Grundkurs Theoretische Physik 7: Viel-Teilchen-Theorie

589 Pages·2005·4.615 MB·German

by  Professor Wolfgang Nolting (auth.)

Springer-Lehrbuch
GrundkursTheoretischePhysik
Band1 Band5/1
KlassischeMechanik Quantenmechanik–
7.Auflage Grundlagen
ISBN:3-540-21474-7 6.Auflage
ISBN:3-540-40071-0
Band2
AnalytischeMechanik Band5/2
6.Auflage Quantenmechanik–
ISBN:3-540-20263-3 Methoden
undAnwendungen
Band3 5.Auflage
Elektrodynamik ISBN:3-540-40072-9
7.Auflage
ISBN:3-540-20509-8 Band6
StatistischePhysik
Band4 5.Auflage
SpezielleRelativitätstheorie, ISBN:3-540-20505-5
Thermodynamik
6.Auflage Band7
ISBN:3-540-24119-1 Viel-Teilchen-Theorie
6.Auflage
ISBN:3-540-24117-5
Wolfgang Nolting
Grundkurs
Theoretische Physik 7
Viel-Teilchen-Theorie
6.,aktualisierteAuflage
Mit162Abbildungen
und110AufgabenmitvollständigenLösungen
123
ProfessorWolfgangNolting
Humboldt-UniversitätzuBerlin
InstitutfürPhysik
Newtonstraße15
12489Berlin
Deutschland
[email protected]
Umschlagabbildung:sieheSeite333
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ISBN3-540-24117-5 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN3-540-42020-7 5.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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AllgemeinesVorwort
Die sieben Bände der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sind als direkte Be-
gleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das
wichtigstetheoretisch-physikalischeRüstzeugvermitteln,aufdemaufgebautwerden
kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium
undinderphysikalischenForschungbewältigenzukönnen.
DieKonzeptionistsoangelegt,dassderersteTeildesKurses,
KlassischeMechanik(Band1)
AnalytischeMechanik(Band2)
Elektrodynamik(Band3)
SpezielleRelativitätstheorie,Thermodynamik(Band4),
alsTheorieteileines„IntegriertenKurses“ausExperimentalphysikundTheoretischer
Physik,wieerinzwischenanzahlreichendeutschenUniversitätenvomerstenSemes-
teranangebotenwird,zuverstehenist.DieDarstellungistdeshalbbewusstausführ-
lich,manchmalsicheraufKosteneinergewissenEleganz,undinsichabgeschlossen
gehalten,sodassderKursauchzumSelbststudiumohneSekundärliteraturgeeignet
ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt
wordenist.DiesgiltinbesondereauchfürdiebenötigteMathematik,dievollstän-
digsoweitentwickeltwird,dassmitihrtheoretisch-physikalischeProblemebereits
vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen
Einschübeimmerdanneingefügt,wennsiefürdasweitereVorgehenimProgramm
derTheoretischenPhysikunverzichtbarwerden.Esverstehtsichvonselbst,dassin
einemsolchenKonzeptnichtallemathematischenTheorienmitabsoluterStrenge
bewiesenundabgeleitetwerdenkönnen.DamussbisweileneinVerweisaufentspre-
chendemathematischeVorlesungenundvertiefendeLehrbuchliteraturerlaubtsein.
IchhabemichabertrotzdemumeinehalbwegsabgerundeteDarstellungbemüht,so-
dassdiemathematischenTechnikennichtnurangewendetwerdenkönnen,sondern
demLeserzumindestauchplausibelerscheinen.
DiemathematischenEinschübewerdennatürlichvorallemindenerstenBänden
derReihenotwendig,diedenStoffbiszumPhysik-Vordiplombeinhalten.Imzweiten
Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik
befasst,
Quantenmechanik:Grundlagen(Band5/1)
Quantenmechanik:MethodenundAnwendungen(Band5/2)
StatistischePhysik(Band6)
Viel-Teilchen-Theorie(Band7),
sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im
Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat.
Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es,
dieGrundlagenderQuantenmechanikschonvordemVordiplomzubehandeln.Der
StoffderletztendreiBändekannnatürlichnichtmehrBestandteileines„Integrierten
Kurses“sein,sondernwirdwohlüberallinreinenTheorie-Vorlesungenvermittelt.
Dasgiltinsbesonderefürdie„Viel-Teilchen-Theorie“,diebisweilenauchunteran-
derenBezeichnungenwie„HöhereQuantenmechanik“etwaimachtenFachsemester
angebotenwird.Hierwerdenneue,überdenStoffdesGrundstudiumshinausgehen-
deMethodenundKonzeptediskutiert,dieinsbesonderefürkorrelierteSystemeaus
vielenTeilchenentwickeltwurdenundfürdenerfolgreichenÜbergangzuwissen-
schaftlichemArbeiten(Diplom,Promotion)undfürdasLesenvonForschungslite-
raturinzwischenunentbehrlichgewordensind.
In allen Bänden der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sollen zahlreiche
Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen
zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte
der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut
unverzichtbarfürdenLernenden.AusführlicheLösungsanleitungenhelfenbeigrö-
ßerenSchwierigkeitenundtesteneigeneVersuche,solltenabernichtdazuverleiten,
„ausBequemlichkeit“eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedemgrößeren
KapitelsindKontrollfragenangefügt,diedemSelbsttestdienenundfürPrüfungs-
vorbereitungennützlichseinkönnen.
Ichmöchtenichtvergessen,andieserStelleallendenenzudanken,dieinirgend-
einerWeisezumGelingendieserBuchreihebeigetragenhaben.DieeinzelnenBände
sindletztlichaufderGrundlagevonVorlesungenentstanden,dieichandenUniver-
sitäteninMünster,Würzburg,Osnabrück,Valladolid(Spanien),Warangal(Indien)
sowieinBerlingehaltenhabe.DasInteresseunddiekonstruktiveKritikderStuden-
ten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines
dochrechtumfangreichenManuskriptsalssinnvollanzusehen.InderFolgezeithabe
ichvonzahlreichenKollegenwertvolleVerbesserungsvorschlägeerhalten,diedazu
geführthaben,dasKonzeptunddieAusführungderReiheweiterauszubauenund
aufzuwerten.
DieerstenAuflagendieserBuchreihesindimVerlagZimmermann-Neufangent-
standen. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit
erinnern.DanacherschiendieReihebeiVieweg.DieÜbernahmederReihedurch
den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbes-
serungenimErscheinungsbilddes„GrundkursTheoretischePhysik“geführt.Herrn
Dr.SchneiderundseinemTeambinichfürvieleVorschlägeundAnregungensehr
dankbar.MeineManuskriptescheineningutenHändenzuliegen.
Berlin,imApril2001 WolfgangNolting
VorwortzuBand7
DieZielsetzungdes„GrundkursTheoretischePhysik“istbereitsimAllgemeinenVor-
worterläutertworden.EristalsdirekterBegleiterdesGrundstudiumsPhysikgedacht
undsolldemStudenteninmöglichstdirekterundkompakterFormdastheoretisch
physikalischeRüstzeugvermitteln,dasunbedingtvonnötenist,umanspruchsvollere
AufgabenundThemendesfortgeschrittenenStudiumsbzw.derForschungbewälti-
genzukönnen.DieDarstellungwurdedeshalbauchindiesemsiebtenBandbewusst
ausführlichundinsichgeschlossenangelegt,umSelbststudiumohneSekundärlite-
raturzuermöglichen.
EinegewisseSonderstellungnimmtdiesersiebteundletzteBandein,derdieQuan-
tentheoriederViel-Teilchen-SystemezumInhalthat.AufbauendaufdemGrundwis-
senzurQuantenmechanik(Band5)undzurStatistischenPhysik(Band6)werden
moderneVerfahrenzurBeschreibungvonwechselwirkendenViel-Teilchen-Systemen
entwickeltundaufverschiedenerealeProbleme,vornehmlichausdemBereichder
Festkörperphysik,angewendet.NachgründlichemDurcharbeitendiesesBandessoll-
tedasLesenentsprechenderForschungsliteraturkeineprinzipiellenSchwierigkeiten
mehrbezüglichderverwendetenBegriffe,TechnikenundSchlussweisenbereiten.
DieunsumgebendeWeltbestehtausvielen,miteinanderwechselwirkendenPar-
tikeln,derenBeschreibungimPrinzipdieLösungeinerentsprechendenAnzahlvon
gekoppeltenquantenmechanischenBewegungsgleichungen(Schrödinger-Gleichun-
gen) erfordert,wasallerdingsnurinAusnahmefällenmathematischstrengdurch-
führbarist.DieKonzeptederelementarenQuantenmechanikundderQuantenstatis-
tiksinddeshalbinderunsbislangbekanntenFormnichtdirektverwendbar.Siebe-
dürfeneinerErweiterungundUmstrukturierung,diemanalsViel-Teilchen-Theorie
bezeichnet.
ZunächsthabenwirnachMöglichkeitenzusuchen,realeViel-Teilchen-Probleme
mathematisch korrekt und dennoch überschaubar zu formulieren. Setzen sich die
betrachtetenSystemeausunterscheidbarenTeilchenzusammen,soergibtsichderen
Beschreibung unmittelbaraus denallgemeinenPostulatenderelementarenQuan-
tenmechanik. Interessanter sind jedoch die Systeme identischer Teilchen, deren
N-Teilchen-WellenfunktionenganzspezielleSymmetrieforderungen erfüllenmüs-
sen.DaserforderlicheArbeitenmit(anti-)symmetrisiertenWellenfunktionenstellt
sich allerdings als außerordentlich mühsam heraus. Eine erste spürbare Vereinfa-
chungbedeutetindiesemZusammenhangderFormalismusderzweitenQuantisie-
rung,denwirbereitsinBand5,Teil2kennengelernthaben,dereinerechtelegante
Beschreibungermöglicht,allerdingsnatürlichnochkeinewirklicheLösungdesProb-
lemsdarstellt.DerindenGrundvorlesungeninderRegelmitmathematischstreng
zu bearbeitenden Problemstellungen konfrontierte Student hat sich mit dem Ge-
danken abzufinden, dass realistische Viel-Teilchen-Probleme so gut wie nie exakt
behandeltwerdenkönnen.UmtrotzdemdiezentraleAufgabedesTheoretikerser-
füllen zu können, Experimente zu beschreiben und zu erklären, müssen deshalb
Zugeständnissegemachtwerden.DiesbedeutetineinemerstenSchrittdenAufbau
einestheoretischenModells,dassichalsKarikaturderrealenWeltverstehenlässt,
indemunwesentlicheDetailsunterdrücktwerdenundnurdasWesentlicheheraus-
gestelltwird.DasAuffindeneinessolchentheoretischenModellsmussalswirklich
nichttrivialeAufgabedesPhysikersaufgefasstwerden.Kapitel2befasstsichdeshalb
ausführlichmitderFormulierungundBegründungwichtigerStandardmodelleder
theoretischen Physik. Zu deren Darstellung wird durchweg der Formalismus der
2.QuantisierungausKap.1benutzt.
UnglücklicherweiselässtsichdierealeSituationnurselteninderWeisekarikie-
ren, dass das resultierende Modell zum einen noch realistisch genug, zum ande-
ren aber auch mathematisch streng behandelbar wäre. Man wird deshalb bei der
LösungdesModellszusätzlicheApproximationentolerierenmüssen.Alseinmäch-
tiges Verfahren hat sich in dieser Hinsicht die Methode der Green’schen Funktio-
nenmitihremQuasiteilchen-Konzeptherausgestellt.DieabstrakteTheoriewirdin
Kap.3besprochenunddanninKap.4aufzahlreichekonkreteProblemeangewendet.
DiagrammatischeLösungsmethodenwerdenausführlichindenKap.5und6erar-
beitet.SiezählenheutezumunverzichtbarenRepertoiredestheoretischenPhysikers.
ZahlreicheÜbungsaufgabensollenauchundinbesondereindiesemBandhelfen,den
FormalismuszuübenundaufkonkreteFragestellungenanzuwenden.
Das vorliegende Buch ist letztlich aus diversen Spezialvorlesungen entstanden,
dieichzumThemaViel-Teilchen-TheorieandenUniversitätenWürzburg,Münster,
Osnabrück,Warangal(Indien),Valladolid(Spanien)undBerlingehaltenhabe.Den
StudentenbinichfürihrekonstruktiveKritiksehrdankbar.IchbinmirimKlaren
darüber, dass der vorliegende Stoff nicht mehr unbedingt zum Grundstudium im
Diplom Physik gehört. Ich glaube allerdings auch, dass er unverzichtbar für die
Überleitung zur selbstständigen Forschungstätigkeit des Theoretikers ist. Da die
vorhandeneLehrbuchliteraturzumThemaViel-Teilchen-TheorieinderRegelschon
einrechtfortgeschrittenesWissenundsubstantielleErfahrungvoraussetzt,könnte
das vorliegende Buch für den „Anfänger“ vielleicht und hoffentlich ganz nützlich
sein.DemSpringer-VerlagbinichfürdieübereinstimmendeEinschätzungsowiefür
dieprofessionelleZusammenarbeitsehrdankbar.
Berlin,imFebruar2005 WolfgangNolting
Inhaltsverzeichnis
1 DieZweiteQuantisierung
1.1 IdentischeTeilchen........................................................... 4
1.2 „Kontinuierliche“Fock-Darstellung................................... 9
1.3 „Diskrete“Fock-Darstellung.............................................. 21
1.4 Aufgaben.......................................................................... 28
1.5 Kontrollfragen................................................................... 34
2 Viel-Teilchen-Modellsysteme
2.1 Kristallelektronen.............................................................. 40
2.1.1 NichtwechselwirkendeBloch-Elektronen................... 40
2.1.2 Jellium-Modell............................................................. 46
2.1.3 Hubbard-Modell.......................................................... 56
2.1.4 Aufgaben..................................................................... 60
2.2 Gitterschwingungen......................................................... 65
2.2.1 HarmonischeNäherung............................................... 65
2.2.2 Phononengas.............................................................. 69
2.2.3 Aufgaben..................................................................... 75
2.3 Elektron-Phonon-Wechselwirkung.................................... 77
2.3.1 Hamilton-Operator...................................................... 77
2.3.2 EffektiveElektron-Elektron-Wechselwirkung............... 81
2.3.3 Aufgaben..................................................................... 84
2.4 Spinwellen........................................................................ 88
2.4.1 KlassifikationdermagnetischenFestkörper................ 89
2.4.2 Modellvorstellungen................................................... 91
2.4.3 Magnonen................................................................... 94
2.4.4 Spinwellennäherung................................................... 99
2.4.5 Aufgaben..................................................................... 100
2.5 Kontrollfragen................................................................... 104
3 Green-Funktionen
3.1 Vorbereitungen................................................................. 109
3.1.1 Bilder........................................................................... 109
3.1.2 Linear-Response-Theorie............................................. 115
3.1.3 MagnetischeSuszeptibilität......................................... 119
3.1.4 ElektrischeLeitfähigkeit............................................... 121
3.1.5 Dielektrizitätsfunktion................................................. 123
3.1.6 Aufgaben..................................................................... 125
3.2 ZweizeitigeGreen-Funktionen.......................................... 128
3.2.1 Bewegungsgleichungen.............................................. 128
3.2.2 Spektraldarstellungen................................................. 132
3.2.3 Spektraltheorem.......................................................... 136
3.2.4 ExakteRelationen........................................................ 138
3.2.5 Kramers-Kronig-Relationen......................................... 141
3.2.6 Aufgaben..................................................................... 143
3.3 ErsteAnwendungen.......................................................... 146
3.3.1 NichtwechselwirkendeBloch-Elektronen................... 146
3.3.2 FreieSpinwellen.......................................................... 151
3.3.3 DasZwei-Spin-Problem............................................... 153
3.3.4 Aufgaben..................................................................... 164
3.4 DasQuasiteilchenkonzept................................................. 166
3.4.1 Ein-Elektronen-Green-Funktion................................... 167
3.4.2 ElektronischeSelbstenergie......................................... 169
3.4.3 Quasiteilchen............................................................... 174
3.4.4 Quasiteilchenzustandsdichte...................................... 179
3.4.5 InnereEnergie............................................................. 181
3.4.6 Aufgaben..................................................................... 183
3.5 Kontrollfragen................................................................... 185
4 WechselwirkendeTeilchensysteme
4.1 Festkörperelektronen........................................................ 191
4.1.1 DerGrenzfalldesunendlichschmalenBandes............ 191
4.1.2 Hartree-Fock-Näherung............................................... 194
4.1.3 Elektronenkorrelationen.............................................. 199
4.1.4 Interpolationsmethode............................................... 203
4.1.5 Momentenmethode.................................................... 204
4.1.6 DasexakthalbgefüllteBand........................................ 213
4.1.7 Aufgaben..................................................................... 217
4.2 KollektiveelektronischeAnregungen............................... 221
4.2.1 Ladungsabschirmung(Thomas-Fermi-Näherung)....... 222
4.2.2 Ladungsdichtewellen,Plasmonen............................... 226
4.2.3 Spindichtewellen,Magnonen...................................... 235
4.2.4 Aufgaben..................................................................... 238
4.3 ElementaranregungeninungeordnetenLegierungen..... 241
4.3.1 Problemstellung.......................................................... 241
4.3.2 MethodedeseffektivenMediums............................... 245
4.3.3 CoherentPotentialApproximation.............................. 247