Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie: Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden und Anwendungen

580 Pages·2022·15.016 MB·German

by  Harald Klingbeil

Harald Klingbeil
Grundlagen der
elektromagnetischen
Feldtheorie
Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden
und Anwendungen
4. Auflage
Grundlagen der elektromagnetischen
Feldtheorie
Harald Klingbeil
Grundlagen der elektro-
magnetischen Feldtheorie
Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden
und Anwendungen
4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage
Harald Klingbeil
Institut für Teilchenbeschleunigung und
Elektromagnetische Felder
Technische Universität Darmstadt
Darmstadt, Deutschland
GSI Helmholtzzentrum für
Schwerionenforschung GmbH
Darmstadt, Deutschland
ISBN 978-3-662-65125-4 ISBN 978-3-662-65126-1 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65126-1
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Ursprünglich erschienen in einem Band: Elektromagnetische Feldtheorie
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Planung/Lektorat: Margit Maly
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Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch wendet sich in erster Linie an Studierende der Elektrotechnik,
Physik oder Mathematik im Bachelorstudium, die die Theorie elektromagnetischer
Felder erlernen und dabei ein tiefgreifendes Verständnis erlangen möchten.
Die aktuelle Auflage sowie die vorangegangene dritte Auflage basieren auf dem Buch
„Elektromagnetische Feldtheorie – ein Lehr- und Übungsbuch“, dessen erste beiden
Auflagen in den Jahren 2003 und 2010 im Teubner-Verlag erschienen sind. Der Inhalt
wurde jedoch stark erweitert, damit das Buch vorlesungsbegleitend im Bachelorstudium
eingesetzt werden kann. Erfahrungen aus der Vorlesung „Grundlagen der Elektro-
dynamik“, die ich von 2012 bis 2015 am Fachbereich „Elektrotechnik und Informations-
technik“ an der Technischen Universität Darmstadt gehalten habe, aus der Vorlesung
„Technische Elektrodynamik“, die ich von 2015 bis 2020 anbot, sowie aus der Vorlesung
„Anwendungen der Elektrodynamik“, die ich seit dem Sommersemester 2020 halte, sind
natürlich in diese Erweiterung eingeflossen.
Wegen des seit der dritten Auflage vergrößerten Umfangs bot es sich an, den Stoff
auf zwei Bände aufzuteilen. Während die klassische Maxwell’sche Theorie Gegenstand
des vorliegenden Grundlagenbands ist, wird später im zweiten Band, dem Vertiefungs-
band1, die relativistische Darstellung der elektromagnetischen Feldtheorie behandelt, die
im ingenieurwissenschaftlichen Bereich typischerweise erst in den Masterstudiengängen
gelehrt wird.
Ein wesentliches Ziel des Buches, eine Brücke zwischen verwandten Gebieten der
Elektrotechnik, der Mathematik und der Physik zu schlagen, wurde beibehalten. Wie im
Folgenden ausgeführt wird, unterscheidet es sich deshalb von vielen anderen Büchern
durch die Darstellung und die Auswahl des Stoffes.
An Vorkenntnissen bei den Leserinnen und Lesern vorausgesetzt werden Grund-
lagen, wie sie im naturwissenschaftlich-technischen Grundstudium an einer Universität
1 Im gesamten Buch steht der Begriff „Vertiefungsband“ für „Elektromagnetische Feldtheorie für
Fortgeschrittene – Tensoranalysis, spezielle Relativitätstheorie und kovariante Formulierung der
Maxwellgleichungen“.
V
VI Vorwort
vermittelt werden. Hierzu gehören im mathematischen Bereich die Differential- und
Integralrechnung mehrerer Veränderlicher, die Funktionentheorie, damit auch das
Rechnen mit komplexen Größen sowie der Umgang mit Matrizen und Determinanten.
Darstellung des Stoffes
Das Ziel vieler Vorlesungsreihen an Universitäten und auch zahlreicher Lehrbücher
besteht darin, eine Fülle an Wissen in sehr kompakter Form zu vermitteln. Dies führt
dazu, dass eine möglichst elegante Darstellung des Stoffes gewählt wird. Insbesondere
bei mathematischen Lehrbüchern resultiert dies in einem sehr strukturierten Aufbau, der
durch Definitionen, Sätze und Beweise geprägt ist. In anderen, eher naturwissenschaft-
lich-technischen Büchern hingegen wird oft darauf verzichtet, bestimmte Grundlagen zu
erläutern. Die Beweggründe hierfür sind einerseits durchaus nachvollziehbar, und oft ist
eine solche Vorgehensweise auch sinnvoll – andererseits führt eine besonders kompakte
Darstellung bisweilen zu Verständnisproblemen beim Leser.
Aus den genannten Gründen soll in diesem Buch eine andere Art der Darstellung
gewählt werden. Es wird bei allen angesprochenen Themen versucht, eine plausible
Erklärung zu geben, warum eine bestimmte Vorgehensweise gewählt wird. Alle Rechen-
wege sind ausführlich dargestellt, damit die Leserinnen und Leser sie ohne Schwierig-
keiten nachvollziehen können. Dies gilt sowohl für den Hauptteil des Buches als auch
für die Musterlösungen zu den Übungsaufgaben. Zu allen Übungsaufgaben sind solche
Musterlösungen angegeben, da dem Leser nur so über eventuelle Hürden bei der
Bearbeitung hinweggeholfen werden kann.
Zwangsläufig ergeben sich bei dieser Art der Darstellung auch Nachteile. Einen
bestimmten Sachverhalt zu erläutern nimmt mehr Platz in Anspruch als unbedingt
erforderlich. Durch den größeren Umfang der Einzelthemen ist es nicht möglich, auf alle
Aspekte des jeweiligen Gebietes einzugehen. Stattdessen habe ich nur die mir persönlich
am interessantesten und am lehrreichsten erscheinenden Themen ausgewählt. Während
Lehrbücher der theoretischen Physik in der Regel versuchen, möglichst vollständig
alle physikalischen Phänomene zu beschreiben, geht es in ingenieurwissenschaftlichen
Werken meist darum, die Grundlagen zur Lösung technischer Probleme zu legen. Das
vorliegende Buch enthält eine Mischung aus beiden Richtungen - sowohl interessante
physikalische Phänomene als auch Lösungsmethoden werden vorgestellt.
Ich denke, dass es sich lohnt, die mit der ausführlichen Darstellung verbundenen
Defizite in Kauf zu nehmen. Nur so wird es möglich, die Materie ohne Gedankensprünge
Schritt für Schritt darzustellen.
Es wird versucht, viele Zusammenhänge, die oft als selbstverständlich hingenommen
werden, mathematisch zu beweisen. Die Darstellung ist somit an vielen Stellen exakter
als in vergleichbaren Büchern. Damit die dadurch bedingte Erweiterung des Umfanges
in Grenzen bleibt, können andererseits nicht alle Voraussetzungen erwähnt werden, die
Vorwort VII
diesen Herleitungen zugrunde liegen. Beispielsweise werden Integralsätze angewandt,
ohne die an die beteiligten Funktionen und Gebiete zu stellenden Anforderungen zu
erwähnen. Ebenso wird oft die Reihenfolge von Differentiation und Integration ver-
tauscht, ohne auf die dafür nötigen Voraussetzungen einzugehen. An einigen Stellen, an
denen eine solche Vorgehensweise zu Problemen führen kann, wird hierauf ausdrück-
lich hingewiesen. Dies soll das Kritikvermögen des Lesers bezüglich solcher „Nach-
lässigkeiten“ wecken, ohne einen allzu strengen und umfangreichen mathematischen
Formalismus zu benutzen. Von einer Theorie souverän Gebrauch machen zu können setzt
nämlich voraus, dieser auch kritisch gegenüberzustehen, um eventuelle Fehlschlüsse ver-
meiden zu können. Um eine solche Kritikfähigkeit zu erreichen, müssen auch die Ergeb-
nisse benachbarter Fachgebiete mit einbezogen werden. Wie bereits erwähnt wurde,
kann auch in diesem Buch nicht mit äußerster mathematischer Strenge vorgegangen
werden, aber es wird versucht, ein Bewusstsein dafür zu schaffen, wo detailliertere
Untersuchungen wünschenswert sind und welche Mittel man dafür benötigt. In diesem
Sinne stellt das Buch eine Verbindung zwischen Mathematik, theoretischer Physik und
Elektrotechnik her.
Die wichtigsten Formeln werden eingerahmt und viele davon in Tabellen am Ende des
Buches zusammengefasst. Dieser Tabellenteil soll dafür sorgen, dass das Buch auch als
übersichtliches Nachschlagewerk dienen kann.
Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwenden wir in diesem Buch überwiegend
das generische Maskulinum.
Schwerpunkte im Vergleich mit anderen Lehrbüchern
Alleine schon wegen der verwendeten Notation muss man eine Entscheidung treffen,
welche der erwähnten Fachrichtungen (Mathematik, Physik oder Elektrotechnik) als
Ausgangspunkt dienen soll. Den Kern des vorliegenden Buches bildet in diesem Sinne
die ingenieurwissenschaftliche Sichtweise. Deshalb wird die in der Elektrotechnik
übliche Notation sowie das SI-Einheitensystem benutzt, und es wird versucht, möglichst
viele Konzepte zu vermitteln, die für die technische Anwendung von hoher Relevanz
sind.
Im vorliegenden Grundlagenband werden nicht die Vakuum-Maxwellgleichungen,
sondern die „makroskopischen“ Maxwell’schen Gleichungen in Materie in den Vorder-
grund gestellt. Materialübergänge werden ausführlich behandelt, Streu- und Beugungs-
effekte hingegen gar nicht. Ein wesentliches Ziel, auf das alle Ausführungen ausgerichtet
sind, ist die Beschreibung von Leitungen bzw. Wellenleitern. Alle diese Aspekte sind
somit technikorientiert.
An vielen Stellen wird jedoch darauf hingewiesen, in welchen Bereichen die Physik
oder die Mathematik andere Schwerpunkte setzen würden. Studierende der Physik
und der Mathematik werden daher hoffentlich einige neue Sichtweisen entdecken.
VIII Vorwort
Umgekehrt sei Studierenden aus den ingenieurwissenschaftlichen Fächern empfohlen,
auch mathematisch und physikalisch orientierte Bücher zu konsultieren, um ein breiteres
Fachwissen zu erlangen. Die Stoffauswahl und das Literaturverzeichnis sollen auch
hierzu anregen. Studierende der Elektrotechnik und Informationstechnik können jedoch
einen sehr großen Teil der im Bachelorstudium verlangten Grundlagen mit diesem Lehr-
buch abdecken.
Danksagung
Wie bereits erwähnt wurde, haben die Grundlagenvorlesungen des Instituts für Teilchen-
beschleunigung und Elektromagnetische Felder (vormals Institut für Theorie Elektro-
magnetischer Felder) die Erweiterung des Stoffes beeinflusst. Diese Vorlesungen wurden
über viele Jahrzehnte von zahlreichen Beteiligten gestaltet und geprägt, sodass nach-
folgende Lehrende darauf aufbauen konnten. Allen diesen Lehrenden danke ich deshalb
für einen hervorragenden Ausgangspunkt für meine eigene Gestaltung der Lehrver-
anstaltungen und damit auch für die positive Beeinflussung dieses Buches.
Auch Fachdiskussionen mit Kolleg(inn)en und wissenschaftlichen Mitarbeiter(inne)n
sowie gute Fragen von Studierenden sind natürlich in die Überarbeitung eingeflossen,
weshalb auch ihnen mein Dank gilt.
Herrn Dipl.-Ing. Joachim Elser danke ich für den Hinweis auf einen Fehler in der
dritten Auflage, der als Errata-Blatt zur dritten Auflage veröffentlicht und in der aktuellen
Auflage korrigiert wurde, sowie für weitere Verbesserungsvorschläge, die ich gerne
berücksichtigt habe.
Den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlags, insbesondere Frau
Margit Maly, Frau Stella Schmoll, Frau Anja Dochnal und Herrn Rahul Ravindran,
danke ich für die hervorragende Betreuung, für wertvolle Anregungen sowie dafür, dass
die Veröffentlichung überhaupt möglich gemacht wurde. Da das Buch in meiner Freizeit
entstand, danke ich meiner Frau Anna für ihr Verständnis und die ermutigenden Worte in
schwierigen Phasen. Ihr und meinen Eltern ist dieses Buch gewidmet.
Dezember 2021 Harald Klingbeil
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ....................................................... 1
1.1 Leitlinien und Aufbau des Lehrbuches ........................... 2
1.2 Tipps für Einsteiger .......................................... 4
1.3 Hinweise zu Notationsunterschieden ............................. 5
1.4 Konventionen ............................................... 7
1.4.1 Rechtshändige Koordinatensysteme ...................... 7
1.4.2 Komplexe Amplituden ................................. 7
1.4.3 Maßeinheiten ........................................ 9
1.5 Zählpfeile .................................................. 9
1.5.1 Zählpfeile in der Schaltungstechnik ...................... 10
1.5.2 Vektorielle Größen .................................... 12
1.6 Ansätze .................................................... 16
2 Mathematische Grundlagen ........................................ 17
2.1 Ausdrücke aus der Vektoralgebra ................................ 18
2.2 Matrizen und Determinanten ................................... 22
2.3 Differentialoperatoren der Vektoranalysis ......................... 25
2.3.1 Gradient ............................................ 26
2.3.2 Divergenz ........................................... 26
2.3.3 Rotation ............................................ 26
2.4 Linearität der Differentialoperatoren ............................. 28
2.5 Mehrfache Anwendung von Differentialoperatoren ................. 28
2.6 Transformation von Differentialoperatoren ........................ 31
2.6.1 Gradient in Kugelkoordinaten ........................... 35
2.6.2 Divergenz in Kugelkoordinaten .......................... 39
2.6.3 Rotation in Kugelkoordinaten ........................... 42
2.6.4 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten ..................... 42
2.6.5 Gefahren bei der Anwendung des Nablaoperators ........... 43
2.7 Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen ............... 45
2.8 Gebiete, Bereiche und Ränder .................................. 46
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.9 Integrale ................................................... 48
2.9.1 Kurvenintegrale ...................................... 49
2.9.2 Umlaufintegrale ...................................... 52
2.9.3 Flächenintegrale ...................................... 52
2.9.4 Besondere Kurven- und Flächenintegrale .................. 55
2.9.5 Raumintegrale ....................................... 56
2.9.6 Grundsätzliches zu den unterschiedlichen Integralen ......... 59
2.10 Definition der Differentialoperatoren über Integrale ................. 59
2.11 Integralsätze ................................................ 62
2.11.1 Gauß’scher Integralsatz ................................ 63
2.11.2 Stokes’scher Integralsatz ............................... 63
2.11.3 Zulässige Integrationsbereiche .......................... 65
2.11.4 Erste Green’sche Integralformel ......................... 67
2.11.5 Zweite Green’sche Integralformel ........................ 70
2.11.6 Weitere Integralsätze .................................. 70
2.12 Phasoren ................................................... 74
2.13 Grundlegende komplexe Funktionen ............................. 75
2.14 Gewöhnliche Differentialgleichungen ............................ 82
2.14.1 Lineare Differentialgleichungen ......................... 83
2.14.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ... 84
2.14.3 Differentialgleichung des harmonischen Oszillators .......... 85
2.14.4 Differentialgleichung für den Sinus hyperbolicus und den
Kosinus hyperbolicus .................................. 86
2.14.5 Anpassung der Lösung an die Aufgabenstellung ............. 87
2.15 Besselfunktionen ............................................ 87
2.16 Elliptische Integrale .......................................... 90
2.16.1 Definitionen und grundlegende Zusammenhänge ............ 91
2.16.2 Unterschiedliche Notationen ............................ 94
2.17 Partielle Differentialgleichungen ................................ 95
2.18 Separationsansätze ........................................... 98
2.18.1 Skalare Helmholtzgleichung, komplexe Lösungsfunktion ..... 98
2.18.2 Laplacegleichung, reelle Lösungsfunktion ................. 105
2.18.3 Ausblick ............................................ 109
2.19 Distributionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.19.1 Heuristische Vorgehensweise ............................ 110
2.19.2 Ausblick ............................................ 114
3 Feldtheoretische Grundlagen ....................................... 117
3.1 Feldgrößen ................................................. 117
3.2 Integralform der Maxwellgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3 Ladung, Spannung und Strom .................................. 120
3.4 Materialbeziehungen ......................................... 125