweisens ----Aus dem Programm Informatik---- W. Coy Aufbau und Arbeitsweise von Rechenanlagen T. Knieriemen Rechneraufbau am Beispiel des Macintosh II R. Schaback Grundlagen der Informatik - FUr das Nebenfachstudium E. Borger Berechenbarkeit, Komplexitat, Logik M.Nag/ Einfiihrung in die Programmiersprache Ada H. Pudlatz Einftihrung in die Programmiersprache Modula-2 D. Cooper / M. Clancy PASCAL Lehrbuch fUr strukturiertes Programmieren R. Esser/E. Feldmar LISP Fallbeispiele mit Anwendungen in der Kiinstlichen Intelligenz R. Cordes / R. Kruse/H. Langendorfer / H. Rust PROLOG F. Bause/W. Toile Einftihrung in die Programmiersprache C++ ------------------'T1eweg-----------------/ Dieter Hofbauer Ralf-Detlef Kutsche Grundlagen des maschinellen Beweises Eine Einfdhmng fiir Informatiker und Mathematiker Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hofbauer, Dieter: Grundlagen des maschinellen Beweises: eine Einflihrung fUr Informatiker und Mathematiker I Dieter Hofbauer; Ralf-Detlef Kutsche. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1989 ISBN 3-528-04718-6 NE: Kutsche, Ralf-Detlef: Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann. AIle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1989 Das Werk einschlieiblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung aU&rhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfliltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN-13: 978-3-528-04718-4 e-ISBN-13: 978-3-322-84223-7 DOl: 10.1007/978-3-322-84223-7 v Vorwort Dieses Buch ist entstanden aus einer Lehrveranstaltung, die wir in den Jahren 1987 und 1988 konzipiert und weiterentwickelt haben. Sie ist an der Technischen Universitlit Berlin unter dem Namen "LOGIK II fUr Informatiker: Grundlagen des maschinellen Beweisens" Bestandteil des Lehrangebots in Theoretischer Informatik und schlieBt direkt an die "WGIK fUr Informatiker: F ormalisieren und Beweisen" an. Das Buch richtet sich somit in erster Linie an fortgeschrittene Student(inn)en im Informatik Hauptstudium, aber auch ganz allgemein an Wissenschaftler(innen) in Informatik und Mathematik, die sich fUr die logischen Grundlagen des maschinellen Theorembeweisens und die ersten Schritte zu deren Anwendung interessieren. Eine Reihe wichtiger englischsprachiger BUcher in diesem Themenfeld -wenn auch mit sehr unterschiedlichen Schwerpunktsetzungen -ist seit dem Beginn der 70er Jahre entstanden, U.a. Chang & Lee [CL73], Loveland [Lov78], Boyer & Moore [BM79], Bibel [Bib82/87], Bundy [Bun83], Wos, Overbeek, Lusk & Boyle [WOLB84], Gallier [GaI86], Genesereth & Nilsson [GN87] und Padawitz [Pad88]; in deutscher Sprache etwa Bllisius & BUrckert [BB87] oder Richter [Rich89]. Wir verstehen unser Buch als Erglinzung solcher BUcher fUr den deutschen Sprachraum mit dem Ziel, eine eher mathematisch orientierte Einflihrung in diese Thematik zu geben. Wir knUpfen an Grundkenntnisse der Logik an und stellen daher die spliter benotigten Begriffe in Kapitell nur in gestraffter Form bereit. Einen ersten Schwerpunkt bildet in Kapitel 2 die Resolution, ein handlicher AbleitungskalkUl, der die Prlidikatenlogik erster Stufe prinzipiell dem Rechner zuglinglich macht. In Kapitel 3 beschliftigen wir uns ausflihrlich mit verschiedenartigen Einschriinkungen des Suchraums bei automatischen Beweisen. Wir klassifizieren dabei eine Vielzahl historisch wild gewachsener Konzepte, beweisen oder widerlegen deren Vollstlindigkeit uitd problematisieren den Aufwand dieser Verfeinerungen. In Kapitel4 stellen wir exkursartig einige weitere Theorembeweiser-Verfahren vor, die eine andere Repriisentation der Formeln und des Suchraums verwenden. VI Vorwort Danach leiten wir in Kapitel 5 iiber zur Paramodulation, die einen acUiquaten Umgang mit der Gleichheitsrelation innerhalb des Resolutionskalkiils erlaubt. SchlieBlich bilden die Kapitel 6 und 7 einen weiteren Schwerpunkt innerhalb des Buches: wir schrlinken die Pradikatenlogik auf reine Gleichungen ein und benutzen darUr Termersetzung als AbleitungskalkiiL Zunachst studieren wir Ersetzungssysteme und ihre Theorie in einem allgemei neren Rahmen, lernen dann wichtige Techniken speziell fUr Terme kennen und behandeln damit weitere Fragestellungen des Theorembeweisens: Entscheiden von Gleichheitstheorien, Beweisen von induktiven Theoremen und LOsen von Gleichungen. Zuletzt geben wir noch einen Ausblick in die Unifikationstheorie. Besonders wichtig ist es uns, durch notationell einheitliches Aufspannen des Bogens Resolution Paramodulation -Termersetzung die Ahnlichkeiten und Unterschiede zwischen diesen Kalkiilen zu verdeutlichen; dasselbe gilt fiir die Systematisierung der Resolutions-Einschrlinkungen und ihrer Vollstiindigkeitsbeweise. Wir wollen unsere Leserinnen 1 und Leser dazu befahigen, sich das weite Feld des maschinellen Beweisens, aber auch verwandte Gebiete wie logisches und funktionales Programmieren, Methoden zur Wissensreprasentation und -deduktion oder Theorem beweisen in nichtklassichen Logiken kompetent erarbeiten zu konnen. Zum SchluB der Vorrede mOchten wir sehr herzlich allen danken, die direkt oder indirekt zum Entstehen dieses Buches beigetragen haben, ganz besonders Dirk Siefkes, in dessen Arbeitsgruppe Algorithmik und Logik am Fachbereich Informatik der TU Berlin wir unsere Lehrveranstaltungen entwickeln konnten, sowie unserem friiheren Kollegen Peter Padawitz fiir ihre fruchtbaren Anregungen und ihre konstruktive Hilfestellung. Unser Dank richtet sich aber auch an die vielen Studenten, die uns durch kritische Mitarbeit und engagierte Diskussionen unterstiitzt haben. Besonders hervorheben mOchten wir dabei EIke Altendorf, Christoph Brzoska, Frank Merken, Lars With und Peter Wuttke, die in un serer FUNLOG-Forschungsgruppe und durch ihre Studien- und Diplomarbeiten wertvolle Beitriige geleistet haben. Weiter gilt unser Dank Reinald Klockenbusch yom Vieweg-Verlag fiir die konstruktive und ange nehme Zusammenarbeit Dieter Hofbauer Ralf-Detlef Kutsche Ein ganz speziellliebevoller Dank richtet sich an meine Frau Christine und meine Tochter Marissa fUr die vielfiiltige Riicksichtnahme und hiiufigen persOnlichen Verzicht auf mich. RDK 1 Unsere Leserinnen mOgen verzeihen, daB wir in ZukunCt immer nur "den Leser" ansprechen werden. Wir meinen diese Anrede aber "geschlechtsneuttal" und Crouen uns fiber mlInnliche und weibliche LeserInnen gleichermaBen. vn Inhalt Kapitel 1 Grundbegriffe der Pridikatenlogik ................................... 1 1.1 Syntax der Pridikatenlogik ........................................................ 2 1.2 Semantik der Prlidikatenlogik ................................ ... ... ... ... ......... 9 1.3 Normierung der Syntax: Gentzenformeln und die Schnitttegel ............... 13 1.4 Normierung der Semantik: Herbrand-Strukturen ....... ........................ 17 1.5 Korrektheit und Vollstindigkeit ................................................... 20 1.6 Theorembeweisen durch Widerlegungen ........................................ 25 Kapitel 2 Resolution ....................................................................... 33 2.1 Unifikation ........................................................................... 34 2.2 Resolution und Faktorisierung .................................................... 41 Kapitel 3 Einscbrinkung des Sucbraums ........................................ 47 3.1 Der Suchraum ........... .......... ................ .................... ... ...... ..... 48 3.2 Allgemeine Konzepte ............................................................... 51 3.3 Strukturelle Konzepte ......................................................... ..... 60 3.4 Ordnungskonzepte .... ..... ....... ........ ......... ..... ....... ..... ....... ... ...... 68 3.5 Semantische Konzepte ............................................................. 72 3.6 Kombination von Konzepten ...................................................... 17 Kapitel 4 Reprisentation des Sucbraums ........................................ 85 4.1 Connection-Graph-Resolution .................................................... 86 4.2 Matrix-Verfahren .................................................................... 90 4.3 Tableau-Verfahren .... ...... ... ... ....... ... ....... ...... ... ... ....... ...... ........ 95 VIII InhaIt Kapitel 5 Paramodulation ................................................................ 103 5.1 Gleichheit ........ ..... ....... ....................... ...... .... ... ..... ... ... ... ...... 104 5.2 Paramodulation ........ ................. ........ ........ ............ ........ .... ..... 106 Kapitel 6 Termersetzung: Grundlagen ............................................ 113 6.1 Termersetzungssysteme ............................................................ 114 6.2 Ersetzungssysteme: Termination und Konfluenz ............................... 120 6.3 Lokale Konfluenz und kritische Paare ............................................ 124 Kapitel 7 Termersetzung: Spezielle Techniken .............................. 129 7.1 Terminationskriterien ............................................................... 130 7.2 Knuth-Bendix-Vervollstlindigung ................................................ 138 7.3 Induktive Beweise .................................................................. 142' 7.4 L6sen von Gleichungen: Narrowing ............................................. 146 7.5 Beweisen in speziellen Gleichheitstheorien ...................................... 150 Schlu8bemerkungen .............................................................................. 155 Literatur ................................................................................................ 159 Symbolverzeichnis ................................................................................ 165 Sachwortverzeichnis .............................................................................. 169 Kapitel 1 Grundbegriffe der Pradikatenlogik Zu Beginn dieses Buches stellen wir in sehr kompakter Fonn die fUr uns wichtigsten Begriffe und Ergebnisse aus der Prlidikatenlogik dar. Da es nicht das Ziel eines Buches tiber die theoretischen Grundlagen des maschinellen Beweisens sein kann, ein vollstlindiges Logik-Lehrbuch zu sub sumieren, beschrlinken wir uns dabei ganz zielgerichtet auf den Ausschnitt der Logik, den wir spilter ben6tigen werden. Unsere "Dramaturgie" ist es, einen m6glichst runden Bogen zu spannen ausgehend von Beweis methoden fUr die volle PrlIdikatenlogik tiber die besondere Behandlung der Gleichheit innerhalb der Priidikatenlogik bis bin zu Spezialtechniken fUr reine Gleichheitskalkiile. Dadurch sind gewisse (fUr ein klassisches Logik-Verstlindnis vielleicht untypische) Schwerpunktsetzungen unvermeidbar oder auch durchaus gewollt, wie etwa die besondere Betonung des Umgangs mit Termen und Substitutionen oder auch die konsequente Begrenzung pridik:atenlogischer Ableitungskalkiile auf Widerlegungsverfahren auf der Basis der Schnittregel. Da es keinen Mangel sowohl an umfassenden als auch an einfiihrenden Logik-Lehrbiichern gibt, erlauben wir uns, das erste Kapitel eher in Form eines Nachschlage-Verzeichnisses unserer Bezeichnungen und Notationen zu priisentieren als didaktisch aufbereitet und zum Selbststudium geeignet. Wir nennen hier exemplarisch nur einige deutschsprachige Bticher: Asser [Ass72], Bergmann & Noll [BN77], BOrger [BOr85], Ebbinghaus, Flum & Thomas [EFT78], Hennes [Herm76], Richter [Rich78], Sch6ning [Sch687/89] und -last but not least -das in Kiirze ebenfalls bei Vieweg als Buch erscheinende Vorlesungs-Skriptum unseres langjiihrigen Lehrers Prof. Siefkes [Sief89]. 2 1 Gnmdbegriffe der P!Ikfikatenlogi 1.1 Syntax der Pradikatenlogik In diesem Abschnitt fiibren wit Symbole und Zeichenketten ein. die wit fUr eine Formalisierung von Theoremen benOtigen und auf denen wit spitei' im Sinne maschinellen Beweisens operieren wollen. Dazu ben6tigen wit neben den reinen Zeichenvorrilten und den aus ihnen gebildeten Bausteinen (Terme und Formeln) auch Darstellungsweisen (Baume) und Transformations m6glichkeiten (Ableirungsregeln). 1.1.1 Terme ond Formeln Definition (1.1) (Signatur) = ( Eine Signatur 1; S. F. P) ist durch drei paarweise disjunk:te Symbolmengen gegeben: (i) die Menge S der Sortensymbole. (ii) die Menge F der Operationssymbole (oder: Funktionssymbole) und (iii) die Menge P der Priidikatensymbole. wobei jedes Operationssymbol f E Fund jedes PrIldikatensymbol PEP eine Stelligkeit und Sortigkeit (zusammen kurz: Arital) besitzt. notiert durch 1 f( s10 52 ..... So ) -+ s fUr n-stelliges f zu den (Argument-)Sonen slo 52 .... sn und der Ziel-Sorte s sowie durch P( sl. 52 ..... sn) fUr n-stelliges P zu den Sorten sl. 52 ..... So • FUr n = 0 hei.6t f Konstante(nsymbol) hzw. P Aussagensymbol. _ FUr die nun folgenden Definitionen von Termen und Formeln nehmen wit stets eine Signatur 1; sowie eine -zu allen Mengen der Signatur disjunkte -Menge(nfamilie) V = (VS >se s von Variablen zu den Sonen von 1; als gegeben an. Definition (1.2) (Terme) DieMenge T~(V) der 1;-TermemitVariablenaus V istinduktivdefiniertdurch: (i) Jedes Konstantensymbol c -+ s aus 1; ist ein Term zur Sone s. (ii) Jede Variable aus Vs ist ein Term zur Sorte s. (iii) 1st f( sl. 52 ..... So) -+ s Operationssymbol aus 1; und sind weiterhin tl. t2 ..... to Terme zu den Sorten sl. 52 ..... sn. so ist f( tl' t2' .... to) Term zur Sorte s. _ Definition (1.3) (quantorenfreie Formeln. offene Pridikatenlogik) • 1st P( sl. s2 ..... So) Priidikatensymbol aus 1; und sind weiterhin tl. t2 ..... to Terme aus Tl;(V) zu den Sorten sl. 52 ..... So. so ist P( tl' t2."" to) atomare Formel zur Sorte s. 1 FUr die Operationssymbole in unseren Beispielen werden wir spiller in Ublicher Weise PrIIfIX-. POStflX-oder bei zweistelligen Operationssymbolen oft auch Infix-Notation verwenden.
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