Grundkurs Theoretische Physik 5-2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen PDF
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Springer-Lehrbuch GrundkursTheoretischePhysik Band1 Band5/1 KlassischeMechanik Quantenmechanik– 8.Auflage Grundlagen ISBN:3-540-34832-8 6.Auflage ISBN:3-540-40071-0 Band2 AnalytischeMechanik Band5/2 7.Auflage Quantenmechanik– ISBN:3-540-30660-9 Methoden undAnwendungen Band3 6.Auflage Elektrodynamik ISBN:3-540-26035-8 7.Auflage ISBN:3-540-20509-8 Band6 StatistischePhysik Band4 5.Auflage SpezielleRelativitätstheorie, ISBN:3-540-20505-5 Thermodynamik 6.Auflage Band7 ISBN:3-540-24119-1 Viel-Teilchen-Theorie 6.Auflage ISBN:3-540-24117-5 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5/2 Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen 6.überarbeiteteAuflage Mit51Abbildungen und92AufgabenmitvollständigenLösungen 123 ProfessorWolfgangNolting Humboldt-UniversitätzuBerlin InstitutfürPhysik Newtonstraße15 12489Berlin Deutschland [email protected] Umschlagabbildung:sieheSeite127 Die5.AuflagedesBucheserschienimVerlagVieweg,Braunschweig/Wiesbaden BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschen Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternet über<http://dnb.ddb.de>abrufbar. ISBN-10 3-540-26035-8 6.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN-13 978-3-540-26035-6 6.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN 3-540-40072-9 5.Auflage Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderediederÜbersetzung,des Nachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung,derMikroverfilmung oderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbei nurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesist auchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublik Deutschlandvom9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungs- pflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia springer.de ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2005,2006 PrintedinGermany DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigtauch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Innentypografie:deblik,Berlin SatzundUmbruch:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Einbandgestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier 56/3100/YL-543210 AllgemeinesVorwort Die sieben Bände der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sind als direkte Be- gleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das wichtigstetheoretisch-physikalischeRüstzeugvermitteln,aufdemaufgebautwerden kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium undinderphysikalischenForschungbewältigenzukönnen.DieKonzeptionistso angelegt,daßderersteTeildesKurses, KlassischeMechanik(Band1) AnalytischeMechanik(Band2) Elektrodynamik(Band3) SpezielleRelativitätstheorie,Thermodynamik(Band4), als Theorieteil eines „IntegriertenKurses“ aus Experimentalphysik und Theoreti- scherPhysik,wieerinzwischenanzahlreichendeutschenUniversitätenvomersten Semester an angeboten wird, zu verstehen ist. Die Darstellung ist deshalb bewußt ausführlich,manchmalsicheraufKosteneinergewissenEleganz,undinsichabge- schlossengehalten,sodaßderKursauchzumSelbststudiumohneSekundärliteratur geeignet ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandeltwordenist.DiesgiltinbesondereauchfürdiebenötigteMathematik,die vollständigsoweitentwickeltwird,daßmitihrtheoretisch-physikalischeProbleme bereitsvomStudienbeginnangelöstwerdenkönnen.Dabeiwerdendiemathema- tischen Einschübe immer dann eingefügt, wenn sie für das weitere Vorgehen im Programm der Theoretischen Physik unverzichtbar werden. Es versteht sich von selbst,daßineinemsolchenKonzeptnichtallemathematischenTheorienmitabso- luterStrengebewiesenundabgeleitetwerdenkönnen.DamußbisweileneinVerweis auf entsprechende mathematische Vorlesungen und vertiefende Lehrbuchliteratur erlaubtsein.IchhabemichabertrotzdemumeinehalbwegsabgerundeteDarstel- lungbemüht,sodaßdiemathematischenTechnikennichtnurangewendetwerden können,sonderndemLeserzumindestauchplausibelerscheinen. DiemathematischenEinschübewerdennatürlichvorallemindenerstenBänden derReihenotwendig,diedenStoffbiszumPhysik-Vordiplombeinhalten.Imzweiten Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik befaßt, Quantenmechanik:Grundlagen(Band5/1) Quantenmechanik:MethodenundAnwendungen(Band5/2) StatistischePhysik(Band6) Viel-Teilchen-Theorie(Band7), sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluß gefunden hat. Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es, dieGrundlagenderQuantenmechanikschonvordemVordiplomzubehandeln.Der StoffderletztendreiBändekannnatürlichnichtmehrBestandteileines„Integrierten Kurses“sein,sondernwirdwohlüberallinreinenTheorie-Vorlesungenvermittelt. Dasgiltinsbesonderefürdie„Viel-Teilchen-Theorie“,diebisweilenauchunteran- derenBezeichnungenwie„HöhereQuantenmechanik“etwaimachtenFachsemester angebotenwird.Hierwerdenneue,überdenStoffdesGrundstudiumshinausgehende MethodenundKonzeptediskutiert,dieinsbesonderefürkorrelierteSystemeausvie- lenTeilchenentwickeltwurdenundfürdenerfolgreichenÜbergangzuwissenschaft- lichem Arbeiten (Diplom, Promotion) und für das Lesen von Forschungsliteratur inzwischenunentbehrlichgewordensind. In allen Bänden der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sollen zahlreiche Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut unverzichtbarfürdenLernenden.AusführlicheLösungsanleitungenhelfenbeigrö- ßerenSchwierigkeitenundtesteneigeneVersuche,solltenabernichtdazuverleiten, „ausBequemlichkeit“eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedemgrößeren KapitelsindKontrollfragenangefügt,diedemSelbsttestdienenundfürPrüfungs- vorbereitungennützlichseinkönnen. Ichmöchtenichtvergessen,andieserStelleallendenenzudanken,dieinirgend- einerWeisezumGelingendieserBuchreihebeigetragenhaben.DieeinzelnenBände sindletztlichaufderGrundlagevonVorlesungenentstanden,dieichandenUniver- sitäteninMünster,Würzburg,Osnabrück,Valladolid(Spanien),Warangal(Indien) sowieinBerlingehaltenhabe.DasInteresseunddiekonstruktiveKritikderStuden- ten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines dochrechtumfangreichenManuskriptsalssinnvollanzusehen.InderFolgezeithabe ichvonzahlreichenKollegenwertvolleVerbesserungsvorschlägeerhalten,diedazu geführthaben,dasKonzeptunddieAusführungderReiheweiterauszubauenund aufzuwerten. DieerstenAuflagendieserBuchreihesindimVerlagZimmermann-Neufangent- standen. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit erinnern.DanacherschiendieReihebeiVieweg.DieÜbernahmederReihedurch den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbes- serungenimErscheinungsbilddes„GrundkursTheoretischePhysik“geführt.Herrn Dr.KölschundseinemTeambinichschonjetztfürvieleVorschlägeundAnregungen sehrdankbar.MeineManuskriptescheineningutenHändenzuliegen. Berlin,imApril2001 WolfgangNolting VorwortzuBand5/2 ZurZielsetzungdesGrundkursTheoretischePhysik,hierfürdasTeilgebietderQuan- tenmechanik, habe ich bereits im Vorwort zum Teil 1 Stellung bezogen. An dieser hatsichnatürlichauchfürdennunvorliegendenzweitenTeilnichtsgeändert.Die FülledesStoffeshatesnotwendiggemacht,dieDarstellungderQuantenmechanik aufzweiBändezuverteilen,wobeidiebeidenTeileallerdingsalsEinheitzusehen sind.ÄußeresZeichendafüristdiefortlaufendeKapitelnumerierung. DerersteTeilbefaßtesichmitelementarenGrundlagenundeinigenerstenAn- wendungen auf relativ einfache (eindimensionale) Potentialprobleme. Den vorlie- genden zweiten Teil beginnen wir mit der Untersuchung der wichtigen quanten- mechanischen Observablen Drehimpuls. Wir werden jeden Vektoroperator, dessen hermitesche Komponenten einen bestimmten Satz von fundamentalen Kommuta- torrelationen erfüllen, als Drehimpuls bezeichnen (Abschn.5.1). Dazu zählt neben dem aus der KlassischenMechanik bekannten Bahndrehimpuls, den wir mit Hilfe des Korrespondenzprinzips in die Quantenmechanik einführen können, auch der klassisch nicht verständliche Spin, für den sich keine solche Analogiebetrachtung anbietet. Man kann sich damit begnügen, ihn gewissermaßen als empirische Not- wendigkeitzupostulierenunddiesichdarausergebendenEigenschaftenundKon- sequenzen zu analysieren (Abschn.5.2). Da sich Spin,magnetischesSpinmoment und die Spin-Bahn-Wechselwirkung als nur relativistisch begründbare Eigenschaf- tenherausstellen,benötigtihrestrengeHerleitungdierelativistischeDirac-Theorie (Abschn.5.3).DieSpin-Bahn-WechselwirkungwirdunsfernerdieMotivationdafür liefern,auchüberdieGesetzmäßigkeitenbeiderAdditionvonDrehimpulsennach- zudenken(Abschn.5.4). MitderEinführungdesDrehimpulsessinddiewesentlichenStützendesabstrak- tenGerüstesderQuantentheorieeingeführt,sodaßwirunsindennächstenKapiteln den mehr anwendungsorientierten Problemen zuwenden können. Das beginnt in Kap. 6 mit den wichtigen Zentralpotentialen. Für die historische Entwicklung der QuantenmechanikhatinsbesonderedieTheoriedesWasserstoffatomseineentschei- dendeRollegespielt.DasHüllenelektronbewegtsichimCoulomb-Felddespositiv geladenenWasserstoffkerns(Proton),unterliegtdamitdemEinflußeinesspeziellen Zentralpotentials,deminsbesondereauchwegenseinerhistorischenBedeutungin diesemBandeinrelativbreiterRaumgewidmetwird. Nurwenige(realistische)ProblemederTheoretischenPhysiklassensichmathe- matischstrenglösen.DassinnvolleApproximiereneinernichterreichbarenexakten LösungbereiteterfahrungsgemäßdemLernendennichtunerheblicheSchwierigkei- ten.WirbesprecheninKap.7deshalbeineReihevonetablierten,vomKonzepther recht unterschiedlichen Methoden, das Variationsverfahren (Abschn.7.1), die ver- schiedenen Formen der Störungstheorie (Abschn. 7.2, 7.3) und die semiklassische WKB-Methode (Abschn.7.4). In der aktuellen wissenschaftlichen Forschung steht manhäufigvorderAufgabe,eigeneproblem-spezifischeApproximationsverfahren entwickelnzumüssen.AuchdabeihilftdassubtileVerstehenderStandardverfahren unddiegenaueKenntnisihrerGültigkeitsbereiche. Die bis zu diesem Punkt entwickelte Quantentheorie ist genaugenommen eine Ein-Teilchen-Theorie,wohingegendieunsumgebendeWeltauswechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen aufgebaut ist. Wir werden deshalb zu untersuchen haben (Kap. 8), was bei der Behandlung von Mehr-Teilchen-Systemen zusätzlich zu be- achten ist. Die Abgrenzung von unterscheidbaren gegenüber identischenTeilchen wirdsichalsentscheidendwichtigherausstellenundaufdasimKonzeptderKlassi- schenPhysiknichterklärbarePrinzipderUnunterscheidbarkeitidentischerTeilchen führen.DessengravierendsteKonsequenzistdasPauli-Prinzip,durchdasunteran- derem der gesamte Aufbau der Materie reguliert wird. Für die Beschreibung von Viel-Teilchen-SystemenerweistsichderFormalismusderzweitenQuantisierungals elegant und vorteilhaft. Moderne Forschungsliteratur ist ohne Kenntnis desselben kaumnochlesbar.ErwirdinsbesondereimsiebtenBanddesGrundkursesfastaus- schließlich benutzt werden. Es erschien mir deshalb sinnvoll, diese Methode sehr detailliertzubesprechen. DasabschließendeKap.9befaßtsichmitderStreutheorie,dieeinwichtigesAn- wendungsgebietderQuantenmechanikdarstellt.ÜbermikroskopischeStreu-(Stoß-) prozesselassensichweitgehendeAufschlüsseüberelementareWechselwirkungspo- tentialegewinnen,wennesderTheoriegelingt,Verbindungenzwischendiesenund denexperimentellzugänglichenWirkungsquerschnittenherzustellen. EsistmirbeiderDarstellungderQuantenmechanik,ebensowenigwiebeidenin denvorangegangenenBändenbesprochenenDisziplinen,nichtsosehraufVollstän- digkeitangekommen,alsvielmehraufeinemöglichstleichtverständlicheEinführung indieGrundprinzipienundaufdasErlernenvontypischenLösungstechniken.Ich erwähne deshalb auch an dieser Stelle noch einmal, daß ich das selbständige Lö- senvonÜbungsaufgabenzumwirklichenVerstehenderTheoriefürunverzichtbar halte. Ich möchte mich bei allen denjenigen (Studenten, Übungsleiter, Dozenten) bedanken,diemirdurchkonstruktiveKritikbeiderVorbereitungundbeidiversen kleinerenVerbesserungendiesesBuchesgeholfenhaben.DemSpringer-Verlagbin ichfürdiefruchtbareundverständnisvolleZusammenarbeitsehrdankbar. Berlin,imJuli2001 WolfgangNolting Vorwortzur6.AuflagevonBand5/2 An den meisten deutschen Hochschulen wurde bereits oder wird demnächst der bisherige Diplom-Studiengang durch das Bachelor/Master-Programm ersetzt. An derVermittlungderTheoretischenPhysikwirdsichallerdingsdabeinurwenigän- dern.Sowirddie„Quantenmechanik“diezentralemoderneDisziplinbleiben.Sie istindenBänden5/1und5/2des„GrundkursTheoretischePhysik“dargestellt.Für die vorliegende 6. Auflage des zweiten Teils von Band 5 wurden insbesondere die ÜbungsaufgabenüberarbeitetunddurchzusätzlicheÜbungsangeboteerweitert.Da- beikonnteichaufvieleAnregungenvonStudierenden,ÜbungsleiternundDozenten zurückgreifen.Allenseidafürherzlichgedankt.EinbesondererDankgebührtden jetzigenundehemaligenMitgliedernmeinesLehrstuhlsanderHumboldt-Universität zuBerlin,diesichdurchkonstruktiveKritikundtatkräftigeHilfebeiredaktionel- lenundorganisatorischenProblemeneingebrachthaben.DieZusammenarbeitmit dem Springer-Verlag, insbesondere mit Herrn Dr. T. Schneider, war auch in den zurückliegendenJahrenwiedersehrproduktiv,fairunddeshalbangenehm. Berlin,imAugust2006 WolfgangNolting
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