Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik PDF
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Springer-Lehrbuch GrundkursTheoretischePhysik Band1 Band5/1 KlassischeMechanik Quantenmechanik– 7.Auflage Grundlagen ISBN:3-540-21474-7 6.Auflage ISBN:3-540-40071-0 Band2 AnalytischeMechanik Band5/2 7.Auflage Quantenmechanik– ISBN:3-540-30660-9 Methoden undAnwendungen Band3 5.Auflage Elektrodynamik ISBN:3-540-40072-9 7.Auflage ISBN:3-540-20509-8 Band6 StatistischePhysik Band4 5.Auflage SpezielleRelativitätstheorie, ISBN:3-540-20505-5 Thermodynamik 6.Auflage Band7 ISBN:3-540-24119-1 Viel-Teilchen-Theorie 6.Auflage ISBN:3-540-24117-5 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik 7.Auflage Mit77Abbildungen und54AufgabenmitvollständigenLösungen 123 ProfessorWolfgangNolting Humboldt-UniversitätzuBerlin InstitutfürPhysik Newtonstraße15 12489Berlin Deutschland [email protected] Umschlagabbildung:sieheSeite110 Die4.AuflagedesBucheserschienimVerlagVieweg,Braunschweig/Wiesbaden BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschen Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternet über<http://dnb.ddb.de>abrufbar. ISBN-10 3-540-30660-9 7.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN-13 978-3-540-30660-3 7.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN 3-540-20263-3 6.Auflage SpringerBerlinHeidelbergNewYork DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderediederÜbersetzung,des Nachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung,derMikroverfilmung oderderVervielfältigungaufanderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbei nurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesist auchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublik Deutschlandvom9.September1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungs- pflichtig.ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. SpringeristeinUnternehmenvonSpringerScience+BusinessMedia springer.de ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2004,2006 PrintedinGermany DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigtauch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. Innentypografie:deblik,Berlin SatzundUmbruch:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Einbandgestaltung:design&productionGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier 56/3141/YL-543210 AllgemeinesVorwort Die sieben Bände der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sind als direkte Be- gleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das wichtigstetheoretisch-physikalischeRüstzeugvermitteln,aufdemaufgebautwerden kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium undinderphysikalischenForschungbewältigenzukönnen. DieKonzeptionistsoangelegt,dassderersteTeildesKurses, KlassischeMechanik(Band1) AnalytischeMechanik(Band2) Elektrodynamik(Band3) SpezielleRelativitätstheorie,Thermodynamik(Band4), alsTheorieteileines„IntegriertenKurses“ausExperimentalphysikundTheoretischer Physik,wieerinzwischenanzahlreichendeutschenUniversitätenvomerstenSemes- teranangebotenwird,zuverstehenist.DieDarstellungistdeshalbbewusstausführ- lich,manchmalsicheraufKosteneinergewissenEleganz,undinsichabgeschlossen gehalten,sodassderKursauchzumSelbststudiumohneSekundärliteraturgeeignet ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt wordenist.DiesgiltinbesondereauchfürdiebenötigteMathematik,dievollstän- digsoweitentwickeltwird,dassmitihrtheoretisch-physikalischeProblemebereits vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen Einschübeimmerdanneingefügt,wennsiefürdasweitereVorgehenimProgramm derTheoretischenPhysikunverzichtbarwerden.Esverstehtsichvonselbst,dassin einemsolchenKonzeptnichtallemathematischenTheorienmitabsoluterStrenge bewiesenundabgeleitetwerdenkönnen.DamussbisweileneinVerweisaufentspre- chendemathematischeVorlesungenundvertiefendeLehrbuchliteraturerlaubtsein. IchhabemichabertrotzdemumeinehalbwegsabgerundeteDarstellungbemüht,so- dassdiemathematischenTechnikennichtnurangewendetwerdenkönnen,sondern demLeserzumindestauchplausibelerscheinen. DiemathematischenEinschübewerdennatürlichvorallemindenerstenBänden derReihenotwendig,diedenStoffbiszumPhysik-Vordiplombeinhalten.Imzweiten Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik befasst, Quantenmechanik:Grundlagen(Band5/1) Quantenmechanik:MethodenundAnwendungen(Band5/2) StatistischePhysik(Band6) Viel-Teilchen-Theorie(Band7), sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat. Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es, dieGrundlagenderQuantenmechanikschonvordemVordiplomzubehandeln.Der StoffderletztendreiBändekannnatürlichnichtmehrBestandteileines„Integrierten Kurses“sein,sondernwirdwohlüberallinreinenTheorie-Vorlesungenvermittelt. Dasgiltinsbesonderefürdie„Viel-Teilchen-Theorie“,diebisweilenauchunteran- derenBezeichnungenwie„HöhereQuantenmechanik“etwaimachtenFachsemester angebotenwird.Hierwerdenneue,überdenStoffdesGrundstudiumshinausgehen- deMethodenundKonzeptediskutiert,dieinsbesonderefürkorrelierteSystemeaus vielenTeilchenentwickeltwurdenundfürdenerfolgreichenÜbergangzuwissen- schaftlichemArbeiten(Diplom,Promotion)undfürdasLesenvonForschungslite- raturinzwischenunentbehrlichgewordensind. In allen Bänden der Reihe „GrundkursTheoretischePhysik“ sollen zahlreiche Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut unverzichtbarfürdenLernenden.AusführlicheLösungsanleitungenhelfenbeigrö- ßerenSchwierigkeitenundtesteneigeneVersuche,solltenabernichtdazuverleiten, „ausBequemlichkeit“eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedemgrößeren KapitelsindKontrollfragenangefügt,diedemSelbsttestdienenundfürPrüfungs- vorbereitungennützlichseinkönnen. Ichmöchtenichtvergessen,andieserStelleallendenenzudanken,dieinirgend- einerWeisezumGelingendieserBuchreihebeigetragenhaben.DieeinzelnenBände sindletztlichaufderGrundlagevonVorlesungenentstanden,dieichandenUniver- sitäteninMünster,Würzburg,Osnabrück,Valladolid(Spanien),Warangal(Indien) sowieinBerlingehaltenhabe.DasInteresseunddiekonstruktiveKritikderStuden- ten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines dochrechtumfangreichenManuskriptsalssinnvollanzusehen.InderFolgezeithabe ichvonzahlreichenKollegenwertvolleVerbesserungsvorschlägeerhalten,diedazu geführthaben,dasKonzeptunddieAusführungderReiheweiterauszubauenund aufzuwerten. DieerstenAuflagendieserBuchreihesindimVerlagZimmermann-Neufangent- standen. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit erinnern.DanacherschiendieReihebeiVieweg.DieÜbernahmederReihedurch den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbes- serungenimErscheinungsbilddes„GrundkursTheoretischePhysik“geführt.Herrn Dr.KölschundseinemTeambinichschonjetztfürvieleVorschlägeundAnregungen sehrdankbar.MeineManuskriptescheineningutenHändenzuliegen. Berlin,imApril2001 WolfgangNolting VorwortzuBand2 Das Anliegen der Klassischen Mechanik besteht in dem Aufstellen und Lösen von Bewegungsgleichungenfür Massenpunkte,SystemevonMassenpunkten,StarreKörper aufderGrundlagemöglichstweniger AxiomeundPrinzipien. Letzteresindmathematischnichtstrengbeweisbar,sondernstellenlediglichbislang widerspruchsfreie Erfahrungstatsachen dar. Man könnte natürlich fragen, warum mansichheutenochmitKlassischerMechanikbeschäftigt,obwohldiesedochwohl indenseltenstenFällennocheinendirektenBezugzuraktuellenForschungaufweist. SiebildetjedochdieunerlässlicheBasisfürdiemodernenRichtungenderTheore- tischenPhysik,d.h.,diesebauenaufderKlassischenMechanikaufundsindohne sienichtverständlichzumachen.FernergestattetsieimZusammenhangmitrelativ vertrautenFragestellungeneinegewisse„Gewöhnung“anmathematischeLösungs- verfahren.SohabenwirimerstenBanddieses„GrundkursTheoretischePhysik“im Zusammenhang mit der Newton-Mechanik den Einsatz der Vektoralgebra intensiv geübt. Warum befassen wir uns in diesem zweiten Band nun aber noch einmal mit KlassischerMechanik?Die„AnalytischeMechanik“desvorliegendenzweitenBandes behandelt die Formulierungen nach Lagrange,Hamilton und Hamilton-Jacobi, die gegenüberderNewton-Mechanikzwarkeine„neuePhysik“beinhalten,methodisch jedoch eleganter sind und, was viel entscheidender ist, einen direkteren Bezug zu weiterführendenDisziplinenderTheoretischenPhysik,wiederQuantenmechanik, erkennenlassen. DieZielsetzungdesvorliegendenBandes2entsprichtderdesgesamtenGrundkur- ses:TheoretischePhysik.EssollsichumeinendirektenBegleiterdesGrundstudiums zumPhysik-Diplom(bzw.Bachelor/Master)handeln,deresermöglicht,Techniken undKonzeptederTheoretischenPhysikzunächstohneaufwendigeSekundärliteratur verstehenzulernen.ZumVerständnisdesTexteswirdlediglichdasinBand1Erar- beitetevorausgesetzt.MathematischeEinschübewerdenimmerdanninkompakter undzweckgerichteterFormgebrachtundgeübt,wennesfürdieweitereEntwicklung derTheorieunerlässlicherscheint. DasManuskriptzudiesemBuchistausmehrerenVorlesungenentstanden,dieich inderVergangenheitanderUniversitätMünsterundderHumboldt-Universitätzu Berlingehaltenhabe.NachseinemErscheinen,zunächstimVerlagZimmermann- Neufang,dannspäterundbisheuteimSpringer-Verlag,habenmirzahlreicheStu- dierendeundDozentendurchVorschlägezurVerbesserungeinzelnerPassagensehr geholfen.Dafürmöchteichmichganzherzlichbedanken.EinganzbesondererDank gebührtdenMitgliedernmeinesLehrstuhlsanderHumboldt-UniversitätzuBerlin, diesichdurchkonstruktiveKritikundtatkräftigeHilfebeiredaktionellenundorga- nisatorischenProblemeneingebrachthaben.Diejetztvorliegende7.Auflagebesitzt gegenüber den früheren Auflagen ein stark erweitertes Aufgabenangebot. Die Zu- sammenarbeitmitdemSpringer-Verlag, insbesondere mitHerrnDr.T.Schneider, warstetsfairundkonstruktivunddeshalbsehrerfreulich. Berlin,imFebruar2006 WolfgangNolting Inhaltsverzeichnis 1 Lagrange-Mechanik 1.1 Zwangsbedingungen,generalisierteKoordinaten............ 3 1.2 Dasd’Alembert’schePrinzip.............................................. 12 1.2.1 Lagrange-Gleichungen................................................ 12 1.2.2 EinfacheAnwendungen.............................................. 21 1.2.3 VerallgemeinertePotentiale........................................ 31 1.2.4 Reibung....................................................................... 34 1.2.5 Nicht-holonomeSysteme............................................ 37 1.2.6 AnwendungenderMethode derLagrange’schenMultiplikatoren............................ 40 1.2.7 Aufgaben..................................................................... 45 1.3 DasHamilton’schePrinzip................................................. 59 1.3.1 FormulierungdesPrinzips........................................... 60 1.3.2 ElementederVariationsrechnung............................... 63 1.3.3 Lagrange-Gleichungen................................................ 70 1.3.4 ErweiterungdesHamilton’schenPrinzips................... 73 1.3.5 Aufgaben..................................................................... 76 1.4 Erhaltungssätze................................................................. 78 1.4.1 HomogenitätderZeit.................................................. 80 1.4.2 HomogenitätdesRaumes........................................... 83 1.4.3 IsotropiedesRaumes................................................... 86 1.5 Kontrollfragen................................................................... 89 2 Hamilton-Mechanik 2.1 Legendre-Transformation................................................. 94 2.1.1 Aufgaben..................................................................... 97 2.2 KanonischeGleichungen.................................................. 97 2.2.1 Hamilton-Funktion...................................................... 97 2.2.2 EinfacheBeispiele........................................................ 101 2.2.3 Aufgaben..................................................................... 107 2.3 Wirkungsprinzipien........................................................... 108 2.3.1 ModifiziertesHamilton’schesPrinzip........................... 108 2.3.2 PrinzipderkleinstenWirkung...................................... 111 2.3.3 Fermat’schesPrinzip.................................................... 115 2.3.4 Jacobi-Prinzip.............................................................. 116 2.4 Poisson-Klammer.............................................................. 121 2.4.1 Darstellungsräume...................................................... 121 2.4.2 FundamentalePoisson-Klammern............................... 125 2.4.3 FormaleEigenschaften................................................ 128 2.4.4 IntegralederBewegung.............................................. 130 2.4.5 BezugzurQuantenmechanik...................................... 131 2.4.6 Aufgaben..................................................................... 133 2.5 KanonischeTransformationen.......................................... 135 2.5.1 Motivation................................................................... 135 2.5.2 DieerzeugendeFunktion............................................ 140 2.5.3 ÄquivalenteFormendererzeugendenFunktion......... 143 2.5.4 BeispielekanonischerTransformationen..................... 147 2.5.5 KriterienfürKanonizität............................................... 151 2.5.6 Aufgaben..................................................................... 153 2.6 Kontrollfragen................................................................... 158 3 Hamilton-Jacobi-Theorie 3.1 Hamilton-Jacobi-Gleichung.............................................. 164 3.2 DieLösungsmethode........................................................ 167 3.3 Hamilton’schecharakteristischeFunktion......................... 172 3.4 SeparationderVariablen................................................... 175 3.5 Wirkungs-undWinkelvariable.......................................... 181 3.5.1 PeriodischeSysteme.................................................... 181 3.5.2 Wirkungs-undWinkelvariable..................................... 184 3.5.3 DasKepler-Problem..................................................... 188 3.5.4 Entartung..................................................................... 195 3.5.5 Bohr-Sommerfeld’scheAtomtheorie........................... 197 3.6 DerÜbergangzurWellenmechanik.................................. 198 3.6.1 WellengleichungderKlassischenMechanik................ 199 3.6.2 EinschubüberLichtwellen........................................... 203 3.6.3 DerAnsatzderWellenmechanik.................................. 205 3.7 Aufgaben.......................................................................... 208 3.8 Kontrollfragen................................................................... 210 LösungenderÜbungsaufgaben........................ 213 Sachverzeichnis......................................... 299
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