Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen

343 Pages·2008·3.27 MB·German

by  Klaus Fritzsche

Grundkurs Funktionentheorie
Klaus Fritzsche
Grundkurs
Funktionentheorie
Eine Einführung in die komplexe Analysis
und ihre Anwendungen
Autor
Prof. Dr. Klaus Fritzsche
FB C – Mathematik und Naturwissenschaften
Bergische Universität Wuppertal
E-Mail: [email protected]
Bonusmaterial unter
http://www.springer.com/math/analysis/book/978-3-8274-1949-1
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker
Herstellung: Detlef Mädje
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Satz: Autorensatz
ISBN 978-3-8274-1949-1
Vorwort
Die Funktionentheorie besticht durch Eleganz und Kraft, sie zeigt sich als eine in
sich abgeschlossene Theorie, die dennoch zahlreiche andere Gebiete der Mathema-
tik befruchtet und sich durch ihre Anwendbarkeit einen wichtigen Platz in den
Natur- und Ingenieurwissenschaften erobert hat. Fu¨r den Mathematiker steht die
FunktionentheorieanderSchnittstellezwischendendreigroßenGebietenAlgebra,
Geometrie und Analysis und liefert unverzichtbare Beitr¨age zu allen drei Diszipli-
nen. Anwender, die neben einer Reihe anderer wichtiger Methoden immer wieder
Integrale und Integraltransformationen mit all ihren Facetten benutzen mu¨ssen,
sch¨atzen die Funktionentheorie, die jenseits der klassischen Methoden zur Bestim-
mungvonStammfunktionenganzneue,starkeunddennochleichtzuhandhabende
Werkzeuge bereitstellt.
Studienanf¨angern stellt sich die Funktionentheorie als eine erste Begegnung mit
neuen, unbekannten Welten dar, die u¨ber den Schulhorizont weit hinausgehen.
Deshalb wird die Funktionentheorie am Anfang als besonders schwer empfunden,
obwohl sie das u¨berhaupt nicht ist. Hier muss man sich wirklich auf Neues einlas-
senundinKaufnehmen,dassmanmitGegenst¨andenzuarbeitenhat,diesichder
Anschauung entziehen. Dies ist zugleich die Chance, in der Welt der Mathematik
erwachsen“ zu werden. Hat man die Funktionentheorie erfolgreich studiert und
”
damitauchimmerwiederWechselderBetrachtungsrichtungvollzogen,sohatman
die mathematischen Denk- und Arbeitsweisen begriffen und ist bereit, sich auch
noch weit anspruchsvolleren Zielen zuzuwenden.
U¨ber derartige intrinsische Motivationen hinaus gibt es ganz profane Anl¨asse, sich
in die komplexe Ebene zu begeben und komplexe Funktionen zu studieren. Histo-
risch wardie L¨osung von Gleichungen dritte(cid:2)n Gradesder Anla(cid:2)ss, hieristein ande-
res,ganzeinfachesBeispiel:DiePotenzreihe ∞ (−1)nx2n = ∞ (−x2)nkonver-
n=0 n=0
giert als geometrische Reihe fu¨r |x|<1 gegen f(x):=1/(1−(−x2))=1/(1+x2),
eineaufganzRdefinierteundbeliebigoftdifferenzierbareFunktion.Trotzdemkon-
vergiert die Reihe nur auf (−1,1). Das ist klar, aber warum ist das so? L¨asst man
inf ko√mplexeArgumentezu,soerh¨altmandieFunktionf(z):=1/(1+z2),diefu¨r
z = ± −1 Polstellen aufweist. Die gr¨oßte offene Kreisscheibe um den Nullpunkt,
die diese Polstellen vermeidet, hat den Radius 1. Das ist die eigentliche Ursache.
Die ersten drei Kapitel dieses Buches umfassen den eigentlichen Kern der Funk-
tionentheorie, von der Einfu¨hrung komplexer Zahlen und Funktionen und deren
Differenzierbarkeit u¨ber die faszinierend einfache und doch verblu¨ffend m¨achtige
Theorie der komplexen Kurvenintegrale mit allen Wundern der Cauchy-Theorie
bishinzumH¨ohepunkt,demResiduensatz,derdieBehandlungvonSingularit¨aten
(fast) zum Kinderspiel macht und dessen m¨ogliche Anwendungen ein eigenes Buch
fu¨llenk¨onnten.SindkomplexeZahlenundReihenschonbekannt,sokannmansich
alldies–vielleichtdaunddortnocheinweniggestrafft–ineinemhalbenSemester
vi
aneignen. Traditionell ist dies eher Stoff fu¨r ein ganzes Semester, dann wu¨rde man
aber noch ein paar Themen aus den folgenden Kapiteln hinzunehmen, insbeson-
dere die Verallgemeinerung der Cauchy-Theorie auf Ketten und Zyklen und den
eleganten Beweis von Dixon fu¨r den Cauchy’schen Integralsatz.
Das vierte Kapitel baut vor allem auf dem Residuensatz auf und stellt Verfah-
ren zur Konstruktion von komplex-differenzierbaren Funktionen mit vorgegebenen
NullstellenundSingularit¨atenindenMittelpunkt.DieGamma-Funktionistnurein
wichtiges Beispiel, die elliptischen Funktionen mit ihren vielf¨altigen Beziehungen
zur Algebra und Geometrie ein anderes. Außerdem ergeben sich ganz unerwartet
dieSummengewisserausdemReellenbekannterReihen,dieindenAnfangssemes-
tern meist gar nicht (oder nur mu¨hsam auf dem Umweg u¨ber die Fourier-Theorie)
berechnet werden.
M¨obius-Transformationen werden schon im ersten Kapitel definiert, danach im-
mer wieder aufgegriffen und schließlich ausfu¨hrlich im fu¨nften Kapitel benutzt,
u.a. beim Beweis des Riemann’schen Abbildungssatzes, einer besonderen Perle der
Funktionentheorie.MitseinerHilfek¨onneneinfachzusammenh¨angendeGebieteto-
pologisch charakterisiert und die Cauchy-Theorie zum Abschluss gebracht werden.
Der Rest des letzten Kapitels widmet sich der holomorphen Fortsetzung und stellt
dafu¨r als besonders m¨achtiges Werkzeug das Spiegelungsprinzip zur Verfu¨gung.
Damit werden die Zusammenh¨ange zwischen elliptischen Integralen, elliptischen
Funktionen und elliptischen Kurven deutlich gemacht.
Jedes Kapitel endet mit einem Abschnitt u¨ber Anwendungen. Das beginnt mit
dem Gebrauch von komplexen Zahlen und harmonischen Funktionen in der Geo-
metrie, der Elektrotechnik, der ebenen Feldtheorie und z.B. auch bei der L¨osung
von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen. Der Residuensatz liefert viele L¨osun-
gen fu¨r kompliziertere Integrationsprobleme, auch solche, bei denen Polstellen
auf dem Integrationsweg auftreten, und Methoden der Umkehrung von Integral-
Transformationen. Nach Einfu¨hrung des unendlich fernen Punktes kann auf fort-
geschrittene Methoden wie asymptotische Entwicklungen und die Sattelpunktme-
thode zur asymptotischen Integralauswertung eingegangen werden.
DieM¨obius-TransformationenfindenEingangindiefraktaleGeometrieundliefern
ein Modell fu¨r die Bewegungen in der nichteuklidischen Geometrie. Anf¨ange der
analytischenZahlentheorieergebensichausdemStudiumderZeta-Funktion.Deren
NullstellensindInhalteinesdergr¨oßtenungel¨ostenProblemederMathematik,der
Riemann’schen Vermutung“.
”
Als Anwendung des Spiegelungsprinzips gewinnt man Formeln fu¨r die konforme
Abbildung von Polygongebieten auf den Einheitskreis oder die obere Halbebene,
die Umkehrung wird durch Jacobi’sche elliptische Funktionen gegeben. Elliptische
Kurven bieten einen Abstecher in die algebraische Geometrie. Da sie dort auch
u¨ber endlichen K¨orpern betrachtet werden k¨onnen, sind sie ein wichtiges Thema
in der Kryptographie.
vii
DasdidaktischeKonzeptausdenGrundkursenzurAnalysiswirdhierwiederaufge-
griffen und sinngem¨aß umgesetzt. Insbesondere werden beim Layout die folgenden
Gestaltungsmittel benutzt:
Neue Abschnitte beginnen meist mit einer
grau unterlegten Einfu¨hrung.
34 1 HolomorpheFunktionen
1.3 ReelleundkomplexeDifferenzierbarkeit
WirvergleichenindiesemAbschnittdiekomplexeDifferenzierbarkeitinCmit
derreellenDifferenzierbarkeitimR2undgewinnensoneueErkenntnisseu¨berdie ImTextneueingefu¨hrteBe-
EigenschaftenkomplexdifferenzierbarerFunktionen.InsbesonderewirdderBegriff
derkonformenAbbildungeingefu¨hrt. griffe sind blau hervorgeho-
ZurErinnerung:SeiG⊂CeinGebietundfeinekomplexwertigeFunktionauf
G.FasstmanfalsAbbildungvonGnachR2auf,sowirddietotaleDifferenzier- ben.
barkeitvonfu¨blicherweisewiefolgtdefiniert:
fheißtinz0reell(total)differenzierbar,wenneseineR-lineareAbbildungL:C→
CundeineinderN¨ahedesNullpunktesdefinierteFunktionrgibt,sodassgilt:
1.f(z)=f(z0)+L(z−z0)+r(z−z0)fu¨rznahez0.
2.lhhi→(cid:3)=m00r|(hh|)=0.
DieeindeutigbestimmtelineareAbbildungLnenntmandietotaleAbleitungvon Definitionen erscheinen
finz0undbezeichnetsiemitDf(z0).
BeiderIdentifikationvonCmitdemR2entsprechendiekomplexenZahlen1undi in blau gerahmten
denEinheitsvektorene1=(1,0)unde2=(0,1).Deshalbnenntmandiekomplexen
Zahlen k(z):=z=z1·f(z) K¨asten, der zu defi-
(cid:3) (cid:4)
komplexdifferenzierbar.EsistaberJk(z)= 10 −01 . nierende Begriff wird
in der Titelzeile an-
DieCauchy-Riemann’schenDifferentialgleichungensindnichterfu¨llt!
WirkommenjetztzumzentralenBegriffdesBuches. geku¨ndigt und im Text
Definition (Holomorphie) blau hervorgehoben.
EineFunktionfheißtinz0∈Cholomorph,wennsieineineroffenenUmgebung
U=U(z0)⊂Cdefiniertundkomplexdifferenzierbarist.
KomplexePolynomesindaufganzCholomorph.EinedurcheinePotenzreihede-
finierteFunktionistaufdemKonvergenzkreisderReiheholomorph.DieFunktion
f(z):=zzistzwarinz=0komplexdifferenzierbar,abernirgendsholomorph! Lehrs¨atze sind hell-
Funktionen,dieaufeinemGebietG⊂Ckomplexdifferenzierbarsind,sinddort
auchautomatischholomorph. blau unterlegt und be-
1.3.4.Satz ginnen h¨aufig nicht mit
SeiG⊂CeinGebietundf:G→Cholomorph.
1.Nimmtfnurreelleodernurreinimagin¨areWertean,soistfkonstant. Satz“, sondern mit ei-
”
2.Ist|f|konstant,soistauchfkonstant. nem sprechenden Titel.
A
G
G\A
Wichtige Formeln sind
AuchdieKonvergenzvonFolgenkomplexerZahlendefiniertmanwieu¨blich:
nl→im∞zn=z0:⇐⇒ ∀ε>0∃n0,sodassgilt:zn∈Dε(z0)fu¨rn≥n0.
hellblau (DImiezFno)lg(ege(gzenn)Rkoenzv0ebrgzwie.rtImgezn0a)ukodnavnenrg(iegreegne.nz0),wenndieFolgen(Rezn)und
1.1.8.Kriteriumfu¨rdierelativeAbgeschlossenheit
SeiG⊂CeinGebiet.EineTeilmengeA⊂Gistgenaudann(relativ)abgeschlossen
unterlegt. inG,wenngilt:
Ist(zn)eineFolgeinA,diegegeneinenPunktz0∈Gkonvergiert,soliegtz0schon
inA.
Das Buch wendet sich an Studierende im dritten oder vierten Semester Mathema-
tik, aber durch die Darstellung und die umfangreichen Anwendungsbeispiele ist es
viii
auch fu¨r Studierende der Physik und der Ingenieurwissenschaften bestens geeig-
net. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse aus der reellen Analysis von einer und
mehreren Ver¨anderlichen und ein paar einfache Tatsachen aus der linearen Alge-
bra. Vorkenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie w¨aren zwar hilfreich,
aber alles, was n¨otig ist, wird im Text bereitgestellt.
Es wird beim Verlag eine Internetseite zum Buch geben, die erg¨anzendes Bonus-
material zur Verfu¨gung stellt. Geplant ist zun¨achst eine etwas ausfu¨hrlichere Be-
schreibung der Geschichte der komplexen Zahlen, und als Erg¨anzung zu Kapitel 4
ein Abschnitt u¨ber den Approximationssatz von Runge, der zeigt, dass man holo-
morphe Funktionen beliebig gut durch rationale Funktionen approximieren kann.
Weitere Zugaben sollen folgen.
Zum Schluss m¨ochte ich mich bei Barbara Lu¨hker und Andreas Ru¨dinger vom
Spektrum-Verlag (jetzt Teil des Springer-Verlages) bedanken, die mich wie immer
mit viel Geduld und Sachkenntnis unterstu¨tzt haben.
Wuppertal, im Oktober 2008 Klaus Fritzsche
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis ix
1 Holomorphe Funktionen 1
1.1 Die komplexen Zahlen 1
1.2 Komplex differenzierbare Funktionen 18
1.3 Reelle und komplexe Differenzierbarkeit 34
1.4 Der komplexe Logarithmus 43
1.5 Anwendungen 50
Summenberechnungen • Differentialgleichungen • KomplexeZahleninder
Geometrie • KomplexeZahleninderElektrotechnik • HarmonischeFunk-
tionen und ebene Str¨omungsfelder.
2 Integration im Komplexen 69
2.1 Komplexe Kurvenintegrale 69
2.2 Der Cauchy’sche Integralsatz 77
2.3 Der Entwicklungssatz 87
2.4 Anwendungen 99
Das Dirichlet-Problem • Ebene Felder • Die Green’sche Funktion.
3 Isolierte Singularit¨aten 113
3.1 Laurent-Reihen 113
3.2 Umlaufszahlen 126
3.3 Der Residuensatz 135
3.4 Anwendungen 149
Partialbruchzerlegung • Integralberechnungen • Cauchy’sche Hauptwer-
te und Dispersionsrelationen • Fourier-Transformationen • Laplace-
Transformationen.
4 Meromorphe Funktionen 182
4.1 Holomorphie im Unendlichen 182
4.2 Normale Familien 197
x
4.3 Der Satz von Mittag-Leffler 207
4.4 Der Weierstraß’sche Produktsatz 215
4.5 Die Gamma-Funktion 225
4.6 Elliptische Funktionen 235
4.7 Anwendungen 245
Reihenberechnungen I • Reihenberechnungen II • Das Residuum im un-
endlich fernen Punkt • Asymptotische Entwicklungen • Die Sattelpunkt-
methode • Die Mandelbrot-Menge • Nichteuklidische Geometrie • Die
Riemann’sche Zeta-Funktion.
5 Geometrische Funktionentheorie 278
5.1 Der Riemann’sche Abbildungssatz 278
5.2 Holomorphe Fortsetzung 291
5.3 Randverhalten 295
5.4 Das Spiegelungsprinzip 303
5.5 Anwendungen 309
DieFormelvonSchwarz-Christoffel • ElliptischeIntegraleundJacobi’sche
elliptische Funktionen • Elliptische Kurven.
Literaturverzeichnis 325
Symbolverzeichnis 327
Stichwortverzeichnis 329