Grundlagen der Mathematik I - II [Lecture notes]

455 Pages·2010·2.509 MB·German

by  Wolfram Decker

Grundlagen der Mathematik I - II
Kaiserslautern WS 2009/2010-SS 2010
Prof. Dr. Wolfram Decker
16. Juli 2010
2
Dieses Skript entstand aus von Studenten erstellten Skripten zu meinen Vorlesungen Lineare
Algebra I, II (WS 2000/01, SS 2001) bzw. Mathematik fu¨r Informatiker I,II,III (WS 2004/05,
SS2005,WS2005/06)anderUniversit¨atSaarbru¨cken.IchdankeOliverBarth,MartinKaiser,
Marko Kurz, Sebastian Kirsch bzw. Martin Grochulla, Pascal Gwosdek, Christian Doczkal,
Sebastian Meiser fu¨r die Erstellung dieser Skripte.
Wolfram Decker [email protected]
Inhaltsverzeichnis
0 Einfu¨hrung 1
1 Logik und Beweismethoden 3
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Verknu¨pfungen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Summen- und Produktschreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Mengen 11
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Mengentheoretische Sprechweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Mengentheoretische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Das kartesische Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Abbildungen 19
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 M¨achtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Charakterisierung von injektiv, surjektiv und bijektiv. . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Familien von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Relationen 27
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 A¨quivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Gruppen, Ringe, K¨orper 33
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Ringe und K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i
ii
6 Axiomatik der reellen Zahlen 45
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Die K¨orperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Die Anordnungsaxiome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Folgen, Grenzwerte und das Vollst¨andigkeitsaxiom 51
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3 Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 Der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 Das Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.6 Bestimmte Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.7 Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.8 Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Reihen 63
8.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.5 Kriterien fu¨r absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.6 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.7 Produkt von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.8 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.9 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Stetige Funktionen 75
9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.4 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.5 Maximum - Minimum - Eigenschaft stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 83
9.6 Der Umkehrsatz fu¨r streng monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.7 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Komplexe Zahlen und trigonometrische Funktionen 91
10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2 Der K¨orper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.3 Konjugiert komplexe Zahlen und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.4 Folgen und Reihen, Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.5 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.6 Das Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.7 Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . 97
10.8 Die Zahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.9 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.10Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.11Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
iii
11 Differenzierbare Funktionen 107
11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.3 Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.4 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12 Lokale Extrema, Mittelwerts¨atze und erste Anwendungen 121
12.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.2 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.3 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.4 Erste Anwendungen des Mittelwertsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.5 Konvexit¨at, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung . . . . . . . . . . 127
12.6 Der verallgemeinerte Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.7 Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.8 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.9 Das Newtonsche Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13 Das Riemannsche Integral 139
13.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.4 Das Riemannsche Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.5 Gleichm¨aßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.6 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.7 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 Integration und Differentiation 151
14.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . 151
14.3 Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.4 Partielle Integration (Produktintegration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.5 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.7 Motivation (Uneigentliche Integrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.8 Integrale u¨ber unbeschr¨ankten Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.9 Integrale bei unbeschr¨anktem Integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
14.10Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.11Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15 Darstellung von Funktionen durch Reihen 177
15.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.2 Gleichm¨aßige Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.3 Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15.4 Gleichm¨aßig konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15.5 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.6 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
iv
16 Vektorr¨aume, Basis, Dimension 191
16.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
16.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
16.3 Linearkombinationen, lineare Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.4 Basen und Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
16.5 Das Eliminationsverfahren von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16.6 Quotienten und Summen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17 Lineare Abbildungen, Matrizen, lineare Gleichungssysteme 217
17.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
17.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
17.3 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
17.4 Das Produkt von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
17.5 Die Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.6 Transformationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
17.7 Lineare Gleichungenssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
18 Determinanten 253
18.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18.3 Der Entwicklungssatz von Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
18.4 Die Existenz und Eindeutigkeit von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 261
18.5 Die Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
19 Eigenwerte und Normalformen von Matrizen 273
19.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
19.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
19.3 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
19.4 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
20 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume 317
20.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
20.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
20.3 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume, L¨angen-/Winkelmessung . . . . . . . . 322
20.4 Orthogonale und unit¨are Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 328
20.5 Selbstadjungierte Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
20.6 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
20.7 Der Tr¨agheitssatz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
20.8 Ein allgemeiner Orthogonalisierungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
21 Offene und abgeschlossene Mengen, Stetigkeit, Kompaktheit 349
21.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
21.2 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
21.3 Folgen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
21.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
21.5 Kompaktheit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
21.6 Metrische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
v
21.7 Der Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
22 Differenzierbarkeit 363
22.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
22.2 Partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
22.3 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
22.4 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
22.5 H¨ohere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
22.6 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
23 Taylor-Formel und lokale Extrema 381
23.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
23.2 Die Taylor-Formel im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
23.3 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
24 Implizite Funktionen, inverse Abbildungen und lokale Extrema mit Neben-
bedingungen 389
24.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
24.2 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
24.3 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
24.4 Beweis des Satzes u¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
24.5 Inverse Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
24.6 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
25 Das mehrdimensionale Riemann-Integral 405
25.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
25.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
25.3 Rechenregeln, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
25.4 Der Satz von Fubini fu¨r Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
25.5 Der Satz von Fubini fu¨r Normalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
25.6 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
25.7 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
26 Das Lebesgue-Integral 421
26.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
26.2 Topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
26.3 Die erweiterte reelle Zahlengerade R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
26.4 Das ¨außere Lebesgue-Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
26.5 Lebesgue-messbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
26.6 Messbare R¨aume und messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
26.7 Messbare Funktionen X R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
→
26.8 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
26.9 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
26.10Integration von nichtnegativen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
26.11Integral allgemeiner Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
26.12µ-Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
26.13Die Summe integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
vi
26.14Konvergenzs¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
26.15Der Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral . . . . . . . . 443
26.16Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
26.17Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
Kapitel 0
Einfu¨hrung
Auf den Vorlesungen Grundlagen der Mathematik I und II bauen alle weiteren Mathematik-
vorlesungen auf. Das Beherrschen der vermittelten Beweismethoden und Rechentechniken ist
die unabdingbare Voraussetzung fu¨r das Verst¨andnis der Mathematik in den h¨oheren Semes-
tern. Im Einzelnen eingefu¨hrt werden Grundlagen der Analysis und der Linearen Algebra.
Gegenstand der Analysis ist die von Newton und Leibniz im 17. Jahrhundert begru¨ndete
Differential-undIntegralrechnung.DieseliefertMethoden,dieeserlauben,dasA¨nderungsver-
halten von Funktionen zu studieren. Hauptinhalt der Vorlesung im ersten Semester ist die
Differential- und Integralrechnung einer reellen Variablen. Ausgangspunkt ist die Axiomatik
der reellen Zahlen – alle mathematischen Aussagen werden von einigen wenigen Grundeigen-
schaften der reellen Zahlen abgeleitet. Fundamentale Begriffe sind Konvergenz, Stetigkeit,
Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. Der Fall mehrerer Variabler wird im zweiten Semes-
ter behandelt.
In der linearen Algebra geht es um das L¨osen linearer Gleichungssysteme. Allgemein geht
das Wort Algebra unddasBemu¨hen umL¨osungen von Gleichungen zuru¨ck aufdie arabischen
Mathematiker des9.Jahrhunderts.EinzentralerAlgorithmuszurL¨osunglinearerGleichungs-
systeme ist das von Gauss um 1800 gefundene Eliminationsverfahren. Fundamentale Begriffe
wie Vektorr¨aume, lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten werden im ersten Se-
mester behandelt.Imzweiten Semester spielen Eigenwerte, Eigenvektoren undNormalformen
fu¨r Matrizen sowie Skalarprodukte eine zentrale Rolle.
Beginnen wollen wir mit der Festlegung mathematischer Sprechweisen. Dabei setzen wir
zun¨achst eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit den reellen Zahlen voraus. In Kapitel 6
werden wir dann auf die Axiomatik der rellen Zahlen eingehen.
Literatur
ANALYSIS LINEARE ALGEBRA
Forster, Analysis 1, 2 Fischer, Lineare Algebra
Heuser, Analysis 1, 2 Kowalsky-Michler, Lineare Algebra
Barner-Flohr, Analysis 1, 2 Bosch, Lineare Algebra
Hildebrandt, Analysis 1, 2 J¨anich, Lineare Algebra
K¨onigsberger, Analysis 1, 2
1
2 0 EINFU¨HRUNG