Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie

115 Pages·2017·0.53 MB·German

Grundlagen der linearen Algebra und
analytischen Geometrie
Sascha Trostorff
19. Juli 2018
Inhaltsverzeichnis
I. Einführung in die Mengenlehre 3
1. Grundlagen der Aussagenlogik 4
2. Naive Mengenlehre 7
3. Relationen und Funktionen 11
II. Algebraische Strukturen 17
4. Gruppen, Ringe und Körper 18
5. Vektorräume 25
III. Matrizen 36
6. Grundlegende Definitionen 37
7. Lineare Abbildungen und Matrizen 42
8. Lineare Gleichungssysteme 48
9. Determinanten 59
IV. Euklidische Vektorräume und analytische Geometrie 70
10.Euklidische Vektorräume 71
11.Affine Unterräume und analytische Geometrie 79
V. Eigenwerte und Eigenvektoren 89
12.Der Körper der komplexen Zahlen C 90
13.Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 95
14.Adjungierte lineare Abbildungen und Normalformen 104
2
Teil I.
Einführung in die Mengenlehre
3
1. Grundlagen der Aussagenlogik
Wir wollen uns zunächst mit den Grundlagen der Logik beschäftigen. Hierbei benötigen wir
sogenannte Aussagen. Ohne genau zu definieren, was eine Aussage eigentlich ist, wollen wir
davonausgehen,dassAussagenSätzesind,denenmaneinenWahrheitswert„falsch“ oder„wahr“
zuordnen kann. In diesem Sinne sind also folgende Sätze Aussagen
• „Ich sitze im Hörsaal“
• „Jeder Mensch besitzt ein Auto“
• „Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben“
• „Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben“
Jeder dieser Aussagen lässt sich theoretisch ein Wahrheitswert zuordnen, auch wenn das mit-
unter sehr schwierig seien kann (die letzte Aussage ist die sog. „Goldbachsche Vermutung“ und
ist seit 250 Jahren ungeklärt). Aussagen lassen sich nun auf verschiedene Arten verknüpfen.
Definition. Seien p,q Aussagen. Dann definieren wir die folgenden Aussagen über die nach-
folgende Wahrheitstabelle:
• Konjunktion („und“): p q (lies: „p und q“)
∧
• Disjunktion („oder“): p q (lies: „p oder q“)
∨
• Negation („nicht“): p (lies: „nicht p“)
¬
• Implikation: p q (lies: „aus p folgt q“)
⇒
• Äquivalenz: p q (lies: „p gilt genau dann, wenn q gilt“).
⇔
p q p q p q p p q p q
∧ ∨ ¬ ⇒ ⇔
w w w w f w w
w f f w f f f
f w f w w w f
f f f f w w w
Bemerkung 1.1. Die Disjunktion bezeichnet immer das „einschließende oder“, also nicht das
„entweder ... oder ...“. Letzteres ließe sich zum Beispiel folgendermaßen ausdrücken:
„entweder p oder q“ : (p ( q)) (( p) q)
⇔ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧
Satz 1.2 (Einige Tautologien). Seien p,q,r Aussagen. Dann gelten:
(a) ( p) p
¬ ¬ ⇔
(b) (p q) (( p) ( q))
⇔ ⇔ ¬ ⇔ ¬
(c) (p q) (( p) ( q))
∧ ⇔ ¬ ¬ ∨ ¬
4
1. Grundlagen der Aussagenlogik
(d) (p q) (( p) ( q))
∨ ⇔ ¬ ¬ ∧ ¬
(e) (p q) r (p r) (q r)
∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧
(f) (p q) r (p r) (q r)
∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨
(g) (p q) (( p) q)
⇒ ⇔ ¬ ∨
(h) (p q) ((p q) (q p))
⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒
(i) (p q) (( q) ( p))
⇒ ⇔ ¬ ⇒ ¬
p p ( p) p ( p)
¬ ¬ ¬ ⇔ ¬ ¬
Beweis. (a) w f w w
f w f w
p q p q p q ( p) ( q) (p q) (( p) ( q))
⇔ ¬ ¬ ¬ ⇔ ¬ ⇔ ⇔ ¬ ⇔ ¬
w w w f f w w
(b) w f f f w f w
f w f w f f w
f f w w w w w
p q p q p q ( p) ( q) (( p) ( q)) (p q) (( p) ( q))
∧ ¬ ¬ ¬ ∨ ¬ ¬ ¬ ∨ ¬ ∧ ⇔ ¬ ¬ ∨ ¬
w w w f f f w w
(c) w f f f w w f w
f w f w f w f w
f f f w w w f w
(d) Es gilt
(c)
(( p) ( q)) (( ( p)) ( ( q)))
¬ ∧ ¬ ⇔¬ ¬ ¬ ∨ ¬ ¬
(a)
(p q)
⇔¬ ∨
und somit nach (b)
(( p) ( q)) ( (p q))
¬ ¬ ∧ ¬ ⇔ ¬ ¬ ∨
(a)
(p q).
⇔ ∨
Rest: Übung.
In mathematischen Aussagen werden häufig Variablen verwendet. So ist etwa der Satz „x ist
reellundx+2 0“ keineAussageimobigenSinne,davölligunklarist,welchenWertxindiesem
≥
Zusammenhanghat.SolcheVariablennenntmanauchfreieVariablen.Mithilfevonsogenannten
Quantoren lassen sich freie Variablen binden, werden also zu gebundenen Variablen. Es gibt
zwei Quantoren: den Allquantor und den Existenzquantor . Somit lässt sich der Satz „x ist
∀ ∃
reell und x+2 0“ durch binden von x in folgende Aussagen verwandeln:
≥
x : x reell x+2 0
∃ ∧ ≥
x : x reell x+2 0.
∀ ∧ ≥
5
1. Grundlagen der Aussagenlogik
HierbeiistdieersteAussagewahr,daesnatürlichreelleZahlenxgibt,diex+2 0erfüllen.Die
≥
zweite Aussage ist hingegen falsch, da das nicht für alle reellen Zahlen gilt (wie z.B. x = 5).
−
Die oben erwähnte Goldbachsche Vermutung lässt sich nun folgendermaßen formulieren
n : n gerade natürliche Zahl p : q : (n = p+q) p prim q prim.
∀ ⇒∃ ∃ ∧ ∧
Statt p : q : schreibt man auch kürzer p,q : . Die Reihenfolge der Quantoren spielt hierbei
∃ ∃ ∃
eine wichtige Rolle. So besagt die Aussage
n : m : n,m natürliche Zahlen (n m)
∀ ∃ ∧ ≥
dass zu jeder natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl m existiert, die kleiner oder gleich n ist
(klar, wähle z.B. m = n). Hingegen besagt die Aussage
n : m : n,m natürliche Zahlen (n m)
∃ ∀ ∧ ≥
dass es eine natürliche Zahl n gibt, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist
(was falsch ist, da stets m = n+1 gewählt werden kann). Allaussagen und Existenzaussagen
stehen in einem engen Zusammenhang über die Negation, nämlich
( x : p(x)) x : p(x),
¬ ∀ ⇔ ∃ ¬
wobei p(x) eine Aussage mit der freien Variablen x sei.
6
2. Naive Mengenlehre
WirwollenunsnunmitMengenundMengenoperationenbeschäftigen.Dabeiverzichtenwirauf
eine strikt mathematische Definition, was eine Menge ist, da dies den Rahmen der Vorlesung
sprengen würde. Stattdessen nehmen wir an, dass intuitiv klar ist, was eine Menge ist. Mengen
definieren sich durch ihre Elemente. Wir schreiben x M, wenn x ein Element der Menge M
∈
ist. Somit sind zwei Mengen M,N gleich, falls all ihre Elemente übereinstimmen, also
M = N : ( x : x M x N).
⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈
MengenwerdenhäufigdurchgroßeBuchstaben,ihreElementedurchkleineBuchstabennotiert.
Enthält eine Menge nur endlich viele Elemente, sagen wir 1,2,3,4,5, so schreiben wir
M = 1,2,3,4,5 .
{ }
Ferner definieren wir die Menge, die kein Element enthält durch
:= ,
∅ {}
die leere Menge. Neben der Mengengleichheit formulieren wir auch den Begriff der Teilmenge.
Definition. Seien M,N Mengen. N heißt eine Teilmenge von M, falls
x : x N x M.
∀ ∈ ⇒ ∈
Wir schreiben in diesem Fall N M und nennen M eine Obermenge von N.
⊆
Bemerkung 2.1. Mithilfe von Mengen schreiben wir Aussagen in Zukunft etwas verkürzt, also
statt z.B. wie oben
x : x N x M
∀ ∈ ⇒ ∈
schreiben wir
x N : x M.
∀ ∈ ∈
Satz 2.2. Seien M,N Mengen. Dann gilt
M = N (M N N M).
⇔ ⊆ ∧ ⊆
Über Aussagen können wir aus einer Menge bestimmte Teilmengen auswählen. Sei dazu p(x)
eine Aussage mit der freien Variablen x. Dann ist
x M ; p(x)
{ ∈ }
eineTeilmengevonM,nämlichgenaudieElementexvonM,fürdiep(x)wahrist.Sobezeichnet
zum Beispiel
x N; k N : x = 2k
{ ∈ ∃ ∈ }
7
2. Naive Mengenlehre
die Menge aller geraden Zahlen oder
x R; x2 0
{ ∈ ≤ }
entspricht der Menge aller reellen Zahlen, deren Quadrat nicht positiv ist, was nur für x = 0
zutrifft. Es ist also
x R; x2 0 = 0 .
{ ∈ ≤ } { }
Entsprechend gilt
x R; x2 < 0 = .
∈ ∅
(cid:8) (cid:9)
Weitere Mengen, die wir zukünftig stets verwenden wollen sind
Symbol enthalten sind z.B. Bezeichnung
N 0,1,2,3,... natürliche Zahlen
Z 0,1,-1,2,-2,... ganze Zahlen
Q 1, 4, 5,2,... rationale Zahlen
3 −5 −
R 2, 4, π,√2,... reelle Zahlen
3 − −
Wir führen nun Operationen auf Mengen ein.
Definition. Seien eine Menge von Mengen. Wir definieren die Mengen
M
(a) := x; M : x M (Vereinigung),
M { ∃ ∈ M ∈ }
(b) S := x; M : x M (Durchschnitt).
M { ∀ ∈ M ∈ }
Ist T = A,B so schreiben wir auch A B und A B statt A,B und A,B . Ferner
M { } ∪ ∩ { } { }
führen wir für zwei Mengen A und B die Menge
S T
(c) A B := x; x A x / B (Differenz)
\ { ∈ ∧ ∈ }
ein.
Satz 2.3 (Rechenregeln). Seien A,B,C Mengen. Dann gelten
(a) A (B C) = (A B) (A C),
∩ ∪ ∩ ∪ ∩
(b) A (B C) = (A B) (A C),
∪ ∩ ∪ ∩ ∪
(c) A (B C) = (A B) (A C),
\ ∪ \ ∩ \
(d) A (B C) = (A B) (A C).
\ ∩ \ ∪ \
Beweis. Wir verwenden stets die Tautologien aus Satz 1.2
(a) Es gilt
x A (B C) x A x B C
∈ ∩ ∪ ⇔ ∈ ∧ ∈ ∪
x A (x B x C)
⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈
(x A x B) (x A x C)
⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
(x A B) (x A C)
⇔ ∈ ∩ ∨ ∈ ∩
x (A B) (A C).
⇔ ∈ ∩ ∪ ∩
8
2. Naive Mengenlehre
(b) Übung.
(c) Es gilt
x A (B C) x A ( x B C)
∈ \ ∪ ⇔ ∈ ∧ ¬ ∈ ∪
x A ( (x B x C))
⇔ ∈ ∧ ¬ ∈ ∨ ∈
x A (( x B) ( x C))
⇔ ∈ ∧ ¬ ∈ ∧ ¬ ∈
x A ( x B) x A ( x C)
⇔ ∈ ∧ ¬ ∈ ∧ ∈ ∧ ¬ ∈
x A B x A C
⇔ ∈ \ ∧ ∈ \
x (A B) (A C).
⇔ ∈ \ ∩ \
(d) Übung.
Definition. Sei M eine Menge. Dann definieren wir
(M) := N ; N M
P { ⊆ }
die Potenzmenge von M (die Menge aller Teilmengen von M).
Beispiel 2.4. Ist M = 1,2,3 , so ist
{ }
(M) = , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 .
P {∅ { } { } { } { } { } { } { }}
Definition. Wir definieren durch
(a,b) := a , a,b
{{ } { }}
das geordnete Paar (a,b).
Satz 2.5. Es gilt
((a,b) = (c,d)) (a = c b = d).
⇔ ∧
Beweis. Sei zunächst a = c und b = d. Es gilt
(a,b) = (c,d) ( x : x (a,b) x (c,d)).
⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈
Nun gilt
x (a,b) x = a x = a,b
∈ ⇔ { }∨ { }
x = c x = c,d
⇔ { }∨ { }
x (c,d)
⇔ ∈
und daher (a,b) = (c,d). Wir nehmen nun an, dass (a,b) = (c,d).
Dann gilt a (a,b) = (c,d) und daher a = c oder a = c,d . Im ersten Fall gilt
{ } ∈ { } { } { } { }
a = c und im zweiten Fall a = c = d und somit insgesamt immer a = c. Es verbleibt b = d zu
zeigen.Wir zeigen hierzu
b = d a = c (a,b) = (c,d).
6 ∧ ⇒ 6
9
2. Naive Mengenlehre
Sei also b = d und a = c. Gilt a,b / (c,d), dann ist nicht zu zeigen. Gilt hingegen a,b
6 { } ∈ { } ∈
(c,d), so folgt
a,b = c a,b = c,d a,b = c a = b = c.
{ } { }∨{ } { } ⇒ { } { } ⇒
Dann folgt c,d = a , da sonst d = a = b und somit aber c,d / (a,b), da
{ } 6 { } { } ∈
c,d = a,b c,d = a .
{ } 6 { }∧{ } 6 { }
Definition. Seien M,N Mengen. Dann ist
M N := (a,b); a M b N
× { ∈ ∧ ∈ }
das kartesische Produkt von M und N.
Abschließendzeigenwir,dassdienaiveVorstellungvonMengenzuWidersprüchenführenkann.
Satz 2.6 (Russelsches Paradoxon). Es gibt nicht die Menge aller Mengen.
Beweis. Wir nehmen an, es gebe die Menge aller Mengen, die wir mit bezeichnen. Dann ist
S
M := A ; (A A)
{ ∈ S ¬ ∈ }
eine Teilmenge von und damit selbst eine Menge. Es gilt also M . Nun gibt es zwei
S ∈ S
Möglichkeiten.
(i) M M. Dann gilt (M M) also ein Widerspruch.
∈ ¬ ∈
(ii) (M M). Dann gilt aber M M, ebenfalls ein Widerspruch.
¬ ∈ ∈
SomitmussunsereVoraussetzungalsofalschsein,esgibtalsonichtdieMengeallerMengen.
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