Grundlagen der Geometrie

280 Pages·1968·9.975 MB·German

by  Prof. Dr. David Hilbert (auth.)

Teubner Studienbücher
Mathematik
Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. DM 32,
Aigner: Graphentheorie. DM 29,80
Ansorge: DifferenzenapproximatIonen partieller Anfangswertaufgaben. DM 32,-(LAMM)
Behnen/Neuhaus: Grundkurs Stochastik. 2. Aufl. DM 36,-
Bohl: Finite Modelle gewöhnlicher Randwertaufgaben. DM 32,-(LAMM)
Böhmer: Spllne-Funktlonen. DM 32,-
Bröcker: Analysis In mehreren Variablen. DM 34,-
Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische Lineare Algebra. 314 Seiten. DM 36,
Clegg: Variationsrechnung. DM 19,80
v. Collani: Optimale Wareneingangskontrolle. DM 29,80
Collatz: Differentialgleichungen. 6. Aufl. DM 34,- (LAMM)
Collatz/Krabs: Approximationstheorie. DM 29,80
Constantinescu Distributionen und Ihre Anwendung In der Physik. DM 22,80
Dinges/Rost Prinzipien der Stochastik. DM 36,-
Fischer/Sacher: Einführung In die Algebra. 3. Aufl. DM 23,80
Floret Maß-und IntegratIonstheorie. DM 34,-
Grigorieff: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Band 2: DM 34,-
Hackbusch Theorie und Numerlk elliptischer Differentialgleichungen. DM 38,
Hainzl: Mathematik für Naturwissenschaftler. 4. Aufl. DM 36,-(LAMM)
Hässig: GraphentheoretIsche Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Hettich/Zenke: Numerische Methoden der Approximation und sem I-Infinitiven
Optimierung. DM 26,80
Hilber!: Grundlagen der Geometrie. 12. Aufl. DM 28,80
Jeggie: Nlchtllneare Funktionalanalysis. DM 28,80
Kali: Analysis für Ökonomen. DM 28,80 (LAMM)
Kali: Lineare Algebra für ökonomen. DM 24,80 (LAMM)
Kali: Mathematische Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Kohias: Stochastische Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Krabs: Optimierung und Approximation. DM 28,80
Lehn/Wegmann: Einführung In die Statistik. DM 24,80
Müller: Darstellungstheorie von endlichen Gruppen. DM 25,80
Rauhut/Schmitz/Zachow: Spieltheorie. DM 34,- (LAMM)
Schwarz: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente. DM 25,80
Schwarz: Methode der finiten Elemente. 2. Aufl. DM 39,- (LAMM)
Stiefel: Einführung In die numerische Mathematik. 5. Aufl. DM 34,-(LAMM)
Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite
David Hilbert
Grundlagen der Geometrie
Mit Supplementen von
Prof. Dr. Paul Bernays t
13. Auflage. Mit 129 Abbildungen
B. G. Teubner Stuttgart 1987
Prof. Dr. David Hilbert
Geboren 1862 in Wohlen bei Königsberg. Studium in Königsberg und
Heidelberg. 1885 Promotion in Königsberg. 1886 Privatdozent und 1892
a. o. Professor in Königsberg. Von 1895 an o. Professor an der Universität
Göttingen. Gestorben 1943.
David Hilbert wurde schon zu Lebzeiten als einer der größten Mathema
tiker anerkannt. Seine Untersuchungen auf fast allen Gebieten der Mathe
matik waren für deren weitere Entwicklung von tiefgehendem Einfluß. In
seinem berühmten Werk "Grundlagen der Geometrie" führte Hilbert
streng die axiomatische Methode in die Geometrie ein und begründete da
mit eine neue Richtung mathematischer Forschung.
Prof. Dr. Paul Bernays
Geboren 1888 in London. Studium in Berlin und Göttingen. 1912 Promo
tion in Göttingen und Habilitation in Zürich. Von 1912 bis 1917 Privat
dozent an der Universität Zürich. Von 1917 bis 1933 Assistent von David
Hilbert am Mathematischen Institut in Göttingen, 1919 Habilitation und ab
1922 a. o. Professor in Göttingen. Ab 1934 an der Eidg. Technischen Hoch
schule Zürich, 1939 Erteilung der venia legendi und 1945 a. o. Professor.
Seit 1959 emeritiert. Mehrmals Gastvorlesungen in den USA. Gestorben
1977.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hilbert, David :
Grundlagen der Geometrie I David Hilbert. Mit
Supp!. von Paul Bernays. - 13. Auf!. - Stuttgart :
Teubner, 1987.
(Teubner-Studienbücher : Mathematik)
ISBN 978-3-519-32020-3 ISBN 978-3-322-92726-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92726-2
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.Jede Verwertung außer
halb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuläs
sig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfaltigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen
und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1968
Gesamtherstellung: Gutmann + Co., Heilbronn
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort zur 10. Auflage
Die letzte zu Hilberts Lebzeiten erschienene Auflage der Hil
bertschen Grundlagen der Geometrie war die siebente Auflage.
Zur Orientierung über diese sei aus dem Vorwort Hilberts das
Folgende übernommen: "Die vorliegende siebente Auflage meines
Buches ,Grundlagen der Geometrie' bringt gegenüber den früheren
Auflagen erhebliche Verbesserungen und Ergänzungen, und zwar
teils nach meinen späteren Vorlesungen über diesen Gegenstand,
teils wie sie durch die inzwischen von aI1deren Autoren erzielten
Fortschritte bedingt worden sind. Dementsprechend ist der Text
des Hauptstückes des Buches umgearbeitet worden. Hierbei hat
mich einer meiner Schüler, H. Arnold Schmidt, aufs tatkräf
tigste unterstützt. Er hat für mich nicht nur ins einzelne gehende
Arbeit geleistet, sondern von ihm rühren auch zahlreiche selbstän
dige Bemerkungen und Zusätze her; insbesondere ist die neue
Fassung des Anhanges II von ihm selbständig hergestellt worden.
Ich spreche ihm hiermit für seine Hilfe meinen herzlichsten Dank
aus. "
Es sei auch hingewiesen auf den in Hilberts Gesammelten Ab
handlungen Bd. II (Berlin 1933) gegebenen historischen Überblick
von A. Schmidt "Zu Hilberts Grundlegung der Geometrie",
S·404-414·
Die 8.-10. Auflagen bringen keine eigentliche Neubearbeitung.
An dem ursprünglichen Text wurden nur einige Berichtigungen
und kleinere Ergänzungen angebracht. Es wurden aber einige
Supplemente hinzugefügt. Von den Anhängen I-X der siebenten
Auflage wurden nur diejenigen geometrischen Charakters I-V
wieder aufgenommen.
Die in den Supplementen gebrachten Ergänzungen wurden
großenteils angeregt durch die Betrachtungen, welche H. Freu
den thaI in seinem Artikel "Zur Geschichte der Grundlagen der
Geometrie", Nieuw Archief voor Wiskunde (4), V, 105-142 (1957),
dem Hilbertschen Buch und dessen 8. Auflage gewidmet hat,
insbesondere durch seine Kritik der dort gegebenen Darstellung
der Flächeninhaltslehre und deren späterer Anwendung.
Was den Inhalt der Supplemente betrifft, so sind im Supple
ment I 1 Ergänzungen zu den §§ 3 und 4 des Hauptteils betreffend
die Folgerungen aus den Verknüpfungs- und Anordnungsaxiomen
hinzugefügt. Insbesondere ist hier eine Bemerkung dem (dort
zitierten) Artikel von Van der W aerden, "De logische Gronds
lagen der Euklidische Meetkunde" entnommen. In Supplement 12
sind einige früher im Anhang VI angeführte Abhängigkeiten
innerhalb des Axiomensystems der reellen Zahlen zusammenge
stellt.
Supplement II bringt eine neue vereinfachte Fassung der Pro
portionenlehre, deren vorherige Fassung im Haupttext §§ 14-16
beibehalten wurde.
Supplement III enthält ergänzende Überlegungen zu der Lehre
von den Flächeninhalten.
Supplement IV 1 betrifft die Möglichkeit der Eliminierung der
Anordnungsaxiome in den Betrachtungen des fünften Kapitels,
IV 2 eine Präzisierung des Satzes 65 (im § 37) über Konstruktions
aufgaben, aufgrund einer Bemerkung von D. K i in e.
Supplement V 1 enthält ergänzende Bemerkungen bezüglich der
beiden im Anhang II von Hilbert aufgestellten "Nicht-Pytha
goräischen" Geometrien.
Supplement V 2 ist im wesentlichen eine Wiedergabe eines
Zusatzes des Anhangs II in den früheren Auflagen (von der zwei
ten an), betreffend die Ableitbarkeit des weiteren Kongruenz
axioms aus dem engeren bei Hinzunahme eines Axioms der Ein
lagerung, wobei eine Beweisführung berichtigt wird.
Einige Hinweise auf neuere Literatur sind hinzugefügt.
Zürich, Januar 1972 P.Bernays
Inhalt.
Seite
Einleitung ............ . I
Erstes Kapitel. Die fünf Axiomgruppen . . . . . . .. 2
§ I. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen 2
§ 2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung . . . .. 3
§ 3· Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung. . . . .. 4
§ 4· Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der An-
ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 5. Die Axiomgruppe III: Axiome der Kongruenz. 11
§ 6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz. 15
§ 7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen. . 28
§ 8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit. . 30
Zweites Kapitel. Die Widerspruchsfreiheit und gegen-
seitige Unabhängigkeit der Axiome . . . . . . 34
§ 9· Die Widerspruchsfreiheit der Axiome . . . . . . 34
§ 10. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische
Geometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 11. Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome . . . . . . . . 45
§ 12. Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V (Nicht-Archi-
medische Geometrie). . . . . . . . . . . . . . . 47
Drittes Kapitel. Die Lehre von den Proportionen. 51
§ 13. Komplexe Zahlensysteme. . .. ....... 51
§ 14. Beweis des Pascalschen Satzes . . . . . . . . . . 53
§ 15. Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes 60
§ 16. Die Proportionen und die Ahnlichkeitssätze . . . . .. 64
§ 17. Die Gleichungen der Geraden und Ebenen. . . . . .. 66
Viertes Kapitel. Die Lehre von den Flächeninhalten in
der Ebene. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 18. Die Zerlegungsgleichheit und Ergänzungsgleichheit von Poly-
gonen . . . . . . . . • .. ......... 69
§ 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und
Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 20. Das Inhaltsmaß von Dreiecken und Polygonen. 75
§ 21. Die Ergänzungsgleichheit und das Inhaltsmaß • 78
VI Inhalt
Seite
Fünftes Kapitel. Der Desarguessche Satz. . . . . . 83
§ 22. Der Desarguessche Satz und sein Beweis in der Ebene mit
Hilfe der Kongruenzaxiome. . . . . . . . . . . . . 83
§ 23. Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der
Ebene ohne Hilfe der Kongruenzaxiome . . . . . . . 8S
§ 24. Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongru
enzaxiome auf Grund des Desarguesschen Satzes. . . • . 88
§ 2S. Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in
der neuen Streckenrechnung . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 26. Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden
distributiven Gesetze in der neuen Streckenrechnung . . . 93
§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Strecken-
rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 28. Der Inbegriff der Strecken aufgefaßt als komplexes Zahlen-
system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 29. Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desar-
guesschen Zahlensystems. . . . . 99
§ 30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes. 102
Sechstes Kapi tel. Der Pasc alse he S atz. . .
§ 31. Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalsehen Satzes 104
§ 32. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedi
schen Zahlensystem . • . . . . . . . . . . . . . . . . lOS
§ 33. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht-Archi
medischen Zahlensystem. . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 34. Beweis der beiden Sätze über den Pascalsehen Satz. (Nicht-
Pascalsehe Geometrie) • . . . . . . . . . . . . 110
§ 35. Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Pas-
calschen Satzes •................... III
Sie ben tes Kapi tel. Die geometrischen Konstruktionen auf
Grund der Axiome I-IV •...•..•...•..... IIS
§ 36. Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und Eich-
maßes •....................... IIS
§ 37. Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruk-
tionen mittels Lineals und Eichmaßes. II8
Schlußwort . 124
Anhang I. über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier
Punkte . . . . ...... 126
Anhang II. über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im
gleichschenkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 133
Inhalt VII
Anhang IU. Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen GeO- Seite
metrie. . • . • . . . • • • . . . . . . . . 159
Anhang IV. Über die Grundlagen der Geometrie .. ~ •.. , 178
Anhang V. Über Flä.chen von konstanter GauBscher Krümmung 231
Supplement I 1 Bemerkungen zu §§ 3-4 . . . . . . . . . . . 241
Supplement I 2 Zu § 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Supplement 11 Vereinfachte Begründung der Proportionenlehre 243
Supplement 111 Zur Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene 248
Supplement IV 1 Bemerkung zur Einführung einer Streckenrech-
nung auf Grund des Desarguesschen Satzes 258
Supplement IV 2 Zu § 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Supplement V I Zerlegungsgleichheit in den Modellen des Anhan-
ges 11 . . . . . . . . . . . 259
Supplement V 2 Hilberts Axiom der Einlagerung 264
Verzeichnis der Begriffsnamen . . . . . . . . . . 269
So fängt denn alle menschliche Erkenntnis
mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen
und endigt mi t Ideen.
Kan t, Kritik der reinen Vernunft,
Elementarlehre T.2. Abt. 2.
Einleitung.
Die Geometrie bedarf - ebenso wie die Arithmetik - zu ihrem
folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze.
Diese Grundsätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung
der Axiome der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammen
hanges ist eine Aufgabe, die seit Euklid in zahlreichen vortreff
lichen Abhandlungen der mathematischen Literatur sich erörtert
findet. Die bezeichnete Aufgabe läuft auf die logische Analyse
unserer räumlichen Anschauung hinaus.
Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die
Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches
System von Axiomen aufzustellen und aus denselben die wich
tigsten geometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei
die Bedeutung der verschiedenen Axiomgruppen und die Trag
weite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen
klar zutage tritt.
Erstes Kapitel.
Die fünf Axiomgruppen.
§ I. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen.
Erklärung. Wir denken drei verschiedene Systeme von
Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und
bezeichnen sie mit A, B, C, ... ; die Dinge des zweiten Systems
nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit a, b, c, ... ; die Dinge
des dri tten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit
p,
a, y, ... ; die Punkte heißen auch die Elemente der linearen
Geometrie, die Punkte und Geraden heißen die Elemente der
ebenen Geometrie, und die Punkte, Geraden und Ebenen heißen die
Elemente der räumlichen Geometrie oder des Raumes.
Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegen
seitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch
Worte wie "liegen", "zwischen", "kongruent"; die genaue
und für mathematische Zwecke vollständige Beschreibung dieser
Beziehungen erfolgt durch die Axiome der Geometrie.
Die Axiome der Geometrie können wir in fünf Gruppen teilen;
jede einzelne dieser Gruppen drückt gewisse zusammengehörige
Grundtatsachen unserer Anschauung aus. Wir benennen diese
Gruppen von Axiomen in folgender Weise:
I 1-8. Axiome der Verknüpjung,
II 1-4. Axiome der Anordnung,
III I -5. Axiome der Kongruenz,
IV Axiom der Parallelen,
V I -2. Axiome der Stetigkeit.